Chuyên đề bất đẳng thức Cô si

tài liệu viết về bất đẳng thức cô si mục đích bồi dưỡng học sinh giỏi toán thcs, nhất là cho cuộc thi học sinh giỏi toán lớp 9. Bất đẳng thức cô si là một bất đẳng thức cơ bản. Nắm được bất đẳng thức cô si, học sinh sẽ giải quyết được nhiều bài toán khó về bất đẳng thức, đồng thời sẽ tạo nền tảng để giải quyết những bất đẳng thức khó hơn

CHUYÊN ĐỀ: “BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI”.

1.Bất đẳng thức Côsi (Cauchy)

a Bất đẳng thức Côsi:

*Cho hai số thực không âm a,b Khi đó ta có: ab

b

a+ ≥

2 Dấu “=” xảy ra khi a=b

*(Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm a1,a2, , a n.Khi đó ta có:

n

n

n

a a

a

2 1 2

Dấu “=” xảy ra khi a1 =a2 = =a n

Chứng minh:

-Với n=2 bất đẳng thức hiển nhiên đúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2

- Giả sử bất đẳng thức đúng đến n=k, tức là ∀a1,a2, , a k ≥0 ta có:

k

k

k

a a

a

2 1 2

, dấu bằng xảy ra khi a1 =a2 = =a k -Xét khi n=k+1.Với ∀a1,a2, ,a k+1 ≥0 ta có:

1

1

1 2

1

1

+

+ + + +

= +

+ + + +

a k

a a

a k k

a a a

a

k k

k k

(1)

Theo giả thiết quy nạp, suy ra 1

+

a a a a k

S k k k k

(2) Dấu “=” trong (2) xảy ra (theo giả thiết quy nạp) khi a1 =a2 = =a k

Đặt 1 2 = k(k+1)

k

a

a

1

+ + = k k

a β khi đó (2) dạng . 1

1 1

+

k

S k αk βk

(3)

Từ (3) ta có k αk βk αkβ

k k

k

k a a a

+

+

≥

+

1 1 1

1 2 1 1

(4)

Dễ dàng thấy rằng: ( ) k k k k [k k ( ) ( k k) ]

k k

k k

VP α β α β α β α α −β −β α −β

+

= +

−

− +

1

1 1

4

1 1

2

) (

.

1

−

−

−

−

−

+

−

α

Do α,β ≥0 nên suy ra ( ) 1

1 2 1

0

+ + ≥

⇒

k

S

VP Do đó bất đẳng thức Côsi cũng đúng với n=k+1.Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra bất đẳng thức Côsi đúng ∀n∈N

Dấu bằng xảy ra khi 1 2 1

2 1

+

=

=

=

⇔







=

=

=

k k k

a a a a a a a

β

b Ví dụ

Ví dụ 1.Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thì:

a (a b) 1 1 4

a b

+  + ÷≥

a b c

+ +  + + ÷≥

Giải a) Áp dụng BĐT Côsi, ta có:

2

a b+ ≥ ab (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b).

2

a b + ≥ ab

(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a = b

)

Do đó:( a b ) 1 1 2 ab 2 1 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b =

b) Áp dụng BĐT Côsi, ta có:

3

3

a b c+ + ≥ abc (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c).

3

3

a b c + + ≥ abc

(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a = = b c

)

Do đó: ( ) 1 1 1 3 3 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c = =

c Một số lưu ý khi biến đổi.

Nói chung, ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Côsi như ví dụ trên mà thường biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Côsi Khi biến đổi, ta thường sử dụng những số hạng của một vế cộng thêm các số hạng thích hợp và sử dụng bất đẳng thức Côsi Khi biến đổi, ta lưu ý một số nhận xét sau:

Nhận xét 1 Số chiều của BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng của bậc cao nhất.

Ví dụ 2 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao nhất là 3, nên ta sẽ sử dụng bất đẳng

thức Côsi cho 3 số không âm Chẳng hạn, số hạng ab2 sẽ ứng với bộ ba số a b b3, ,3 3 Cứ

như vậy, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

a + + ≥b b ab b + + ≥c c bc c +a +a ≥ ca

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

a b c ab bc ca

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a b

c a

=



 = ⇔ = =



 =



Nhận xét 2 Bậc của số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bằng

bậc của số hạng cần mô tả.

