Tuyển tập bất đẳng thức

et TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Diễn đàn www.k2pi.net w.k 2p i.n Version 1.0 200 Problems c TEX by Miền Cát Trắng Cần Thơ,ngày 18 tháng 04 năm 2013 ĐỀ BÀI Bài Cho số thực không âm x, y thỏa mãn : x (2x + 2y − 5) + y (y − 3) + = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : P = (xy − x + 1)2 + (xy − y + 1)2 Bài Cho số thực x, y, z không âm số đồng thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = (xy + yz + zx) x2 1 + + 2 +y y +z z + x2 Bài Cho số thực a, b, c ∈ [1; 2] Tìm giá trị lớn biểu thức : 10a 11b 2012c + + bc ac ab /w w P = Bài Cho số thực x, y, z thỏa mãn : x2 + 2y + 5z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức : P = (xy + yz + zx) + − (x2 + 2y + 5z )2 htt p:/ Bài Cho a, b, c số dương thoả mãn : 2a2 + 3b2 + 5ab + 3bc + 2ac + c ≤ + 5a + 8b Chứng minh : 1 √ a +√ +√ c ≥1 b +1 +1 +1 Bài Cho số thực dương x, y thỏa điều kiện :x − y +y 1− x = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = xy + + x2 + + y2 Bài Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [1; 3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức : T = 25(y + z)2 · 12x2 + 2012 (xy + yz + zx) —————————– —Sẽ tiếp tục cập nhật — et LỜI GIẢI Bài Cho số thực không âm x, y thỏa mãn : x (2x + 2y − 5) + y (y − 3) + = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : w.k 2p i.n P = (xy − x + 1)2 + (xy − y + 1)2 Đề thi thử lần diễn đàn k2pi.net Lời giải Giả thiết viết lại thành: (x + y − 1)(x + y − 2) = −(x − 1)2 Từ ta có được: ≤ x + y ≤ Mặt khác giả thiết viết lại dạng: 2(x − 1)2 + (y − 1)2 = x + y − 2xy ⇒ x + y ≥ 2xy ⇒ ≥ xy Tìm giá trị nhỏ Ta lại có biểu thức P viết thành: a2 − 2ab + 2b2 − 2a + 2b + = P Hay a2 − 2a(b + 1) + 2b2 + 2b + − P = (1) /w w Trong a = x + y(1 ≤ a ≤ 2); b = xy(2 ≥ a ≥ 2b) Coi (1) phương trình bậc theo a để tồn a; b ta phải có: ∆ ≥ ⇔ P ≥ b2 + ⇒ P ≥ Vậy minP = 1đạt a = 1; b = ⇒ x = 1; y = Tìm giá trị lớn Xét hàm số f (a) = a2 − 2a(b + 1) + 2b2 + 2b + Ta chi làm trường hợp nhỏ sau: htt p:/ ta xét hàm số [2b; 2] Dễ thấy hàm số đặt max f (2) f (2b) (mà f (2) = f (2b) = 2(b2 − b + 1)) Do đó: f (a) ≤ 2(b2 − b + 1) = 2[b(b − 1) + 1] ≤ • Nếu b ≥ Vậy trường hợp M axP = x = y = • Nếu b ≤ 12 ta xét hàm số [1; 2] Hàm số đạt max f (2) (vì f (2) ≥ f (1)) nên ta có giá trị Max trường hợp Kết luận: M axP = x = y = x2 1 + + 2 +y y +z z + x2 w.k 2p i.n P = (xy + yz + zx) et Bài Cho số thực x, y, z không âm số đồng thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Đề thi thử lần diễn đàn k2pi.net Lời giải Giải sử z = min(x; y; z) ta có: z z x + y ≥ 2z ⇔ xy + yz + xz ≥ (x + )(y + ) 2 Mà ta lại có: 1 ≥ z z x2 + y (x + ) + (y + )2 2 1 ≥ z y2 + z2 (y + )2 1 ≥ z x2 + z (x + )2 Từ điều ta có:   /w w z 1 z  P ≥ (x + )(y + )  + + z z z z 2 2 2 (x + ) + (y + ) (y + ) (x + ) 2 2 z z Đặt: x + = a; y + = b(a; b ≥ 0) Ta có: 2 a 1 1 a P ≥ ab( + + 2) = a b + + a a +b