10 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Trang 1

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Chuyên dé I

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GAP VE DO THI

$ Chủ đẻ I: Tiếp tuyến của đỏ thị hàm số

-_ Viết phương trình tiếp tuyến khi biết toa độ tiếp điểm M(xạ;yạ ), hoặc hoành độ xạ, hoặc tung độ yạ

-_ Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xạ;y4) cho

trước

- _ Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó Q Phương pháp:

Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và M(xạ;yạ) là điểm trên (C) Tiếp tuyến

với đồ thị (C) tại M(xạ;yg) có:

-_ Hệ số góc: k=f'{xạ)

- Phuong trinh: y—yo = k(x—xạ),hay y—yạ =f'(Xạ )(%— xạ)

Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại M(xạ;yo} chúng ta cần đủ ba yếu tố sau:

- Hoành độ tiếp điểm: xọ

- Tung độ tiếp điểm: yạ (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay xạ vào

hàm số yạ =f(xạ) ) - Hệ số góc k=f'{xạ)

Dạng 1 Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M{xạ;yạ), hoặc hoành độ xạ, hoặc tung độ yạ

Bài toán 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f(x) tại điểm M(xg;f(xạ)) -

Giải Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(xạ;yạ) là:

y=f (Xạ)(X~Xạ)+Vo

Bài tốn 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f(x) biết hoành

độ tiếp điểm x =xạ

Trang 2

Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh

| Bài toán 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f(x) biết tung dé tiép diém bang yo

Giải Gọi M(xạ;yg) là tiếp điểm

Giải phương trình f(x)= yọ ta tìm được các nghiệm xạ

Tính y'(xạ) = phương trình tiếp tuyến: y =f (xạ )(X~ Xạ}+Yọ

Ví dụ 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = xŸ ~3x” +2

1 Tại điểm (2;-2) 2 Tại điểm có hoành độ x=—1

3 Tại điểm có tung độ y =~2 4 Tại giao điểm của đồ thị với y=x—1 Lời giải

Hàm số đã cho xác định với VxeR

Gọi Mo(xạ;yạ) là tọa độ tiếp điểm và yạ = y(xạ) = xổ - 3xã +2

y'=3x” 6x, tiếp tuyến tại điểm Mạ có hệ số góc: y'(X9)= 3x6 — 6Xq

1 Tacé: xy=2 =y'(2)=0

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2;-2): y=0(x-2)-2=~2 2 Ta có: Xọ =-1=>yạ =~2,y'(-1)=9

Phương trình tiếp tuyến: y =9(x+1)~2=9x+7

3 Ta có: yọ =6= Xổ -3X2 +2=~2 © xã —3Xã +4=0

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (—1;-2) : y=9x+7

Phương trình tiếp tuyến tại diém (2;-2): y =-2

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn dé bai: y=-2, y=9x+7 4 Phương trình hồnh độ giao điểm : xŸ -3x”+2=x—1

> x? —3x? -x+3=0©(x~3)|x” r9exel hoặc x=+1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (—1;-2) : y=9x+7

Phương trình tiếp tuyến tại diém(1;0): y =-3x +3 Phương trình tiếp tuyến tại điểm (3,2) : y =9x— 25

Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn dé bai: y=9x+7, y =-3x+3, y=9x-25

'í dụ 2 Cho hàm số: y=x”-(m-1)x”+(3m+1)x+m-2 Tìm m để tiếp

¡yến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ bằng 1 đi qua điểm A(2;-1)

Trang 3

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

“Ta có: y'=3x” ~2(m-—1)x+3m +1 Voi x=1>y(1)=3m+1>y'(1)=m+6

Phương trình tiếp tuyến tại diém c6 x=1: y=(m+6)(x-1)+3m+1 Tiếp tuyến này đi qua A(2;-1) nên có: -1=m+6+3m +1 ©m=~2

Vậy, m=-2 là giá trị cần tìm

Dạng 2 Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua

điểm cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xạ;ya ) cho trước Giải: Gọi M(xạ;yạ) là tọa độ tiếp điểm Khi đó tiếp tuyến có dạng:

y=f'(o)(~Xe)+Yo

Vì tiếp tuyến đi qua A nên có: ya =f'{Xe)(X — Xe)+yọ , giải phương trình này ta tìm được xạ, suy ra phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): y at biết d đi qua

x-

điểm A(-6;5)

Lời giải

Cách 1: Gọi (xo;y(xo)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và (C), với y(X9)= Xo +2 , tiếp tuyến d có hệ số góc y(Xe)= Xp —2 (xạ -2) =

phương trình: y =——c(x-xg)+ Xo +2 (Xo -2) Xo -2 ma —Xg}+ x = phương trình Xp— xạ#2 và d có

d đi qua điểm A(-6;5) nên có 5=

này tương đương với Xã —ÕXg =0© Xạ =0 hoặc xạ =6 *- Với xạ =0, ta có phương trình: y==x~1

* Với xạ =6, ta có phương trình: y = 242

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa dé bai y=-x-1, y= _

Cách 2: Phương trình d đi qua A(—6;5) có hệ số góc k, khi đó d có phương trình là: y =k(x+6)+5

Trang 4

Gấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi môn Toán - Nguyễn Phú Khánh * * bs Xj +2 k(x +6) +5 = 4x3 ~24xạ =0

4 ° có nghiệm Xp hay), 4 — cónghiệm xọ

k=——— m——

(xạ-2Ÿ (xo ~2)

Ky =0, k=-1=d:y=-x-1

- Xạ=6, k=-—=d:y=-—+~ 1 x 7

° a 42

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa dé bai y =-x-1, _

Nhận xét 1: Qua cách 1 ta thấy đường thẳng d: y=-x—1 luôn tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm M(0;~1) và đường thẳng d ln vng góc với đường thẳng IM với I là giao điểm 2 đường tiệm cận

Qua đó ta có bài tốn sau: x+2

Tìm trên đồ thị y = những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M vng góc với

x-

đường thẳng IM, với 1(2;1) Gợi ý

và tiếp tuyến

Gọi (xạ;y(xo)) là tọa độ tiếp điểm cần tìm với y(xg)=1+

0

(xo~2ŸÝ

Đường thẳng IM có hệ số góc k và k= yœo)-v@) =——

Xọ —XI (xạ —2})

Tiếp tuyến tại M vuông góc IM khi và chỉ khi y'(xạ).k=—1 tức là

4 4

2" 2 (x9 -2)° (Xo -2)

Vậy, M;(0;-1), M;(4;3) là tọa độ cần tìm

Nhận xét 2: Dé thấy, tiếp tuyến tại M¡, M; song song với nhau, hơn nữa

tại M có hệ số góc y'(Xạ)= ,Xg#2

=-1 hay (xạ -2)” =16 © xạ =0 hoặc xạ =4

đường thẳng qua 2 điểm Mạ, M; song song với đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ tức là tiếp tuyến tại Mạ, M; có hệ số góc là y'(0)=y'(4)=-1 Qua đó, ta có bài tốn sau:

Giả sử đường thẳng A: x— y -m =0 cắt đồ thị y = tại 2 điểm phân biệt Mụ Mz

X—

Trang 5

2 Tìm giá trị me dé tiép tuyén tai My, M song song với nhau

Ví dụ 2 Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C): y= 2 — biết d cách X+

déu 2 diém A(2;4) va B(-4;-2)

Lời giải

Gọi MÍxạ;y (xo )) , Xạ #—1 là tọa độ tiếp điểm của d và (C) Khi đó d có hệ số góc y'(xạ)= ——= và có phương trình là :

(xo +1)

1 1

V=———;|X-Xạ}+2-

Gray ea

Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm I{-1;1) của AB hoặc cùng phương với AB

-_ THỊ: d đi qua trung điểm I(-1;1), thì ta ln có: 1=———;(—1-xg)+2~

(Xo +1) Xọ † , phương trình này có nghiệm xạ =1 Với xạ = 1 ta có phương trình tiếp tuyến d: y = ax vẽ

TH2: d cùng phương với AB, tức là d va AB có cùng hệ số góc, khi đó YB—ŸA T1 hay ——=1e Xẹ =-2 hoặc xạ =Ũ

Xpg —XA (xạ +1)

y'(Xạ)= kag =

Với xạ =~2 ta có phương trình tiếp tuyến d: y=x+5 Với xạ =0 ta có phương trình tiếp tuyến d: y=x+1

Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y= *Ể, y=x+5,y=x+1

Ví dụ 3 Cho hàm số y = x! ~4x” +3, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0;4) có hệ số góc m, biết tiếp tuyến tiếp xúc với

(C) tại bốn điểm phân biệt

Lời giải

Phương trình đường thẳng d đi qua A có hệ số góc m có dạng: y=mx+4 d tiếp xúc đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ xạ khi hệ :

3x8 —4x2+1=0

Xổ —4Xã +3= mxạ +4 , on

có nghiệm xạ có nghiệm xạ |

Trang 6

Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi môn Toán - Nguyễn Phú Khánh

m=-4 2 = Xp =1 m=4 hay <> 21 > m=_2043 3 9 m = 4x3 - 8x, m=——— 20V3 9

Với m=-4, tiếp tuyến y =-4x+ 4, tiếp diém M, (1;0) Với m= 4, tiếp tuyến y = 4x+4, tiếp điểm M;(-1;0)

