CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC AMGM

Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán khó và phức tạp. Đây thường là câu lấy điểm 10 thi Đại học và trong các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh,... Thực sự bất đẳng thức thường chỉ dành cho những học sinh khá, giỏi trở lên và có quyết tâm đạt điểm 9, 10 trong các kỳ thi. Để giải quyết tốt với các bài toán bất đẳng thức thì việc nắm vững các kiến thức cơ bản là vô cùng quan trọng. Có rất nhiều phương pháp giải toán bất đẳng thức và trong nội dung bài viết này tôi muốn nói đến việc áp dụng một bổ đề hay được suy ra từ BĐT AMGM.

BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM (AM viết tắt Arithmetic mean GM viết tắt Geometric mean) I Các dạng biểu diễn bất đẳng thức AM – GM Dạng tổng quát + Cho a1, a2, a3 , , an số thực khơng âm ta có: Dạng 1: a1  a2   an n � a1a2 an n a1  a2   an �n n a1a2 an Dạng 2: n �a1  a2   an � Dạng 3: � � � � �a1a2 an n � �  ( Dấu “ = “ xảy a1 = a = … = a n ) + Cho a1, a2, a3 , , an số thực dương ta có: 1 n2    � Dạng 1: a1 a2 an a1  a2   an �1 1�  a   a    � � n � ��n a a a �1 n �  ( Dấu “ = “ xảy a1 = a = … = a n ) Dạng 2: Một số dạng đặc biệt a  n Điều kiện Với n  a, b �0 Với n  a, b, c �0 Dạng a b � ab a b c � abc Dạng �a  b � � � �ab �2 � �a  b  c � � � �abc � � Dạng 1  � a b a b 1   � a b c a bc Điều kiện Dạng Dạng Dạng a, b  a, b, c  1� ��4 �a b � 1 �1 � � � � a  b �a b �  a  b � � x2 y  x  y   � a b ab Với x, y a, b > Dấu “=” � x y  a b 1 1�  ��9 �a b � 1 �1 1 � � �  � a  b  c �a b c �  a  b  c � � x2 y z  x  y  z    � a b c abc Với x, y , z a, b, c > Dấu “=” � …… Đẳng thức xảy x y z   a b c ……… …………… a=b a=b=c Một số bất đẳng thức (Bổ đề) suy từ bất đẳng thức AM-GM       + a2  b2 �2ab; a2  b2 � a  b ; a  b � a  b + a  b  c �ab  bc  ca +  a  b2  c  � a  b  c  �3  ab  bc  ca        + a4  b4  c4 � ab  bc  ca �3abc a  b  c II Áp dụng giải số toán dạng 6: Bài toán xuất phát: Cho a, b hai số x, y hai số dương 2  x  y Chứng minh rằng: x  y � a b ab (1) Chứng minh: * Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bx  a  b   ay  a  b  �ab  x  y  � abx  b x  a y  aby �abx  2abxy  aby 2 x y �  bx  ay  �0 (BĐT với x, y a, b > 0) Dấu “=” �  a b 2 x2 y z  x  y  z2  x  y  z  * Mở rộng BĐT (1) ta được: (2)   �  � a b c ab c a bc x y z Dấu “=” �   a b c 2 2 2 x  y z  t x  y  z t   Hoặc: x  y  z  t � (3)  � a b c d ab cd a b c d x y z t Dấu “=” �    a b c d …………………………………………………………………………… Vận dụng bổ đề ta xét số toán bất đẳng thức: Bài toán 1: Cho a, b, c, d > thỏa mãn: a + b + c + d = 1; CMR: 1 1    16 a b c d Chứng minh: 2 2    1 16 Áp dụng (3) ta được:        �   16 a b c d a b c d a b c d (đpcm) Dấu “=” xảy � a  b  c  d  Bài toán 2: CMR với  số thực a, b, c > a b c   � bc ca ab Chứng minh:  a  b  c a b c a2 b2 c2      � Ta có: b  c c  a a  b a  b  c  b  c  a  c  a  b   ab  bc  ca  Mà  a  b  c  �3  ab  bc  ca  �  a  b  c ab  bc  ca �3  a  b  c a b c a2 b2 c2      � � Do đó: b  c c  a a  b a  b  c  b  c  a  c  a  b   ab  bc  ca  2 Dấu “=” xảy � a  b  c * Ta mở rộng toán sau: Cho số thực dương a, b, c, p, q Chứng minh rằng: (đpcm) a b c   � pb  qc pc  qa pa  qb p  q Bài toán 3: Cho a, b, c số thực dương, chứng minh rằng: 2a 2b c2   �  2a  2b  c  2b  c 2a  c 4a  4b Chứng minh: 2 c� �c � � ab � 2 � � � 2� Ta có: a  b  �2 � ��   2a  2b  c  (đpcm) c