Chuyên đề bất đẳng thức Cô si

tài liệu viết về bất đẳng thức cô si mục đích bồi dưỡng học sinh giỏi toán thcs, nhất là cho cuộc thi học sinh giỏi toán lớp 9. Bất đẳng thức cô si là một bất đẳng thức cơ bản. Nắm được bất đẳng thức cô si, học sinh sẽ giải quyết được nhiều bài toán khó về bất đẳng thức, đồng thời sẽ tạo nền tảng để giải quyết những bất đẳng thức khó hơn

CHUN ĐỀ: “BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI” 1.Bất đẳng thức Cơsi (Cauchy) a Bất đẳng thức Côsi: a+b ≥ ab *Cho hai số thực khơng âm a,b Khi ta có: Dấu “=” xảy a=b *(Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm a1 , a , , a n Khi ta có: a1 + a + + a n n ≥ a1 a a n n Dấu “=” xảy a1 = a = = a n Chứng minh: -Với n=2 bất đẳng thức hiển nhiên đúng và dấu bằng xảy và chỉ a1=a2 - Giả sử bất đẳng thức đúng đến n=k, tức là ∀a1 , a2 , , ak ≥ ta có: a1 + a + + a k k ≥ a1 a a k k , dấu bằng xảy a1 = a = = a k -Xét n=k+1.Với ∀a1 , a , , a k +1 ≥ ta có: S k +1 = a1 + a2 + + ak + ak +1 = k +1 k Theo giả thiết quy nạp, suy a1 + a2 + + ak + ak +1 k k +1 S k +1 ≥ (1) k k a1 a a k + a k +1 k +1 (2) Dấu “=” (2) xảy (theo giả thiết quy nạp) a1 = a = = a k Đặt a1 a a k = α Từ (3) ta có k ( k +1) S k +1 − k +1 và a k +1 = β a1 a a k +1 k +1 (2) dạng S k +1 ≥ k α k +1 + β k +1 k +1 k α k +1 + β k +1 ≥ −α kβ k +1 (3) (4) [ k α k +1 + β k +1 − kα k β − α k β VP( ) = = k α k ( α − β ) − β α k − β k k +1 k +1 Dễ dàng thấy rằng: ( )] ( α −β) = [α k −1 + α k − ( α + β ) + α k −3 (α + αβ + β ) + + (α k −1 + α k − β + + β k −1 ) ] k +1 VP( ) ≥ ⇒ S k +1 ≥ k +1 a1 a a k +1 Do α , β ≥ nên suy Do bất đẳng thức Cơsi cũng đúng với n=k+1.Theo ngun lý quy nạp ta suy bất đẳng thức Côsi đúng ∀n ∈ N a1 = a = a k ⇔ a1 = a = a k = a k +1  α = β  Dấu bằng xảy b Ví dụ Ví dụ 1.Chứng minh rằng nếu a, b, c là số dương thì: a ( a + b )  1 + ÷≥ a b  b ( a + b + c )  1 1 + + ÷≥ a b c  Giải a) Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: a + b ≥ ab (Đẳng thức xảy và chỉ a = b) 1 1 + ≥2 = a b ab (Đẳng thức xảy và chỉ a b ) Do đó: ( a + b )  1 + ÷ ≥ ab =4 ab a b Đẳng thức xảy và chỉ khi: a = b b) Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: a + b + c ≥ 3 abc (Đẳng thức xảy và chỉ a = b = c) 1 1 1 + + ≥ 33 = = a b c abc (Đẳng thức xảy và chỉ a b c ) Do đó: ( a + b + c )  1 1 + + ÷≥ abc 3 =9 a b c abc   Đẳng thức xảy và chỉ khi: a = b = c c Một số lưu ý biến đổi Nói chung, ta gặp bài toán sử dụng bất đẳng thức Cơsi ví dụ mà thường biến đổi bài tốn đến tình thích hợp mới sử dụng bất đẳng thức Côsi Khi biến đổi, ta thường sử dụng số hạng vế cộng thêm số hạng thích hợp và sử dụng bất đẳng thức Côsi Khi biến đổi, ta lưu ý số nhận xét sau: Nhận xét Số chiều BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng bậc cao Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≥ ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao là 3, nên ta sử dụng bất đẳng 3 thức Côsi cho số không âm Chẳng hạn, số hạng ab ứng với ba số a , b , b Cứ vậy, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: a3 + b3 + b3 ≥ 3ab ; b + c + c ≥ 3bc ; c + a + a ≥ 3ca Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: ( a + b3 + c ) ≥ 3( ab + bc + ca ) ⇔ a + b3 + c3 ≥ ab + bc + ca a = b  b = c ⇔ a = b = c c = a Dấu đẳng thức xảy và chỉ khi:  Nhận xét Bậc số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bậc số hạng cần mơ tả Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a b3 c + + ≥ ab + bc + ca b c a Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phải khơng chứa mẫu, ta cần khử mẫu bằng cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳng thức Bậc số hạng cần mô tả là hai, nên bậc số hạng thêm vào cũng là hai Chẳng a3 hạn, số hạng b có chứa mẫu là b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử b Bậc số a3 + ab ≥ 2a hạng là 2, nên ta cộng thêm vào ab b Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: a3 b3 c3 + ab ≥ 2a + bc ≥ 2b ; + ca ≥ 2c b a ; c Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: a b3 c + + + ab + bc + ca ≥ ( a + b + c ) b c a (1) Dấu đẳng thức xảy và chỉ : a = b = c 2 Lại có, a + b + c ≥ ab + bc + ca (2) Dấu đẳng thức xảy và chỉ a = b = c Từ (1) và (2) suy ra: a3 b3 c3 + + + ab + bc + ca ≥ ( ab + bc + ca ) b c a a b3 c3 ⇔ + + ≥ ab + bc + ca b c a Dấu đẳng thức xảy và chỉ a = b = c Nhận xét Khi bậc không số hạng cộng thêm số Ví dụ Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = , chứng minh a + b3 + c3 ≥ rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? a=b=c= Phân tích: Cho a = b = c thay vào điều kiện ta tính Sử dụng bất đẳng thức Cơsi với n = cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa biến thích hợp để mơ tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh Chẳng hạn, với số hạng ab điều kiện xác định, ta sử dụng số hạng a , b3 , 3 : Ta có: a + b3 + 3 ≥ 3 a 3b3 = ab 3 Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a + b3 + 3 ≥ ab 3; b3 + c + 3 ≥ bc 3; c + a + 3 ≥ ca Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: ≥ ( ab + bc + ca ) = 3 ⇒ ( a + b3 + c ) ≥ ⇒ a + b3 + c ≥ 3 ( a + b3 + c ) + a=b=c = Dấu đẳng thức xảy và chỉ : Nhận xét Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy với a = b = c bất đẳng thức để thêm hệ số cho thích hợp Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ ( a + b + c) b( b + c) c( c + a) a ( a + b) Dấu đẳng thức xảy nào? Phân tích: Cho a = b = c thay vào số hạng bên vế trái BĐT cần chứng minh, chẳng hạn số hạng a3 b( b + c) a ta thu Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa nhân b b+c , tử b, b + c Do đó, ta thêm vào số hạng và sử dụng bất đẳng thức Côsi với n = 3: a3 b b+c a3 b b+c + + ≥ 33 = a b( b + c) b( b + c) Dấu đẳng thức xảy và chỉ khi: 2a = b ( b + c ) a3 b b+c = = ⇔ ⇔ a =b=c b( b + c) b = c Ta làm tương tự với số hạng khác thu bất đẳng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: a3 b b+c a3 b b+c + + ≥ 33 = a b( b + c) b( b + c) Dấu đẳng thức xảy và chỉ khi: 2a = b ( b + c ) a3 b b+c = = ⇔ ⇔ a=b=c b( b + c) b = c  b c c+a c a a+b + + ≥ b; + + ≥ c c( c + a) a ( a + b) 3 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: a3 b3 c3 + + + a + b + c ≥ ( a + b + c) b( b + c) c ( c + a) a ( a + b) a3 b3 c3 ⇔ + + ≥ ( a + b + c) b( b + c) c( c + a) a ( a + b) Dấu đẳng thức xảy và chỉ a = b = c Tương tự, ta có: Nhận xét Ta sử dụng bất đẳng thức Côsi kết hợp với số bất đẳng thức phụ Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a5 b5 c5 + + ≥ a + b2 + c 2 bc ca ab Dấu đẳng thức xảy nào? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: a5 a5 2 + c + ab ≥ c ab = 3a 2 bc bc a5 = c = ab ⇔ a = b = c Dấu đẳng thức xảy và chỉ khi: bc Tương tự, ta có: b5 + a + bc ≥ 3b2 ca (Dấu đẳng thức xảy và chỉ khi: a = b = c ) c5 + b + ca ≥ 3c 2 ab (Dấu đẳng thức xảy và chỉ khi: a = b = c ) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: a5 b5 c5 + + + a + b + c + ab + bc + ca ≥ ( a + b + c ) bc ca ab 5 a b c5 ⇔ + + ≥ a + b + c + ( a + b + c − ab − bc − ca ) bc ca ab Dấu đẳng thức xảy và chỉ a = b = c 2 Áp dụng bất đẳng thức phụ: a + b + c ≥ ab + bc + ca Ta có: a5 b5 c5 + + ≥ a + b2 + c 2 bc ca ab Dấu đẳng thức xảy và chỉ khi: a = b = c Nhận xét Đặt ẩn phụ trước biến đổi giúp ta đưa số bất đẳng thức bất đẳng thức đơn giản c2 b a b c + + ≥ ac + ab + b ac Ví dụ Với số dương a, b, c Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy nào? Giải Chia hai vế cho bc > , ta được: a 3b + c a a + ≥ + + b3 ac b bc c a = x, b = Đặt 1 ,c= y z bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: x3 y z + + ≥ xy + yz + zx y z x Đẳng thức xảy và chỉ x= y=z⇔a= 1 = b c Nhận xét Sử dụng đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cơsi Ví dụ Với a, b, c dương, chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a Giải Đặt P= a3 b3 c3 + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a b3 c3 a3 Q= + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a Ta có: a − b3 b3 − c c3 − a3 P −Q = + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a = a −b+b−c+c−a = ⇒ 2P = P + Q = a + b3 b3 + c c3 + a3 + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a Mặt khác, ta có: a + b ≥ ab ⇔ ( a + b − ab ) ≥ a + b + ab a + b − ab a + b3 a+b ⇔ ≥ ⇔ ≥ 2 a + b + ab a + ab + b b3 + c b+c c3 + a c+a ≥ ; ≥ 2 c + a + ca Chứng minh tương tự, ta được: b + c + bc Cộng vế với vế bất đẳng thức , ta được: 2P = a + b3 b3 + c c3 + a3 a+b+c a+b+c + + ≥ ⇔ P ≥ a + ab + b2 b2 + bc + c c + ca + a 3 Nhận xét Khi biến đổi ta điều chỉnh hệ số cho khử hết số hạng khơng có mặt bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a3 b3 c2 b + + ≥a+ b( c + a) c ( a + b) b + c Đẳng thức xảy nào? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: a3 b c+a b3 c a+b c2 b+c + + ≥ a; + + ≥ b; + ≥c b( c + a) c ( a + b) b+c Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có: a3 b3 c2 a 3 + + + +b+c≥ a+ b+c b( c + a) c ( a + b) b + c 2 a3 b3 c2 b ⇔ + + ≥a+ b( c + a) c ( a + b) b + c Đẳng thức xảy và chỉ : a = b = c d Ví dụ tương tự: Ví dụ 10 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a 4b + b 4c + c a ≥ abc ( a 2b3 + b 2c + c 2a ) Ví dụ 11 Với