203 X3 16

9 x+4, tiếp điểm M 3 >

Voi m= oe tiép tuyén y =-

«lén Ne

1

Với m -2n3 , tiếp tuyến y= 20V3 4, tiếp điểm M(- s - Vậy, qua A kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C):

2043 20V3

y=-4x+4, y=4x+4, y=-——X +4,y= 5 x+4

Œ Mở rộng: Dạng toán qua 1 điểm kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị là dạng tốn ít gặp Để hiểu kĩ hơn dạng toán này, ta giải bài toán sau:

“Biện luận theo m số tiếp tuyến của (C): y = x! — 6x? vé tir diém M(3; m)” Gợi ý: Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) vẽ từ M(3;m) có dạng: y=k{x-3)+m

(đ) và (C) tiếp xúc nhau tại điểm cóp hồnh độ xạ, từ đó suy ra: m =x} -6x5 - (4x9 _ 12xo (Xo ~3)=g(Xo)

Ta có: ø'(xạ)= 0 © xạ =~1 hoặc xạ =1 hoặc xạ =3

Từ bảng biến thiên suy ra:

* m<-21 hoặc m=27: có 2 tiếp tuyến * m=-21 hoặc m=~9: có 3 tiếp tuyến

* -21<m<-9 hoặc -9<m<27: có 4 tiếp tuyến * m>27: khơng có tiếp tuyến nao

Dạng 3 Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc cho trước

- _ Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):ax + by +c=0 -_ Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (đ):ax+ by +c=0

-_ Tiếp tuyến cùng với đường thẳng (d):ax + by +c =0 tạo thành góc ọ Ví dụ 1, Cho hàm số: y = 2 = có đồ thị (C)

X—

Trang 7

1 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1

2 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d:y =-4x+1 3 Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân

4 Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2

Lời giải

-4

(x-1)

Goi M(xo;yo) 14 toa dé tiép điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Hàm số đã cho xác định với Vx #1 Ta có: y`=

-4 2X%j+2 , , -4 ` 2X9 +2

“tei? iy (x-Xy)+ Xi với y kg iy va Yo= _=

Xo - Xo - 1 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1 Nên có: =4 =-1<¢> xy =3, Xp =-1 (x-1) _*# Với Xj =-1> yp =O>Aty=-x-1 * V6i Xg=2=> yo =4—> Aty =-x+7

Vay, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y =-x~ 1, y=~xX+7 2 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d:y =-4x+1

-4

(xq -1)°

* VGi Xp =O> yo =2> Ary =-4x+2

Nén c6: y'(xg)=-4 2 =-4 xạ =0 hoặc xạ =2

* V6i x9 =2> yy =6> Ary =-4x+14

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y=-4x+2, y =-4x+14

3 Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng +1 Mặt khác: y '(xạ)< 0, nên có: y'(xạ)= 1

Tức 4 1 22 x, =1 hoặc xạ =3

(xo =1)

* Với Xạ==1=>Yyọ =0®A:y=-x-]1 * VGi Xp =3 > Yq =4 > Aty =-X47

Vay, co 2 tiép tuyén thoa man dé bai: y=-x-1, y=-x+7

4, Khoang cach tir M(xg;y9) dén truc Oy bang 2 suy ra x9 =+2, suy ra M(-23),

M(2;6)

9

Trang 8

Gấp tốc giải 10 chuyên đề 10 điểm thi mơn Tốn ~ Nguyễn Phú Khánh

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = = -5, y=4x+14

Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị của k để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C): y=x? + 6x? +9x +3 phân biệt và có cùng hệ số góc k, dong thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó với (C) cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A, B sao cho ØA = 2012.0B

Lời giải

Hoành độ tiếp điểm xạ của tiếp tuyến dạng y =kx+m với (C) là nghiệm của phương trình f'{xạ}= k© 3x2 +12xạ+9—k=0 (1)

Để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt nhau thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, khi đó A'=9+3k >0 hay k>-3 (2)

Khi đó, tọa độ tiếp điểm (xạ;yo) của 2 tiếp tuyến với (C) là nghiệm hệ

1 3 .v2 2 =Xã +6X6 +9Xạ +3 Ve =_-(Xe +2)|3x§ +12xạ +9|—2xạ —3 phương trình: , g 0g 20 ed?) 3 0 \ 0 0 Ì 0 3x0 +12xo +9=k 3x2 +12xg +9=k 1 k-6 2k-9 =—(Xạ +2)k—~2Xg—3=———Xgạ + = {70 3 (0 +2)k 2x 3 9° 3 3x? +12x) +9=k k-6_ x+ 2k-9 3 Do (d) cắt trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho OA =2012.0B nên có thể

Vậy phương trình đường thẳng đi qua các tiếp điểm là (d): y =

xay ra:

- Néu A=O thì B=O, trường hợp này chỉ thỏa nếu (d) cũng qua O

Khi đó k= 3, 2

- Nếu AzO, khi đó trong tam giác AOB vuông tại O sao cho

tanOAB= 28 ~ 2012 =› XỔ ~ +2012=» k = 6042

OA 3

hoac k =-6030: (khéng théa (2))

Vay k ==, k=6042 thỏa bài toán

Chú ý:

e Cho hai đường thẳng (dị):y = kịx+b và (d;):y =kạx+m

= 2 ; ) _

Trang 9

3 (đ:)+L(dạ)©kị.kạ =—1 — |kak;i+l] -

4 ((d¡)Ád; )}(d;) p=>cos=

+ : )- vk?+12/k2 +1

« Giả sử A(X;y), B(x;;y;), đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A,B có hệ

Y2TŸ] X¿—X1 x z số góc k= , Xa #XỊ Bài tập tự luyện: nw ~- fe `" ` a 2 ow

1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y = _ , biết:

X —

a Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2

b Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):x+ 2y =0 c Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (A):9x— 2y +1=0

Hướng dẫn giải 2(x-1)-2x _ -2

&-1UJ“ (x-V

Gọi (xạ;yạ) là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại (xạ;yo) bằng

——

(xo -1Ÿ

te gem -2

a Theo giải thiết, ta có: y'(x9)=-2<2 ——_, =-2 (xo 1) X, -1l=1 Ly sọ c© =0s=1Ÿ =1e| ° Xg-1l=~-1 -Tacé: y'= y'(Xo)= Xp =O> yq =0 Vay, co 2 tiép tuyén thoa dé bai: y =-2x + 8,y =-2x b Theo giải thiết, ta có: —“—s=-®( -1ƒ =—

_ 2

(Xo -1)

1 27 1 7

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bai: y = -—x+—,y y p tuy y D 2 „ỳ =-—x-— 2*~1

c Theo giải thiết, ta có: 2 (Xp - 1” -

-1 9

(xạ =1)

A x „ wa: 2_ 32 2 8

Vay, c6 2 tiép tuyén thda dé bai: y = -—x+—,y =-—x+— ay, p tuy y 9 9 y 21s

2 Cho hàm số: y=x”~3mx”-x+3m có đồ thị (C,,) Dinh m dé (C,,) tiếp xúc

với trục hoành

Hướng dẫn giải

Trang 10

Gấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh xổ —3mxã -x+ 3m =0 „ an xq xp 1] -3m{xp -1)=0 2 có nghiệm xạ tức hệ 3x4 -6mxạ =1=0 3x2 ~6mxạ ~1=0 2 , " (xj ~1Ì(xo -3m)=0 , " 1 có nghiệm xạ <> có nghiệm xạ >m=+~ 3x2 —6mxạ ~1=0 3

Cho hàm số: y=xŸ+x!+(m~1)x2=x—m có đồ thi (C,,) Dinh m dé (C,,) tiếp xúc với trục hoành

(Cm) tiếp xúc với trục hồnh tại điểm có hoành độ xạ khi và chí khi hệ phương

— Íx‡+xŠ+(m-1sj~xy~m=0 trình: có nghiệm xọ 4x2 +3xZ +(m~1)xạ ~1=0 xố [xã ~1)+ xạ (xế ~ 1]+ m( xã =1)=0 4x +3x4 +(m—1)xạ —1=0 = có nghiệm xạ ° (xã ~1)(xã + xạ +m)=0 có nghiệm Xp =? m=—2,m=0,m=2 4x3 +3x) +(m-1)xp -1=0

Cho ham sé y =(2- x) x”, co do thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a Tại giao điểm của (C) với Parabol y =x’,

b Tiếp tuyến đi qua điểm A(2;0)

Hướng dẫn giải y=x!-4x +4xF =y'=4x ~12x” +8x Phương trình hồnh độ giao điểm:

x! ~4x) + 4x” = x? =x/? ~4x+3)=0 ©x=0,x=1,x=3 *- Với x=0 = phương trình tiếp tuyến: y =0

