Chuyên đề: Bất đẳng thức AM-GM (HSG)

Tự nhiên mò mò thấy trang WEB của THPT Đặng Thúc Hứa, tui thấy có thằng bạn của tui hồi học Thanh Chương 1- Thầy NPK Phân bón tốt cho lúa- Dạy Hoá, tui gửi tặng các bác Tổ Toán bài viết

Tự nhiên mò mò thấy trang WEB của THPT Đặng Thúc Hứa, tui thấy có thằng bạn của tui hồi học Thanh Chương 1- Thầy NPK (Phân bón tốt cho lúa)- Dạy Hoá, tui gửi tặng các bác Tổ Toán bài viết này Các Bác Tổ Toán có chuyên đề nào về "Phương trình hàm", "dãy số" không thì cho tui với Các bác muốn tìm chuyên đề nào tui có thể chia sẻ Tui cũng có khá nhiều

E.mail: hieucqt@gmail.com

Thân chào !

CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

I Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức

a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Định nghĩa: a b  a b 0

a c

b c





 







 a b  a c b c  

a c b d

c d





   







a b

a b

   

b) Một số bất đẳng thức cơ bản

 Bất đẳng thức AM-GM.

Cho n số thực không âm a a1 2, , , (a n  ta luôn có n 2)

1 2

1 2

n n

n

a a a n

  





Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2 a n

 Một vài hệ quả quan trọng: (t/c này quan trọng)

2

1 2

n

          

2

i

n

a a a a a a   

 Bất đẳng thức BCS

Cho 2n số dương ( n Z n , 2): a a1 2, , , , , , ,a b b n 1 2 b ta có: n

(a b1 1a b2 2a b n n)2 (a12 a22a2n)(b12b22b n2)

Dấu “=’ xảy ra 1 2

(quy ửụực neỏu 0 0)

n

n

a

II Giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất

Cho f x x( , , , )1 2 x là một hàm n biến thực trờn n Dn: :f Dn  

 01 20 0 1 20 0 0

( , , , ) ( , , , ) Max

( , , , ) : ( , , , )

D



  



 01 20 0 1 20 0 0

( , , , ) ( , , , ) Min

( , , , ) : ( , , , )

D

f m



  



Tìm đ

“Tìm đ ợc lời giải cho một bài toán là một phát minh (Polya) Sẽ thông minh hơn nếu ta biết” (Polya) Sẽ thông minh hơn nếu ta biết

vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới

III B i t ài t ập:

Bài tập 1:

1 Với hai số dơng x và y ta có: (1 1)

4

1 1

y x y

x   Đẳng thức xảy ra khi x=y.

2 Cho ba số dơng a, b, c, ta có: (1 1 1)

2

1 1 1

1

c b a a c c b b

a        Đẳng thức xảy ra khi a =

b = c.

3 Cho ba số dơng a, b, c, ta có:

) 1 1 1 ( 2

1 2

1 2

1 2

1

a c c b b a b a c a c b c b

a              Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

4 Với a, b, c là các số dơng: (1 1 1)

4

1 2

1 2

1 2

1

c b a b a c a c b c b

a           Đẳng thức xảy

ra khi a = b = c Chú ý: Nếu thêm giả thiết 111  4

c b

a thì bài toán là nội

dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005

5 Chứng minh rằng với a, b, c dơng:

a c c b b a b a c a c b c b

1 3

1 3

1 2

1 2

1 2

1



























Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c

6 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0,x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0.

Hãy tìm giá trị lớn nhất của

Q

7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x t t y y z z x

A

t y y z z x x t

    Với x, y, z, t là các số dơng

8 Cho a, b, c là các số thực dơng Chứng minh các bất đẳng thức:

















































































b c a b c a b

a c a c b c b a

a c c b b a b a c a c b c b a

2

1 2

1 2

1 2

1 3 2

1 3

2

1 3

2

1 / 2

4

1 1 1

1 ) ( 3 2

1 )

( 3 2

1 )

( 3 2

1 /

1

9 Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca

thì:

96

17 3 2

1 3

2

1 3

2

1

















 b c b c a c a b a

10 Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của: xy

xy y x

A 2 1 2  2  4





11 Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b,c là độ dài 3 cạnh) Chứng minh rằng:



























 a p b p c a b c p

1 1 1 2 1 1

1

12.Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực A =

x

x x

2

5 6

2 2   trong ủoự x > 0

13.Cho x  0, tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực Q = 222 117







x

x x

14.Cho x > 0, tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực N = x3 x2000