Ví dụ 3 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a b c

ab bc ca

b + c + a ≥ + +

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải không

chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đẳng thức Bậc của số hạng cần mô tả là hai, nên bậc của số hạng thêm vào cũng là hai Chẳng

hạn, số hạng

3

a

b có chứa mẫu là b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử b Bậc của số

hạng là 2, nên ta cộng thêm vào ab

3

2

2

a

ab a

b + ≥

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

3

2

2

a

ab a

b + ≥

;

bc b ca c

c + ≥ a + ≥

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

2

a b c

ab bc ca a b c

b + c + a + + + ≥ + +

(1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a b c = =

Lại có, a2 + + ≥ b2 c2 ab bc ca + + (2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = = Từ (1) và (2) suy ra:

2

a b c

ab bc ca ab bc ca

b c a

a b c

ab bc ca

b c a

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = = .

Nhận xét 3 Khi bậc không bằng nhau số hạng cộng thêm có thể là hằng số.

Ví dụ 4 Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca + + = 1, chứng minh

rằng:

3

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c = = thay vào điều kiện ta tính được

1 3

a b c = = =

Sử dụng bất đẳng thức Côsi với n = 3 cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa biến

thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh

Chẳng hạn, với số hạng ab trong điều kiện xác định, ta sử dụng các số hạng

, ,

3 3

a b

: Ta có:

3

a + + b ≥ a b = ab

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a + + b ≥ ab b + + c ≥ bc c + + a ≥ ca

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

1

3

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

1 3

a b c = = =

Nhận xét 4 Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy ra với a = b = c của bất

đẳng thức để thêm hệ số cho thích hợp.

Ví dụ 5 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

( ) ( ) ( ) ( )

2

a b c

b b c + c c a + a a b ≥ + +

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c = = thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng minh,

chẳng hạn số hạng ( )

3

a

b b c + ta thu được 2 a Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa nhân

tử b b c , + Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng b b c 2 , 4 + và sử dụng

bất đẳng thức Côsi với n = 3:

a

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a b b c

a b b c

a b c

Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a b b c

a b b c

a b c

;

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

3 2 1

2

a b c a b c

b b c c c a a a b

a b c

b b c c c a a a b

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = =

Nhận xét 5 Ta sử dụng bất đẳng thức Côsi kết hợp với một số bất đẳng thức phụ

Ví dụ 6 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a b c

bc + ca + ab ≥ + +

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

c ab c ab a

bc + + ≥ bc =

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

5 2 2

a

c ab a b c

Tương tự, ta có:

5

b

a bc b

ca + + ≥

(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c = = )

5

c

b ca c

ab + + ≥

(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c = = )

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

3

a b c ab bc ca a b c

bc ca ab

a b c a b c ab bc ca

bc ca ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = =

Áp dụng bất đẳng thức phụ: a2 + + ≥ b2 c2 ab bc ca + + Ta có:

a b c

bc + ca + ab ≥ + +

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c = =

Nhận xét 6 Đặt ẩn phụ trước khi biến đổi giúp ta đưa một số bất đẳng thức về các bất

đẳng thức đơn giản.

Ví dụ 7 Với các số dương a, b, c Chứng minh rằng:

2

3 2

c b

a b c ac ab

b ac

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Chia cả hai vế cho bc > 0, ta được:

3

a b

b ac b bc c

Đặt

a x b c

y z

bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

x y z

xy yz zx

y + z + x ≥ + +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 1

x y z a

b c

= = ⇔ = =

Nhận xét 7 Sử dụng hằng đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Côsi.

Ví dụ 8 Với a, b, c dương, chứng minh rằng:

a ab b b bc c c ca a

+ +

Giải Đặt

P

a ab b b bc c c ca a

Q

a ab b b bc c c ca a

+ + + + + + Ta có:

0 2

P Q

a ab b b bc c c ca a

a b b c c a

P P Q

a ab b b bc c c ca a

= − + − + − =

Mặt khác, ta có:

3 1

a b ab a b ab a b ab

a b ab a ab b

Chứng minh tương tự, ta được:

b c b c c a c a

b c bc c a ca

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên , ta được:

a ab b b bc c c ca a

Nhận xét 8 Khi biến đổi ta điều chỉnh các hệ số sao cho khử được hết các số hạng

không có mặt trong bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 9 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

( ) ( )

2

a

b c a + c a b + b c ≥ +

+ + + Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có:

2

b c a b c

b c a c a b b c

a

b c a c a b b c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a b c = =

d Ví dụ tương tự:

Ví dụ 10 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Ví dụ 11 Với các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca + + = 3, chứng minh rằng:

Ví dụ 12 Với các số dương a, b, c thỏa mãn a b c + + = 3 abc, chứng minh rằng:

a b + b c + c a ≥ a b c

Hướng dẫn: 4 4

1 1

Ví dụ 13 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

b c a c a b a b c

+ +

Ví dụ 14 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a b c a b c

b + c + a ≥ c + a + b

Ví dụ 15 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a b c

b b a + c c b + a a c ≥ + +

Hướng dẫn: BĐT cần chứng minh tương đương với

a

a b c

b b a + c c b + a a c ≥ + +

Áp dụng Ví dụ 10 ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 16 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a b c

ab bc ca

b + c + a ≥ + +

Hướng dẫn:

a b c a b b c c a

ab bc ca

b + c + a ≥ c + a + b ≥ + +

Ví dụ 17 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

2 2

2

a b ca

b c abc

b + c + b + ≥

HD:

b + c + b + ≥ c + b + ≥ + ≥

Ví dụ 18 Với các số dương a, b, c chứng minh rằng:

2

b c + c a + a b >

HD :

Chứng minh tương tự, ta thu được:

2

b c + c a + a b ≥

Dấu đẳng thức không thể xảy ra nên ta có:

2

b c + c a + a b >

Ví dụ 19 Với các số dương a, b, c sao cho ab bc ca + + ≥ 3, chứng minh rằng:

4

a

Chứng minh tương tự, ta thu được:

21

4

a b c

;

2

a

a ≤ +

Chứng minh tương tự, ta thu được:

a b c + + + ≤ a + + + b c

8

a b c

2 Ứng dụng của bất đẳng thức Côsi

a.Chứng minh bất đẳng thức.

Ví dụ 20: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

3 2

2 2

2 2

− +

+

− +

+

−

c b

a c

b a

c b

a

(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)

Lời giải:

a a

c b a

a a

c b

a

+ +

≥

− +

=

− +

3 2

2 3

3 2

2

Dấu “=” xảy ra khi 2a=b+c Tương tự ta có:

b b

a c b

b b

a

c

b

+ +

≥

− +

=

−

+

3 2

2 3

3 2

2

Dấu “=” xảy ra khi 2b=a+c

c c

b a c

c c

b

a

c

+ +

≥

− +

=

−

+

3 2

2 3

3 2

2

Dấu “=” xảy ra khi 2c=a+b

Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được:

3 2

2 2

2 2

− +

+

− +

+

−

c b

a c

b a

c

b

a

.Dấu “=” xảy ra khi a= b= c.

Ví dụ 21 Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

( 2 2 ) (3 2 2 ) (3 2 2 )3 9 ( 2 2 2)

a b c b c a c a b

a b c

a b c b c a c a b

Giải Đặt x = 2 a + 2 b c y − , = 2 b + 2 c a z − , = 2 c + 2 a b −

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên x y z , , dương Ta có:

( )

4 4 4

x y z a b c

y z a b c

z x b c a

x y c a b

+ = + +

+ = + +

+ = + +

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

2

y z z x x y

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên , ta được:

2

2

x y x xy yz zx

x y z

y z z x x y

x y z

y z z x x y

Áp dụng bất đẳng thức x2 + y2 + ≥z2 xy yz zx+ + , ta được:

2

y z z x x y

b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 22 : Cho a,b,c >0 thỏa mãn: 1 2

1 1

1 1

+

+ +

+

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của P=a.b.c









 +

− +











 +

−

= +

− +

−

=

1 1 1

1 1 1

1 1

1 2 1

1

c b

c b a

= +1+ +1≥2. (b+1)(c+1)

bc c

c b

b

.Dấu “=” xảy ra khi b=c

Tương tự ta có: 1 2. ( 1)( 1)

1

+ +

≥

ac

b Dấu “=” xảy ra khi a=c

( 1)( 1)

2 1

1

+ +

≥

ab

c Dấu “=” xảy ra khi a=b Nhân ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được

( )( )( ) ( ) (2 ) (2 )2

2 2 2

1 1 1

8 1 1

1

1

+ +

+

≥ + +

c b a c

b

a

hay ( )( )( ) ( )( )( ) 8

1 1

1 1 8 1 1 1

+ + +

≥ + +

abc c

b

Vậy 8

1

≤

=abc

P

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=

1

2

c Giải phương trình.