số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = , chứng minh rằng: a + b3 + c ≥ Ví dụ 12 Với số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3abc , chứng minh rằng: a 4b + b 4c + c a ≥ 3a 4b 4c Hướng dẫn: 1 + +1 +1 ≥ a b ab Ví dụ 13 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ b ( c + 2a ) c ( a + 2b ) a ( b + 2c ) Ví dụ 14 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a b6 c a b c + + ≥ + + b3 c a c a b Ví dụ 15 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a3 2b3 128c3 + + ≥ a + 2b + 4c b ( 2b + a ) c ( 2c + b ) a ( a + 4c ) Hướng dẫn: BĐT cần chứng minh tương đương với a3 ( 2b ) ( 4c ) ≥ a + 2b + 4c + + ( ) ( 2b ) ( 2b + a ) ( 4c ) ( 4c + 2b ) a ( a + 4c ) 3 Áp dụng Ví dụ 10 ta có điều phải chứng minh Ví dụ 16 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a b8 c + + ≥ ab3 + bc3 + ca3 b c a Hướng dẫn: a b c a 4b b c c a + + ≥ + + ≥ ab3 + bc3 + ca b c a c a b Ví dụ 17 Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: a b 2ca + 2+ + 4b 2c ≥ 8abc b c b a b 2ca 2a 2b 2ca 2 + 2+ + 4b c ≥ + + 4b 2c ≥ 4a + 4b 2c ≥ 8abc c b c b HD: b Ví dụ 18 Với số dương a, b, c chứng minh rằng: a b c + + >2 b+c c+a a+b a + b + c ≥ a( b + c) ⇔ HD : 2a a ≤ ⇔ ≤ a+b+c a+b+c b+c a( b + c) Chứng minh tương tự, ta thu được: a b c + + ≥2 b+c c+a a+b Dấu đẳng thức không thể xảy nên ta có: a b c + + >2 b+c c+a a+b Ví dụ 19 Với số dương a, b, c cho ab + bc + ca ≥ , chứng minh rằng: a + + b + + c + ≤ ( a + b2 + c2 ) Hướng dẫn: ( a + 3) + ≥ a+3 ⇔ a+3≤ a+7 a+3 + b+3+ c+3 ≤ Chứng minh tương tự, ta thu được: a + b + c + 21 ; a2 + a≤ a + b + c + 21 a + b + c + 45 ≤ Chứng minh tương tự, ta thu được: a + b + c + 45 2 a + b + c ≥ ab + bc + ca ≥ ⇒ ≤ ( a2 + b2 + c ) Ứng dụng bất đẳng thức Côsi a.Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 20: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: a b c + + ≥ 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c (Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Lời giải: Ta có: a a a = ≥ 2b + 2c − a 3a.( 2b + 2c − a ) a + b + c Dấu “=” xảy 2a=b+c Tương tự ta có: b b b = ≥ 2c + 2a − b 3b.( 2c + 2a − b ) a + b + c Dấu “=” xảy 2b=a+c c c c = ≥ 2a + 2b − c 3c.( 2a + 2b − c ) a + b + c Dấu “=” xảy 2c=a+b Cộng bất đẳng thức vế với vế ta được: a b c + + ≥ 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Dấu “=” xảy a= b= c Ví dụ 21 Với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: ( 2a + 2b − c ) a + b + 4c ( 2b + 2c − a ) + b + c + 4a ( 2c + 2a − b ) + c + a + 4b ≥ a + b2 + c ) ( Giải Đặt x = 2a + 2b − c, y = 2b + 2c − a, z = 2c + 2a − b Vì a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên x, y, z dương Ta có: x2 + y + z = ( a2 + b2 + c2 ) y + z = a + b + 4c z + x = b + c + 4a x + y = c + a + 4b Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: x3 y3 x3 x2 + y + z + + ≥ y+z z+x x+ y Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: x( y + z) y ( z + x) z( x + y) x3 y3 z3 2 + ≥x ; + ≥y ; + ≥ z2 y+z y+z x+ y Cộng vế với vế bất đẳng thức , ta được: x3 y3 x3 xy + yz + zx + + + ≥ x2 + y2 + z y+z z+x x+ y x3 y3 x3 xy + yz + zx ⇔ + + ≥ x2 + y2 + z − y+z z+x x+ y 2 2 Áp dụng bất đẳng thức x + y + z ≥ xy + yz + zx , ta được: x3 y3 x3 x2 + y + z + + ≥ y+z z+x x+ y b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1 + + =2 Ví dụ 22 : Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a + b + c + Tìm giá trị lớn (GTLN) P=a.b.c Lời giải: = 1 1     = 2− − = 1 −  + 1 −  b + c +  b + 1  c + 1 Ta có: a + b c bc + ≥ ( b + 1)( c + 1) Dấu “=” xảy b=c b +1 c +1 ≥ b + Tương tự ta có: ≥ c +1 ac ( a + 1)( c + 1) Dấu “=” xảy a=c ab ( a + 1)( b + 1) Dấu “=” xảy a=b Nhân ba bất đẳng thức vế với vế ta ≥ ( a + 1)( b + 1)( c + 1) a b c ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) abc ≥ ⇒ abc ≤ ( a + 1)( b + 1)( c + 1) hay ( a + 1)( b + 1)( c + 1) Vậy P = abc ≤ 1 Dấu “=” xảy a=b=c= c Giải phương trình 8 Ví dụ 23: Giải phương trình: − x + + x + − x = Lời giải: ĐK: − ≤ x ≤ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm ta có: − x = (1 − x ).1.1.1.1.1.1.1 ≤ (1 − x ) + + + + + + + = − x 8 Dấu “=” xảy x=0 + x = (1 + x ).1.1.1.1.1.1.1 ≤ (1 + x ) + + + + + + + = + x 8 Dấu “=” xảy x=0 − x = (1 − x )(1 + x ).1.1.1.1.1.1 ≤ ( − x ) + (1 + x ) + + + + + + = Dấu “=” xảy x=0 Cộng ba bất đẳng thức vế với vế ta 1− x + 1+ x + 1− x2 ≤ 8− x 8+ x + +1 = 8 Dấu “=” xảy x=0.Vậy phương trình cho có nghiệm x=0 d So sánh Ví dụ 24: Một hình vng tam giác có diện tích hình có chu vi lớn hơn? Giải thích? Lời giải: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, là đường cao ứng với cạnh a, m là cạnh hình vng Khi ta có: a.ha = 2m , b ≥ , c ≥ ⇒ b + c ≥ 2.ha Cosi Do đó: a + b + c ≥ a + 2.ha ≥ 2a.ha = 4m = 4m Dấu “=” xảy a=2b=2c=2ha (Vơ lý) Do đó: a + b + c > 4m hay tam giác có chu vi lớn e Một hệ bất đẳng thức Cơsi Với x,y >0 ta có: 1 + ≥ a) x y x + y ; ≥ xy ( x + y ) b) Dấu “=” bất đẳng thức xảy x=y 1 + + =8 x y z Ví dụ 25: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn: 1 + + ≤2 x + y + z x + y + z x + y + z Chứng minh rằng: Lời giải: 1 1 1  2 1  ≤  + +  = ≤  + x + y + z ( x + y ) + ( x + z ) x + y x + z   16  x y z  Ta có: Dấu “=” xảy x=y=z 1 1 1 ≤  + +  Tương tự ta có: x + y + z 16  x y z  Dấu “=” xảy x=y=z 1 1 2 ≤  + +  x + y + z 16  x y z  Dấu “=” xảy x=y=z Cộng ba bất đẳng thức vế với vế ta : 1 1 1 1 + + ≤  + +  = = 2x + y + z x + y + z x + y + 2z  x y z  Dấu “=” xảy x= y=z= f Một số ví dụ có cách giải tương tự Ví dụ 26: Cho a,b,c là số dương.Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ a) b + c c + a a + b a3 b3 c3 a b2 c + + ≥ + + b c a c a b) b Ví dụ 27: Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S =a+ a2 Ví dụ 28: Cho a, b > và a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ 29: Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức S= a+b ab + S = ab + ab a+b ab Ví dụ 30: Cho Cho a, b, c > và S = a2 + a+b+c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 + b2 + + c2 + 2 b c a MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI a Kỹ thuật Cơsi ngược dấu: Ví dụ 31: Cho số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3 a b c + + ≥ 2 2 Chứng minh rằng: + b + c + a Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho mẫu số ta có: a b c a b c a b c + + ≤ + + =  + +  ≥ 2 2b 2c 2a  b c a  ? 