Chuyên đề Bất đẳng thức Cô - si

DẠY HỌC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên trường CĐSP Hà Nam Bất đẳng thức là một chuyên đề rất lí thú đối với các em học sinh khá giỏi. Nhưng, trong thực tế học tập, phần lớn các em học sinh thường tỏ ra lúng túng khi áp dụng các bất đẳng thức đã học vào các bài toán cụ thể. Bất đẳng thức Cô si đã được các em học sinh làm quen từ chương trình THCS song hầu hết các em chưa khai thác tốt vai trò của BĐT này trong quá trình giải toán.Bài viết này của tôi với mong muốn giúp các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi có cái nhìn sâu sắc hơn nữa về BĐT Cô si. Đồng thời giúp các em rèn luyện kĩ năng sử dụng thành thạo BĐT Cô si trong quá trình giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị. Trong khuôn khổ bài viết, tôi chỉ nêu một phương pháp sử dụng BĐT Cô si, đó là phương pháp “Cân bằng đều”. Trước hết, ta nhắc lại BĐT Cô si: BĐT Cô si với 2 số: cho a,b ≥ 0 : ab ba ≥ + 2 BĐT Cô si với 3 số: a,b,c 0 ≥ : abc cba ≥ ++ 3 Tổng quát với n ( 3 ≥ n ) số: 0 ≥ a i , i= n,1 n n n aaa aaa n . . 21 21 ≥ +++ Dấu = xảy ra khi aaa n === . 21 Phương pháp chứng minh sử dụng bất đẳng thức Cô si: Bước 1: Dự đoán khi nào bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Bước 2: Với dự đoán trên sử dụng kĩ thuật cân bằng đều ghép các hạng tử của bài toán với các hạng tử thích hợp. Bước 3: Áp dụng BĐT Cô si. Bài toán 1: Cho 4 ≥ a , chứng minh rằng: 4 171 ≥+ a a B1: Dự đoán: 4 4 171 =⇔=+ a a a . Khi 4 11 4 =⇒= a a nên không thể sử dụng BĐT Cô si cho 2 số a và a 1 vì dấu = không xảy ra. B2: Vậy phải sử dụng BĐT Cô si cho 2 số a α và a 1 .Vấn đề đặt ra là chọn α như thế nào cho hợp lí? Theo dự đoán trên, dấu = xảy ra khi 4 = a nên ta có:      = = 4 1 a a a α 16 1 =⇒ α Lời giải: Ta có: 16 151 16 11 a a a a a ++=+ Theo BĐT Cô si: 2 1 .16 1. 2 1 16 =≥+ a a a a Cho 4 ≥ a ⇒ 4 15 16 15 ≥ a . Vậy 4 17 4 15 2 11 =+≥+ a a . Dấu = xảy ra khi 4 = a . Nhận xét: Từ bài toán trên, ta có thể đưa ra bài toán tổng quát hơn với cách làm tương tự như sau: cho na ≥ ( 1 ≥ n ).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a a 1 +=Α hoặc a a β α 1 +=Β với βα , là các số thực dương. Bài toán 2: Trước hết, ta sẽ có một bài toán đơn giản sau: 1) Cho 0,, ≥ cba và 3 =++ cba .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cba 333 ++=Α . Nhận xét: với giả thiết 0,, ≥ cba và vai trò của cba ,, bình đẳng như nhau nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi 1=== cba .Từ đó ta có lời giải của bài toán như sau: Ta có: ( ) ( ) ( ) 6111111 333333 −++++++++=++=Α cbacba Theo BĐT Cô si: a a 311 3 ≥++ b b 311 3 ≥++ c c 311 3 ≥++ suy ra ( ) 363 333 =−++≥++=Α cba cba (1) Đẳng thức xảy ra khi 1=== cba . Nhận xét: việc làm xuất hiện cba ++ đảm bảo cho vế phải của (1) là hằng số. Nếu trong biểu thức A, vai trò của cba ,, không bình đẳng thì ta phải chọn các số như thế nào để vế phải của biểu thức mới cũng vẫn là hằng số, nghĩa là ta vẫn làm xuất hiện các thừa số cba ,, với các hệ số bằng nhau? Ta sẽ trình bày phương pháp này với một ví dụ cụ thể sau và từ đó độc giả có thể tự đưa ra lời giải tổng quát cho các bài toán tương tự khác. 2) Vẫn giả thiết như bài toán trước,tìm GTNN cba B 333 64 ++= . Phân tích: trong biểu thức B, vai trò của ca, như nhau, ta