* Véi x=1 = phương trình tiếp tuyến: y =1 *- Với x=3 = phương trình tiếp tuyến: y =24x- 63

M(xạ;yạ)e(C)- Tiếp tuyến (t) của (C) tại M(xạ;yạ): y = (4x) —12x? + 8Xq )(x Xp) +X (Xo -2)

3 2 4

A(2;0) €(t) ©œ(2~ xạ )(3xổ - 10x8 + 8xo Ì= 0 © xụ =0,Xọ = 2,Xọ =5

* Với xạ =0—=y'(0)=0,yạ =0—= phương trình tiếp tuyến y =0

Trang 11

„ng

* Với _x.: =—

ty TNHH MTV DVVH Khang Việt

4) 32 _o4 hương trình tiếp tuyến - 32, , 64

3) 2770781, ~Powones Dye xi2

2x Tỉ , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

Cho hàm số y=

Tiếp tuyến có hệ số góc bằng

Tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất Khoảng cách từ 1(1;2) dén tiép tuyến lớn nhất

Tiếp tuyến của (C) tại M vng góc với IM Hướng dẫn giải

Gọi M(xạ;yạ) là tọa độ tiếp điểm của (C) va tiếp tuyến (d)

nw nN —1 2x -1

Tiép tuyén (d) tai M(xg:yq): y =——5(x-Xp) + 0

(xạ -1) xọ =1

1

-——==-_®% =3,Xp =]

4

(Xp -1)

Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: -_-1„,13 và 1x+Ð 3 ptuy sờ 4 4 y 4 4

cx x bo asa a ae 2x ‘ ` wa a

Tiép tuyén (d) cat tiém can dirng tai A|b 0 } cắt đường tiệm cận ngang

Xo -

tai B(2x9 -1;2) > 1A = 4 1B=2)x, -1|= IA1B= 4

|xọ —1

Chu ví tam giác IAB: p=AB+IA +IB= VIA? +IB? +IA+IB

Mat khac: IA? +IB* >2IAIB=8, IA+IB>2VIAIB =4.Nén p>2V2+4

Đẳng thức xay ra khi: IA =1B > (xg - 1Ÿ =4© xo =3,Xạ =—1 1_ 13 1_ 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y=——x+—— và y=-—x+— 0 p tuy y Phần y TT

Gọi H là hình chiếu của I lên (d), ta có: d{I,A)=IH

Trong tam giác vng IAB, có : 1 jt? ol gy ra: IH< 2

| IH? 1A2 1B IAIB 2

Đẳng thức xảy ra > IA =IB

Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y = _—x os va y= ly +2

Trang 12

Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh Từ đó ta tìm được tiếp tuyến: y =—x+ 1,y=—x+5

Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M thuộc (C): y =x'+2x?-1 sao cho (d) vudng géc voi AM, biét aoa)

Hướng dẫn giải Gọi M(xạ;yạ) là tọa độ tiếp điểm của (C)

AM=| sụn) + 2x? Si] đường thẳng (d) tiếp tuyến tại M có vectơ pháp tuyến là n=(4x) +4x9;~1) Theo bài tốn, ta có AM và n cùng phương, từ day tim duoc M(0;-1), M(-1;2), M(1;2)

4.2

Viết phương trình tiếp tuyến d của (C): —X +, biết d cắt trục

hoành, trục une lần lượt tại A và B sao cho OA >OB, sao cho diện tích tam

an,

giác OAB bằng ỹ và khoảng cách từ O đến d bằng Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên d thì OH = d(0;d)

1 3

20A0B== c© OA.0B=3 => OA =3

1 1 1 10 |0A?+0B2=10 |OB=1

——- + ——-

OA2 OB? OH? 9 Ta có:

Hệ số góc của đường thẳng d là k= ¬ =+3 Tiếp tuyến d: y=-3x+3, y=3x+3

Viết phương trình tiếp tuyến d của (C): y= — tại điểm M sao cho tiếp

x+

tuyến tại M của (C): (x+ 1 +(y- 1 = ee cũng là tiếp tuyến của (C)

| Hướng dẫn giải

Đường trịn (C') có tâm I(—1;1), bán kính R=

V5

Tiép tuyén (d) tai M 1; thuộc (C) có phương trình :

(Xp +1)

2 2

——(x-xX))+y-1- =0

Trang 13

_{đ) là tiếp tuyến chung của (C) và (C) nên d{[I,d]=R, từ đây ta tìm được phương trình : (xạ +1)” —5(xạ + 1) +4=0

9 Goi Mla điểm bất kì trên (C) của hàm số y=

đường tiệm cận Tiếp tuyến (d) của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tại A và và I là giao điểm 2

B Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích bằng 2n

Gọi Ms Si] #2 là điểm thuộc (C)

Xg~2

Tiếp tuyến (d) tại M có hệ số góc là: y'(xạ}= _——>

(xo —2)

` z -1 2X -3 ý A A

Phương trình có dạng: (d):y=———5,(x- Xp) + , (d) cắt 2 tiệm cận

(Xo -2) Xo ~

lần lượt tại: ala 2x9 2) B(2xạ - 2;2)

Xo —2

3 1 xo =1=M(1;1)

AIABvuông tai I và Siag =2#© (xạ =2} +————z =2 ©

(xp -2) Xg =3 => M(3;3)

10 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) : y = 2x _ X+

tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (đ): 3x+4y-2=0 bằng 2

Gọi M(xạ;yạ) là điểm thuộc đồ thị (C), khi đó: yụ =y(xạ)= 0 t3

Xg+1

2c l3xo +4yg -3

V3" +4?

Ta có: d[M,(d) ]= =2©3xq +4yg -12=0 hoặc 3xụ +4yg +8=0

Trang 14

Cấp tốc giải 10 chuyên đề 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh

Phương trình tiếp tuyến (d) tại M thuộc đồ thị (C) có dạng:

y=y'(xạ)(x- xạ)+y(xạ) trong đó và y'(Xo)#———z, Xạ #~1 (xo +1)

Phương trình tiếp tuyến (d,) tai M,(0;3) la y=-x+3

Phương trình tiếp tuyến (d;) tại M[ ST) là y =~ +: Phương trình tiếp tuyến (dg) tại » 5 , là y=—-Lx 23

16 16

Vậy, có 4 tiếp tuyến thỏa đề bài:

9 L3 1 „23

=-x43, y=-— x45, y=-—— x4, y=-9x-13,

; y 16 T16 7 16 16 y

ˆ_11 Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng 30x- 24y +61=0 để từ đó kẻ đến đồ thị

3 2

(C) : “acc 3 tiếp tuyến tương ứng với 3 tiếp điểm có hồnh độ x,xXạ,xạ thỏa xị <xạ <0<%x

Me(d): 30x-24y+61=0=> M{ mat «Se Phương trình tiép tun cua (C) tai N(xg;y9):

XỔ Xộ 7

y-|-2- Ft 20 +5 =(_xổ — xạ +2](x— xạ) Tiếp tuyến đi qua M

3 4 24

Để thỏa yêu cầu bài tốn thì phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt

7 f 2,7m 5 vo m<-Š hay m>2 3 12 2 6 5 5 <>4—-m>0 oym<— 18 18 3 5 5 —m-—<0 m<— 4 6 Hy,

Trang 15

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 5 ¬ 1

m<-— hoặc —<m<— 2 "6 18

12 Tìm tham số m dé parapol (P): y=x°-x+1 va dé thi (C,,) của hàn: số y =x” -4mxZ +7mx—3m tiếp xúc nhau

(P) và (Cạ„) tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ xạ khi và chỉ khi hệ phương xa —Xp +1=x) ~ 4mXã + 7mxg -3m trình: có nghiệm xọ 2X9 -1 = 3x? —8mxạ +7m (Xo -1)|xã -4mxg +1+3m]=0 có nghiệm xọ 2xXạ ~1=3xã —8mxạ + 7m(*)

* Với xạ =1 thay vào phương trình (*), ta được m=2

* Với Xã —~#mxg +1+3m =0 kết hợp phương trình (*) ta được hệ:

m+1 = ,mz— 2m-1 2 => 2: =0.3= ; (xj -4mx, +1+3m).3=0.3=0 ti ám TT Ì+1+3m=0 m— m— 2xạ ~1=3xö -8mxạ +7m Xo —(4m+1)(m~2)(m~1)=0 hay me{~2:12)

13 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=xỶ-6x”+9x~1, để tiếp

tuyến đó cách đều 2 điểm A(2;7) và B(-2;7)

Tiếp tuyến d của đồ thị (C) cách đều A,B khi và chỉ khi hoặc d đi qua trung

điểm I của AB hoặc là đị| AB

Vậy, có 4 tiếp tuyến thỏa đề bài: y+1=0, y-3=0, y=-3x+7, y=24x+7 14 Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C): = giả sử (d) cắt 2 tiệm cận tại

X+

A,B I là giao điểm 2 tiệm cận Viết phương trình (d) để :

a IA=4IB b IA+IB=8

: Hướng dẫn giải

Do giả thiết khơng nói rõ là (d) cắt tiệ, cận theo thứ tự nào để có tọa độ A,B Vì thế cần phải chia ra từng trường hợp để giải Tác giả hướng dẫn 1 trường hợp, trường hợp còn lại giành cho bạn đọc

