CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

B, ta chứng minh A − B dương ngược lại, để chứng minh A < B ta chứng minh A − B âm Sau ví dụ: VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 2.1 Chứng minh với x, y ta ln có x2 + y ≥ |xy| Lời giải Xét hiệu x2 + y − |xy|, ta có (|x| + |y|)2 x2 + y − 2|xy| x2 + y − |xy| = = ≥ 2 Dấu ” = ” xảy |x| = |y| Vậy bất đẳng thức Ví dụ 2.2 Chứng minh với x, y ta ln có x4 + y ≥ x3 y + xy Lời giải Xét hiệu x4 + y − (x3 y + xy ), ta có x4 + y − (x3 y + xy ) = = = = (x4 − x3 y) + (y − xy ) x3 (x − y) + y (y − x) (x − y)(x3 − y ) (x − y)2 (x2 + xy + y ) 3y y = (x − y)2 (x + )2 + ≥ Vậy bất đẳng thức Dấu ” = ” xảy x = y Ví dụ 2.3 Chứng minh với a, b ta có a2 + b2 + ≥ ab + a + b Lời giải Xét hiệu S = a2 + b2 + − (ab + a + b) = a2 + b2 + − ab − a − b Ta có 2S = 2a2 + 2b2 + − 2ab − 2a − 2b = (a2 − 2ab + b2 ) + (a2 − 2a + 1) + (b2 − 2b + 1) = (a − b)2 + (a − 1)2 + (b − 1)2 ≥ HO À N G TH A N H TH Ủ Y www.VNMATH.com Chuyên Đề Bất Đẳng Thức   a − b = Do S ≥ 0, dấu ” = ” xảy a − =   b−1=0 Bất đẳng thức chứng minh ⇔ a = b = Ví dụ 2.4 Cho số dương a, b, chứng minh √ √ ab √ ≤ ab √ a+ b √ √ ab √ , ta có Lời giải Xét hiệu ab − √ a+ b √ √ √ √ ab ab 4 √ = ab − √ √ ab − √ a+ b a+ b √ √ √ ab √ √ ( a − ab + b) = √ a+ b √ √ √ ab √ ( a − b)2 = √ a+ b ≥ Vậy bất đẳng thức Dấu ” = ” xảy a = b BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 2.1 CMR với a, b, c, d, e ta có a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) a+b+c a2 + b2 + c2 ≥ 3 Bài tập 2.3 CMR với a, b, c ta ln có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Bài tập 2.2 CMR với a, b, c ta ln có Bài tập 2.4 Cho a, b, c ≥ −1, chứng minh 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) ≥ −abc Hướng dẫn: Chuyển vế, đưa dạng (1 + a)(1 + b)(1 + c) + Bài tập 2.5 Cho a, b, c > a+b+c=1 (a + b + c + 1)2 ≥ 0, (vì a, b, c ≥ −1) Chứng minh b + c ≥ 16abc Bài tập 2.6 Cho a, b ≥ Chứng minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab www.VNMATH.com HO À N G TH A N H TH Ủ Y Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 2.2 www.VNMATH.com Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh BĐT biết BĐT hiển nhiên Sau ví dụ: VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 2.5 Cho số khơng âm a, b, chứng minh a+b √ ≥ ab √ √ √ a+b √ ≥ ab ⇔ a + b − ab ≥ ⇔ a− b Lời giải Ta có Đây bất đẳng thức Từ suy đpcm a b Ví dụ 2.6 Cho a, b > Chứng minh + ≥ b a Lời giải ≥0 a + b2 a2 + b2 − 2ab a b + ≥2⇔ ≥2⇔ ≥0 b a ab ab (a − b)2 ≥ Đúng a, b > ⇔ ab Đẳng thưc xảy ⇐⇒ a = b Ví dụ 2.7 Chứng minh ∀a, b ∈ R ta có: a4 + b4 ≥ a3 b + ab3 Lời giải Ta có a4 + b4 ≥ a3 b + ab3 ⇔(a4 − a3 b) + (b4 − ab3 ) ≥ ⇔a3 (a − b) + b3 (b − a) ≥ ⇔(a − b)(a3 − b3 ) ≥ √ b 2 b) ≥ (luôn đúng) ⇔(a − b) (a + ) + ( 2 Đẳng thức xảy ⇔ a = b Ví dụ 2.8 Cho số thực dương a, b, chứng minh √ √ a b √ + √ ≥ a + b a b Lời giải Bất đẳng thức