15.Cho x > 0 ; y > 0 vaứ xy 6 Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực:P 5x 3y12x 16y

16 Cho x > 1, tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa bieồu thửực A = 4 251





x x

17 Cho 0 x 1, tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực B = 13x x4



18 Cho x, y, z  0 thoỷa maừn ủieàu kieọn xyza

a) Tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa bieồu thửực A = xyyzzx

b) Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực B = x2 y2 z2

19 Cho x, y, z laứ caực soỏ dửụng thoỷa maừn ủieàu kieọn xyz 12 Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực P = x y  y z  z x

20 Cho x, y, z laứ caực soỏ dửụng thoỷa maừn ủieàu kieọn xyza Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực Q = 









































z

a y

a x

a

1 1

1

21 Cho a, b, c laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn ủieàu kieọn abc 1 Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực A =  11a a 11b b 11c c 

22 Cho x, y thoỷa maừn ủieàu kieọn xy 1 vaứ x > 0 Tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa bieồu thửực: B

= x2y3

23.Tỡm GTNN cuỷa 2

2

16

y x

x

  ; y x 21

x

 

 vụựi x>1;

2 2

2 1

x y x







24 Tỡm GTNN cuỷa haứm soỏ a ) y 1 11

 

 vụựi 0 x 1

25 1 2

1

y

 

 ( Vieỏt 1 2 1 2 1  1 2 3

x x

 

26 4 9

1

y

 

 : ( Vieỏt 4 9 4 1  9 1  4 9 4 1  9

27 Chứng minh: a) 3

2

b c c a a b với a, b, c > 0

b) 2 2 2

2

 

a)   1 1 4

 

a b

a b b)    1 1 1  9

a b c

a b c

c) 2 2 2

    

a b c ab bc ca d) a b c a    2b2c2 9abc

e) bc ca ab    

a b c

g) a  b  c  1 1 1

bc ca ab a b c

29 Cho a a1, , ,2 a là các số thực dương thoả n a a1 2 .a n 1 Chứng minh:

1a1 1a2 1 a n 2n

30 Cho x, y, z > 0 Chứng minh

2  2  2   

31 Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 Chứng minh:

729

x y y z z x xyz   

32 Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1 Chứng minh: a b  b c  c a  6

33 Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương Chứng minh

3

     

     

     

34 Cho x, y, z là 3 số dương Chứng minh 3 x2y4z xy 3 yz 5 zx

35 Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0 Chứng minh 8a8b8c 2a 2b2c

36 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh

1 1 1 1

      

37 Cho x, y, z tuỳ ý khác không Chứng minh 12 12 12 2 92 2

  

 

38 Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có: 3x317y318xy2

39 Chứng minh 4 5  4  3  6 1

4



  

a b c d với a 5,b 4,c3,d 6

40 Cho a, b, c > 0 Chứng minh  2 2 2 1 1 1 3 

2

       

a b b c c a

41 Cho x, y, z > 0 Chứng minh 1    1   1 8

   

 

42 Chứng minh

2 2

3

2 2

x

x x



  





43 Chứng minh 8

6 >1 1

x

x x



 



44 Cho n số a a1, , ,2 a không âm thoả n a1a2  a n 1 Chứng minh

1

2





   n n n

45 Cho 3 số thực x, y, z thỏa x3; y 4 ; z 2  Chứng minh

4 6



xyz

46 Cho f x( )x4 5   x với 4   x 5 Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN

47 Tìm GTNN của các hàm số sau:

a) f x( )  x 3

x với x > 0 b)

1 ( )

1

 



f x x

x với x > 1

48 Cho 0 x 4; 0 y 3  Tìm GTLN của A3 y 4 x 2y3x

49 Tìm GTLN của biểu thức:  2  3  4

ab c bc a ca b F

abc với a3; b 4; c 2 

50 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm GTLN của

P

x y z (ĐHNT-1999)

51 Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1 Tìm GTNN của biểu thức:

P

a b a c b c b a c a c b (ĐHNN – 2000)

