Tuyển tập bất đẳng thức thường gặp

TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP 1) Cho a>0, b>0 Chứng minh a + b > a + b Giải: Cách 1: Ta có: a + b > a + b ⇔ ( a + b ) > ( a + b ) ⇔ a + ab + b > a + b ⇔ ab > (Bất đẳng thức a, b > nên ab > ) Vậy a + b > a+b a + b = ( a + b ) = a + b + ab > a + b (vì 22 ab > ) 10 ≥ 2) Chứng minh rằng: x2 + + x +3 Giải: x2 + Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương ta có: x +3 Cách 2: x2 + + x2 + x2 + 8 10 = + + ( x + ) ≥ + = + = 9 x2 + 3 x2 + x2 + 3) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c a+c a+b Giải: a b c + + ≥ b+c a+c a+b a b c ⇔ − + − + − ≥0 b+c a+c a+b 2a − b − c 2b − a − c 2c − a − b ⇔ − + − + − ≥0 b+c a+c a+b a−b a −c b−a b−c c−a c−b ⇔ + + + + + ≥0 b+c b+c a+c a+c a+b a+b       ⇔ ( a − b ) − − −  + (a − c)  + (b − c ) ≥0 b+c a +c b+c a+b a+c a+b a−b a−c b−c ⇔ (a − b) + (a − c ) + (b − c) ≥0 (b + c)(a + c) ( a + b)(b + c) (a + c)(a + b) ( a − b) (a − c) (b − c ) + + ≥ (BĐT đúng) (b + c)(a + c) (a + b)(b + c) (a + c)(a + b) a b c + + ≥ Vậy b+c a+c a+b 4) Cho a + b ≥ Chứng minh a2 + b2 ≥ Ta có: a + b ≥ ⇒ ( a + b) ≥ Mà (a – b)2 ≥ Do (a + b)2 + (a - b)2 ≥ ⇒ a + 2ab + b + a − 2ab + b ≥ ⇔ ⇒ 2( a + b ) ≥ 1 ⇒ (a + b ) ≥ 5) Cho a > b, b > c, c > Chứng minh rằng: Giải: c(a − c ) + c (b − c) ≤ ab Ta có: c (a − c) + c (b − c) ≤ ab ⇔ ( c(a − c) + c(b − c) ) ≤ ab ⇔ ( a − c c + c b − c ) ≤ ab Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki ( a − c c + c b − c ) ≤ (a − c + c)(c + b − c) = ab = ab Vậy c(a − c ) + c(b − c) ≤ ab 6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện ≤ a, b, c ≤ a+b+c=3 Chứng minh rằng: a + b + c ≤ Giải: a, b, c ≥ ⇒ 2 − a,2 − b,2 − c ≥ 0 ≤ a, b, c ≤ abc ≥ ⇒ ( − a )(2 − b)(2 − c) ≥ ⇒ abc + (2 − a )(2 − b)(2 − c) ≥ ⇔ abc + − 4a − 4b − 4c + 2ab + 2bc + 2ac − abc ≥ ⇔ −2(ab + bc + ac) ≤ − 4(a + b + c) = −4 ⇒ a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca) ≤ − = 7) Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > Giải: Vì a, b, c độ fài ba cạnh tam giác nên theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c ⇒ a2(b + c) > a2 a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c ⇒ a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 ⇒ a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 ⇒ a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > (đpcm) 8) Cho a,b,c ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc < Giải: a < b + c (bất đẳng thức tam giác) ⇒a + a < a + b + c ⇒ 2a < ⇒ a < Tương tự b < 1, c < Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > ⇔ (1 – b – a + ab)(1 - c) > ⇔ – c – b + bc – a + ac + ab – abc > ⇔ – (a + b + c) =ab + bc + ca > Nên abc < -1 + ab + bc + ca ⇒ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – + 2ab + 2bc + 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – (vì a + b + c = 2) a3 + b3  a + b  9) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: ≥    Giải: 3 a3 + b3  a + b  a3 + b3  a + b  ≥ −  ⇔  ≥0 2     (a + b)(a − ab + b )  a + b  ⇔ −  ≥0   (a + b)(a − ab + b )  a + b  ⇔ −  ≥0   ⇔ a+b  a+b  (a − ab + b ) −        a + b 4a − 4ab + 4b − (a + 2ab + b ) ≥0 ⇔ (a + b)(4a − 4ab + 4b − a − 2ab − b ) ≥ ⇔ ⇔ (a + b)(3a − 6ab + 3b ) ≥ ⇔ 3(a + b)(a − b) ≥ (BĐT đúng) a3 + b3  a + b  ≥    10) Chứng minh rằng: a2 + b2 + ≥ ab + a + b Giải: Ta có: a2 + b2 ≥ 2ab b2 + ≥ 2b a2 + ≥ 2a ⇒ 2(a2 + b2 + 1) ≥ (2ab + 2a + 2b) ⇔ (a2 + b2 + 1) ≥ ab + a + b 11) Cho số dương x,y,z ≥ x + y + z = Chứng minh rằng: x + 2y + z ≥ 4(1-x)(1-y)(1-z) Giải: Vì x,y,z ≥ x + y + z = ⇒ x,y,z ≤ 1-x, 1-y, 1-z ≥ Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số không âm ta có: 1− x +1− y  (1-x)(1-z) ≤     ⇔ 4(1-x)(1-z) ≤ (1+y)2 ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) ≤ (1+y)2(1-y) ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) ≤ (1-y2)(1+y) ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) ≤ 1+y = x+2y+z Vậy x + 2y + z ≥ 4(1-x)(1-y)(1-z) 1 12) Chứng minh số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 + + ≥ a b c Giải: 1 1 1 Ta có: + + ≥ ⇔ (a + b + c ) + +  ≥ (vì a+b+c=1) a b c a b c a a b b c c ⇔ 1+1+1+ + + + + + ≥ b c a c a b a b b c c a ⇔ + + + + + ≥6 b a c b a c Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: Vậy a b b c c a a b b c c a + + + + + ≥2 +2 +2 b a c b a c b a c b a c ⇔ a b b c c a + + + + + ≥ 2+2+2 = b a c b a c 1 + + ≥9 a b c 13) Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác thì: a) ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) ≥ 2(ab + bc + ca) Vậy với số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 Giải: a) Ta có: a2 + b2 ≥ 2ab b2 + c2 ≥ 2bc c2 + a2 ≥ 2ca ⇔ 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca) ⇔ (a2 + b2 + c2) ≥ (ab + bc + ca) Mặt khác a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a0 Vậy a3+b3 ≤ a4 + b4 12ab + ab 1 2 4 b) Cho a + b ≥ Chứng minh rằng: a + b ≥ 32 Giải: 12ab ⇔ (a + b)(9 + ab) ≥ 12ab a) a + b ≥ + ab Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: a + b ≥ ab ;9 + ab ≥ 9ab 25) a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh: a + b ≥ ⇒ (a + b)(9 + ab) ≥ ab 9ab = 12ab b) Ta có: 2 2 1 2 2 2 4 a + b = (a + b ) + (a − b ) ≥ (a + b ) =   = 2 2 4 32 2 26) Cho a+b+c ≥ abc Chứng minh a +b +c ≥ abc Giải: Vì a+b+c ≥ abc nên có hai trường hợp xảy - Trường hợp : a ≥ 1; b ≥ 1; c ≥ 2 Ta có: a + b + c ≥ a + b + c ≥ a + b + c ≥ abc - Trường hợp: ba số a ; b ; c có số nhỏ Không tính tổng quát, giả sử c ≤ Ta có: a2+b2+c2 ≥ a2+b2 ≥ ab ≥ abc ≥ abc 1 + ≥ 27) Cho x ≥ 1, y ≥ Chứng minh 2 + xy 1+ x 1+ y Giải: 1 + ≥ 2 + xy 1+ x 1+ y 1 1 ⇔ − + − ≥0 2 + xy + y + xy 1+ x ⇔ a+b 2 28) Chứng minh a + b ≥ với a,b Giải: Nếu tổng a+b < bất đẳng thức hiển nhiên Nếu a+b ≥ 0, ta có: a+b a + b2 ≥ ⇔ 2(a + b ) ≥ a + b ⇔ 2(a + b ) ≥ (a + b) ⇔ 2a + 2b − a − 2ab + b ≥ 2 ⇔ (a − b) ≥ (BĐT đúng) a+b 2 Vậy a + b ≥ với a,b 29) Cho a,b,c ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh: 1  1 1 + + ≥ 2 + +  p−a p−b p −c a b c Giải: 1 + ≥ để chứng minh x y x+ y a3 b3 c3 30) Cho a,b,c>0 Chứng minh : + + ≥ ab + bc + ca b c a a3 Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho cặp số ; ab ;………… b (a + b)(1 − ab) ≤ 31) Chứng minh rằng: − ≤ 2 (a + 1)(b + 1) Giải: Ta có: xy ( x − y ) ≥ ⇔ x + y − xy ≥ ⇔ ≤ 1.(*) x + y2 Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2 (a + b)(1 − ab) (a + b)(1 − ab) ⇒ = (a + 1)(b + 1) (a + b) + (1 − ab) Áp dụng bất đẳng thức Áp dụng (*) ta có: ⇒ (a + b)(1 − ab) ≤ 2 (a + b) + (1 − ab) (a + b)(1 − ab) ≤ 2 (a + 1)(b + 1) ⇔− (a + b)(1 − ab) ≤ ≤ 2 (a + 1)(b + 1) 32) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh rằng: 1 ( a + b ) + ( a + b) ≥ a b + b a Giải: 1 1 1 (a + b) + (a + b) = (a + b)(a + b + ) = (a + b)(a + + b + ) 2 4 Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: 1 1 1 (a + b)(a + + b + ) ≥ ab (2 a + b ) = ab ( a + b ) = a b + b a 4 4 1 Vậy (a + b) + (a + b) ≥ a b + b a x2 + y2 ≥2 33) Cho xy =1, x>y Chứng minh x− y Giải: x + y ( x − y ) + xy xy xy = = x− y+ ≥ ( x − y ) = 2.1 = 2 (theo BĐT côsi) Ta có: x− y x− y x− y x− y 1 + + + > 1,999 34) Chứng minh: 1.1999 2.1998 1999 Giải: ≤ Theo BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+b ≥ ab ⇔ dấu ‘=’ xảy a = b ab a + b Trong toán dấu ‘=’ không xảy a ≠ b Ta có: Ta có: 1.1999 + 2.1998 + + 1999 > 2 2 2 + + + = + + + + 1999 + 1998 1999 + 2000   2000      2000  1999 so = 0 ,001  + 0,001  +  + 0,001  = 1,9999 1999 so 35) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2=5/3 Chứng minh rằng: 1 1 + − < a b c abc Giải: Ta có: (a+b-c)2 ≥ ⇒ a2+b2+c2+2ab+2ca-2bc ≥ ⇒ 2ab+2ca-2bc ≤ a2+b2+c2 Mà a2+b2+c2=5/3 < ⇒ 2ab+2ca-2bc ≤ 2bc + 2ca − 2bc ⇒ < (do abc>0) 2abc 2abc 1 1 ⇒ + − < a b c abc 36) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) Hướng dẫn: Chuyển vế đưa đẳng thức a+c b+d c+a d +b + + + ≥4 37) Cho a,b,c,d > Chứng minh rằng: a+b b+c c+d d +a Giải:   (a + c).4 (d + b).4 4(a + b + c + d )   (a + c) + + + = =4  + ( d + b ) ≥ a+b+c+d a+b c+d  d +a b+c a+b+c+d d +a+b+c 1 + ≥ (áp dụng bất đẳng thức phụ ) x y x+ y 38) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 4a + + 4b + + 4c + ≤ 21 Giải: Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: 4a + + 3 = 21  4a + 10  4a + = (4a + 1) ≤   7 14  3 Tương tự: 21  10  4b + ≤  4b +  14  3 4c + ≤ 21  10   4c +  14  3 21 21 (4a + 4b + 4c + 10) = 14 = 21 14 14 Vậy 4a + + 4b + + 4c + ≤ 21 x2 + > với x 39) a) Chứng minh: x2 + 2006 2005 + > 2005 + 2006 b) Chứng minh 2005 2006 Giải: a) Ta có: x2 + = x2 + + ≥ ( x + 2).1 = x + (theo côsi cho hai số dương) dấu = xảy x2 + 2>0 với x ⇒ 4a + + 4b + + 4c + ≤ x2 + > với x x2 + 2005 + 2006 − + > 2005 + 2006 2005 2006 b) 1 ⇔ 2005 + + 2006 − > 2005 + 2006 2005 2006 1 ⇔ − > (BĐT đúng) 2005 2006 2006 2005 + > 2005 + 2006 Vậy 2005 2006 Vậy a + a −1 + a − a −1 40) Cho a ≥ chứng minh rằng: a + a − + a − 2a − ⇔ (a + b )(c + d ) ≥ ac + bd ⇔ (a + b )(c + d ) ≥ (ac + bd ) ⇔ (a + b )(c + d ) ≥ (ac) + (bd ) + 2acbd ⇔ a c + b d + a d + b c ) ≥ ( ac) + (bd ) + 2acbd ⇔ a d + b c ) − 2( ad ).(bc ) ≥ ⇔ (ad − bc) ≥ (BĐT đúng) Vậy ta có: a + b + c + d ≥ (a + c) + (b + d ) 42) Cho a>0, b>0 a + b = 1 + ≥6 a) Chứng minh rằng: ab a + b b) Chứng minh rằng: + ≥ 14 ab a + b Giải: Áp dụng bất đẳng thức phụ: 1 * + ≥ x y x+ y ( HS tự chứng minh ) * ≥ xy ( x + y ) a) Ta có: 1 1 1 4 4 4 + = +( + )≥ + = + = + =6 2 2 2 ab a + b 2ab 2ab a + b ( a + b) ( a + b) 1 2ab + a + b ( a + b) b) 3 3.4 12 12 + = +( + )≥ + = + = + = 14 2 2 2 ab a + b 2ab 2ab a + b ( a + b) ( a + b) 1 2ab + a + b ( a + b) 43) Cho a,b ≥ Chứng minh a2b – 3ab + ab2 + ≥ Dấu xảy nào? Giải: Áp dụng côsi cho ba số dương ta có: x+y+z ≥ 3 xyz Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab ≥ 3 a b.ab - 3ab = 3ab – 3ab = Dấu xảy a2b = ab2 = ⇒ a = b = a2 b2 c2 a+b+c 44) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: + + ≥ b+c c+a a+b Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: a2 b+c b2 c+a c2 a+b a2 b + c b2 c + a c2 a + b + + + + + ≥2 +2 +2 b+c c+a a+b b+c c+a a+b =a+b+c 2 a b c a+b b+c c+a a+b a+b+c ⇒ + + + ≥ a+b+c− − − = b+c c+a a+b 4 4 2 45) Với bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a + b = (a – d)(b – c) = Chứng minh rằng: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab ≥ -2 Giải: Ta có: a2 + b2 = (a – d)(b – c) = Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – ≥ 2(a – d)(b – c) + – = 2.1 – = - 46) Cho a + 4b = Chứng minh rằng: a2 + 4b2 ≥ Hướng dẫn: a + 4b = ⇒ a = – 4b vào biểu thức cần chứng minh dưa dạng đánh giá A2+ α ≥ α 47) Chứng minh x+y+z =1 x2+y2+z2 ≥ Giải: x2+y2+z2 = x + y + z ( x + y + z = xy + yz + zx) + ( x + y − xy ) + ( y + z − yz ) + ( z + x − zx ) = 3 2 2 ( x + y + z ) + ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x) ( x + y + z) = ≥ = 3 < 2( n − n − 1) (với n số nguyên dương) 48) Chứng minh rằng: 2( n + − n ) < n Giải: Ta có: 2( n + − n ) = 2(n + − n) = < (1) n +1 + n n +1 + n n 2(n − n + 1) = > (2) Mặt khác: 2( n − n − 1) = n + n −1 n + n −1 n < 2( n − n − 1) Vậy n + − n ) < n ≤ x3 + y3 ≤ 49) Cho x,y ≥ x2 + y2 = Chứng minh Giải: Ta có: x2 + y2 = ⇒ x2 ≤ y2 ≤ mà x ≥ 0, y ≥ ⇒ ≤ x ≤ ≤ x ≤ ⇒ x3 ≤ x2 , y3 ≤ y2 ⇒ x3 + y3 ≤ x2 + y2 = (1) 2 2 = x2 + y2 = ( x x + y y ≤ ( x + y )( x + y ) = ( x + y )( x + y ) (theo bunhiacopxki) Mặt khác (x+y)2 ≤ 2(x2+y2) = ⇒ x+y ≤ (2) ⇒ ≤ ( x + y )( x + y ) ≤ ( x + y ) ⇒ x + y ≥ ≤ x3 + y3 ≤ Từ (1) (2) ta có: 50) Cho ba số thực dương thỏa mãn a + b +c = 12 Chứng minh rằng: 3a + a + + 3b + b + + 3c + c + ≤ 17 Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: 3a + a + + 17 3a + 18 + a 3a + a + = (3a + a + 1).17 ≤ = ≤ 2 17 17 3a + 18 + 4+a 2  a + 40  =   17   Tương tự:  7b + 40    17    7c + 40  3c + c + ≤   17   3b + b + ≤  7(a + b + c) + 120  7.12 + 120 = = 51   4 17  17 17  = 17 2 2 2 51) a) Chứng minh rằng: (x-y) + (y-z) + (z-x) ≤ 3( x + y + z ) ⇒ 3a + a + + 3b + b + + 3c + c + ≤ b)Gọi m số nhỏ ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 Chứng minh rằng: m ≤ Giải: a) HS tự giải b) Vai trò x,y,z nhau, giả sử x ≥ y ≥ z Vì m số nhỏ ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 ⇒ m số nhỏ ba số x − y , y − z , z − x ⇒ (x-y)2 ≥ m, (y-z)2 ≥ m Mặt khác: z − x = x − z = ( x − y ) + ( y − z ) = x − y + y − z ≥ m x2 + y2 + z 2 2 ⇒ 3( x + y + z ) ≥ (x-y) + (y-z) + (z-x) ≥ 6m ⇒ m x2 + y2 + z 2 52) Cho a,b số dương Chứng minh: ab a+ b ≤ ab Hướng dẫn: Bình phương hai vế 53) Chứng minh rằng: a4 + b4 ≥ a3b + ab3 với a,b HD: Chuyển vế biến đổi tương đương 4 54) Chứng minh với x,y khác ta có đẳng thức: x + y ≤ x6 y + y2 x2 HD: quy đồng, khử mẫu, biến đổi tương đương 1 + + + < 1999 55) Chứng minh 1998 < + 1000000 < 2( n − n − 1) để chứng minh HD: sử dụng toán phụ: 2( n + − n ) < n 56) a) Cho a,b ≥ Chứng minh: a b − + b a − ≤ ab     b) Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn a+b+c = Chứng minh rằng: 1 + 1 + 1 +  ≥ 64  a  b  c  Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: a.