Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 8 Bài tập 1: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với: .M = a ( a + b ) ( a + c ); N = b ( b + c ) ( b + a ); P = c ( c + a ) ( c + b ). Bài tập 2. Chứng minh các đẳngthức sau: a) ( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab; b) ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x 3 + ( a + b + c ) x 2 + (ab + bc + ca) x + abc. Bài tập 3: Cho a + b + c = 2p. Chứng minh đẳng thức: 2bc + b 2 + c 2 a 2 = 4p ( p q ) Bài tập 4: Cho biểu thức: M = ( x - a ) ( x - b ) + ( x - b ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - a ) + x 2 Tính M theo a,b,c biết rằng x = 2 1 a + 2 1 b + 2 1 c. Bài tập 5. Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0; Chứng minh rằng: x =y = z Bài tập 6. Cho x + y = a + b, x 2 + y 2 = a 2 + b 2 ; Chứng minh rằng: x 3 + y 3 = a 3 + b 3 . Bài tập 7. Cho a + b = m, a b = n ; Tính ab và a 3 - b 3 theo m và n. Bài tập 8. Cho x+ y = 3. Tính giá trị của biểu thức: A = x 2 + 2xy + y 2 -4x - 4y + 1. Bài tập 9. Cho a 2 + b 2 + c 2 = m. Tính giá trị của biểu thức sau theo m: A = ( 2a + 2b - c ) 2 + ( 2b + 2c - a ) 2 + ( 2c + 2a - b ) 2 . Bài tập10. Chứng minh các hằng đẳngthức sau: a) ( a + b + c ) 2 + a 2 + b 2 + c 2 = ( a + b) 2 + ( b + c) 2 + ( c + a) 2 ; b) x 4 + y 4 + ( x + y ) 4 = 2 ( x 2 +_xy + y 2 ) 2 . Bài tập 11. Cho a 2 - b 2 = 4c. Chứng minh hằng đẳngthức ( 5a 3b + 8c ) ( 5a 3b 8c ) = ( 3a 5b ) 2 . Bài tập 12. Chứng minh rằng nếu: ( a 2 + b 2 ) ( x 2 + y 2 ) = ( a x + by ) 2 Với x,y khác 0 thì x a = y b Bài tập 13. Chứng minh rằng nếu: ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) = ( a x + by + cz ) 2 Với x,y,z khác 0 thì x a = y b = z c Bài tập 14. Cho ( a + b ) 2 = 2( a 2 + b 2 ). Chứng minh rằng: a = b. Bài tập 15. Chứng minh rằng a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau: a) a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca; b) ( a + b + c ) 2 = 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ); c) ( a + b + c ) 2 = 3 (ab + bc + ca ). Bài tập 16. Tính giá trị biểu thức: a 4 + b 4 + c 4 , biết rằng a + b + c = 0 và: Chuyênđề BDHS chứng minh đẳngthức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa năm 2007 1 a) a 2 + b 2 + c 2 = 2 ; b) a 2 + b 2 + c 2 =1. Bài tập 17. Cho a + b + c = 0. Chứng minh a 4 + b 4 + c 4 bằng mỗi biểu thức: a)2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ); b) 2(ab + bc + ca ) 2 ; c) 2 )( 2222 cba ++ . Bài tập 18.Chứng minh các hằng đẳng thức: a) ( ) ( )( )( ) accbbacbacba +++=++ 3 333 3 ; b) ( ) ( ) cabcabcbacbaabccba ++++=++ 222333 3 ; Bài tập 19. Cho a + b + c = 0 chứng minh rằng abccba 3 333 =++ . Bài tập 20. Cho x + y = 0, x. y = b tính giá trị của biểu thức sau theo a, b. a) x 2 + y 2 b) x 3 + y 3 c) x 4 + y 4 d) x 5 + y 5 Bài tập 21. a)Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x 3 + y 3 +3xy; b)Cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x 3 - y 3 -3xy; c)Cho x + y = 2 và x 2 + y 2 = 10 . Tính giá trị của biểu thức: x 3 + y 3 ; d) Cho x + y = a và x 2 + y 2 = b . Tính giá trị của biểu thức: x 3 + y 3 theo a, b. Bài tập 22. Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = a 3 + b 3 +3ab(a 2 + b 2 ) + 6 a 2 b 2 (a + b) . Bài tập 23. Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: B= a 3 + b 3 + c(a 2 + b 2 ) - abc . Bài tập 24. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau nếu; )()()( 222 bacacbcba ++ . Bài tập 25. Chứng minh rằng nếu a 2 + b 2 = 2ab thì a = b. Bài tập 25. Chứng minh rằng nếu a 2 + b 2 = 2ab thì a = b. Bài tập 26. Chứng minh rằng nếu a 3 + b 3 + c 3 = 3abc và a, b, c là các số dơng thì a = b = c. Bài tập 27. Chứng minh rằng nếu a 4 + b 4 + c 4 + d 4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dơng thì a = b = c = d. Bài tập 28. Chứng minh rằng nếu cbam ++= thì 222 )()()())()(( accbbaabcmacbmbcam +++=+++ Bài tập 29. Cho 1 22 =+ ba , 1 22 =+ dc , 0 =+ bdac , chứng minh rằng: 0=+ cdab . Bài tập 30. Cho biết x, y, z # 0, và ( ) 222 222 2 cba zyx czbyax ++= ++ ++ .Chứng minh rằng: z c y b x a == . Bài tập 31. Cho biết 0 =++ czbyax tính 222 222 )()()( czbyax yxabxzcazybc A ++ ++ = . Bài tập 32. Cho biết 0 =++ cba , a, b, c # 0. Tính 222222222 bac ca acb bc cba ab B + + + + + = . Chuyênđề BDHS chứng minh đẳngthức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa năm 2007 2 Bài tập 33. Cho biết 2 111 ;2 111 222 =++=++ cba cba . Chứng minh rằng: abccba =++ . Bài tập 34. Cho biết 0 =++ c z b y a x và 2 =++ z c y b x a . Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 2 2 2 z c y b x a ++ . Bài tập 35. Cho 2222 )( cbacba ++=++ và a, b, c # 0. Chứng minh rằng: abc cba 3111 333 =++ . Bài tập 36. Cho b c c a a b a c c b b a ++=++ chứng minh trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau. Bài tập 37. Cho a, b, c khác nhau đôi một và 0 111 =++ cba . Rút gọn các biểu thức sau: a) abcacbbca M 2 1 2 1 2 1 222 + + + + + = ; b) abc ab acb ca bca bc M 222 222 + + + + + = ; c) abc c acb b bca a M 222 22 2 2 2 2 + + + + + = . Bài tập 38. Cho a, b, c là các số đôi một khác nhau và b ac a cb c ba + = + = + . Tính giá trị biểu thức: M = + + + a c c b b a 1.1.1 . Bài tập 39.Cho a.b. c = 1, và cba cba 111 ++=++ .Chứng minh rằng trong ba số a,b,c tồn tại một số bằng 1. Bài tập 40. Chứng minh rằng nếu azyx =++ và azyx 1111 =++ thì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a. Bài tập 41. Các biểu thức zyx ++ và zyx 111 ++ có thể cùng giá trị bằng 0 đợc hay không. Bài tập 42. Tính giá trị của biểu thức 2 1 2 1 2 1 + + + + + = zyx M . Biết rằng: byaxcczaxbczbya +=+=+= 2,2,2 và 0 =++ cba . Bài tập 43. a) cho a.b.c = 2. Rút gọn biểu thức: 22 2 12 ++ + ++ + ++ = cac c bbc b aab a M ; b) cho a.b.c = 1. Rút gọn biểu thức: 111 ++ + ++ + ++ = cac c bbc b aab a N . Bài tập 44. Cho cb ba c a = , a # 0, b # 0, a - b # 0, b - c # 0. Chứng minh rằng: ccbbaa 1111 = + . Bài tập 45. Cho, a # 0, b # 0, c # 0. Rút gọn các biểu thức sau: a) ab c ca b bc a A 222 ++= b) 222 2 222 2 222 2 bac c acb b cba a B + + = . Bài tập 46. Tính giá trị biểu thức sau, biết rằng 0 =++ cba . = A + + + + ac b cb a ba c b ac a cb c ba . . Chuyênđề BDHS chứng minh đẳngthức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa năm 2007 3 Bài tập 47. Chứng minh rằng nếu ))(())(( 22 abcaacbabcbbca = và các số a, b, c và a b khác 0 thì cba cba 111 ++=++ . Bài tập 48. Cho 0,0,0 =++=++=++ z c y b x a zyxcba . Chứng minh rằng: 0 222 =++ cxbxax . Bài tập 49. Cho x xz z yz y xy 1 11 + = + = + . Chứng minh rằng: x = y = z hoặc x 2 y 2 z 2 = 1. Bài tập 50. Cho = + + + + + 1 ba c ac b cb a . Chứng minh rằng: = + + + + + 0 222 ba c ac b cb a . Bài tập 51. Cho = + + 0 ba c ac b cb a . Chứng minh rằng: = + + 0 )()()( 2 2 2 2 2 2 ba c ac b cb a . Bài tập 52. Cho a x x =+ 1 .Tính giá trị các biểu thức sau theo a: a) 2 2 1 x x + ; b) 3 3 1 x x + ; c) 4 4 1 x x + ; d) 5 5 1 x x + . Bài tập 53. Cho a, b, c thoả mãn a, b, c # 0, và 0 =++ cabcab . Tính abc accbba P ))()(( +++ = . Bài tập 54. Cho a, b, c thoả mãn ))()(( accbba +++ # 0 và ba c ac b cb a ac c cb b ba a + + + + + = + + + + + 222222 . Chứng minh rằng: a = b = c. Bài tập 55. Cho x, y, z # 0, và xyzzyx =++ và 3 111 =++ zyx . Tính giá trị của biểu thức: 222 111 zyx P ++= . Bài tập 56.Rút gọn biểu thức. a) ))(( 1 ))(( 1 ))(( 1 bcaccbabcaba A + + = b) ))(( 1 ))(( 1 ))(( 1 bcacccbabbcabaa B + + = c) ))(())(())(( bcac ab cbab ac caba bc C + + = d) ))(())(())(( 222 bcac c cbab b caba a D + + = Chuyênđề BDHS chứng minh đẳngthức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa năm 2007 4