Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009 I) MỞ ĐẦU : Trong đại số 8 hằngđẳngthứcđáng nhớ là một nội dung rất quan trọng và cần thiết. Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng các hằngđẳngthức vào giải toán là một nhu cầu không thể thiếu khi học đại số 8. Tuy nhiên khi vận dụng học sinh thường gặp phải những thuận lợi và khó khăn cần phải khắc phục sau: 1.Thuận lợi : - Vận dụng tốt hằng đẳngthứcđáng nhớ để giải toán, Học Sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, bài giải gọn và hạn chế nhiều sai sót khi biến đổi. - Hằngđẳngthứcđáng nhớ là một công cụ không thể thiếu trong vốn kiến thức của Học Sinh, để vận dụng giải bài toán từ lúc bắt đầu học cho đến các lớp trên. - Khi vận dụng hằngđẳngthức tốt, Học Sinh sẽ có kết quả bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích tinh thần say mê học toán. 2.Khó khăn: - Học Sinh thường gặp những bài toán mà khi biến đổi mới thấy được cần áp dụng dạnghằngđẳngthức nào. - Phạm vi vận dụng hằngđẳngthứcđể giải toán rộng, nên không biết khi nào thì áp dụng. - Khi vận dụng hằngđẳngthức thì Học Sinh còn nhầm lẫn về luỹ thừa, biểu thức, dấu, … dẫn đến bế tắc. Do đó để vận dụng tốt hằngđẳngthức vào giải toán Đại Số lớp 8 . Học Sinh cần: o Học thuộc lòng các hằngđẳngthứcđáng nhớ o Biết phối hợp với một số kiến thức khác o Sử dụng chính xác hằngđẳngthức mà nội dung từng bài toán yêu cầu. o Kết hợp với biến đổi, tính toán. GV soạn: Lê Văn Thái - 1 - Chuyênđề Đại số 8 Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009 II) KẾT QUẢ : Để học sinh có kết quả khả quan khi học Đại Số từ lớp 8 trở đi thì học sinh cần nắm chắc nội dung và cách giải quyết một số bài toán dạnghằngđẳngthức sau: 1. Những hằngđẳngthứcđáng nhớ : A.B ảy hằngđẳngthức :(SGK) Với A, B là các biểu thức - (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 - (A – B) 2 = A 2 – 2AB + B 2 - A 2 – B 2 = (A + B)(A – B) - (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B +3AB 2 +B 3 - (A – B) 3 = A 3 – 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 - A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 – AB + B 2 ) - A 3 – B 3 = (A – B) (A 2 + AB +B 2 ) B. Các hằngđẳngthức liên quan : - (A + B) 2 = (A –B) 2 + 4AB - (A – B) 2 = (A +B) 2 – 4AB - A 3 + B 3 = (A + B) 3 – 3AB (A+B) - A 3 + B 3 = (A – B) 3 + 3AB (A – B) - (A + B – C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB - 2AC – 2BC - A 2 + B 2 + C 2 = (A +B + C) 2 – 2(AB +BC +AC) - (A +B + C) 3 = A 3 + B 3 + C 3 + 3(A +B)(A + C)(B+C) - (A +B + C) 3 – (A 3 + B 3 + C 3 ) = 3(A +B)(A + C)(B+ C) - A 3 + B 3 + C 3 – 3ABC = ( A + B + C)(A 2 + B 2 +C 2 – AB – AC - BC) C. Các hằngđẳngthứcdạng tổng quát : - (A + B) n = A n + n A n-1 B + . . .