_X§ — 2X9 -15

Giả sử (d) cắt tiệm cận đứng tại A| -3; ( 5 cắt tiệm cận ngang tại

xạ +3)

Trang 16

Cấp tốc giải 10 chuyên đề 10 điểm thi môn Toán - Nguyễn Phú Khánh

a Tiếp tuyến (d) có hệ số góc là k= + =‡4, suy ra có 2 tiếp tuyến

8

b IA=

xo + 3|

, IB=|xq +3], theo bài toán ta suy ra (Xp + 3) =4 % Chu dé 2: Tương giao giữa hai đô thị

e Lap phương trinh hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C): y=f(x) và (C):y =g(x) là: f(x)=g(%) (*)

e Biện luận số nghiệm của phương trình (*), số nghiệm phương trình (*) là số

giao điểm của (C) và (C))

Ví dụ 1

1 Tìm m để đường thẳng d: y=-x+1 cắt đồ thị (C) hàm số

y=4xŸ-6mx” +1 tại 3 điểm A(0;1), B, C sao cho: a B, C đối xứng qua y=x b OB.OC=~—4

2 Tìm m để hàm số y =-xf +4mx -4m cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt M, N, P, Q (Xm <Xy <Xp <Xq) Sao cho MQ=ZNP

Lời giải

1 d cất đồ thị (C) tại 3điểm A(0;1), B,C khi 4xỞ-6mx2+1=-x+1 có 3

nghiệm phân biệt tức phương trình 4x?—6mx+1=0 có 2 nghiệm phân biệt

A'=9m?~4>0 2

4,07 -6m.0+1#0 3

Gia st B(x,;-x, +1), C(x2;-x2 +1) là giao điểm d và (C)

khác 0, nghĩa là = |m|>

X1 =y¿=-X;+1

a Đế B và C đối xứng nhau qua y=x khi và chỉ khi \ hay

X2 =¥1 =-XỊ +1

Xị +x =1e Ÿm=1e m=E

Đối chiếu điều kiện, suy ra khơng có m để thỏa bài tốn

b OBOC=-4¢> xị.x; +(—Xị +1)(—x; +1)=—4 hay 2x1 x; —(Xị +x;)+5=0

©2(4)»ÿm+s-0 2 m=—i! |

4) 2 3

2 Phương trình hồnh độ giao điểm của hàm số và trục hoành:

-x*+4mx?—4m=0 (1) Đặt t=x”, (t>0) khi đó phương trình (1) trở

Trang 17

Để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt M, N, P, Q khi và chỉ khi

A'= 4m? -4m>0

phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương ©4P=4m >0 hay S=4m>0

m>1

Với m>1 phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt tạ =2m-—2 mˆ-m hoặc tạ =2m+2\m”-m, giả sử tị < tạ

MQ =2NP <> 0Q? = 40P* tirc 18 tp = 4t; <@ 5Vm? - m =3m, bình phương 2 vế va rút gọn ta được phương trình 16m” -25m =0, phương trình này có m= = thỏa điều kiện m >1

Ví dụ 2

| 1 Cho ham sé y-mx+2 có đồ thị là (Cm) Tìm m để trên đồ thị (C,,) cd 2

điểm P, Q cách đều 2 điểm A(-3;4),B(3;—-2) và diện tích tứ giác APBQ

bằng 24

2 Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(2;0) có hệ số góc m cắt đồ thị (C):

y=-xỶ+6x”—9x+2 tại 3 điểm phân biệt A,B,C Gọi B',C' lần lượt là hình chiếu vng góc của B,C lên trục tung Tìm giá trị dương của m để diện tích hình thang BB'C'C bằng 8

Lời giải

1 Từ giả thiết suy ra P, Q nằm trên trung trực của đoạn AB Phuong trinh PQ: x-y+1=0

Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm ) và PQ: mX 2 _— v1 <> x? —-mx-3=0, x¥1 (1)

x-1

PQ cat (Cm) tại 2 điểm phân biệt P, Q khi và chỉ khi phương trình (1) có 2

A>0

nghiệm phân biệt khác 1, tức là 4“ ”” m+2z0 >mz-2

Với mz-2, phương trình (1) có 2 nghiệm xạ, x;

Gọi tọa độ P(x,;x; +1), Q(x;;x; +1) =PQ=+j2(x; —xị)

Diện tích tứ giác APBQ bằng 24

Trang 18

Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi môn Toán —- Nguyễn Phú Khánh

_ Thay vào (2) ta được mˆ +12-16=0«<>m=-2 hoặc m=2 Đối chiếu điều kiện, ta thấy m=2 thỏa mãn bài toán Đường thẳng (đ) có phương trình: y =m(x-2)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

-xŸ +6x” ~9x+2= m(x~2) œ(x=2)(x” ~ 4x + 1+ m}]=0

Với m>0, (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A,B,C và A là trung điểm BC khi

và chỉ khi phương trình x? -4x+14+m=0 (*) có 2 nghiệm phân biệt xq,x;

m>0

khác 2 đồng thời m>0 + A=3-m>0<>0<m<3

mz3

Với 0<m<3 thì (d) cất (C) tại 3 điểm phân biệt A(2;0),

B(2-3~m;~m/3-m], C|2+ v3-m;mV3-m]

BB'+CC B'

Theo bài toán, Sppic'c = C=8 œ|mv3-m|=2, bình phương 2 vế

rồi rút gọn ta được mỶ ~3m?+4=0©>(m+1)(m~2)” =0 ©m=-1 hoặc m=2 Đối chiếu điều kiện 0< m <3, suy ra m=2 thỏa mãn đề bài

Ví dụ 3 1 2x+1

Tìm tọa độ M,N để đường thẳng (d):y=x+m cắt đồ thị y= tại 2 điểm phân biệt M,N sao cho Syn =4( 1I là giao điểm 2 tiệm cận )

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc tọa dé O cat dd thi (C) y 2

x

tại 4 điểm phân biệt là 4 đỉnh của 1 hình chữ nhật có diện tích bằng =

1

Loi giai

=x+m «>x”+(m~3)x-m~1=0,

Phương trình hồnh độ giao điểm: 2% =

X—

x#1 (*)

Vì phương trình (*) có A= m°~2m+13>0,Vme' nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt, tức đường thẳng đã cho cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt

M,N voi VmeR

Gọi M(x;;x; +m) và N(x;;x; + m) là tọa độ cần tìm

Trang 19

Lại có: MN = vj(X¿ ~x,) +(x) +m-—x, -m) = (xp +x, 7 4x22,

Hay MN= 2(m? -2m+13]

(d): x-y+m=0 =d[I Ad) |= nd

Khi đó: (**) © [2 mĩ ~2m +13] = =8, bình phương 2 vế rồi rút gọn ta

được: (m~1)” +12(m -1)”~64=0, đặt t=(m~ 1)” >0,

ta được t?+12t~64=0 =t=4 tức (m-1)ˆ=4e> m=~1 hoặc m=3

* Với m=~1 thì phương trình (*) trở thành: x? 4x =0<>x=0 hodc x=4 =M(0;-1),N(4;3) hoặc ngược lại là toa độ cần tìm

*- Với m=3 thì phương trỡnh (*) tr thnh: x~4=0ôâ>x=-2 hoặc x=2 =M(-2;1),N(2;5) hoặc ngược lại là tọa độ cần tìm

Vậy, M(0;-1),N(4;3) hoặc M(-2;1),N(2;5) hoặc ngược lại là tọa độ cần tìm

Đường thẳng (d) qua O có dạng: y=kx, y=mx ( k,m đều khác 0 và k zm) Gọi A,B là giao điểm của (d) và (C) thì tọa độ A,B là nghiệm của hệ:

2 [2.2 y x & k

y =kx y =kx

Để A,B tồn tại thì k>0, wr a a] - 28K «| of 2sv Tương tự m >0, ta có: NKHnG m) M (Am

Vì O là tâm đối xứng của (C) nên ABMN là hình bình hành Do đó ABMN là hình chữ nhật có điện tích bằng si khi và chỉ khi

OA =0M mk =1 k=3 wel

=> © hoa 3

AM.AN=Š^ k+m=1P m=t * 3

3 3 3 m=3

Trang 20

Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh

Bài tập tự luyện:

1 Cho hàm số y = = có đồ thị là (C) Tìm tất cả các giá trị tham số me X—

để đường thẳng (d): y=x+m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao

cho OA? +O0B? = nh

ae ` 2

Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C): 5 +

X —

<> g(x) = 2x? +(2m-3)x—2(m+1)=0, xz1

A„ =4m?+4m+25>0

Vi 5 vmeR nên (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt với g(1)=3+0

VmeR

Goi A(x,;x; +m), B(x2;x2 +m) 1a toa độ giao điểm của (d) và (C)