tương đương với √ √ √ b b+a a √ √ ≥ a+ b ab √ √ √ √ √ ⇔ b b + a a − a b − b a ≥ (do ab > 0) √ √ ⇔ a(a − b) + b(b − a) ≥ √ √ ⇔ ( a − b)(a − b) ≥ www.VNMATH.com HO À N G TH A N H TH Ủ Y www.VNMATH.com Chuyên Đề Bất Đẳng Thức √ √ Bất đẳng thức a − b a − b dấu Vậy BĐT ban đầu Dấu ” = ” xảy a = b Ví dụ 2.9 Chứng minh ab ≥ (a2 − b2 )2 ≥ (a − b)4 Lời giải Ta có bất đẳng thức tương đương với (a − b)2 (a + b)2 − (a − b)4 ≥ ⇔ (a − b)2 [(a + b)2 − (a − b)2 ] ≥ ⇔ 4ab(a − b)2 ≥ Bất đẳng thức cuối ab ≥ 0, bất đẳng thức ban đầu Đẳng thức xảy a = b a = b = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 2.7 Chứng minh ∀a ∈ R∗+ ta có a + ≥2 a Bài tập 2.8 Chứng minh ∀a = ta có |a + | ≥ a Bài tập 2.9 Chứng minh ∀a ta có a2 + ≥ a Bài tập 2.10 Cho số a, b, c, x, y thoả mãn Chứng minh x2 + y ≥ ax + by = c a2 + b2 > c2 a2 + b2 Bài tập 2.11 Chứng minh (a5 + b5 )(a + b) ≥ (a4 + b4 )(a2 + b2 ) với ab > www.VNMATH.com HO À N G TH A N H TH Ủ Y www.VNMATH.com Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 2.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức X ≥ Bất đẳng thức cổ điển x2 ≥ 0, dấu xảy x = Ta nêu hai dạng bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức • Với a, b, ta có: (a − b)2 ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ 2(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 Dấu xảy a = b • Áp dụng bất đẳng thức ba lần cho ba số thực a, b, c, ta có: a2 +b2 +c2 ≥ ab+bc+ca ⇔ (a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca) ⇔ 3(a2 +b2 +c2 ) ≥ (a+b+c)2 Dấu xảy a = b = c VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 2.10 Cho a + b ≥ Chứng minh a a2 + b2 ≥ b a2 + b2 ≥ a + b Lời giải Ta có 2(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 ⇔ a2 + b2 ≥ (a + b)2 a Mà a + b ≥ 2, nên ta suy a2 + b2 ≥ b Từ a2 +b2 ≥ (a + b)2 a+b = (a+b) Mà a+b ≥ 2, nên ta suy a2 +b2 ≥ a+b 2 Ở câu b làm sau: Ta có: a2 + ≥ 2a b2 + ≥ 2b, suy a2 + b2 ≥ a + b + (a + b − 2) ≥ a + b Bình luận Cả hai cách giải câu b sử dụng phương pháp tách theo lượng trội sau: Để chứng minh A ≥ B, làm theo hai cách: C1 Chứng minh A ≥ B + C, chứng minh C ≥ C2 Chứng minh A ≥ BC, (giả sử B > ) chứng minh C ≥ Vẫn sử dụng ý tưởng tách theo lượng trội trên, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.11 Cho a, b, c > a + b + c ≤ Chứng minh √ √ √ √ √ √ a + b + c ≥ ab + bc + ca www.VNMATH.com HO À N G TH A N H TH Ủ Y www.VNMATH.com Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Lời giải Đặt x = chứng minh √ √ √ a, y = b, z = c Ta có x, y, z > x2 + y + z ≤ Ta cần x + y + z ≥ xy + yz + zx Ta có 3(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)2 ⇔ xy + yz + zx ≤ (x + y + z) x+y+z (1) Mặt khác (x + y + z)2 ≤ 3(x2 + y + z ) ≤ 9, ta x+y+z ≤3 (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh www.VNMATH.com HO À N G TH A N H TH Ủ Y www.VNMATH.com Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 