+ n AB n-1 + B n - A n – B n = (A – B) (A n-1 + A n-2 B + . . . +AB n-2 + B n-1 ) - (A 1 + A 2 + . . . +A n ) 2 = A 1 2 + A 2 2 + . . . + A n 2 + 2(A 1 A 2 + A 1 A 3 +. . . +A n-1 A n ) 2. p dụng : Chúng tôi tạm chia theo nội dung sau, nhưng tất cả đều sử dụng hằngđẳngthứcđể giải. A.Thực hiện các phép tính : * Phương pháp: - Xem biểu thức đã cho có dạnghằngđẳngthức nào. - Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạnghằngđẳng thức. - Thực hiện các hằngđẳngthức hợp lý ta có kết quả (có thể kết quả không gọn). * Bài tập: a. (a – b – c) 2 – (a –b + c) 2 b. (a – x – y ) 3 – (a + x – y ) 3 c. (a + 1)(a + 2)(a 2 + 4)(a – 1)(a 2 + 1)(a – 2) d. (1 – x - 2x 3 + 3x 2 )(1 – x + 2x 3 – 3x 2 ) e. (a 2 – 1)(a 2 – a +1)(a 2 + a +1) GV soạn: Lê Văn Thái - 2 - Chuyênđề Đại số 8 Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009 * Giải: e. (a 2 – 1)(a 2 – a +1)(a 2 + a +1) = (a + 1) (a – 1) (a 2 – a + 1) (a 2 + a +1) = [(a + 1) (a 2 – a +1)] [(a – 1) (a 2 + a + 1)] = (a 3 +1) (a 3 – 1) = (a 3 ) 2 – 1 = a 6 – 1 B. Rút gọn biểu thức: * Phương pháp: - Xem biểu thức đã cho có dạnghằngđẳngthức nào. - Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạnghằngđẳng thức. - Thực hiện các hằngđẳngthức hợp lý ta có kết qủa thường thì kết quả rất gọn). * Bài tập: a.(2x + y) (4x 2 – 2xy + y 2 ) – (2x – y) (4x 2 + 2xy + y 2 ) b. 2(2x + 1) (3x – 1) + (2x +1) 2 + (3x – 1) 2 c. (x – y + z) 2 + (z – y) 2 + 2(x –y +z) . (y – z) d. (x – 3) (x + 3) – (x - 3) 2 e. (x 2 – 1) (x +2) – (x – 2) (x 2 + 2x +4) * Giải: c. (x – y + z) 2 + (z – y) 2 + 2(x –y +z) (y – z) = (x – y + z) 2 - 2(x – y + z) (z – y) + (z – y) 2 = [(x – y + z) – (z – y)] 2 = (x – y + z –z + y) 2 = x 2 C. Tính nhanh: * Phương pháp: - Xem biểu thức đã cho có dạnghằngđẳngthức nào. - Biến đổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức đã cho để xuất hiện dạnghằngđẳng thức. - Thực hiện hằngđẳngthức và các phép tính ta có kết quả. * Bài tập: a. 3 4 . 5 4 – (15 2 + 1) (15 2 – 1) b. 45 2 + 40 2 – 15 2 + 80 . 45 c. 50 2 – 49 2 + 48 2 – 47 2 + . . . +2 2 - 1 2 d. 3(2 2 + 1) (2 4 + 1) (2 8 + 1) (2 16 + 1) e. (3 +1) (3 2 +1) (3 4 + 1) (3 8 + 1) (3 16 + 1) * Giải: e. (3 +1) (3 2 +1) (3 4 + 1) (3 8 + 1)(3 16 + 1) = 1 2 .(3 2 – 1) (3 2 + 1) (3 4 + 1) (3 8 + 1) (3 16 + 1) = 1 2 .(3 4 - 1) (3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 + 1) GV soạn: Lê Văn Thái - 3 - Chuyênđề Đại số 8 Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009 = 1 2 . ( 3 8 - 1) (3 8 + 1) (3 16 + 1) = 1 2 . (3 16 - 1) (3 16 + 1) = 1 2 . (3 32 – 1) D.Tính giá trò biểu thức : * Phương pháp: - Dựa vào hằngđẳngthức thu gọn biểu thức. - Thay giá trò của biến vào biểu thức thu gọn. - Thực hiện phép tính các số ta có kết quả. * Bài tập: a. x 2 – 2xy - 4z 2 + y 2 tại x = 6, y = - 4, z = 45 b. x 3 + 9x 2 + 27x + 