2m-3 Theo định lý Vi-ét, ta có Xị +x; =— , X;.X; =-(m+1) Ta cé: OA? +OB* = xi +(x; + m)” +x5 +(x, +m) = 2(x, +X, Ỷ ~4X;.X; +2m(Xị +x;)+ 2m” 2 = 4=) +4(m+ 1)+2m| -#=—È]vam” =*(4m? +2m +17] 2 2 2 7 7

Gia thiét: OA? +OB* = = c© 2(Am” +2m+ 17) = =

2m? +m~10=0 cm = ~Š hoặc m=2

2 2} v `

Vậy m=== hoặc m= 2 là giá trị cần tìm

2 Cho hàm số y =xÝ~2(m+1)x”+2m+1 có đồ thị là (Cạ) Tìm tất cả các giá trị tham số me để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

A,B,C,D lần lượt có hồnh độ x,X;,X;,Xạ (Xị <X¿ <X;s <x¿) sao cho tam giác ACK có diện tích bằng 4, biết K(3;-2)

x! ~2(m+1)x2+2m+1=0 (1) Đặt t=x” (t>0),

phương trình (1) trở thành t?~2(m+1)t+2m+1=0 (2)

Trang 21

A'=(m+1)”—(2m +1)

hai nghiệm phân biệt t>0 4S=2(m+1)>0 emz0 và m>-5

P=2m+1>0

fe 1 ` `" 7 ` ~ ` a A an ,

Với _ mz0 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ theo thứ tự —Jtyi-vtgivte ity với tị >tạ

Theo giả thiết Sạc = SAC(K;AC) (3) với d(K;AC) =|yg| Khi đó (3)<© tạ + tạ =4©ti +tz+2/t¡t; =16

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình (2), ta được:

m-720

2(m+1)+2V2m+1=16< V2m+1=7-m =| =m=4

mỂ ~16m+48=0

Tìm tham số m sao cho đồ thị

(m+1)x+m-35

C): y=x?+3x? va (H_,): y= m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt x+1

Phương trình hồnh độ giao điểm (C) và (H„) là:

1 -35

x? 43x? _(m+‡1)xtm-35 3 43x24 20 = m +1 (*)

x+1 x+1

(C) va (H,,) cat nhau tai 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có

2 nghiệm phân biệt khác —1 khi đó f(x)}=m+1 có 2 giao điểm

Xét ham sé: f(x) =x? +3x? +22 tren R\{-1} x+1 36 3 (x+1)* -(x+1)? -12 (x41 (x41 Và f'(x)=0< x=-3 hoặc x=1 Ta có: f'(x) =3(x? + 2x)-

lim f(x)=-o, lim f(x)=+0, lim f{x)=-œ, lim f(x)=+0 Jim f(9)=—e tim f(x), im fặ)==s, im rộ)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra m<-19 hodc m>21

Cho ham sé y= 11% có đồ thị là (C) Tìm tham số m để đường thẳng d„:

1-2x

Trang 22

Gấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh Hướng dẫn giải d[1dm]= poe AB=\/2(x2 -x,)° Say = 1= 16m' + 32m + 12m = 4m =6 =0 m =2

5 Tìm m để đường thẳng d: y=x+m+2 cất đồ thị (C„}: y=xŸ +3x” +mx—1 tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho BC=4, xạ =1

Phương trình hồnh độ giao điểm (x- 1)(x? +4x+m +3] =0 Với -8zm<1 thì d cắt (C„) tại 3 điểm phân biệt

BC? =2(xị + xạ)” -8x¡x;¿ =8(1-m), BC=4==m=-1

6 Tìm m để đường thẳng d: y=x-m cắt đồ thị (Cm): y=xỶ+3x”+mx~3 tại 3 điểm phân biệt x,x;ạ,xạ sao cho biểu thức T= a(x] +x5 + x3) + 3xjx}x3 - -5 dat giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải Phương trình hồnh dé giao diém cua d va (C,,):

(x+1)(x” +2x+m~3]=0, với m<4 thì T=3m”~22m + 44

=3Ìm ~My " minT= +! khi m=+!

3 3 3 3 3

7 Tìm m để đường thẳng d: y=mx~1 cắt đồ thị (Cm): y=2x—3x+m tại 3

điểm phân biệt A(1;y„), B,C sao cho M(2;2m~1) nằm trong đoạn BC và MB=2MC

Phương trình hồnh độ giao điểm của d và (Cm): (x— 1)(2x? +2x-m~ -1)= 0 Với -Š<mz3 thì d cất (Cm) tại 3 điểm phân biệt Do MB=2MC và M nằm trong đoạn BC =MB=-2MC =m=55

8 Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(1;0) có hệ số góc m cắt đồ thị (C):

x+2

x-1

AN+2AM =0 và XM <XN-

Trang 23

(đ): y =m(x~1) Phương trình hồnh độ giao điểm của (đ) và (C):

mx* -(2m+1)x+m=0, x#1 (1)

Theo bài tốn, ta có phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x;,x;ạ thỏa man X;<1<xạ=m>0 Giả sử Xu =XỊ, XN =Xa

Lại có: Xu +2Xu =3=m=2

9 Tìm mz0 để đường thẳng y=-x+m cắt đồ thi (C,,) cla ham sé: y " -(m-2)xf +3(2m-3)x+m tại 3 điểm phân biệt A(0;m), B, € đồng thời OA là đường phân giác trong của BOC trong ABOC

Hướng dẫn giải B(xg;—xpg +m), C{xc;-xc +m)

Vì OA là đường phân giác trong của BOC trong ABOC nén AC _OC „2 _ \X€ + (xc— m) xg—m

AB OB [> [2 +( (xg- Xp

©2Xg.Xc " Sá )<65smẺ- ~14m+10=0

10 Tìm m để hàm số: y =x” -(2m+3)x” +[2m? —m +9)x~2m” +3m-~7 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, trong đó có 2 điểm có hồnh độ lớn hơn 1 và khoảng cách giữa 2 điểm này là lớn nhất

(x- 1)|x *_2(m+1)x+2m? -3m+7]=0

Theo bai todn, phuwong trinh x*-2(m+1)x+2m*-3m+7=0 cé 2 nghiém phân biệt x,,xz thoa man 1<x, <x, >2<m<3

2 5\

Khi đó BCỄ =(x; —Xị) =1-4[m-Ã] <1

2x tai 2 diém phan

11 Tim m để đường thẳng (d): y=x+m cất đồ thị (C): y =

X—

biệt M,N thỏa mãn: AM =4AN ,trong đó A là giao điểm của (d) với trục hoành Hướng dẫn giải

Trang 24

Gấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh % Chu dé 5: Điểm thuộc đị thị

Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị (C): y =f(x), biết M thỏa mãn tính chất

T cho trước

Ví dụ 1 Tìm trên đồ thị (C): y =xỶ~3x”+1, 2 điểm M, N sao cho MN=442 và tiếp tuyến tại đó song song với nhau

Lời giải

Giả sử MÍm,mŠ -3mẺ + 1), NÍn,nỶ -3n? +1) với mzn là tọa độ thỏa đề bài Vì tiếp tuyến tại M,N song song với nhau nên y'(m)= y'{n)

hay 3m” ~6m =3n“—-6n «>(m-n)(m+n-2)=0 =n=2-m, mz1

2

Hơn nữa MNỄ =(m-nŸ +(m? —3m* +1-n? +3n? -1} , tút gọn ta được

2 6 4 2

MN“ =4(m-1)”-24(m-1) +40(m-1}“, do n=2-m

Mà MN=4¥V2 suy ra 4t-24t?+40t=32 với t=(m-1) ,t>0, giải ra được

t=4, từ đây có (m;n)=(3;-1) hoặc (-1; 3) Vậy, điểm cần tìm M(3;-1), N(-1;3)

Ví dụ 2 Tìm tọa độ 2 điểm B, D sao cho ABCD là hình vng, biết rằng D là điểm nằm trên đường thẳng d: x+y-2=0; I(1;9) là trung điểm AC; A và

13 1; 7 7 C là 2 điểm nằm trên đồ thị y =—x”-—x“——x+— 3 2 3 2 Lời giải

Goi A ajtad —ta2_-7a42 ,C oid 1242

3 2 3 2 3 2 3 2

là 2 tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số

Chi,

2

[ là trung điểm AC: [ie ~a”-_a“ˆ~~a+~ |+| cÌ cˆ c+— 127 ;] 13 127 +7

3 2 3 2) (3 232)

a+c=2

= s(a+e)|(a+sŸ 3a | | (a +c) -2ac]-Z(a +c)-11=0

c© a+c=2 S a=-3 ha a=5 ~ A(-3;-3) h

Trang 25

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt TH1: A(-3;-3) va C(5;21)

ae và De(d)= D(t;2-t)

Ta có: AD=(3+t;5—t), CD=(-5+t;-19-t) DA.DC=0

ABCPD là hình vuông khi và chỉ khi

DA =DC

t=-il v t=5 111

> =>t=-11 tirc D(-11;13)

(3+t} +(s—t} =(t—5} +(-19-tŸ )

Vì AB=DC =(16;8)= B(13;5)