2.4 2.4.1 Dùng bất đẳng thức cổ điển để chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức Côsi Dạng tổng quát: Cho a1 , a2 , · · · , an số khơng âm Khi √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 · · · an n • Dấu bất đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an • Trường hợp đặc biệt a1 + a2 √ ≥ a1 a2 dấu xảy ⇐⇒ a1 = a2 √ a1 + a2 + a3 ≥ a1 a2 a3 dấu xảy ⇐⇒ a1 = a2 = a3 • Với n = ta có: • Với n = ta có: VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 2.12 Cho a1 , a2 , · · · , an > Chứng minh rằng: (a1 + a2 + · · · + an ) 1 + + ··· + a1 a2 an ≥ n2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương a1 , a2 , · · · an được: √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 · · · an n 1 + + ··· + a1 a2 an ≥ n n a1 a2 · · · an 1 , ,··· ta a1 a2 an (1) (2) Do hai vế ( 1) ( 2) số dương, nên nhân vế có điều phải chứng minh Dấu xảy  a1 = a2 = · · · = an ⇔ a1 = a2 = · · · = an ⇔ 1  = = ··· = a1 a2 an Bình luận Bất đẳng thức đơn giản, lại có ứng dụng rộng rãi Người ta thường hay sử dụng hai dạng đặc biệt nó, là: Với n = www.VNMATH.com 1 1 (a + b)( + ) ≥ ⇔ + ≥ a b a b a+b (3) HO À N G TH A N H TH Ủ Y Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Với n = www.VNMATH.com 1 1 (a + b + c)( + + ) ≥ ⇔ + + ≥ a b c a b c a+b+c 10 (4) Trong a, b, c số dương Các bạn xem ví dụ 2.13, 2.14 tập 2.18 trang 16, 2.12 trang 15, 2.15 trang 15 để biết thêm ứng dụng Ví dụ 2.13 Cho tam giác ABC, có cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥2 + + p−a p−b p−c a b c  4   + ≥ =   a p−b (p − a) + (p − b) c  p − 4 + ≥ = Lời giải Áp dụng ( trang trước) ta có: p−b p−c (p − b) + (p − c) a    4    + ≥ = p−c p−a (p − c) + (p − a) b Cộng vế ba bất đẳng thức suy ra: 1 1 1 + + ≥2 + + p−a p−b p−c a b c Dấu xảy ⇔ p − a = p − b = p − c ⇔ a = b = c ⇔ ABC tam giác Ví dụ 2.14 Cho a, b, c > thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh 1 1 + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b Lời giải Áp dụng ( trang trước) ta có: 1 1 + = ≤ a + 3b + 2c 3b + (a + 2c) 3b a + 2c 1 1 1 + + + ≤ 3b a c c 1 1 + +2 = 12 3a b 3c (1) Hoàn toàn tương tự ta có 1 1 + +2 ≤ b + 3c + 2a 12 3b c 3a 1 1 + +2 ≤ c + 3a + 2b 12 3c a 3b (2) (3) Cộng vế bất đẳng thức ( 1), ( 2), ( 3) ta 1 1 1 + + + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b a b c www.VNMATH.com HO À N G TH A N H TH Ủ Y www.VNMATH.com Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 42 Ví dụ 2.54 Chứng minh rằng: ∀n > 2, n ∈ N ta có: √ 1 √ + √ + · · · + √ ≥ n n Lời giải Ta có 1 √ >√ n 1 √ >√ n ··· 1 √ >√ n n √ √ 1 Cộng vế với vế BĐT ta có: √ + √ + · · · + √ ≥ n n = n n Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.55 Chứng minh rằng: ∀n > 2, n ∈ N ∗ ta có: 1+ 1 + + ··· + < 1.2 1.2.3 1.2 n Lời giải Ta có 1= = 1.2 = 1.2.3 < 1.2.3.4 ··· < 1.2 n 1− 1 = − 2.3 1 = − 3.4 1 = − (n − 1)n n−1 n Cộng vế với vế ta có VT