(b − + 1) ab a b − = a (b − 1).1 ≤ = 2 ab Tương tự b a − ≤ ab ab + = ab Vậy a b − + b a − ≤ 2 b) Vì a+b+c = nên: a+b+c b c b c b c b c = 1+ = + + + = + + + ≥ + = +2 ≥ 2.2 a a a a a a a a a a (theo BĐT côsi cho hai số không âm) Tương tự: 1+ ac ab ≥4 ;1 + ≥ b b c c     ⇒ 1 + 1 + 1 +  ≥ 64  a  b  c  57) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: a3+b3 ≥ a2b+ab2 HD: biến đổi tương đương 58) Với a>0, b>0, c>0 Chứng minh BĐT: ab bc + ≥ 2b a) c a ab bc ca b) + + ≥ a+b+c c a b a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 c) + + ≥ a+b+c 2ab 2bc 2ca Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số dương vế trái b) Áp dụng côsi cho hai số dương cặp tương tự câu a c) Chứng minh toán phụ a3+b3 ≥ a2b+ab2 suy điều cần chứng minh 1+ b c =4 a a bc a 59) Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: ab+bc+ca+a+b+c ≤ Giải: x2 + y2 Ta có: x2 + y2 ≥ 2xy hay xy ≤ với x,y a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a + b2 + c2 +1 ⇒ ab + bc + ca + a + b + c ≤ + + + + + 2 2 2 2 a +b +c +3 (do a2 + b2 + c2 = ) = a + b2 + c + 3+3 = 3+ =6 Vậy ab+bc+ca+a+b+c ≤ a b c + + ≤2 60) Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: a+b b+c c+a Giải: b c a a b c + + ≥ + + =1 Ta có: a+b b+c c+a a+b+c a+b+c b+c+a Mặt khác: b c   b c a   a b   b c   c a   a + + + + + + +  + = + +  a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c b+c b+c c+a c+a = 1+1+1 = a b c ⇒ + + ≤2 a+b b+c c+a 61) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác Chứng minh: (p – a)(p – b)(p –c) ≤ abc Giải: a+b+c b+c−a −a = > (vì b + c >a – BĐT tam giác)) Ta có: p – a = 2 Tương tự: p – b>0, p –c>0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: p − a + p −b 2p − a −b c = = (p – a)(p – b) ≤ 4 a b Tương tự: (p – b)(p –c) ≤ ; (p – c)(p – a) ≤ 4 abc ( p − a ) ( p − b) ( p − c ) ≤ 64 ⇒ ( p − a)( p − b)( p − c) ≤ abc a + b8 + c 1 62) Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: ≥ + + a b c b 3b 3c Giải: Ta có: a + b + c ≥ a b + b c + c a ≥ a b b c + b c c a + c a a b ≥ a b c (a + b + c ) ≥ a b c (ab + bc + ca) = a b c (ab + bc + ca) abc  1 1 = a 3b c  + +  abc a b c a + b8 + c 1 ≥ + + a b c b 3b 3c 63) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: ⇒ a b c a b c + + ≤ ≤ + + 2 2 b+c c+a a+b 1+ a 1+ b 1+ c Giải: a ≤ Ta có: + a2 ≥ 2a ⇒ 2 1+ a b c ≤ ; ≤ Tương tự: 2 1+ c 1+ b a b c ⇒ + + ≤ 2 2 1+ a 1+ b 1+ c a b c + + Chứng minh: ≤ dung biến đổi tương đương b+c c+a a+b 64) Chứng minh: 1 1 2001 + + + + < 3(1 + ) 5( + ) 7( + ) 4003( 2001 + 2002 ) 2003 HD: Ta có: = 2( n + − n ) < 2( n + − n ) = − (2n + 1)( n + n + 1) 