Chuyen de boi duong HSG- Phan he thuc VIET

Bài toán 7: Tìm hệ thức giữa a và b để cho hai phơng trình sau nếu có nghiệm thì chúng có một nghiệm chung và chỉ một mà thôi.. b Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm ngh

-Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng Chứng minh phơng trình bậc hai có nghiệm hoặc vô nghiệm với hệ số bị ràng

buộc

Bài toán 1: Chứng minh rằng phơng trình ax2 bxc0 (a  0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:

i) aa 2b 4c 0 ii) 5a 3b 2c 0

Bài toán 2: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn điều kiện a+2b+3c=1 Chứng minh

rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm

4 2 4 ( 2 1 ) 4 2 192 1 0











4 2 4 ( 2 1 ) 4 2 96 1 0











Bài toán 3: a) Cho a, b, c thoả mãn điều kiện b>a+c và a>0 Chứng minh rằng phơng





bx c

ax có hai nghiệm phân biệt

b) Chứng minh rằng phơng trình ax2 bxc0 a  0 có nghiệm nếu 2   4

a

c b

c) Cho f(x) ax2bxc (a  0) Chứng minh rằng nếu tồn tại m  R để a.f(m)  0 thì phơng trình f(x)=0 có nghiệm

Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu a  b  2 thì phơng trình 2 2 1 0







bx a

Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thoả mãn điều kiện abc  0 thì phơng trình sau luôn có nghiệm a(x b)(x c) b(x c)(x a) c(x a)(x b)  0

Bài toán 6: Cho a, b, c là ba số thoả mãn điều kiện 14a+6b+3c=0 Chứng minh rằng

ph-ơng trình ax2 bxc0 có nghiệm

Bài toán 7: Giả sử p  abc là số nguyên tố Chứng minh rằng phơng trình 2 0





bx c ax

không có nghiệm hữu tỉ

Bài toán 8: Chứng minh rằng:

a) Nếu phơng trình 2 0





ax b

x (a,bZ) có các nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó là những số nguyên

b) Nếu a, b, c là những số nguyên lẻ thì phơng trình 2 0





bx c

tỉ

Bài toán 9: Cho a, b, c thoả mãn -1<a,b,c<1 và a+b+c=0 Chứng minh rằng phơng trình

















 a b c x ab bc ca x

Bài toán 10: Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng12, Chứng minh rằng trong

ba phơng trình sau có một phơng trình có nghiệm, một phơng trình vô nghiệm

0

2 axb





bx c





cx a

Bài toán 11: Cho a, b, c là ba số khác 0 còn p, q là hai số tuỳ ý.Chứng minh rằng phơng

trình sau luôn có nghiệm

c q x

b p x

a









2 2

Chuyên đề: Phơng trình bậc hai một ẩn và áp dụng xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai

có một nghiệm chung

Bài toán 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung

0 12 ) 2 3 (

2 2







x (1)

0 36 ) 2 9 (

4 2







Bài toán 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung, tìm nghiệm

chung đó

0 19 ) 1 7 ( 6

0 9 ) 1 3 ( 2

2 2

















x m x

x m x

Bài toán 3: Xét các phơng trình 2 0





bx c

ax (1)

cx2 bxa0 (2) Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất

Bài toán 4: Với những giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung

0 1

2 2





mx

x (1)

0 2

2  x 

mx (2)

Bài toán 5: Hãy xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung

0 1 2

2  mx m 

0 1 ) 1 2 ( 2







Bài toán 6: Cho hai phơng trình 2 2 4 0





x (1)

x2  mx10m0 (2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1)

Bài toán 7: Tìm hệ thức giữa a và b để cho hai phơng trình sau nếu có nghiệm thì chúng

có một nghiệm chung và chỉ một mà thôi 2 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 0









 a x a a

2 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 0









 b x b b

Bài toán 8: Cho hai phơng trình 2 0





x a





ax

x (2) a) Tìm các giá trị của a để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung

b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng

Bài toán 9: Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung.

0 1

2





x

ax (1)

0 1

2 ax 

x (2)

Bài toán 10: Chứng minh rằng nếu hai phơng trình

0

2 axb

x (1)

0

2 cxd 

x (2)

Có nghiệm chung thì ( ) 2 ( )( ) 0









 d a c ad bc b

Bài toán 1: Cho phơng trình (m 1)x2  2(m 1)x m  2 0 

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn

1 2

1 1 7

4

x  x 

Bài toán 2: Cho phơng trình x2 2(m 1)x m  3 0 

a) CMR: với mọi giá trị của m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình đã cho.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.

Bài toán 3: Cho phơng trình 2x2  6x m  0

a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm dơng.

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 1 2

2 1

3

x x

x  x 

-Bài toán 4: Cho phơng trình (m 1)x2  2(1  m x m)   2 0 

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.

b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 3(x1x2) 5  x x1 2

Bài toán 5: Cho phơng trình x2 2(m 1)x 2m 10 0  (m là tham số).