27 tại x = 97 c. 27 x 3 – 27x 2 y + 9xy 2 – y 3 tại x = 8, y = 25 d. x 2 - y 2 tại: x = 87, y = 13 e. 5x 2 z – 10xyz + 5y 2 z tại x = 124, y = 24, z = 2 * Giải: a. x 2 – 2xy - 4z 2 + y 2 = ( x 2 – 2xy + y 2 – 4z 2 = (x – y) 2 – (2z) 2 = (x – y + 2z) (x – y – 2z) = (6 + 4 + 90) (6 + 4 – 90) = 100 . (-80) = - 8000 E. Phân tích đa thức thành nhân tử : * Phương pháp: - Bản thân các hằngđẳngthức là ở dạng phân tích đa thức thành nhân tử. - Dựa vào hằngđẳngthứcđể tìm ra nhân tử chung, hoặc nhóm hạng tử, hoặc tách hạng tử, hoặc thêm bớt cùng một hạng tử. - Biết kết hợp để đưa đa thức về dạng tích các đa thức. * Bài tập: a. (a + b) (a 3 – b 3 ) – (a – b) (a 3 + b 3 ) b. x 6 – y 6 c. x(y + z) 2 + y(x + z) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz d. x 8 + x 4 + 1 e. x 3 – 3x 2 + 3x – 1 – y 3 * Giải: c. x(y + z) 2 + y(x + z) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz = x(y 2 + 2yz + z 2 ) + y(x 2 + 2xz + z 2 ) + z(x + y) 2 – 4xyz = xy 2 + 2xyz + xz 2 + x 2 y + 2xyz + yz 2 + z(x + y) 2 – 4xyz =(xy 2 + x 2 y) + (xz 2 + yz 2 ) + z(x + y) 2 GV soạn: Lê Văn Thái - 4 - Chuyênđề Đại số 8 Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009 =xy(y + x) + z 2 (x + y) + z(x + y) 2 =(x + y) [xy + z 2 + z(x + y)] =(x + y) (xy + z 2 + zx + zy) =(x + y) [(x(y +z) + z(y + z)] =(x + y) (y + z) (x + z) G.Chứng minh : có nhiều dạng * Phương pháp: + Chia hết: - Dựa vào hằngđẳngthức - Phân tích đa thức đã cho vềù dạng tích. Trong đó có ít nhất một thừa số chia hết cho số đó. - Phân tích đa thức đã cho thành tổng. Trong đó các số hạng phải chia hết cho số đó. + Biểu thức không phụ thuộc vào biến: - Dựa vào hằngđẳng thức. - Ta thực hiện các phép tính rút gọn kết quả không chứa biến. * Biểu thức dương hoặc âm: - Dựa vào hằngđẳngthức - Đưa biểu thức về dạng f(x) > 0 với ∀ x hoặc f(x,y) > 0 với ∀ x, y f(x) < 0 với ∀ x hoặc f(x,y) < 0 vơiù ∀ x, y + Chứng minh đẳng thức: - Chú ý điều kiện đã cho phù hợp với hằngđẳngthức nào. - Biến đổi biểu thứcđể sử dụng được điều kiện. * Bài tập: a. x 6 + 3x 2 y 2 + y 6 = 1 với x 2 + y 2 = 1 b. (x – 1) 3 - (x + 1) 3 + 6(x + 1) (x – 1) không phụ thuộc vào biến x. c. Số có dạng 1 + 2007 3 2 không phải là số nguyên tố. d. Cho A = (2x + y + 3) 2 – (2x – y -1) 2 . Chứng minh rằng: d.1) A M 4 ( với x,y thuộc z) d.2) A > 0 (với x > 0, y > 0) e.Nếu x, y, z là độ dài 3 cạnh của tam giác thì A = 4x 2 y 2 – (x 2 + y 2 - z 2 ) 2 luôn dương. * Giải: c.Ta biết: 3 2007 M 3 Đặt 3 2007 = 3n Ta có: 1 + 2007 3 2 = 1 + 2 3n = 1 3 + (2 n ) 3 = (1 + 2 n ) ( 1 – 2 n + 2 2n ) (tích 2 thừa số khác 1 và 1 + 2 3n ) Vậy 1 + 2007 3 2 không phải là số nguyên tố. H. Tìm giá trò nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu th ức: * Phương pháp: - Nhỏ nhất: Min f(x) = m GV soạn: Lê Văn