Vay, A(-3;-3), B(13;5), C(5;21), D(—11;13) là tọa độ cần tìm TH2: A(5;21) và C(-3;-3) tương tự

Ví dụ 3 Cho hàm số y = x” —5x” + 10x—8, có đồ thị (C)

1 Goi A là điểm thuộc (C), C là điểm thuộc đường thẳng d: x-7y+25=0 và

(5 là trung điểm AC Tìm tọa độ điểm B có hồnh độ âm sao cho tam giác OAB vuông cân tại A,

2 Gọi E,F theo thứ tự là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OABC với trục hoành, trục tung (E,F khác O) Tìm tọa độ điểm M trên đường tròn sao cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất

Lời giải 1 A[aial 5a?” +10a -B}e (C), C(-25+7c;c) e(d)

a+(-25+7c) 1

17 2 2

I] -~;— | lat 2 | a trung diem diém AC > (a°-5a? +10a~8) +c 7

` 82 24-a a IBBuik => > (a~3)(7a? ~14a+27}=0 c=3=>C(-4;3) ABOA =0

Gọi BÍXa;Yg}), Xgạ <0 Tam giác OAB vuông cân tai A khi (xuye), x {Aeon

Trang 26

Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh ] 25

2

1

2 Đường tròn ngoại tiếp OABC: [x43] v4 Từ giả thiết suy ra E(-1;0), F(0;7)

Dễ thấy, EF là đường kính đường tròn, nên tam giác MEF vuông tại M

ME? +MF” _ EF” _ 25

4 20

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác MEF vuông cân tại M, khi đó tọa độ M

2 2_ Hồng (x+1} +yˆ=25 an thoa he: 2 2 > [x2] -[y-3] _25 M(3;3) 2 2 2 Bài tập tự luyện:

1 Tìm các điểm M trên đồ thị (C): y =xŸ+2x” =1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vng góc với đường thẳng IM, với (0.22)

Tiếp tuyến d tại M(xạ;yg) thuộc (C) có hệ số góc là yo = 4x9 + 4Xq, phương

trình có dạng: y =|# +4xo ](x~Xạ)+ Xổ +2x2-1 và có vectơ pháp tuyến n= (4x9 + 4xq;-1),

Duong thang AM cé vecto chi phuong AM =| xox + 2x? -3)

Đường thẳng d và AM vuông góc nhau khi n và AM cùng phương với nhau tức

2

(4x) -®0 | sổ + 2xé 2 =0 x, =0 hoac 4( x9 +1) (x +1] -Š i0 (*) Đặt t=x2+1>1, phương trình (*) trở thành nẮ cỗ: Jeic0, phương trình này có nghiệm t=2 thỏa điều kiện t>1

Với t=2 tức xã =1©>xạ =~1 hoặc xạ =1

Vậy, có 3 điểm cần tìm M(-1;2), M(0;-1), M(1;2)

2 Tìm tọa độ 2 điểm B, C thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị y=2 sao cho x

tam giác ABC vuông cân tại A(1;~2)

Xét brệ , c|sẽ], b<0<c là 2 điểm thuộc đồ thị ya2

Trang 27

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, € lên đường thẳng y =-2, khi đó

H(b;-2) va K(c,-2)

Dé thay BAH+CAK =CAK+ACK=90° => BAH=ACK suy ra AAHB=ACKA

AH =CK cạnh huyền, góc nhọn ) => ha (ce yén, g on ) ae y 232 (1-0) =(2+2) be =3c+2 v be=-c-2 (1) 2 2+“|=|ce—1 2 2+ 2|=|e 1| b | | (2) b

* Với be=3c+2—> b= 20% thay vao (2) ta duoc gc+á =|c-1|

c 3c+2

Suy ra c7+3c+2=0 hoặc 3c7+7c+2=0 không thỏa c>0 _* Với bc=-c-2=b==$=Z thay vào (2) ta được =—aI=k-1

C +

Suy ra c+c6=0ôââ c=2 hoặc c=-3 ( không thỏa c>0 ) Vậy, B(~2;—1), C(2;1) hoặc ngược lại là tọa độ cần tìm

= x11 sao cho khoảng

‹ Tìm các điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của (C): y x+ cách giữa 2 điểm đó ngắn nhất

Gọi faz), a(bi2-— | với a<—1, b>~1 là 2 điểm lần lượt thuộc

a+1 b+1

nhánh phải và nhánh trái của đồ thị

Đặtu=-1-a>0, v=1+b>0

AB? =(u+v)ˆ + Ge 1) =(u+vŸ " + er | > top + oo? | Hay AB? >4uv+->16

uv

u=v uU=v

Đẳng thức xảy ra khi : 4 “| =u=v=l

1 Vậy, A(0;1), B(-2;3) thì minAB=4

Tim trén dé thị (C) : y= -x?+3x có bao nhiêu bộ bốn điểm A,B,C,D sao cho

tứ giác ABCD là hình vuông tâm O(0;0)

Trang 28

Giả sử A[a;-a" +3a],B[b;-bŸ +3b) với azbvà a,b>0

OALOB ÍOAOB=

ABCD là hình vng tâm O(0;0)© —„J0A.0B=0

OA=0B |OA=0B

ab +ab(a” -3)(b? -3] =0

2

a2 +(a# ~3a }” = bể + (bổ ~3b)

a’b? -3(a? +b?) + 10=0 (1) Biến đổi và rút gọn (*), ta được : 4| a+b=0

2

(a?+b2-3} -a”b°+1=0 (2)

Trường hợp 1: a+b=0 thay vào (1), ta được : a ~6a” +10=0 (3) Rõ ràng

phương trình (3) khơng có nghiệm thực với VaeR Trường hợp 2: Đặt u=a? +bŸ,v=a.bỂ

v-3u+10=0 v=3u-10

2 1,

(u-3-v+1=0_ |u-9u+20=0 Giải hệ, ta được u =4,v=2 hoặc u=v=5

* u=4 a bin a=2- v2 | a= 2+

v=2 2b bo ee

¬"- a AS

i 5 „ es CỬ chế ¬-=-

Vì vai trị A,B như nhau nên trên ( có hai bộ bốn điểm A,B,C,D sao cho

ABCD là hình vng có tâm woo)

Khi đó hệ (1), (2) trở thành : |

5 Tìm trên đồ thị (C) của hàm số y =xỶ +3x—2 cặp điểm đối xứng nhau qua gốc

tọa độ I(2;18)

Xị+X¿ =4

Gọi M(x;y),N(x;;y;) là tọa độ cần tìm Từ giả thiết, ta suy ra: | ue

Yi +y2 =36

Trang 29

6 Tìm trên đường thẳng y=3x-2 điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = xỶ -3x” +2 là nhỏ nhất

Hướng dẫn giải ˆ

Giả sử điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu là B(2;-2) Ta thấy, A,B nằm về 2 phía đường thẳng y=3x-2

Để MA+MB nhỏ nhất khi 3 điểm A,M,B thẳng hàng và M nằm trong AB, tức tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng AB:y=-2x+2 và đường

42 than g y= 3x-2 =>=M| —;— (3 |

7 Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị (C) : y= “X~1 sao cho khoảng cách từ điểm

x+1

310 I(—1;2) tới tiếp tuyến tại M của đồ thị (C) bằng =

Gọi M0 2- 7 là tọa độ điểm cần tìm, tiếp tuyến tại M có phương trình: Xg+

3 3

y~2+——=——z(x-xụ) hay 3(x—xạ)~(xạ +1} (y~2)~3(xạ +1)=0 (t)

Xo + 1 (Xp +1) [3(-1-x)-3(x +1} 6x +1] J9+(xạ +1)! \9+(xạ +1} = a5 ©> v10 +1|= ¥9+(Xo +1)* = t? -10t+9=0 với t=(xạ+1Ÿ >0 ©t=l1 hoặc t=9

Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến (t) là d=

% Cha dé 4: Tinh don điệu của hàm số

1 Diéu kién can dé ham sé don diéu:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng |

se Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f'{x)>0 với mọi xel;

e Néu ham số f nghịch biến trên khoảng | thi f'{x)<0 với mọi xe]

2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn, f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I (tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I) Khi đó:

Trang 30

Gấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh

e Nếu f{x)<0 với mọi xel thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I; e Nếu f{x)=0 với mọi xel thì hàm số f không đổi trên khoảng I

2 2

Ví dụ 1 Tìm m để hàm số: y = oes đồng biến trén khoang (1;+0) Xx+

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên D= x\{-3) , do đó nó được xác định trên khoảng (1;+>) x°+6x+9- mỂ (x+3Ÿ

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1;+>) khi và chỉ khi y'>0 với

1

Ta có: y'=

Vxe(1;+z) tức là x? +6x+9-m* 20, Vxe(1;+>}) (vì (x+3) >0, Vx>1) hay (x +3) >m?* voi Vxe(1;+œ)

