A. Lý thuyÕt 1. BÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè kh«ng ©m: Cho a 1 , a 2 ≥ 0 th× 21 21 aa 2 aa ≥ + . (1) Chøng minh. Ta cã (1) ⇔ 0aa2aa 2121 ≥−+ ⇔ ( ) 0aa 2 21 ≥− . (2) Do (2) ®óng nªn (1) lu«n ®óng. DÊu “ = ” cña (1) x¶y ra ⇔ a 1 = a 2 . 2. BÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè kh«ng ©m: Cho a 1 , a 2 , a 3 ≥ 0 th× 3 321 321 aaa 3 aaa ≥ ++ . Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè kh«ng ©m, ta cã: 2121 aa2aa ≥+ , (3) 3 3213 3 3213 aaaa2aaaa ≥+ , (4) ( ) 4 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 4a a a a a a a a a a a a a a a+ ≥ = . (5) Céng tõng vÕ cña (3), (4), (5), ta ®îc a 1 + a 2 + a 3 3 321 aaa3 ≥ ⇔ 3 321 321 aaa 3 aaa ≥ ++ . (®pcm) §¼ng thøc x¶y ra ⇔ (3), (4), (5) ®ång thêi x¶y ra ®¼ng thøc ⇔ a 1 = a 2 = a 3 . 3. BÊt ®¼ng thøc C«-si cho bèn sè kh«ng ©m: Cho a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ≥ 0 th× 4 4321 4321 aaaa 4 aaaa ≥ +++ . Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè kh«ng ©m, ta cã: 3 a 1 + a 2 21 aa2 , (5) a 3 + a 4 43 aa2 , (6) 2 21 aa( + )aa 43 4 4321 aaaa4 . (7) Cộng từng vế của (5), (6), (7), ta đợc: 4 4321 4321 aaaa 4 aaaa +++ . Đẳng thức xảy ra (5), (6), (7) đồng thời xảy ra đẳng thức a 1 = a 2 = a 3 = a 4 . Tổng quát : Cho a 1 , a 2 ,,a n 0 , ta luôn có n a .aa n21 +++ n n21 a .aa . (*) Dấu = của (*) xảy ra a 1 = a 2 = = a n . Chú ý: Trong sách giáo khoa Đại số 10 thì bất đẳng thức Cô-si đợc phát biểu cho hai hoặc ba số dơng, nghĩa là nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si với nhiều hơn ba số thì ta cần phải chứng minh. Bạn đọc đã biết nếu chỉ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai hoặc ba số thì rất khó khai thác hết cái hay và các ứng dụng rộng của nó. Nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho trờng hợp hai hoặc ba số mà chứng minh đợc tơng đối ngắn gọn thì ta trình bày cách đó, còn nếu không ta sẽ áp dụng luôn. B.Bài tập Ví dụ 1 . Cho tổng S = a + 3 a 1 ( a > 0 ). +) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S 1 có tích không đổi: S = 33 a 1 3 a 3 a 3 a a 1 a +++=+ . Tổng S 1 = 3 a 1 3 a 3 a 3 a +++ có tích 27 1 a 1 . 3 a . 3 a . 3 a 3 = . +) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S 2 có tích là 4 )a2( 1 : 4 S = 333 a2 1 a2 1 2 a 2 a a 1 a +++=+ . Tæng S 2 = 33 a2 1 a2 1 2 a 2 a +++ cã tÝch lµ 3 3 4 1 1 1 . . . 2 2 2 2 (2 ) a a a a a = . VÝ dô 2. Cho tÝch P = sin 4 x cos 2 x . +) Ta sÏ biÕn ®æi tÝch P thµnh tÝch P 1 cã tæng kh«ng ®æi : P = sin 4 x. cos 2 x = 4 xcos. 2 xsin . 2 xsin 2 22 . TÝch P 1 = xcos. 2 xsin . 2 xsin 2 22 cã tæng xcosxsinxcos 2 xsin 2 xsin 222 22 +=++ = 1. +) Ta sÏ biÕn ®æi tÝch P thµnh tÝch P 2 cã tæng lµ 1 + cos 2 x . P = sin 4 x. cos 2 x . Ta cã 2 2 2 sin sin . .2cos 2 2 2 P x x x = . TÝch P 2 = xcos2. 2 xsin . 