c ab a  b  c b a 2 Bài toán 4: Cho a, b, c số thực dương, chứng minh rằng: a b c5   �a  b3  c3 bc ca ab Chứng minh:   b   c  5 6 a3 a b c a b c Ta có:        bc ca ab abc bca cab abc Dễ dàng chứng minh được: a  b3  c �3abc a b5 c   �a  b3  c3 Từ (1) (2) suy ra: bc ca ab 3 abc abc a �  b3  c3  (1) 3abc (2) (đpcm) Bài toán 5: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c   � 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ac  a Chứng minh: a3 b3 c3 Ta có:    a  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2 a4 b4 c4    a a2  ab  b2 b b2  bc  c2 c c2  ac  a2   a   b2  c2     a  b2  c2  �  a  b3  c3  a2b  ab2  b2c  bc2  a2c  ca2 a  b  c a2  b2  c2    Ta cần chứng minh  a2  b2  c2 a  b  c � a b c    Hay a2  b2  c2 � a  b  c Bất đẳng thức cuối đánh giá quen thuộc Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c Bài toán 6: Cho x, y, z > Chứng minh rằng: 2x 2y 2z 1   �   x6  y y  z z  x4 x4 y z Chứng minh:  x  1 � 4x (1); Ta có:   x  � x y x6 y x6  y x6  y 1 4y 1 4z  � (3); Tương tự:  � (2); y z y z z x z x Cộng theo vế BĐT (1); (2); (3) ta có: 2x 2y 2z 1   �   Dấu “ = ” xảy � x  y  z  x y y z z x x y z Dấu “=” xảy � a  b  c Bài toán 7: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a  b  2a  3c �  16  a b c Chứng minh: 12 32 16    � Ta có: a b a b a3 b Mà  a3 b    a  3b   � a  b �2 a  3b Do đó:   �  a  3b a  b � 16 a3 b � a  3b Suy ra: � 22 � 8 22   �   2�  � a b 2a  3c a  3b 2a  3c 2a  3c � � a  3b � 32 a  3b  2a  3c (1) Mà   a  3b  2a  3c  � a  3b  2a  3c �2 a  b  c Từ (1) (2) suy ra: a  b    (2) 2a  3c �  16  a b c Bài toán 8: Cho số thực không âm a, b, c cho ab  bc  ca   �2 3a  3b  3c (đpcm) 1   �1 a2  b2  c2  (Tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Thọ năm 2009 2010) Chứng minh: Ta có: �1 1 1 � �1 � �1 �   �1 � �  � �  � �  �� a 2 b 2 c 2 �2 a  � �2 b  � �2 c  � Chứng minh rằng: a2 b2 c2 �   �1 a  b2  c2  Áp dụng bổ đề (3) ta được:     a b c a b c a2 b2 c2   �  a2  b2  c2  a2  b2  c2  a2  b2  c2  ab  bc  ca   a  b  c  a  b  c  2 1  (dpcm) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán 9: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c   � 3a2  8b2  14ab 3b2  8c2  14bc 3c2  8a2  14ca (Chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010) Chứng minh:     Ta có: 3a2  8b2  14ab  2a  3b  a  b Dấu “ = ” xảy � a  b   � 2a  3b    14ca � 2c  3a Chứng minh tương tự ta có: 3b2  8c2  14bc � 2b  3c 3c2  8a2 Từ (1); (2); (3) suy ra: a2 3a2  8b2  14ab  b2 3b2  8c2  14bc  (1) 2 (2) (3) c2   3c2  8a2  14ca a b c a2 b2 c2 a b c (đpcm) �   �  2a  3b 2b  3c 2c  3a a  b  c   Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a b c a,b,c  � Bài toán 10: Cho � , abc  � Chứng minh 1   � a (b  c) b (c  a) c (a  b) (IMO 1995 – Canada) Chứng minh: Đặt a  ; b  ; c  với x, y, z > � xyz  y x z Khi bất đẳng thức cần chứng minh: x2 y2 z2   � yz zx x y Áp dụng bổ đề ta có:  x  y  z   x  y  z �33 xyz  (do xyz  ) x2 y2 z2   � y  z z  x x  y 2 x  y  z  2 2 Dấu “ = ” xảy � x  y  z  Hay a  b  c  Vận dụng bổ đề ta xét số toán GTNN, GTLN: Bài toán 1: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN của: P  x2 y2 z2   yz zx x y Lời giải:  x  y  z x  y  z x2 y2 z2   �    Ta có P  y  z z  x x  y 2 x  y  z  2 Vậy GTNN P = � x  y  z  Bài toán 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: 4a  9b  16c  49 25 64 