đưa vào các tham số βα , để biến đổi: ( ) ( ) β ααα ββ αα 2 46464 3 3333 33 3333333 −−+++       +++++=++=Β cbacba Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số hạng trong ngoặc, ta có: cba 333 64 ++=Β β αα β α 2 43 4 3 3 32 2 2 3 −−+×+≥ cba (*) Đẳng thúc xảy ra khi        =++ = == 3 4 cba b ca β α 3 4 2 =+⇒ β α Hơn nữa, để biểu diễn vế phải của (*) theo cba ++ thì các hệ số α β α 3 4 3 2 2 2 ,3, × phải bằng nhau, do đó ta có:      =+ ×= 3 4 2 3 4 3 2 2 β α β α Giải hệ này ta được        = = 17 12 17 24 β α Từ sự phân tích trên ta có lời giải của bài toán như sau:         +++         +++         ++=++ 17 24 17 24 17 12 17 12 64 17 24 17 24 64 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3333 cbacba 17 12 17 24 3 3 3 3 24 ×−×− Theo BĐT Cô si: 17 24 17 24 3 3 3 3 3 ++ a ≥ a ×× 17 24 2 2 3 (2) 17 12 17 12 64 3 3 3 3 3 ++ b ≥ b43 17 12 2 2 ×× (3) 17 24 17 24 3 3 3 3 3 ++ c ≥ c ×× 17 24 2 2 3 (4) ⇒ cba 333 64 ++ ≥ ( ) 17 12 17 12 17 24 2 3 2 3 2 2 23 =×−++×× cba (5) Đẳng thức ở (5) xảy ra khi        == = 17 24 17 3 ca b Vậy GTNN ( ) cba 333 64 ++=Β 17 12 2 3 = . Bài toán3: Trước hết, ta cũng có ví dụ đơn giản sau: 1) Cho 0,, ≥ cba và 3 =++ cba .Tìm GTLN ( ) . 333 bcacab ++ Phân tích:Việc có mặt căn bậc 3 mà chỉ có 2 thừa số trong căn làm ta nghĩ đến sự xuất hiện của số 1 và biến đổi hợp lí để xuất hiện giả thiết: Lời giải: Theo Cô si: 1 333 baab = ≤ 3 1 ++ ba 1 333 caac = ≤ 3 1 ++ ca 1 333 cbbc = ≤ 3 1 ++ cb ⇒ 333 bcacab ++ ≤ ( ) 3 3 32 = +++ cba Đẳng thức xảy ra khi 1 === cba . Vậy GTLN ( ) 3 333 =++ bcacab . Nhận xét: Ở bài toán trên do các hệ số của 333 ,, bcacab bằng nhau nên ta dễ dàng đưa ra lời giải của bài toán. Vậy trong trường hợp các hệ số này không bằng nhau thì sao? Ta có bài toán : 2) Cũng với giả thiết như trên, tìm GTLN bcacab ++ 2 . Phân tích: do vai trò của ca, như nhau nên ta đưa vào các tham số dương βα , và bién đổi: bcacab ++ 2 = β β α α c bca b a ++ 2 ≤ ( )         ++++       + β β α α c bca b a 2 1 2 1 = ( )               ++       +++ cba 2 11 2 2 1 β β α α Đẳng thức xảy ra khi          =++ = = = 3cba c b ca b a β β α α ⇔        + = + == α α α 2 2 2 2 2 3 3 b ca (**) Ta phải tìm βα , thoả mãn thêm điều kiện: 2 11 2 +=+=+ β β α α ⇔        +=+ = 2 1 1 αβ α β α ⇔      + = −= 2 13 13 β α Suy ra bcacab ++ 2 ≤ ( ) ( ) ( ) 13 2 3 13 2 1 +=+++ cba Đẳng thức xảy ra khi cba ,, thoả mãn (**). Vậy GTLN ( ) ( ) 13 2 3 2 +=++ bcacab Trên đây tôi đã trình bày phương pháp “Cân bằng đều” thông qua một số bài toán nhỏ, hy vọng bài viết này có thể giúp ích quý thầy cô và bạn đọc khi giảng dạy và học tập về phần BĐT Cô si . Sau đây, mời các bạn giải một số bài tập sau: 1) Cho 3 ≥ a .Tìm Min a a 2 1 +=Α 2) Cho 0,, > cba và 2 3 ≤++ cba . CM 2 15111 ≥+++++= cba cbaS 3) Cho 0,, > cba và 2 3 ≤++ cba . CM 4 27111 222 ≥+++++= cba S cba 4) Cho 0,, > cba và 2 3 ≥++ cba .CM ( ) ( ) ( ) 4 3 333 ≥ + + + + + = cbabaccab S cba 5) Cho 0,,, ≥ tzyx và 4 =+++ tzyx .Tìm GTNN       +++ tz y x 33 3 3 8 8 . . minh sử dụng bất đẳng thức Cô si: Bước 1: Dự đoán khi nào bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Bước 2: Với dự đoán trên sử dụng kĩ thuật cân bằng đều ghép các. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên trường CĐSP Hà Nam Bất đẳng thức là một chuyên đề rất lí