Xét g(x) =(x+3)° trên khoảng (1;+) và g'(x)=2(x+3) với x>1 =x+3>4 tức g'{x)>8>0 với Vxe(1;+=)

g{x) đồng biến trên khoảng (1;+œ) và lim g(x)=16, lim g(x)=+œ

x

x1 —>+œ

xe

xe"

Chú ý 2: Đặt f(x)=ax”+bx+c (a0)

« f(x)=0 có hai nghiệm xị,x; thỏa mãn : xị <œ<x; Đặt t=x-œ, khi đó

©e f(x)=0có hai nghiệm xị,x; thỏa mãn B<xy<x; Đặt t=x-B, khi đó g(t)=f(t+B) Bài tốn trở thành g(t)=0 có hai nghiệm cùng dương nghĩa là

0<tj <ty @sA>0, S>0, P>0

Trang 31

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt - xị <Œ<X¿ ©(xị =0)(Xạ ~œ)<0© xịx; —0(Xị + x;ạ)+œˆ <0 A>0O A>0 <X <X; âđ4X +X;ạ >20 ; Xị <Xạ <Œ€4Xị +Xạ <20 (x; -a)(x2-a)>0 (xị—œ)(xạ—œ)>0 Œ<Xị <X¿<œSA>0, 2œ<xị +X;¿ <2ÿ, (xị -œ)(x; —œ) >0, (x, -B)(%; -B) >0 O Mo réng:

Nhận thay, voi -4<m<4 thi ham số đã cho luôn đồng biến trên khoảng (1+) Nghĩa là hàm số cũng đồng biến bất kể khoảng hoặc nửa khoảng hay đoạn nào thuộc (1;+œ) Như vậy, hàm số hiển nhiên đồng biến (đơn điệu tăng) bất kì trên khoảng (1;2) hoặc đoạn [3;5]

x°+5x+m2+6 „ Qua đó, bài tốn có thể yêu cầu: “Tìm m để hàm số: y =———s đồng

x+

biến trên đoạn [2;3]” Để hiểu kỹ hơn vấn đề này, bạn đọc làm bài tốn sau: “Tìm điều kiện tham số m sao cho hàm số y =4mxŸ — 6x? +(2m~1)x +1 tăng

trên khoảng (0;2) “

Ví dụ 2 Tìm m để hàm số: y = xÌ -mx” +(m +36)x—5 nghịch biến trên khoảng

có độ dài bằng 42 Lời giải Hàm số đã cho xác định trên R Ta có: y'=3x7 -2mx+m+36 và A'=mˆ~3m 108

Dễ thấy a.„ = 3> 0, do đó hàm số đã cho không nghịch biến trên R

Nếu m<-9 hoặc m>12 tức A'>0 thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt xị; xạ

Lập bảng xét dấu, ta thấy y'<0 với xe(x;;x;) suy ra hàm số nghịch biến với xe[xi;¿]-

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 42 khi |x, -x;|=4/2 tức

¥m* -3m-108 3

2 = 4/2 , binh phuong hai vé va rat gon ta duoc phurong trinh:

m? —3m-180=0<> m=-12 hodc m=15 ( thỏa điều kién )

Vậy, với m=-—12 hoặc m=15 yêu cầu bài toán được thỏa mãn

Trang 32

Bài tập tự luyện:

1 Tìm a để hàm số y = +ax? +4x+3 đồng biến trên R Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên R Ta có y'=xÊ+2ax+4 và có A'=a*-4

Cách 1: Hàm số đã cho đồng biến trên R >y'>0, VxeR nghĩa là ta luôn có:

A'=a?~4<0 &-2<a<2

Cách 2 : Tham khảo cách giải sau, bạn đọc đúc kết gì qua 2 lời giải Bảng xét dấu A'

a | =œ ~2 2 +00

A | + 0 - 0 +

+ Nếu -2<a<2 thì y'>0 với mọi xeïR Hàm số y đồng biến trên R

+ Nếu a=2 thì y'=(x+2) , ta có: y'=0@x=-2,y'>0,x#-2.Hamsé y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (-œ;-2]và [—2;+) nên hàm số y đồng biến trên

+ Tương tự nếu a=-2 Hàm số y đồng biến trên R

+ Nếu a<-2 hoặc a>2 thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt xị,x; Giả sử xị <Xạ Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x;x;),đồng biến trên mỗi khoảng (-s;xị) và (x;;+œ) Do đó a<—2 hoặc a >2 không thoả mãn yêu cầu bài toán Vậy hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi -2<a<2

Chú ý:

1 Nếu y'=ax°+bx+c thì:

a=b=0 a=b=0

c>0 c<0

* y'>0, VxeRS ; *y'<0, VxeR<>

a>0 a<0

A<0 A<0

2 Hàm đồng biến trên R thì nó phải xác định trên R

2 Tìm mđể hàm số: y=3x" +(2m-1)x°+(m+1)x+2 nghich biến trên khoảng (0;1 )

Hàm số đã cho xác định trên R

Ta có: y'=x”+2(2m—1)x+m+1

Trang 33

—x? +2x

mm >m, vxe(0;1)

2

Xét ham sé g(x) = liên tục trên khoảng (0;1)

X+

_ -4x” —2x+2 Ta có: g'(x)= (+1)

vxe(0;1): g(x)=0 x= a 5]-

Hon nira lim g(x)=0, lim g(x)= 1

x07 x17 5

Dựa vào bảng biến thiên suy ra m<0

mle ple

% Chu dé 5: Cực trị của hàm số

1 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm xạ Khi đó , nếu f có đạo hàm tại

điểm xạ thì f'(xạ) =0

2 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm xạ và có đạo

hàm trên các khoảng (a;xạ) và (xạ;b) Khi đó :

f'{xe)<0,xc{a;x

* Néu (xo) (aixo) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xạ f'(xạ)>0,x e(xạ;b)

Nói một cách khác, nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm xạ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xạ

f'{xs}>0,xa;x

° xe, [PƠ4)>9x< (s3)

f'{xạ)<0,xc(xạ;b}

Nói một cách khác , nếu f'{x) đối dấu từ dương sang âm khi x qua điểm xạ thì

thì hàm số đạt cực đại tại điểm xạ

hàm số đạt cực đại tại điểm xạ

Định lý : Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm

xXọ,f'{xạ)= 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm Xọ

*_ Nếu f"{xạ)<0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xạ

* Nếu f"{xạ)>0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xạ

x°+mx+1

Ví dụ 1 Tìm tham số melR để hàm số : y=——————— đạt cực tiểu tại x=1 x+m

Trang 34

Gấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thí mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh

Lời giải

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng (—œ;—m)tJ(—m;+œ) '

1 `

Ta có: y`=1~————z Và y”=————-

(x+m) (x+m)

Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng xác định, nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1 khi thỏa mãn:

1 ma 1

Diéu kién can: y'(1)=0 1-——_,, =0@ m=0; m=2 (1+m)

Diéu kién du:

m=0>y"(1)=1>0=>x=1 la diém cuc tiéu

m=2=> y"(1)=-1<0=x=1 la diém ewe dai Vậy m=0 thỏa yêu cầu bài toán

Nhận xét: Để ý định lý 3 chỉ phát biểu khi y"(1) #0

y{1)=0

thì lời giải chưa chính y"(1)>0 5

Nếu trình bày hàm số đạt cực tiểu tại x=1 =|

y'(1)=0

y"(1)>0 ta can khang dinh y"(1)>0 xác Như vậy, để áp dụng được hệ |

Chú ý:

* Hàm số f (xác định trên D) có cực trị © 3xạ eD thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Tai dao ham cua hàm số tại xạ phải triệt tiêu hoặc hàm số khơng có đạo hàm {Qi Xo

ii) f'(x) phdi déi ddu qua điểm xạ hoặc f”(xạ) z 0

* Nếu f{x) là một tam thức bậc hai hoặc triệt tiêu và cùng dấu với một tam thức bậc hai thì hàm có cực trị phương trình f'(x) có hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định

2

Ị 1¬ £ a% tht ham of m ,

Ví dụ 2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y =x! ¢mx! +6 -— có 3 cực trị AceOy, B, C sao cho:

1 Tam giác ABC vuông tại A 2 Diện tích tam giác ABC bằng 32 2, Diện tích tứ giác OABC bằng 52 4.Tứ giác ABOC là hình bình hành

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên R Ta có: y'= 2x(2x? + m)

Trang 35

Nếu m<0 thì 2x2+m=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, do đó hàm số đã

cho có 3 cực trị Vậy, m<0 hàm số đã cho có 3 cực trị 2 2 2 Al 0;6-™|, Bj —/-™s6-3™ [và cll—,ø- 3m L 2 2” 4 2 4 _ 2 _ 2 Cách 1: AB=| - j=, 2’ 4 va AC= 2' 4 -

Tam giác ABC vuông tại A khi AB L AC hay AB.AC =0

02L se aera e

phương trình này có nghiệm m= -2( thỏa m<0) hoặc m=0 không thỏa Vậy, m=~2 thỏa đề bài