Thái - 5 - Chuyênđề Đại số 8 Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009 +Dựa vào hằngđẳngthức chứng minh: f(x) ≥ m (m là hằng số) ∃ x 0 : f(x 0 ) = m − Lớn nhất: Max f(x) = M + Dựa vào hằngđẳngthức chứng minh: f(x) ≤ M (M là hằng số) ∃ x 0 : f(x 0 ) = M - Thông thường để làm loại toán này ta phải biến đổi để sử dụng hằngđẳngthức bình phương của một tổng (hoặc một hiệu), cộng (trừ) với một hằng số . - Lưu ý: hệ số của x 2 trong tam thức bậc 2 âm(hoặc dương) để tìm giá trò lớn nhất (hoặc nhỏ nhất). - Trường hợp: biểu thức là phân thức mà tử là một hằng số thì kết quả nghòch đảo với giá trò đa thức. - Trường hợp: biểu thức có 2 biến ta nhóm lại làm cho từng biến như trên. * Bài tập: a. x 2 - x + 1 b. x – x 2 c. x 2 + y 2 – x – 6y + 10 d. 2 2 6 5 9x x− − e. 2 3 2 2 3x x+ + Giải: c. x 2 + y 2 – x – 6y + 10 = (x 2 – x + 1) + ( y 2 – 6y + 9) = (x 2 – 2. x . 1 2 + 1 3 4 4 + ) + (y – 3) 2 = (x - 1 2 ) 2 + 3 4 + (y – 3) 2 ≥ 3 4 Vậy giá trò nhỏ nhất của biểu thức bằng 3 4 Khi (x - 1 2 ) 2 = 0 và (y – 3) 2 = 0 => x - 1 2 = 0 => y – 3 = 0 =>x = 1 2 =>y = 3 k.Làm tính chia đa thức cho đa thức : Phương pháp : − Xem đa thức bò chia hoặc đa thức chia ở dạnghằngđẳngthức nào. − Biến đổi đa thức về dạng tích và rút gọn ta có kết quả. Bài tập : a. (x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 ) : (x 2 – 2xy +y 2 ) b. (x 2 – 2xy +y 2 ) : (y – x) c. (x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ) : (x + y) GV soạn: Lê Văn Thái - 6 - Chuyênđề Đại số 8 Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009 d. (4x 2 – 9y 2 ) : (2x – 3y) e. (27x 3 – 1) : (3x – 1) Giải : e. (27x 3 – 1) : (3x – 1) = [(3x) 3 – 1] : (3x – 1) = (3x – 1) (9x 2 + 3x + 1) : ( 3x – 1) = 9x 2 + 3x + 1 M.Tìm x: * Phương pháp: - Dựa vào hằngđẳngthức phân tích một vế thành tích các đa thức. - Thu gon các thừa số, nhận xét và giải phương trình ax + b = 0, tìm x. * Bài tập: a. (x – 2) 3 – (x – 3) (x 2 + 3x + 9) + 6(x + 1) 2 = 15 b. 2x 3 – 50x = 0 c. 5x 2 – 4(x 2 – 2x +1) – 5 = 0 d. x 3 – x = 0 e. 27x 3 – 27x 2 + 9x – 1 = 1 * Giải: c. 5x 2 – 4(x 2 – 2x +1) – 5 = 0 => 5(x 2 – 1) – 4(x – 1) 2 = 0 => 5(x + 1) . (x – 1) – 4(x – 1) 2 = 0 => (x - 1) . [5(x + 1) – 4(x – 1)] = 0 => (x - 1) . (5x + 5 – 4x + 4) = 0 => (x – 1) . (x + 9) = 0 x - 1 = 0 => x = 1 x + 9 = 0 => x = - 9 N.Một số dạng khác: Nói chung hằngđẳngthức áp dụng rất nhiều dạng toán khác nhau. Nên tuỳ từng bài toán yêu cầu ta có vận dụng phù hợp. * Phương pháp: - Xem xét bài toán có thể thấy ngay dạnghằngđẳngthức hay không. - Biến đổi như thế nào để sử dụng được hằngđẳng thức. - Phối hợp các phương pháp nào nữa để giải quyết bài toán. * Bài tập: a.Tìm x, y, z, t thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1 (1) xy + yz + zt + tx = 1 (2) b.Tìm