Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán khó và phức tạp. Đây thường là câu lấy điểm 10 thi Đại học và trong các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh,... Thực sự bất đẳng thức thường chỉ dành cho những học sinh khá, giỏi trở lên và có quyết tâm đạt điểm 9, 10 trong các kỳ thi. Để giải quyết tốt với các bài toán bất đẳng thức thì việc nắm vững các kiến thức cơ bản là vô cùng quan trọng.
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN: Định nghĩa: Hệ thức dạng a > b (hay a < b; a �b; a �b ) gọi bất đẳng thức Tính chất: a) A > B � B < A b) A > B; B > C � A > C c) A > B A + C > B + C d) A > B C > D A + C > B + D A > B C > A.C > B.C A > B C < A.C < B.C e) < A < B < C < D < A.C < B.D f) A > B > A n > B n với n A > B A n > B n với n lẻ A > B A n > B n với n chẵn m > n > A > A m > A n m > n > < A < A m < A n A < B A.B > 1 > A B Phương pháp chứng minh: Phương pháp dùng định nghĩa Phương pháp biến đổi tương đương II/ PHƯƠNG PHÁP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA CHO PHƯƠNG PHÁP: 1/ Dùng định nghĩa: Chứng minh A > B Lập hiệu A –B sử dụng đẳng thức để phân tích thành tổng tích biểu thức khơng âm Ví dụ 1: Cho x, y, z số thực Chứng minh rằng: a) x + y + z xy + yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 2(x + y + z) Lời giải: a) Xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx ( x y)2 ( x z )2 ( y z ) ��0 = � � với x, y, z �R 2� = 2( x + y + z - xy – yz – zx) Dấu xảy x = y = z Ta có điều phải chứng minh b) Xét hiệu: x + y + z - ( 2xy - 2xz + 2yz ) = x + y + z - 2xy + 2xz - 2yz = ( x - y + z) 0 với x, y, z �R Dấu xảy x – y + z = c) Xét hiệu: x + y + z + - 2( x + y + z ) = x - 2x + + y - 2y +1 + z - 2z + = (x - 1) + (y - 1) +(z - 1) Dấu xảy x = y = z = Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng: a b2 �a b � �� a) �; �2 � a b2 c �a b c � �� b) � � � Lời giải: a b2 �a b � � a) Ta xét hiệu: � �2 � = a b2 a 2ab b2 = 2a 2b2 a b2 2ab = a b �0 4 a b2 �a b � �� Vậy � Dấu xảy a = b �2 � Ta có điều phải chứng minh a b2 c2 �a b c � � b) Ta xét hiệu: � � � 2 1� a b b c c a � �0 = � � 9� � a b c �a b c � �� Vậy � Dấu xảy a = b = c � � Ta có điều phải chứng minh a a22 an2 �a1 a2 an � �� * Bài toán tổng quát: � với �R n n � � Ví dụ 3: a) Với m, n, p, q số thực 2 Chứng minh rằng: m n p �m n p q b) Với a, b, c số thực Chứng minh rằng: a b4 c4 �abc(a b c) Lời giải: 2 a) Xét hiệu: m n p - m n p q �m2 � �m2 � �m2 � �m2 � � mn n2 � � mp p � � mq q � � m 1� �4 � �4 � �4 � �4 � � �� �� �� � 2 2 �m � �m � �m � �m � � n � � p � � q � � 1� �0 �2 � �2 � �2 � �2 � �m �2 n � �m p �2 Dấu xảy � �m q �2 �m � 1 �2 � m �n � �p m � m2 � � � n p q 1 � � m �q � � �m Ta có điều phải chứng minh b) Xét hiệu: a b4 c abc(a b c) a b c a 2bc b ac c ab (2a 2b4 2c4 2a 2bc 2b ac 2c ab) 2 2 1� �a b2 2a 2b2 b c 2b 2c c a 2� 2a 2c2 2a 2bc 2b2ac 2c2ab � � 2 1� �a b2 b2 c c a (a 2b b 2c 2b 2ac ) 2� (b2c c 2a 2c2ab) (a 2b c 2a 2a ab) � � 2 2 2� 1� �a b2 b2 c c a ab bc bc ac ab ac ��0 2� � Dấu xảy a = b = c Ta có điều phải chứng minh BÀI TẬP VẬN DỤNG: 1/ Với a, b số thực Chứng minh a b2 �ab a b 2/Với a, b, c, d, e số thực Chứng minh: a b2 c d e2 �a(b c d e) 3/ Cho a, b, c số thực Chứng minh: 3(a b2 c2 ) �(a b c)2 �3(ab bc ca) 1 � a b 1 ab 1 � b)Với 1 �ab �1 Chứng minh a b 1 ab 5/ Với a số thực Chứng minh (a 1)(a 2)(a 3)(a 4) �1 4/ a) Với ab �1 Chứng minh 2/ Biến đổi tương đương: Chứng minh A > B Biến đổi A > B � A1 B1 � A B2 � � A n Bn Nếu A n Bn A > B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e số thực