- Cách 2: Gọi | la trung điểm BC; do tam giác ABC vuông cân tai A

2 4 3

nên ar= BE tie M = | hay HA

2 2 16 2 21 8

2

Diện tích tam giác ABC bằng 32 khi và chỉ khi =~=3 hay aa (*) Dat u= > = m=-2u?, khi dé phương trình (*) tro thanh

uw =32=2? >u=2 ttc m =-2(2Ÿ =~8 thỏa mãn 2

Ta có:OA = 6-— và BC=2 -C Diện tích tứ giác OABC bằng 52 khi và chỉ

m2 2,|-— = 104 2 2 OA.BC khi —— 2 tức |õ———

Cách 1: Bình phương 2 vế và rút gọn ta được phương trình:

mŠ -24mŠ + 144m +21632=0

Trang 36

Gấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn — Nguyễn Phú Khánh

Đặt th, t>0, khi đó (*) trở thành l2~4t'||t=104 (**)

TH: 0<t <Ÿ3 =›12—4t" >0, phương trình (**) trở thành (12~ 4t]t = 104

Dễ dàng chứng minh được

f(t)=(12-4tf]+~104<0 với mọi te(0;Ÿ3 |

TH2: t >Ÿ3 —=12- 4t! <0, phương trình (**) trở thành (4¢* -12)+ =104

Xét hàm số f(t)=(4tŸ ~12]t+~104= 4tŸ =12t~—104 với t > Ÿ3, ta có f'(t)=200* -12=4(st* -3)

Vi t>4 nén 5t*-3>12=f'(t)>0, moi t>¥3, suy ra f(t) ld hàm số đồng

bién trén khoang (Ÿ3;+>) ;hơnnữa lim f(t)<0, lim f(t)>0 = đồ thị

x¬()' x->+œ

hàm số f(t) cắt trục hoành tại 1 giao điểm te(#3;+s) và f(2)=0, do đó phương trình (+ -12).t =104 có nghiệm duy nhất t=2 tức > =2 hay

m=-8

4 Tứ giác ABOC là hình bình hanh khi va chi khi BA=OC (*)

2 — 2

Ta có: BA= he và OC= _m, 63m

2 4 V2 4

mỂ _„ 3mẺ

4 4

Ví dụ 3 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y=xŸ +(m+1)x? -4mx có

Khi đó (*) «> mˆ=6=m=-6 thỏa m<0

cực đại, cực tiểu sao cho trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm này thuộc đường thẳng 2x-3y =0 Lời giải Hàm số đã cho xác định trên R Ta có: y'=~x” +2(m+1)x- 4m có Ay:=(m -1/

Trang 37

4 4 3 2) 4 cư ca

Goi A 24m ,„ mm —4m“ | là 2 điểm cực trị và

23 2 2l ^ eo

] m+1;m ~2m _m+r là tọa độ trung điểm của AB

Vậy, me{-4;—1;0} là giá trị cần tìm Bài tập tự luyện:

1 Tìm m để hàm số y =(m +2)x3 +3x°+mx-5 cé cuc đại, cực tiểu có hồnh độ là các số dương

Hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu có hồnh độ là các số đương khi và chỉ khi phương trình: y' =3(m+2)x? +6x+m=0 có 2 nghiệm dương phân

a=(m+2)z0 A'=9-3m(m+2)>0

biệt, nghĩa là ta ln có: +p_~ > 0)

3(m +2) s=_— 50 m+2 A'=-m?~2m+3>0 ~3<m<1 o.m<0 =;m<0 o-3<m<-2 m+2<0 m<-2

Vậy, -3< m<-~2 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài

2 Tìm m để y =-xf +4mx2 -4m có 3 cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác nhận điểm

31

Ho: làm trực tam

y'=—4x(x? -2m)

m<0=y'=0 có 1 nghiệm, nên hàm số có 1 cực trị

m>0>y'=0 có 3 nghiệm phân biệt và đối dấu qua mỗi nghiệm đó, nên hàm số có 3 cực trị A(0;-2m), B(-V2m;4m? ~4m), c{V2m;4m? -4m)

Vì tam giác ABC cân tại A và B,C đối xứng nhau qua Oy LBC

AH “———

H là trực tâm tam giác ABC khi = BH.AC=0 (*)

Trang 38

Gấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi môn Toán - Nguyễn Phú Khánh

Ta có: BH = am; 4m? +4m+ 32), AC =(J2m;4m")

phương trình có nghiệm m=2 thỏa m>0

3 Giả sử đồthị y= x4 - 2(m? +1)? +3 c63 cuctri A, B, C.Tim m để đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1

Hàm số đã cho xác định trên & Ta có: y' = 4x(x? ~m? -1]

Dễ thấy, Vme thì y'=0 có 3 nghiệm x=0 hoặc x=- m?+1 hoặc x=WYm^+1 nên đồ thị hàm số có 3 cực trị

Giả sử A(0;3), B|- m? +1,3-(m? +1] `} cm 1;3-(m? +1) "|

4

Ta có: AB=AC= (m?+1) +m2+1,BC=2vm? +1, I là trung điểm BC

2 \2

= Al=(m +1)

Diện tích tam giác ABC: 2BCAI=-(AB+ AC+BC)r với r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC

m”+1 ; m? +1

r=1 0

nan ri

m“+1] +m“+1+Vmˆ+

Đặt t=m +1

Phương trình (*) viết lại: t?=1+v1+tỶ

4 Giả sử đồ thị y=x!-2mx2+m có 3 cực trị A, B, C.Tìm m để đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1

m>0 thì đồ thị hàm số có 3 cực trị

Trang 39

5 Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị (C,,) sta ham sé

y =-x° +3x? +3m(m+2)x+1 có 2 điểm cực tri A,B ma d6 dai AB =2V5 Hướng dẫn giải

Ta có: y'=-3x” +6x+3m(m +2)

Đồ thị (Cmạ) của hàm số có 2 điểm cực trị A,B khi và chỉ khi y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x¡,x; « A'=9(m+1}” >0 cm #~1

Ta thay, y=2(x~1)y* 2(m+1)”x+(m+1) và đo y'(x¡)=y'(x;¿)=0 nên suy ra y(x¡)=2(m+ 1 xị +(m+ 1, y(x;)=2(m+1) xạ +(m+1} Ta có: A|xu2(m+1Ÿ XỊ +(m+1ŸÌ, B(x;;2(m+ 1)” Xa +(m+1)] - Suyra AB= \(x, ~x,)° +4(m+1) (x; -x,) = J6 —XỊ P| 4(m + 1)" + 1} = J6 +x,)° —4X).XỊ Ja(m + 1)* + 1} = l4 +4m(m+2) ]| 4(m + 1)" HỊ = 2|(m+1ỷ | 4(m+1)" + 1] AB=2v5 © (m+1/[4(m+1)f +1]=J5 cs(m+1)ˆ[4(m+1)°+1]=5, Đặt t=(m+1)ˆ>0= tÍ4t? +1)=5 © 4 +t—5=0 S(t~9|(@+19+1Ì=0©t=1

Với t=1=>(m+1) =1em=-2 hoặc m =0 thỏa đề bài

6 Cho hàm số: y=x”+3x?-(m+1)x+2 có đồ thị là (Cạ„) Tìm m để hàm số có

cực đại, cực tiểu đồng thời đường thẳng nối cực đại, cực tiểu của hàm số tạo

với đường thẳng y=2x+3 một góc 45

Hướng dẫn giải m>-4 thì đồ thị của hàm số có cực đại, cực tiểu

Khi đó y= sứ! 1)y'~2(m+4)x+2(m+7) Do các hoành độ cực trị là nghiệm của y'=0 nên các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn đường thẳng

y=-2(m+4)x+2(m+7)

3 3

Trang 40

Chuyên đề II

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trong chủ đề lượng giác, tác giả không trình bày những dạng tốn giảm tải của chương trình như: “ phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức để giải, chuyển đổi phương trình về dạng hệ phương trình, bất phương trình lượng giác, hệ phương trình lượng giác, hệ bất phương trình lượng giác ”

Để giỏi phương trình lượng giác, các em cần: 1 Nắm vững các công thức lượng giác;

, Chia phương trình lượng giác ra thành từng loại và rèn luyện từng phần; 3 Giải nhiều bài tập để rút kinh nghiệm N

Dạng 1 Phương trình lượng giác cơ ban 1 cosu =cosv ®u=+v + k2m

u=v+k2n

2 sinu=siny <>) œu=(-1)*v+km u=z-v+k2n

3 tanu = tanv <u=v+ km

Một số trường hợp đặc biệt:

1 * sinx=0<>x=kmn

: TL

* COSX=—1<© x=z+ k2n * sinx=-1ex Tw =— =—— TL 2 T * tanx=lox=—+knz m 4 * cotx=1eax=—+knz T 4 * tanx=-Lox=-7 +kn T * cotx=-lox=—-—+knz * tanXx=0«>x= kĩ 4 1 * cotx=0>x= + km

Ví dụ 1 Giải phương trình: 2sin 2 + 4 +4sinx=1

Loi giai

Định dạng
Số trang	299
Dung lượng	7,58 MB