Ví dụ 23: Giải phương trình: 8 1−x+8 1+x+81−x2 =3.

Lời giải:

ĐK:−1≤ x≤1.Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 8 số không âm ta có:

8

8 8

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

x

x = − ≤ − + + + + + + + = −

−

Dấu “=” xảy ra khi x=0

8

8 8

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

x

x = + ≤ + + + + + + + + = +

+

Dấu “=” xảy ra khi x=0

8

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

.Dấu “=” xảy ra khi x=0

Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được

3 1 8

8 8

8 1

1

8 −x+ +x+ −x ≤ −x + +x+ =

Dấu “=” xảy ra khi x=0.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=0

d So sánh.

Ví dụ 24: Một hình vuông và một tam giác có cùng diện tích thì hình nào có chu vi lớn hơn? Giải thích?

Lời giải:

Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, ha là đường cao ứng với cạnh a, m là cạnh của hình vuông Khi đó ta có: a.h a =2m2, b≥h a ,c≥h a ⇒b+c≥2.h a.

Do đó: a b c a h a h a m m

Cosi

a 2 2 2 4 4

+

≥ +

a

(Vô lý)

Do đó: a+b+c>4m hay tam giác có chu vi lớn hơn.

e Một hệ quả của bất đẳng thức Côsi

Với x,y >0 ta có: a) x+ y ≥ x+ y

4 1 1

; b) ( )2

4 1

y x

xy ≥ + Dấu “=” trong các bất đẳng thức trên xảy ra khi x=y

Ví dụ 25: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn: 8

1 1

z y

1 2

1 2

1

≤ + +

+ + +

+ +

x

Lời giải:

Ta có: x+ y+z =(x+y) (+ x+z) ≤ x+y + x+z≤ x+ y + z

1 1 2 16

1 1

1 4

1 1

2

1

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z

Tương tự ta có: x+ y+z ≤ x+ y+ z

1 2 1 16

1 2

1

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z







≤ +

x

2 1 1 16

1 2

1

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z

Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được :

2 8 4

1 1 1 1 4

1 2

1 2

1 2







≤ + +

+ + +

+

+

Dấu “=” xảy ra khi 8

3

=

=

= y z x

f Một số ví dụ có cách giải tương tự

Ví dụ 26: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

2 2

b a

c a c

b

c

b

+

+ +

+

+

c c

b b

a a

c c

b

b

2

3 2

3

2

3

+ +

≥ +

+

Ví dụ 27: Cho a≥2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

1

a a

S = +

Ví dụ 28: Cho a,b>0 và a+b≤1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S ab ab

1 +

=

Ví dụ 29: Cho a,b>0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b

ab ab

b a S

+ + +

=

Ví dụ 30: Cho Cho a,b,c>0 và 2

3

≤ + +b c a

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

2 2

a

c c

b b a

S = + + + + +

3 MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

a Kỹ thuật Côsi ngược dấu:

Ví dụ 31: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3

3 1

1

+

+ +

+

c c

b b

a

Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các mẫu số thì ta có:

2

3

2

1 2 2 2 1

1









 + +

= + +

≤ +

+ +

+

c c

b b

a a

c c

b b

a a

c c

b

b

a

? Như vậy ta sẽ được một bất đẳng thức đổi chiều, và do đó ta không có được điều phải chứng minh

Tuy nhiên, thử biến đổi một chút biểu thức đã cho ta thấy:

2 2

1

1

2 2

2 2

ab a b

ab a b

ab

a

b

−

=

−

≥ +

−

=

+ , thật may mắn vì đến đây ta được một bất đẳng thức cùng chiều Làm tương tự cho các biểu thức còn lại rồi cộng chúng lại ta được điều phải chứng minh

Lời giải :

2 2

2 2

ab a b

ab a b

ab a b

−

=

−

≥ +

−

= +

Tương tự ta có 1 1 2 2

2 2

2 2

bc b c

bc b c

bc b c

b Cosi

−

=

−

≥ +

−

= +

2 2

1 1

2 2

2 2

ac c a

ca c a

ca c a

−

=

−

≥ +

−

= + Cộng các bất đẳng thức trên với nhau vế với vế ta được:









 + +

− + +

≥ +

+ +

+

ac bc ab c b a a

c c

b

b

a

Mặt khác ta có: ( ) 9 3

3

1

3

≤ +

ab

3 2

3 3 1

1

+

+ +

+

c c

b b

a