52 Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết , ,a b c  :0

a/

bc ca ab    

c/

a b c

bc ca ab   

e/ 3 3 3 1( 2 2 2)

a b b  c c  a    f/

1

4 ( ) ( ) ( )

a b c

b c  c a  a b    g/

( )( ) ( )( ) ( )( ) 4

a b c

a b b c   b c c a   c a a b    

53 Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn xyz  1

Chứng minh rằng

y z x 

   (ĐH 2005)

54 Cho , ,x y z là các số dương Chứng minh rằng

1

2

y z  z x  x y    (ĐH 2006)

55 Giả sử ,x y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5

4

x y  Tìm GTNN của biểu

thức 4 1

4

S

  (ĐH 2002)

56 Cho , ,x y z là các số dương và x y z  1 Chứng minh rằng:

82

      (ĐH 2003)

57 Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

x y z  Chứng minh rằng:

1

2x y z   x2y z  x y 2z  (ĐH 2005)

58 Chứng minh rằng với mọi x   thì 12 15 20

3 4 5

     

     

      (ĐH 2005)

59 Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn xyz  Chứng minh rằng:1

3 3

60 Chứng minh rằng với mọi ,x y  thì 0

2

9 (1 x) 1 y 1 256

 

        

(ĐH 2005)

61 Cho , ,x y z thỏa mãn x y z  0 Chứng minh 3 4 x  3 4 y  3 4 z  (ĐH 6 2005)

62 Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn 3

4

a b c   Chứng minh rằng:

3a3b3b3c3c3a (ĐH 2005)3

63 Cho , ,x y z thỏa mãn 3x 3y 3z 1

   Chứng minh

4

x y z y x z z x y

 

64 Cho ,x y là hai số dương thỏa mãn điều kiện x y 4 Tìm GTNN của biểu thức

2

3 4 2

4

A

  (ĐH 2006)

65 Ba số dương , ,a b c thỏa mãn 1 1 1 3

a b c   Chứng minh rằng:

(1a)(1b)(1c) 8 (ĐH 2001)

66 Giả sử x và y là hai số dương và x y 1 Tìm GTNN của

P

  (ĐH 2001)

67 Cho hai số thực x0,y0 thỏa mãn (x y xy x )  2 y2 xy Tìm GTLN của biểu thức A 13 13

  (ĐH 2006)

68 Chứng minh rằng nếu 0  y x 1 thì 1

4

x y  y x  (ĐH 2006)

69 Cho , 0

1

a b

a b







 

 , tìm GTNN của 2 1 2 1

2

P

ab



70 Cho , 0

1

a b

a b







 

 , tìm GTNN của 21 2 1

2 1

P

ab

 

71 Cho , 0

1

a b

a b







 

 , tìm GTNN của biểu thức P 21 2 1 4ab

ab

72 Cho , 0

1

a b

a b







 

 , tìm GTNN của biểu thức 31 3 12 12

S

a b a b ab

73 Cho , , 0

3

a b c

a b c







  

 Chứng minh rằng:3a2b3b2c3c2a 3 33

74 Cho , , 0

1

x y z

xyz









 , chứng minh rằng:

y z x

75 Chứng minh rằng:3a3b3b2c3c3a  (3 ĐTK 2005)

76 Cho , , 0

1

a b c

a b c







  

 , tìm GTNN của các biểu:

P

ab bc ca

S

ab bc ca

Q

ab bc ca

 

77 Cho u2v2  , chứng minh rằng: 1

2

78 Cho , ,a b c là các số dương Tìm GTNN của:

Q

a b c

 



 

(ĐHQGHN

2001-2002)

79 Cho , ,a b c dương thỏa abc  , tìm GTNN của biểu thức:1

Q

a b c b c a c a b

   (ĐH 2000 – 2001)

80 Cho , , 0

1

x y z

x y







 

 , tìm GTNN của 1 1

P

  (ĐHNT 2001 – 2002)

81 Cho , ,x y z là ba số dương và x y z  1, chứng minh rằng:

      (ĐH 2003)

82 Cho

, , 0

1 1 1 1

x y z

x y z







  





P

83 Cho , , 0

1

a b c

abc









 ,chứng minh rằng 3 1 3 1 3 1 3

2

a b c b c a c a b 

84 Cho , , 0

1

a b c

abc









 , tìm GTNN của

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

P

85 Cho , , ,a b c d  , tìm GTNN của0

P