chứng minh b2 �ab b) a b2 �ab a b a) a 2 2 c) a b c d e �a b c d e Lời giải: b2 a) a �ab � 4a b �4ab � 4a 4a b �0 � 2a b �0 (Luôn đúng) b2 �ab Dấu xảy 2a=b Vậy a Ta có điều phải chứng minh b) a b2 �ab a b � 2(a b 1) 2(ab a b) � a 2ab b2 a 2a b 2b �0 � (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 �0 ( Luôn đúng) Vậy a b2 �ab a b Dấu xảy a = b = Ta có điều phải chứng minh 2 2 c) a b c d e �a b c d e a2 b2 c2 d e2 �4a b c d e a a 2b a 2c a 2d a 2e 2 Dấu xảy tra a = 2b = 2c = 2d = 2e Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Cho a, b, số thực �0 (Luôn đúng) 10 10 a b2 � a8 b8 a b Chứng minh: a b Lời giải: a 10 b10 a b2 � a8 b8 a b4 a12 a10b2 a 2b10 b12 �a12 a8b4 a 4b8 b12 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4e �0 a8b2 a b2 a 2b8 b2 a �0 � a 2b2 (a b2 )(a b6 ) �0 � a 2b2 (a b2 )2 (a a 2b2 b ) �0 (Ln đúng) Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho a, b, c số thực thỏa mãn a b c Chứng minh ab 2bc 3ac �0 Lời giải: Từ giả thiết a b c � c a b ab 2bc 3ac �0 � ab c(2b 3a) �0 � ab (a b)(2b 3a) �0 � (3a 4ab 2b ) �0 � � a 2(a b)2 � �0 � � (Ln đúng) Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Cho a số dương Chứng minh : a 5(a 1) 11 � 2a a2 1 Lời giải: Ta có: a 5(a 1) 11 � 2a a2 1 a 5(a 1) 11 a 5(a 1) � �0 � �0 2a 2a a 1 a 1 (a 1)2 5(a 1)2 (a 1)2 �5 � � � � �0 � 2 2a �a a � 2(a 1) � � (a 1)2 5a a �0 a(a 1) ۳ (a 1)2 (a 1)2 9(a 1)2 2a(a 1) (Luôn đúng) Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 5: Cho số a, b, c thỏa mãn a3 36 abc = Chứng minh: a 3(b2 c2 ) 3(ab bc ca) a a 3(b2 c2 ) 3(ab bc ca) a2 � b2 c2 ab bc ca Ta có: bc � b2 2bc c a(b c) 3bc a2 0 3 a2 � b c a(b c) a � b c a(b c) a2 a2 0 a 12 � a � a3 36 � �b c � 0 2� 12 � (*) Vì a3 36 nên (*) ln Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6: Cho hai số thực a, b thỏa mãn: a b2 �a b Chứng minh: �a b �2 Lời giải: a b2 �a b � 2(a b2 ) �2(a b) � 2� (a b)2 2ab � �2(a b) � � � 2(a b)2 4ab 2(a b) �0 � (a b) 2(a b) (a b) �0 � (a b)2 2(a b) �0 � (a b) 2(a b) �1 � (a b 1)2 �1 � 1 �a b 1 �1 ۣ ۣ �0 a b Dấu xảy a = b = Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 7: Cho a số thực Chứng minh: a12 a a9 a Lời giải: Từ đề cần chứng minh: a12 a a9 a � a12 a9 a a Với a ta có: a12 a9 a a a12 a (1 a5 ) (1 a) (Ln đúng) Với a �1 ta có: a12 a9 a a a9 (a3 1) a (a 1) (Luôn đúng) Vậy a12 a a a Ta có điều phải chứng minh BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho a số thực Chứng minh: a/ a �4a b/ a a 4a Bài 2: Cho a, b số thực Chứng minh: a/ a b4 �4ab b/ 2(a 1) (b 1) �2(ab 1) Bài 3: Cho hai số thực a, b thỏa mãn a �b Chứng minh: ( a b )3 b/ a3 3a �b3 3b a/ a3 b3 � Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a b c � bc c a a b Bài 5: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 Chứng minh a c b a b c b �4 2a b 2c b Bài 6: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh: 1 a b 1 c d � 1 ac bd DANH SÁCH TÀI LIỆU THAM KHẢO: Được sưu tầm từ nguồn Internet biên tập ... phải chứng minh BÀI TẬP VẬN DỤNG: 1/ Với a, b số thực Chứng minh a b2 �ab a b 2/Với a, b, c, d, e số thực Chứng minh: a b2 c d e2 �a(b c d e) 3/ Cho a, b, c số thực Chứng minh: ... 1 � b)Với 1 �ab �1 Chứng minh a b 1 ab 5/ Với a số thực Chứng minh (a 1)(a 2)(a 3)(a 4) �1 4/ a) Với ab �1 Chứng minh 2/ Biến đổi tương đương: Chứng minh A > B Biến đổi A >... Vậy a12 a a a Ta có điều phải chứng minh BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho a số thực Chứng minh: a/ a �4a b/ a a 4a Bài 2: Cho a, b số thực Chứng minh: a/ a b4 �4ab b/ 2(a 1)