a b ( )2 + b b b x a = x(x ≥ 0) ta khảo sát hàm f (x) = + x + với x ≥ để tìm minf (x) = b x +1 x Do M inP = đạt a = b; c = hoán vị Đặt: htt p:/ Lời giải Nhìn đề bài, ta nhớ đến BĐT quen thuộc ngài Jack Garfunkel: Với a, b, c ≥ đôi khác thì: 1 + + ≥ √ a+b b+c c+a ab + bc + ca Chứng minh: Chuẩn hóa ab + bc + ca = Chúng ta xét hai trường hợp • TH1: a + b + c ≤ Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2(a + b + c)( 1 + + ) ≥ 5(a + b + c) a+b b+c c+a c a b + + ) ≥ 5(a + b + c) a+b b+c c+a et ⇐⇒ + 2( Bất đẳng thức theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có a b (a + b + c)2 c + + )≥6+2 a+b b+c c+a 2(ab + bc + ca) w.k 2p i.n + 2( = (a + b + c − 2)(a + b + c − 3) + 5(a + b + c) ≥ 5(a + b + c) • a + b + c ≥ Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2(a2 + b2 + c2 + 3) ≥ 5(a + b)(b + c)(c + a) ⇐⇒ 2(a2 + b2 + c2 ) + ≥ 5(a + b + c) − 5abc Bất đẳng thức (a2 + b2 + c2 ) + = 2(a + b + c)2 + = (2(a + b + c) − 1)(a + b + c − 2) + 5(a + b + c) ≥ 5(a + b + c) − 5abc Vậy phép chứng minh hoàn tất ! Đẳng thức xảy (a; b; c) hoán vị (0; 1; 1) Lúc thay a, b, c x2 , y , z ta có x2 y + y z + z x2 /w w 1 + + ≥ x2 + y y + z z + x2 Sử dụng bất đẳng thức trên,chú ý x2 y + y z + z x2 + 2xyz(x + y + z) ≥ xy + yz + zx = Ta có (xy + yz + zx)( x2 x2 y + y z + z x2 1 5(xy + yz + zx) + + )≥ ≥ 2 2 2 2 +y y +z z +x 2 x y +y z +z x htt p:/ Đẳng thức xảy (a; b; c) hoán vị (0; 1; 1) Vậy M inP = Đẳng thức xảy (a; b; c) hoán vị (0; 1; 1) Lời giải Không tính tổng quát ta giả sử z = M in(x; y; z) Đặt P(x;y;z) = (xy+yz+zx) x2 1 + + 2 +y y +z x + z2 Ta chứng minh P(x;y;z) ≥ P(x;y;0) Hay là: z(x + y) ⇔ z(x + y) x2 1 + + 2 +y y +z z + x2 x2 ⇔ (x + y).( ≥ xy 1 + + 2 +y y +z z + x2 x2 1 1 + 2− + 2 y x x +z y + z2 ≥ xyz 1 + 2 + z ) x (x + z ) y (y 1 1 + 2 ) + + ) ≥ xyz.( 2 2 2 +y y +z z +x y (y + z ) x (x + z ) Và điều x2 >0 + y2 x+y xyz ≥ 2 x2 + z x (x + z ) Vậy ta có P(x;y;z) ≥ P(x;y;0) Cuối ta w.k 2p i.n et xyz x+y ≥ 2 y2 + z2 y (y + z ) P(x;y;0) ≥ Hay : x2 + y xy + ≥ x2 + y xy Điều hiển nhiên từ bất đẳng thức AM − GM : xy x2 + y 3(x2 + y ) + ≥ + ≥ 2 x +y 4xy 4xy Vậy ta có PM in = Đẳng thức xảy x = y, z = hoán vị tương ứng Bài Cho số thực a, b, c ∈ [1; 2] Tìm giá trị lớn biểu thức : P = 10a 11b 2012c + + bc ac ab Đề thi thử lần diễn đàn k2pi.net /w w Lời giải P = f (c) = 2012c 10a 11b + ( + ) ab c b a Coi c biến số;a,b tham số; ta có: f (c) = = 2012 10a 11b − 2( + ) ab c b a 2012c2 − 10a2 − 11b2 2012 − 10.22 − 11.22 ≥ >0 ab ab 4024 5a 11b ⇒ f (c) ≤ f (2) = + + = g(a) ab b 2a htt p:/ Coi a biến số;b tham số; ta có: g (a) = −4024 11b −4024 11 nên từ (1) ta có : a + b + c ≤ .Lại có : 2a+b+c = 2a · 2b · 2c ≤ Đặt m = 2a , n = 2b , p = 2c ⇒ mnp ≤ Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có + m3 = (1 + m)(1 − m + m2 ) ≤ m2 + 2 Xây dựng bất đẳng thức tương tự, ta VT ≥ m2 2 + + +2 n +2 p +2 Vậy ta cần phảỉ chứng minh et 2 + + ≥1 +2 n +2 p +2 2 2 p2 + n + ≥1 hay m 2 1+ 1+ 1+ m n p 1 1 Tiếp tục đăt :t = , u = , v = Với điều kiện mnp ≤ ⇒ tuv ≥ Khi ta cần chứng minh : m n p w.k 2p i.n m2 2u 2v 2t + + ≥1 + 2t + 2u + 2v Tới ta khai triển tòe loe rút gọn ta thu 4(ut + vt + uv) + 16uvt ≥ (∗) √ 1 Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM Ta có : 4(ut+vt+ut)+16uvt ≥ 12 t2 u2 v +16uvt = 12· +16· =1 16 64 Vậy (∗) chứng minh Dấu đẳng thức xảy t = u = v = hay m = n = p = hay a = b = c = Bài Cho số thực dương x, y thỏa điều kiện :x − biểu thức : P = xy + + x2 + y +y 1− x = Tìm giá trị nhỏ + y2 /w w Đề thi thử lần diễn đàn k2pi.net Lời giải Xét bổ đề: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 ⇔ a2 + b2 + c2 + d2 + (a2 + b2 )(c+ d2 ) ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ≥ ac + bd ⇔ htt p:/ ⇔ a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 ≥ a2 c2 + b2 d2 + 2abcd ⇔ (ad − bc)2 ≥ Áp dụng bổ đề ta có: + x2 + + y2 ≥ + (x + y)2 Từ giả thiết ta có: √ √ x y *) ⇒ x + y = + + ≥ ⇒ + x2 + + y ≥ 10 y x (x + y)2 (x + y − 6)(x + y − 3) *) xy = =9+ ≥9 x+y− x+y−2 √2 Vậy P ≥ + 10.Dấu = xảy x = y = Lời giải Ta có x 1− x +y 1− y =4⇔x+y =4+ x2 + y (x + y)2 = +2 xy xy Mặt khác ta có : x+y =4+ x y + ≥6 y x w.k 2p i.n Ta có (12 + 32 ) (12 + x2 ) + ⇒ (12 + 32 ) (12 + y ) ≥ 3x + + 3y + 1 + y ≥ √ (3 (x + y) + 2) 10 + x2 + ⇒P ≥ et (x + y)2 ⇒ xy = x+y−2 (x + y)2 + √ (3 (x + y) + 2) x+y−2 10 Đặt t=x+y ⇒t≥6 Xét hàm số f (t) = Ta có t2 + √ (3t + 2) ; t ≥ t−2 10 f (t) = t2 − 4t √ >0 + 10 (t − 2) với t ≥ ⇒ f (t) đồng biến [6; + ∝) √ ⇒ f (t) ≥ f (6) = + 10 Dấu ” = ” xảy ra⇔ t = /w w √ ⇒ P ≥ + 10 Dấu ” = ” xảy ⇔ x = y = √ Vậy Pmin = + 10 x = y = Bài Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [1; 3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức : htt p:/ T = 25(y + z)2 · 12x2 + 2012 (xy + yz + zx) Đề thi thử lần 09 diễn đàn k2pi.net Lời giải Ta xét f (x) = 25(y + z)2 Thì 12x2 + 2012 (xy + yz + zx) f (x) = − 25 (y + z)2 (6 x + 503 y + 503 z) 0 16 (384 + 503z)2 w.k 2p i.n h (z) = 25 (1 + z)2 = h(z) 16 384 + 503z et Dễ thấy: 54 + 1509 y + 503 yz + 1509 z − 503 z = 54 + 1509 y + 503 yz + 503z(3 − z) > Suy 12x2 + 2012x(y + z) + 2012 (y + z)2 ≥ 25(y + z)2 12x2 + 2012x(y + z) + 503(y + z)2 /w w Xét hàm m(x) = 12x2 + 2012x(y + z) + 503(y + z)2 , x ∈ [1; 3], có m (x) = 24x + 2012(y + z) > 0, ∀x ∈ [1; 3] Do m(x) đồng biến [1; 3], suy T (x) nghịch biến [1; 3] 25t2 Suy T (x) ≥ T (3) = = f (t), với t = y + z ∈ [2; 6] 108 + 6036t + 503t2 150900t2 + 540t Lại có f (t) = > 0, ∀t ∈ [2; 6] (108 + 6036t + 503t2 )2 25 nên f đồng biến [2; 6], f (t) ≥ f (2) = 3548 25 Cuối T = x = 3; y = z = 3548 ———–Hết———– Các bạn đăng kí viết tuyển tập BẤT ĐẲNG THỨC topic: http://k2pi.net/showthread.php?t=5768 htt p:/ Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ Miền Cát Trắng qua yahoo:thienlong_hoangde@yahoo.com liên lạc trực tiếp qua : htpp://www.k2pi.net