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   a b c Lời giải:   2 2  15  32 Ta có: P   9.25  16.64   15  32 �  49 4a 9b 16c 4a 9b 16c 4a  9b  16c 4a  9b  16c  49 � � Vậy GTNN P = 49 Dấu “ = ” xảy � �2 15 32   � �4a 9b 16c � a  ;b  ; c  2 Bài toán 3: Cho a, b, c > thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q   2 a  b  c ab  bc  ca Lời giải: � � 1    Ta có: Q  � � 2 �a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca � ab  bc  ca  1 1 1    c  2 ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c � a  b2 2  ab  bc  ca 21 Q �  ab  bc  ca � a  b  c   Suy ra: Mà: a b c a b c     a c Bài toán 4: Cho , b , số thực dương thỏa mãn: abc  ab  bc  ca Với a + b + c =  Q 30 Vậy GTNN Q = 30 a  b  c  Lời giải: 1   a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c 1 1 1 Từ abc  ab  bc  ca �    Đặt x  ; y  ; z  x  y  z  a b c a b c 2 2 2 2 x y ( x  y) x y z ( x  y) z ( x  y  z)2  � �   �  � Từ BĐT (*) a b ab a b c ab c a bc 2 12 22 32    3 36  Áp dụng (*) ta có: a  2b  3c       � x y z x y 3z x  y  z x  y  3z x  y  3z  (1) a  2b  3c 36 2x  3y  z 3x  y  z � � Tương tự: (2); (3) 2a  3b  c 36 3a  b  2c 36 Tìm giá trị lớn của: K  Cộng (1), (2), (3) ta được: K 1 6( x  y  z )   �  a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c 36 Vậy giá trị lớn K  Dấu “ = ” xảy �   x  y  z  � x  y  z  x y 3z Hay a  b  c  Bài toán 5: Cho a, b số thực dương, thỏa mãn: a + b = Tìm GTNN của: S   ab a b 1 Ta có: S  2   2  �   9 a  b ab a  b 2ab a  b  2ab   1  1 S  2   2   � 2 9 a  b ab a  b ab ab a  b  2ab sai lầm đâu ??? Lời giải đúng:   1 1 3     �2  2 2 a  b ab a  b 2ab 2ab a  b  2ab 2ab Ta có: S    1     10 2  a  b  �a  b � � � � �2 � Vậy GTNN S = 10 � a  b  III Bài tập vận dụng x2 y2 z2   Bài 1: Cho x, y, z > Tìm GTNN của: P  x  2yz y  2zx z  2xy Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 b3 c3   � a  b2  c2 a  2b b  2c c  2a   Bài 3: Cho a,b,c > Chứng minh rằng: a3 b3 c3   �  a  b  c b  2c c  2a a  2b 3 a  b  c Bài 4: Cho a,b,c > Chứng minh rằng: a  b  c � ab bc ca Bài 5: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c a b c   � b2  bc  c2 c2  ca  a2 a2  ab  b2 ab  bc  ca Bài 6: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn : a2  b2  c2  a b c   �a  b  c Chứng minh rằng: b c a a b3 c Bài 7: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:   �ab  bc  ca b c a Bài 8: Cho x, y số thực dương thỏa mãn: x + y = 1; Tìm GTNN của: P   xy x  y Bài 9: Cho a,b,c > Chứng minh rằng: 2a 2b2 c2   �  2a  2b  c  2b  c 2a  c 4a  4b Bài 10: Cho a,b,c > a + b + c = 3abc Chứng minh rằng: bc ca ab   �1 a  c  2b  b  a  2c  c  b  2a  Bài 11: Cho a,b,c > thỏa mãn: ab + bc + ca = Chứng minh rằng: a b c   �abc 2a  bc 2b2  ca 2c  ab Bài 12: Cho số dương a, b, c thoả mãn: a  b  c �2017 2018 Tìm GTNN biểu thức: P   a  b2  c2 ab  bc  ca ... III Bài tập vận dụng x2 y2 z2   Bài 1: Cho x, y, z > Tìm GTNN của: P  x  2yz y  2zx z  2xy Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 b3 c3   � a  b2  c2 a  2b b  2c c  2a   Bài. .. z t Dấu “=” �    a b c d …………………………………………………………………………… Vận dụng bổ đề ta xét số toán bất đẳng thức: Bài toán 1: Cho a, b, c, d > thỏa mãn: a + b + c + d = 1; CMR: 1 1    16 a b c d Chứng... 2 Dấu “=” xảy � a  b  c * Ta mở rộng toán sau: Cho số thực dương a, b, c, p, q Chứng minh rằng: (đpcm) a b c   � pb  qc pc  qa pa  qb p  q Bài toán 3: Cho a, b, c số thực dương, chứng