4n(n + 1) n n +1 4n + 4n + Áp dụng toán suy BĐT 65) Cho ba số dương x,y,z có tổng Chứng minh rằng: x + yz + y + zx + z + xy ≥ + xy + yz + zx Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: x + y ≥ xy ⇔ x + y + z ≥ z + xy ⇔ ≥ z + xy ⇔ z ≥ z + z xy ⇔ z + xy ≥ z + z xy + xy ⇔ z + xy ≥ ( z + xy ) ⇔ Tương tự: z + xy ≥ z + xy x + yz ≥ x + yz ; y + zx ≥ y + zx ⇒ x + yz + y + zx + z + xy ≥ ( x + y + z ) + xy + yz + zx = + xy + yz + zx ≥5 66) Cho x,y>0 x+y = Chứng minh: 8(x4+y4)+ xy Giải: ≥ =4 Ta có: (x+y)2 ≥ 4xy ⇒ xy ( x + y ) Mặt khác: x + y ≥ ( x + y) ≥ (HS tự chứng minh) 8 ≥5 xy 67) Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh: a + b + b + c + c + a ≤ Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: 2 2  a+b+ b+c+ c+a+  2 2 2  3+ 3+  = 2 = (a + b) + (b + c ) + (c + a ) ≤ 3 3 3 3 2      68) Cho a+b+c = Chứng minh: a4+b4+c4 ≥ a3+b3+c3 Giải: Áp dụng toán phụ x4+y4 ≥ x3y+xy3 ta có: 3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) ≥ (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4) = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c) = (a+b+c)( a3+b3+c3) = (a3+b3+c3) Suy ra: 8(x4+y4)+ Vậy a4+b4+c4 ≥ a3+b3+c3 69) Cho số dương x,y,z thỏa mãn x3+y3+z3 = Chứng minh: x2 y2 z2 + + ≥2 1− x2 1− y2 1− z2 Giải: Vì x,y,z>0 x3+y3+z3 = nên 1-x,1-y,1-z >0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: x2 x + − x ≥ x (1 − x ) ⇔ ≥ x − x ⇔ ≥ 2x3 1− x 2 y z ≥ 2y3; ≥ 2z Tương tự: 2 1− y 1− z Vậy x2 1− x + y2 1− y + z2 1− z 70) Cho a,b>0 Chứng minh: ≥ 2( x + y + z ) = ( a + b) a + b + ≥ a b +b a Giải:  ( a + b) a + b a + b  1 a+b 1 1 + = a + b +  =  a + + b +  ≥ ab  a + b  = a b + b a Ta có:  2  4 4  71) Chứng minh: a − b + 2ab − b > a với a>b>0 HD: bình phương hai vế dung phương pháp biến đổi tương đương 72) Cho x,y không âm thỏa mãn x2+y2=1 Chứng minh: ≤ x + y ≤ Giải: Ta có: (x+y)2 ≤ 2(x2+y2) = ⇒ x + y ≤ Và (x+y)2 = x2+y2+2xy = + 2xy ≥ Vậy ≤ x + y ≤ 73) Cho a,b,c số thực thỏa mãn a+b+c = Chứng minh: ab + 2bc + 3ca ≤ Giải: a+b+c = ⇒ b + c = −a; a + b = −c ⇒ ab + 2bc + 3ca = ab + ca + 2bc + 2ca = a (b + c) + 2c(a + b) = a (−a ) + 2c(−c ) = − a − 2c ≤ a b c + + ≥ 12 74) Cho a,b,c > Chứng minh : b −1 c −1 a −1 Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: a a a + 4( b − 1) ≥ 4( b − 1) = a ⇔ ≥ a −4 b +4 b −1 b −1 b −1 b c ≥ b − c + 4; ≥4 c −4 a +4 Tương tự: c −1 a −1 a b c + + ≥ 12 Vậy b −1 c −1 a −1 75) Cho x,y hai số thực cho x+y=2 Chứng minh xy(x2+y2) ≤ Giải: x + y = ⇔ ( x + y ) = ⇔ x + y = − xy ⇒ xy ( x + y ) = xy (4 − xy ) = xy − x y = −2( x y − xy + 1) + = −2( xy − 1) + ≤