CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC AMGM

Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán khó và phức tạp. Đây thường là câu lấy điểm 10 thi Đại học và trong các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh,... Thực sự bất đẳng thức thường chỉ dành cho những học sinh khá, giỏi trở lên và có quyết tâm đạt điểm 9, 10 trong các kỳ thi. Để giải quyết tốt với các bài toán bất đẳng thức thì việc nắm vững các kiến thức cơ bản là vô cùng quan trọng. Có rất nhiều phương pháp giải toán bất đẳng thức và trong nội dung bài viết này tôi muốn nói đến việc áp dụng một bổ đề hay được suy ra từ BĐT AMGM.

BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM

(AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean)

I Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức AM – GM

1 Dạng tổng quát

+ Cho a1, a2, a3 , , an là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: 1 2

1 2

n

a a a

a a a n

Dạng 2: 1 2 n 1 2

a   a a �n a a a

Dạng 3: �    �

�

n

1 2 n

a a a

a a a n

( Dấu “ = “ xảy ra  a1= a2= … = an)

+ Cho a1, a2, a3 , , an là các số thực dương ta có:

Dạng 1:    �

  

2

a a a a a a Dạng 2:     ���    ����

2

( Dấu “ = “ xảy ra  a1= a2= … = an)

2 Một số dạng đặc biệt

2

  �3

a b c abc 3

2

a b

ab 2

�   ��

3

a b c

abc 3

a b �a b



a b  �c a b c

 

a b

 �  ��

9

a b c

a b

  �   ��

4

a b a b

�  �

9

a b c a b c

�   �

x y

x y

a b a b



 Với x, y và a, b > 0 Dấu “=” x y

a  b

�

2 2 2 x y z

x y z

a b c a b c

 

  Với x, y, z và a, b, c >

0

Dấu “=” x y z

a b c

�

Đẳng thức xảy

3 Một số bất đẳng thức (Bổ đề) được suy ra từ bất đẳng thức AM-GM

+ a2b2 �2ab; 2 a 2b2 �a b ; 2 a b 2    � a b + a2 b2 c2 �ab bc ca 

+  2 2 2  2  

3 a  b c �a b c  �3 ab bc ca  + 3 a 4b4c4 �ab bc ca  2 �3abc a b c   

II Áp dụng giải một số bài toán dạng 6:

1 Bài toán xuất phát: Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số dương

Chứng minh rằng: 2 2  2

x y

x y

a b a b



 (1)

Chứng minh:

* Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2

bx a b ay a b �ab x y �abx b x a y aby �abx  abxy aby

 2

0

bx ay

� � (BĐT đúng với x, y và a, b > 0) Dấu “=” x y

a  b

�

* Mở rộng BĐT (1) ta được: 2 2 2  2 2  2

x y x y z

a b c a b c a b c

Dấu “=” x y z

a  b c

� Hoặc: 2 2 2 2   2  2 2

x y z t x y z t

x y z t

a b c d a b c d a b c d

Dấu “=” x y z t

a   b c d

�

………

2 Vận dụng các bổ đề trên ta xét một số bài toán bất đẳng thức:

Bài toán 1: Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn: a + b + c + d = 1;

CMR: 1111 16

d c b a

Chứng minh:

1 1 1 1

16 1

a b c d a b c d a b c d

  

  

(đpcm)

4

a b c d   

Bài toán 2: CMR với số thực a, b, c > 0 thì 3

2

b c c a a b  �

Chứng minh:

Ta có:

2

2

a b c

b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca

 

Mà  2  

3

a b c  � ab bc ca  �  2

3

a b c

ab bc ca

 

�

Do đó:

2

a b c

b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca

 

(đpcm).

Dấu “=” xảy ra � a b c 

* Ta có thể mở rộng bài toán như sau: Cho các số thực dương a, b, c, p, q

Chứng minh rằng: pb qc a  pc qa b  pa qb c �p q3

Bài toán 3: Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 12 2 

a b c

b c a c a b�  

Chứng minh:

a b

a b c

c c a b a b c

� � �  �

(đpcm)

Bài toán 4: Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

a5 b5 c5 3 3 3

a b c

bc ca ab  �  

Chứng minh:

Ta có:       3 2 3 2 3 2 3 3 32

3

a b c a b c

bc ca ab abc bca cab abc abc abc abc

 

Dễ dàng chứng minh được: a3  �b3 c3 3abc (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a5 b5 c5 3 3 3

a b c

bc ca ab  �   (đpcm)

Bài toán 5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

3

a ab b b bc c c ac a

 

Chứng minh:

            



�

a b c a b ab b c bc a c ca a b c a b c

Ta cần chứng minh

2 2 2

a b c a b c

  �  

  Hay  2 2 2  2

3 a b c �a b c 

Bất đẳng thức cuối cùng là một đánh giá quen thuộc

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Bài toán 6: Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

x y  y z  z x � x  y  z

6 4 6 4 6 4 4 4 4

Chứng minh:



2 2

4 4 6 4 6 4 6 4

1

Tương tự: y

y  z � y z



4 4 6 4

z  x � z x



4 4 6 4

(3);

Cộng theo từng vế các BĐT (1); (2); (3) ta có:

x y  y z  z x � x  y  z

6 4 6 4 6 4 4 4 4

Dấu “ = ” xảy ra � x  y z 1 Dấu “=” xảy ra �a b c 

Bài toán 7: Cho a, b, c là các số thực dương

Chứng minh rằng:

a b 2a 3c 3 a b c

Chứng minh:

Ta có:    �



a b a 3 b a 3 b

Mà  a 3 b  2  1 a 3 3b2 �1 3 a 3b    

� a 3 b 2 a 3b Do đó: �  � �

a b a 3 b a 3b Suy ra:

a b 2a 3c a 3b 2a 3c a 3b 2a 3c

�

32

a 3b 2a 3c (1) Mà  a 3b   2a 3c  2� 2 3a 3b 3c   

� a 3b 2a 3c 2 3 a b c � (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

a b 2a 3c 3 a b c (đpcm)

Bài toán 8: Cho các số thực không âm a, b, c sao cho

ab bc ca 3  

Chứng minh rằng: 21 21 21 1

a 2 b 2 c 2�

  

(Tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Thọ năm 2009

-2010)

Chứng minh:

Ta có:

  � � �  � �  � �  ��

a 2 b 2 c 2

Áp dụng bổ đề (3) ta được:

 

 

2

2

a 2 b 2 c 2 a b c 6 a b c 2 ab bc ca

a b c

1 (dpcm)

a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài toán 9: Cho a, b, c là những số thực dương Chứng minh rằng:

 

5 3a 8b 14ab 3b 8c 14bc 3c 8a 14ca

(Chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010)

Chứng minh:

Ta có: 3a28b214ab2a 3b  2 a b  2 �2a 3b (1) 2

Dấu “ = ” xảy ra �a b

Chứng minh tương tự ta có: 3b28c214bc�2b 3c (2) 2

3c28a214ca�2c 3a (3) 2

Từ (1); (2); (3) suy ra:

3a 8b 14ab 3b 8c 14bc 3c 8a 14ca

2

Vậy bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 

a b c

Bài toán 10: Cho , , 0

1

a b c abc



�

� 

Chứng minh rằng 3 1 3 1 3 1 3

2

a b c b c a c a b �

(IMO 1995 – Canada)

Chứng minh:

Đặt a 1

x

 ; b 1

y

 ; c 1

z



với x, y, z > 0�xyz1

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh: x y z

y z  z x x y �

2

Áp dụng bổ đề trên ta có:

y z z x x y x y z

2

Dấu “ = ” xảy ra � x  y z 1 Hay a b c  1

3 Vận dụng các bổ đề trên ta xét một số bài toán GTNN, GTLN:

Bài toán 1: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 2

Tìm GTNN của:

P

y z z x x y

Lời giải:

2

1

x y z

P

y z z x x y x y z

Vậy GTNN của P = 1 2

3

x  y z

�

Bài toán 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn:

4a 9b 16c 49  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1 25 64

a b c

Lời giải:

 

2

2 2 2 2 15 32

4 9.25 16.64 2 15 32

4a 9b 16c 4a 9b 16c 4a 9b 16c Vậy GTNN của P = 49 Dấu “ = ” xảy ra

2 15 32

a b c

a b c

�

�

�

;b ; 2

a  c

�

Bài toán 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

 

 

2 2 2

Q

ab bc ca

a b c

Lời giải:

 

Q

ab bc ca ab bc ca ab bc ca

 

�

2

2

2 2 2

Mà: 1 2

3

ab bc ca  � a b c  Suy ra:

�

  2   2

Q

a b c a b c Với a + b + c = 1  Q 30 Vậy GTNN của Q = 30 khi 1

3

a b c   .

Bài toán 4: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc ab bc ca  

Lời giải:

Tìm giá trị lớn nhất của: 1 1 1

K

a b c

   �    Đặt x 1;

a

 y 1;

b

c

 thì x y z   1

Từ BĐT x2 y2 (x y)2 x2 y2 z2 (x y)2 z2 (x y z)2

a b a b a b c a b c a b c

Áp dụng (*) ta có: 2 2 2  2

1 2 3

2 3

 



Tương tự: 1 2 3

�

  (2);

 

�

Cộng (1), (2), (3) ta được:

x y z K

 

Vậy giá trị lớn nhất của K 1

6



Dấu “ = ” xảy ra 1 2 3

x y  z

3

x  y z

�

Hay a b c  3

Bài toán 5: Cho a, b là các số thực dương, thỏa mãn: a + b = 1

Tìm GTNN của: 2 2

S

ab

a b



1 2

9

S

a b ab a b ab a b ab



1 1 1

9 2

S

a b ab a b ab ab a b ab

 

sai lầm ở đâu ???

Lời giải đúng:

1 1

S

a b ab a b ab ab a b ab ab



 

 

2

4 6 10 2

2

a b a b



�

Vậy GTNN của S = 10 1

2

a b 

�

III Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho x, y, z > 0 Tìm GTNN của: x y z

P

Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

2 2 2 1

Bài 3: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

a b c

b c  c a  a b �  

2 1

Bài 4: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng: a b c  a b c 

 

2

6

Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

ab bc ca

b bc c c ca a a ab b

 

 

Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : a2b2c2  3 Chứng minh rằng: a b c a b c

b  c  a �  

Bài 7: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a b c

ab bc ca

b  c  a �  

3 3 3

Bài 8: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: x + y = 1;

Tìm GTNN của: 2 2

P

xy x y



Bài 9: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

Bài 10: Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 3abc

Chứng minh rằng: 3  3  3  1

a c b  b a c  c b a �

Bài 11: Cho a,b,c > 0thỏa mãn: ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng:

abc

a bc  b ca  c ab �

Bài 12: Cho các số dương a, b, c thoả mãn: a b c 2017   �

Tìm GTNN của biểu thức:  

 

 

2 2 2

P

ab bc ca

a b c