2 xsin 2 22 cã tæng xcos1xcos2xsinxcos2 2 xsin 2 xsin 2222 22 +=+=++ . C¸c BÊt §¼ng Thøc ®¹i sè 5 Bài 1 Cho hai số không âm a và b thoả mãn điều kiện a + b = 5 . Chứng minh: 1) ab 4 25 ; 2) a 2 b 27 500 ; 3) a 2 b 3 108 . Giải 1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có: ab 2 ba + ab 2 5 ab 4 25 . Dấu = xảy ra 2 5 ba 5ba ba == =+ = . 2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có: 3 b 2 a 2 a 3 b 2 a 2 a ++ 3 2 4 ba 3 ba + 4 ba 3 5 2 3 a 2 b 27 500 . Dấu = xảy ra = = =+ = 3 5 b 3 10 a 5ba b 2 a . 3) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số không âm, ta có: 6 5 3 b . 3 b . 3 b . 2 a . 2 a 5 3 b 3 b 3 b 2 a 2 a ++++ 2 3 5 5 108 a b a b+ 2 3 5 1 108 a b a 2 b 3 108. Dấu = xảy ra =+ = 5ba 3 b 2 a = = 3b 2a . Bài 2. Cho ba số không âm a, b, c thoả mãn điều kiện a + b 2 + c 3 = 11. Chứng minh : 1) a b 2 c 3 27 1331 ; 2) abc 6 1086 . Giải 1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có: 3 32 32 cab 3 cba ++ 3 32 cab 3 11 ab 2 c 3 27 1331 . Dấu = xảy ra = = = =++ == 3 32 32 3 11 c 3 11 b 3 11 a 11cba cba . 2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 11 số không âm,ta có: 7 2 2 2 3 3 6 . 6 6 3 3 3 2 2 11 a a b b b c c + + + + + + + 142 43 { 2 2 2 3 3 11 6 . . . . . . 6 6 3 3 3 2 2 lan a a b b b c c ≥ ⇔ 2 3 6 6 6 11 8 11 3.6 a b c a b c+ + ≥ hay 1 11 8 666 6.3 cba ≥ ⇔ 8666 6.3cba ≤ 6 108.6abc ≤⇔ . DÊu “=” x¶y ra = = = ⇔ =++ == ⇔ 3 32 32 2c 3b 6a 11cba 2 c 3 b 6 a . Bµi 3. Chøng minh r»ng: 1) Víi a, b ∈ [ ] 0;1 th× (1 – a )(1 – b)( a + b ) 27 8 ≤ . 2) Víi a ∈ [– 2; 2], b ∈ [ 3 1 ; 3], c ∈ [0; 4] th× ( )( )( ) [ ] 3 512 3c4b3a2c4b3a2 ≤+++−−− . Gi¶i 1) Do [ ] , 0;1a b ∈ nªn 1 0; 1 0; 0a b a b− ≥ − ≥ + ≥ . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè kh«ng ©m, ta cã: ( )( )( ) 3 3 bab1a1 bab1a1 ++−+− ≤+−− 27 8 )ba)(b1)(a1( ≤+−−⇔ . 8 Dấu = xảy ra 3 1 ba bab1 b1a1 == += = . 2) Vì [ ] 2; 2a , 1 ; 3 3 b và [ ] 0; 4c nên: 2 0a hay 2 4a , 3 0b hay 3 1b , 0c4 hay 0c4 . Từ đó suy ra 2a + 3b + 4c + 3 0. Đặt p = ( 2 a)( 3 b)( 4 c )( 2a + 3b + 4c + 3). Ta có 2 . 3 . 4p = (4 2a ) (9 3b ) (16 4c )( 2a + 3b + 4c + 3). áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm, ta có: ( 4 2a)( 9 3b)( 16 4c)( 2a + 3b + 4c + 3 ) 4 4 3c4b3a2c416b39a24 ++++++ . 24p 8 4 p 3 512 . Dấu = xảy ra +++= = = 3c4b3a2a24 c416b39 b39a24 =++++ +=+= += 1)12a2()5a2(a4 12a2b37c4 5a2b3 = = = 2c 3 1 b 2a . 9 Bài 4. Cho x 0; 2 ữ ; ,p q * N . Tìm GTLN của hàm số y = sin cos p p x xì ( ĐHBK HN 1997 ). Giải. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (p + q) số dơng, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos . . . sin sin cos cos . . . p q plan qlan plan qlan x x x x p p q q x x x x p q p p q q + + + + + + ữ ữ ữ ữ + ữ ữ ữ 1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43 1 44 2 4 43 1 44 2 4 43 . q 2 p 2 qp 22 q xcos . p xsin qp xcosxsin + + + qp 2qp qp q.p )xcos.x(sin )qp( 1 + + ( ) 2 qp qp qp xcos.xsin )qp( q.p + + qp qp qp )qp( q.p xcos.xsin + + . Dấu = xảy ra 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos 1 sin (0; ) (0; ) 2 2 q x x x p q p q p x x x p q x x = = + + = = + + = + = qp p xsin qp q xcos . 