1+ b 1+ c 1+ a Như ta bất đẳng thức đổi chiều, và ta khơng có điều phải chứng minh Tuy nhiên, thử biến đổi chút biểu thức cho ta thấy: a ab Cosi ab ab = a − ≥ a − =a− 2 2b , thật may mắn đến ta bất đẳng thức 1+ b 1+ b chiều Làm tương tự cho biểu thức lại cộng chúng lại ta điều phải chứng minh Lời giải : a ab Cosi ab ab = a − ≥ a − =a− 2 2b 1+ b Ta có: + b b bc Cosi bc bc = b − ≥ b − =b− 2 2c 1+ c Tương tự ta có + c c ca Cosi ca ac =c− ≥ c− =c− 2 2a 1+ a 1+ a Cộng bất đẳng thức với vế với vế ta được: a b c  ab + bc + ac  + + ≥ ( a + b + c) −   2 2 1+ b 1+ c 1+ a   1 ab + bc + ac ≤ ( a + b + c ) = = 3 Mặt khác ta có: a b c 3 + + ≥ 3− = 2 2 Từ suy + b + c + a Nhận xét: Như ta thấy rằng qua phép biến đổi ta đưa biểu thức mà ta muốn áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mang dấu âm, từ ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho mẫu mà bất đẳng thức chiều Đó là kỹ thuật Cơsi ngược dấu b Kĩ thuật chọn điểm rơi: Ví dụ 32: Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng a+b+ ≥ a+b Phân tích: a = b > ⇔ a = b =1  a b =  Ta dự đoán dấu bằng bất đẳng thức cho xảy a + b  α =α ⇒ = ⇔α =4  1 α  = a + b  Với a=b=1 ta có sơ đồ điểm rơi: Từ ta có lời giải: Lời giải: Ta có: a+b+ a+b 3.( a + b ) = + + ≥ a+b a+b ( a + b) ⋅ 3.2 ab + = 1+ = a+b 2 a = b > ⇔ a = b =1  a b =  Dấu “=” xảy c Kĩ thuật đồng bậc: Ví dụ 33: 2 Cho a, b, c > và a + b + c = a3 b3 c3 + + ≥ Chứng minh rằng: b + 2c c + 2a a + 2b 2 Phân tích: Vì vế trái là biểu thức có bậc nên ta sử dụng giả thiết a + b + c = để đưa bất đẳng thức cho thành bất đẳng thức đồng bậc 2: a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b Khi biểu thức cộng thêm cũng phải là biểu thức bậc 9a 9a + a ( b + 2c ) ≥ a.( b + 2c ) = 6a b + c b + c Giải Áp dụng bất dẳng thức Cơsi ta có: 9b 9b + b( c + a ) ≥ b.( c + 2a ) = 6b c + 2a Tương tự ta có: c + 2a 9c 9c + c( a + 2b ) ≥ c.( a + 2b ) = 6c a + 2b a + 2b Cộng bất đẳng thức vế với vế ta được:  a3 b3 c3  2 9 + + ÷+ ( ab + bc + ac ) ≥ ( a + b + c ) b + c c + a a + b   ≥ ( a + b + c ) + ( ab + bc + ac ) Do ( a + b2 + c2 )  a3 b3 c3   ≥ a + b + c 9 + + b + c c + a a + b ≥ ( ab + bc + ac ) Suy ra:   ( )  a3 b3 c3  a + b2 + c 1   ≥ + + = a=b=c= b + c c + a a + b 3  Hay  Dấu “=” xảy ... ÷≥ abc 3 =9 a b c abc   Đẳng thức xảy và chỉ khi: a = b = c c Một số lưu ý biến đổi Nói chung, ta gặp bài tốn sử dụng bất đẳng thức Cơsi ví dụ mà thường biến đổi bài tốn đến tình... ba số a , b , b Cứ vậy, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a3 + b3 + b3 ≥ 3ab ; b + c + c ≥ 3bc ; c + a + a ≥ 3ca Cộng vế với vế bất đẳng thức... a b c + + ≥ 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c (Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Lời giải: Ta có: a a a = ≥ 2b + 2c − a 3a.( 2b + 2c − a ) a + b + c Dấu “=” xảy 2a=b+c