x, y, z, t thoả mãn điều kiện: x + y + z = 6 GV soạn: Lê Văn Thái - 7 - Chuyênđề Đại số 8 Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009 x 2 + y 2 + z 2 = 12 c.Phân tích đa thức 4x 3 + 8x 2 – 9x – 18 thành tích ba đa thức bậc nhất có dạng (x + a) (2x + b) (2x + c) . Tính a. b. c d. Cho a + b = -3, ab = 4. Tính : a 3 + b 3 e.Cho a + b = 10, ab = -11. Tính : (a – b) 2 f.Cho x 2 – 2x = 2. Tính : E = (x 4 – 4x 3 + 4x 2 ) + 5(x 2 – 2x) + 6 g.Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp bằng 11. Tìm 2 số ấy. * Giải: a. x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1 (1) xy + yz + zt + tx = 1 (2) 2 x 2 +2 y 2 + 2z 2 + 2t 2 = 2 (1’) 2xy + 2yz + 2zt + 2tx = 2 (2’) (1’) – (2’) = 2 x 2 +2 y 2 + 2z 2 + 2t 2 - 2xy + 2yz + 2zt + 2tx = 0 => (x 2 – 2xy + y 2 ) + (y 2 – 2yz + z 2 ) + (z 2 – 2zt + t 2 ) + (t 2 – 2tx + x 2 ) = 0 => (x – y) 2 + (y – z) 2 + (z – t) 2 + (t – x) 2 = 0 (x – y) 2 = 0 x – y = 0 x = y (y – z) 2 = 0 y – z = 0 y = z (z – t) 2 = 0 z – t = 0 z = t (t – x) 2 = 0 t – x = 0 t = x => x = y = z =t Do đó (1): 4x 2 = 1 x 2 = 1 1 4 2 x⇒ ± Vậy: 1 2 x y z t= = = = ± III. KẾT LUẬN: - Tôi đã giới thiệu một số bài toán ở Đại Số lớp 8 mà khi giải cần đến hằngđẳngthứcđáng nhớ. Nếu không nắm vững hằng đẳngthứcđáng nhớ, hoặc vận dụng không tốt, có thể ta sẽ không giải được bài toán. Điều đó cho thấy hằng đẳngthứcđáng nhớ có tầm quan trọng như thế nào trong việc giải toán. - Trong giảng dạy tôi thấy nếu học sinh nhận dạng hoặc biến đổi được hằngđẳngthức trong từng bài toán cụ thể thì vấn đề áp dụng hằngđẳngthứcđể giải các em sẽ tiến hành nhanh chóng. Từ đó học sinh quen dần việc chọn hằngđẳngthứcđể giải toán nếu có thể. - Rất mong Giáo Viên khi giảng dạy cần thiết phải cho Học Sinh nhận dạnghằngđẳngthức ở từng bài toán cụ thể hoặc biến đổi thế nào để áp dụng được hằngđẳng thức. Từ đó Học sinh quen dần việc vận dụng hằngđẳngthứcđể giải toán. - Trong phạm vi áp dụng giải toán của một chương nên phần nào chưa nói hết vai trò của hằngđẳng thức. Tôi cố gắng trình bày theo kinh nghiệm giảng dạy của mình để dạy hằngđẳngthức một cách có hệ thống, có cơ sở để giúp học sinh tiếp thu tốt hơn. Mong đồng nghiệp góp ý, bổ sung để “Sáng kiến kinh nghiệm” được hoàn chỉnh, giúp việc giảng dạy đạt hiệu quả cao hơn. Người viết GV soạn: Lê Văn Thái - 8 - Chuyênđề Đại số 8 => => => => Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009 Lê Văn Thái GV soạn: Lê Văn Thái - 9 - Chuyênđề Đại số 8 . biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào. - Biến đổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức. - Thực hiện hằng đẳng thức. thức: * Phương pháp: - Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào. - Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức. - Thực hiện các hằng