10 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = xcos.xsin qp bằng qp qp )qp( q.p + + , đạt đợc khi + = + = qp p xsin qp q xcos . Bài 5. Chứng minh rằng x R ta luôn có: 1) 324 xsinxcos + ; 2) 2 2 2002. 1 27 3 x x x + + + 4 ( ĐH An ninh 1997). Giải 1) Vì cos 1, sin 1x x nên xsinxsin xcosxcos 2 2 . Từ đó suy ra 4 2 2 cos sin cos sin 2 4 2 x x x x + + . Ta lại có xsinxsinxcos2xsinxcos 22222 2 2 1 2 2 1 224 ++=+ . áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có: 2 2cos 2 x + 2 2 2 2 2 sin sin 2cos sin sin 3 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x + ì ì 3 2 )xcosx.(sin2 xsinxcos 2 2 .324 22 22 + + = 3 324 xsinxcos + . 11 DÊu “=” x¶y ra ⇔ −= = = ⇔ = = = 1xsinxcos xsinxsin xcosxcos 2. 2 1 2 xsinxsin xcosxcos 22 2 2 xsinxcos 2 2 22 ⇔ 2 2 2 cos cos sin sin cos 0 ( ) 2 cos 0 x x x x x x k k x π π = = ⇔ = ⇔ = + ∈ = Z . 2) Ta cã 2 2 2 2 2 2 2002 1 2002 1 2002 1 2002 1 3 1 1 1 27 3 3 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x x − + + − + + − + + − + + + = + × + × + × . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho bèn sè d¬ng, ta cã: 2 2 2 2 2002 1 2 2 2002 1 2002 1 2002 1 3 4 1 1 1 27 3 4 3 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x x − + + − + + − + + − + + + ≥ × × × ⇔ 2 2 2 2 4 2002 1 3 3 6006 27 3 4. 3 x x x x x x − + + − + + ≥ ⇔ 4 x60061x2002x x 3.4327 2 2 ≥+ ++− ≥ 4. DÊu “=” x¶y ra ⇔ 0x 0x 3. 3 1 3 1x2002x x3 2 2 =⇔ = = ++− . 12 [...]... Giải Lần lợt áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có: 3 a1 + a1 + 26 1 2a 1 Dấu = xảy ra a1 = 1 a1 1 1 2 Dấu = xảy ra a1 = 1 3 a1 a1 Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên rồi rút gọn, ta đợc 3 a1 + Tơng tự: 1 1 a1 + 3 a1 a1 Dấu = xảy ra a1 = 1 1 1 a2 + Dấu = xảy ra a2 = 1 3 a2 a2 1 1 a3 + 3 an + Dấu = xảy ra an = 1 n an an 3 a2 + Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta có :... dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số dơng, ta có: 2a + 2a + 27 (a + 1) (a + 1) (a + 1) 27 ì ì ì 3 5 5 ( a 1) ì (a 1)(a +1) 3 3 3 (a 1)( a + 1)3 27 5 (a 1)(a +1) 3 Suy ra (3) đúng nên (1) đúng a+1 a 1= 3 Dấu = của (1) xảy ra a = 2 27 a 1= (a 1)(a + 1) 3 2) Xét vế trái của (2): VT = 2a + 1 (a b)(a c)(b + c) = ( a b ) + (a c) + ( b + c) + 1 (a b)(a c)(b + c) áp dụng bất đẳng thức Cô-si. .. 8 ab.(a + b) 3 Giải 1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có: (a + b) + 2 ab 2 2 ab( a + b) 2 ( a+ b Dấu = xảy ra 2) Ta có ( 3 ) 2 2 2 ab(a + b) 2 a + b = 2 ab a +3 b ) 3 = a + b + 33 ab ( ( a b a +3 b 3 ( ( ) ) a+ b ) 2 ) 8 64ab(a + b) 2 (đpcm) = 0 a = b ( ) ( ) = a + b + 3 ab 3 a + 3 b + 3 ab 3 a + 3 b + 3 ab 3 a + 3 b áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dơng, ta có: 18... dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có: 13 x2 + x + 1 1 3 3 x 2 ìx ì 3 = 3 3 x x Vậy (3) đúng nên (1) đúng Dấu = của (1) xảy ra x2 = x 1 x = 1 x= 3 x 2) Nếu x = 0 thì (2) luôn đúng Nếu x > 0, chia cả hai vế của (2) cho x4 , ta đợc: x 3 + x 2 + 3x + 2 7 x4 3 2 Xét vế trái của (4): VT = x + x + 3 x + (4) 2 1 1 = x3 + x 2 + ( x + x + x) + 4 + 4 ữ 4 x x x áp dụng bất đẳng thức Cô-si. .. c a [0; 2] Dấu = xảy ra a [0; 2] a = b = c = 2 a = b = c = 2 Vậy bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số a, b, c bằng 0 và số còn lại thuộc đoạn [0; 2] hoặc cả ba số a, b, c đều bằng 2 Bài 21 Chứng minh rằng với a, b [0; 2] thì 8 2 + ( 2 a )(2 b) a +b Giải Giả sử a b Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có (2 b) (2 + b) 4 (2 a)(2 b) Lại có: Suy ra 4( 2 a ) 2 +b 4(... ra a = 2 ; 2 2 3 a +an n a n =1 Dấu = xảy ra a = 2 n Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta đợc: 1 1 3n 2 + + a an 1 + ( a 1 + + a n ) (*) 1 1 + + ữ+ ( a1 + + an ) an a1 1) Xét vế phải của (*): VP(*) = 2 1 1 = + + a an 1 1 1 + + + a an 1 + ( a 1 + + a n ) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta đợc: 1 1 1 1 VP (*) 3 3 + + ữ + + ữ( a1 + + an )... 3 1 1 1 3 Chứng minh rằng 3 + 3 + 3 + 3 + a b c 2 Giải Để chứng minh các bất đẳng thức trên, ta chứng minh bài toán tổng quát sau: 25 Với , x, y, z > 0 thì ( + x) ( + y) ( + z) ( + 3 xyz ) 3 (*) Xét VT(*) = ( + x) ( + y) ( + z) = 3 + 2 (x + y + z) + (xy + yz + zx) + xyz Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: x+y+z3 3 xyz ; xy + yz + zx 3 3 x 2 y2z 2 Suy ra VT(*) 3 + 32 3 xyz + 3 3 x... 1) Lần lợt áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có: 3 abc a+b+c 3 6 a+b+c a b c ữ; 3 2 2 2 3 ( a + b)(b + c)(c + a) (1) a+b+b+c+c+a 3 3 a +b +c (a + b)(b + c)(c + a ) 8 3 (2) Nhân từng vế của (1) với (2), ta đợc: 9 a +b +c a 2 b 2 c 2 (a + b)(b + c)(c + a ) 8 3 (đpcm) 17 Dễ thấy dấu = xảy ra a = b = c 2) Lần lợt áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta... dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số dơng, ta có: 12a 2 + 2 2 2 2 5 5 4a 2 ì4a 2 ì4a 2 ì 3 ì 3 12a 2 + 3 10 a a 2a 2a 3 Vậy (4) đúng nên (2) đúng Dấu = của (2) xảy ra 4a 2 = 2 1 a5 = 3 2a 4 2 a = 1 2 Bài 10 Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh rằng: 9 a +b +c 3 1) a 2 b 2 c 2 (a + b)(b + c)(c + a ) 8 9 a+b+c 2) abc( a + b) 2 (b + c) 2 (c + a) 2 64 ữ 3 Giải 1) Lần lợt áp dụng bất đẳng. .. Vậy dấu = của (1) xảy ra khi và chỉ khi một trong hai số a và b bằng 0 còn số kia thuộc đoạn [0; 1] hoặc cả a và b đều bằng 1 Bài 20 Chứng minh rằng với a, b, c [0; 2] thì a b c ( 2 a )(2 b)(2 c) + + + 1 2+b+c 2+c+a 2+a +b 8 Giải Giả sử a = max(a, b, c) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta đợc 3 2 +b +c +2 b +2 c (2 + b + c)(2 b)(2 c) =8 3 ( 2 b )( 2 c ) 8 2+b+c Suy . sách giáo khoa Đại số 10 thì bất đẳng thức Cô-si đợc phát biểu cho hai hoặc ba số dơng, nghĩa là nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si với nhiều hơn ba số thì. chỉ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai hoặc ba số thì rất khó khai thác hết cái hay và các ứng dụng rộng của nó. Nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho trờng