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

b) Cho biểu thức P 6x x1 2x12x22 trong đó x x1; 2 là nghiệm của phơng trình đã cho.Tìm m để

P đạt GTNN, tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

Bài toán 6: Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m 1)x2 2(m 1)x m  3 0 

a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để x x 1. 2 0 và x1  2x2

Bài toán 7: Cho phơng trình x2  2x 1 0  Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị các biểu thức a) x17x27 b) x1 x2

Bài toán 8: Cho phơng trình (m 4)x2  2(m 2)x m  1 0  Xác định m để phơng trình

a) Có hai nghiệm cùng dấu.

b) Có hai nghịêm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn.

c) Có một nghiệm dơng.

Bài toán 9: Cho phơng trình x2  2(1 2 )  m x  3 4m 0

a Xác định m để phơng trình có nghiệm x x1; 2

b Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.

c Tính theo m biểu thức A x 13x23

d) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng ba lần nghiệm kia.

Bài toán 10: Cho phơng trình 2x2  x 2 0  Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị các biểu thức

2 1 1 1

A

 

Bài toán 11: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số): x2  mx m  1 0 

1 CMR phơng trình có nghiệm x x m1; 2 Tính nghiệm kép (nếu có) của phơng trình và giá trị tơng ứng của m

1 2 6 1 2

A x x  x x a) CMR: A=m2+8m+8 b) Tìm m sao cho A=8

c) Tìm GTNN của A và giá trị tơng ứng của m

Bài toán 12: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số): x2  2mx 2m 1 0 

1 CMR phơng trình có nghiệm x x m1; 2

1 2 1 2 2( ) 5

A x x  x x a) CMR: A=8m2-18m+9 b) Tìm m sao cho A=27 c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia

Bài toán 13: Cho phơng trình: x2  2(m 1)x 2m 4 0 

a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm GTNN của 2 2

1 2

M x x

Bài toán 14: Cho phơng trình ẩn x: mx2  2(m 2)x m  0

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

-Bài toán 15: Cho phơng trình ẩn x: 5x2 mx 28 0  Xác định mđể phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 5x1 2x2  1

Bài toán 16: Cho phơng trình: x2  2(m 1)x m 2 m 6 0 

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn x13 x23  50

Bài toán 17: Cho phơng trình ẩn x: x2  (2m 1)x m 2  4m  5 0 có ẩn là x

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng

Bài toán 18: Cho phơng trình (x 2)(x2  x) (  x 2)(2x m ) 0  (1)

a) Giải phơng trình (1) khi m=1

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Bài toán 19: Cho phơng trình: x2  2(m 1)x 2m 0

a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình CMR: giá trị của biểu thức B=x1x2 x x1. 2 không phụ thuộc vào tham số m

Bài toán 20: Cho phơng trình: x2  2(m 1)x m  3 0 

a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài toán 21: Cho phơng trình

Bài toán 21: Cho phơng trình (m 1)x2  2(1  m x m)   2 0 

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơnmg trình có nghiệm bằng 2, tính nghiệm kia

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn điều kiện 3(x1x2) 5  x x1 2

Bài toán 22: Cho phơng trình bậc hai x2  2(m 1)x 2m 10 0 

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Cho biểu thức P= 2 2

1 2 1 2

6x x x x trong đó x1; x2 là nghiệm của phơng trình đã cho Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất ấy

Bài toán 23: Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m 1)x2  2(m 1)x m  3 0 

a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để x x 1 2 0 và x1  2x2

Bài toán 24: Cho x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình 2

2

1 0

x mx

m

   Tìm GTNN của biểu trhức 4 4

1 2

x x

Bài toán 25: Cho phơng trình ẩn x: x2  2(m 2)x m   1 0

a) Giải phơng trình khi m= 3

2

 b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c)Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để

2

1 (1 2 ) 2 2 (1 2 ) 1

x  x x  x m

Bài toán 26: 1) Cho phơng trình x2  ax a   1 0.

-a) Giải phơng trình khi a=-1

b) Xác định a biết rằng phơng trình đã cho có một nghiệm là 1 3

2

x  Với giá trị tìm đợc của a hãy tính nghiệm thứ hai của phơng trình

2) CMR: a b  2 thì ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm

x  ax b  và x2  2bx a  0

Bài toán 27:Cho phơng trình bậc hai x2  2(k 2)x 2k 5 0 

a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm giá trị của k sao cho 2 2

1 2 18

x x 

Bài toán 28: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m, n: x2 mx n  3 0 

1) Cho n=0

a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1

2) Tìm m và n để hai nghiệm x x1; 2 của phơng trình thoả mãn 2 2

1 2 1; 1 2 7

x  x  x  x 

Bài toán 29: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2  2mx 2m 1 0 

a) Giải phơng trình khi m=1 b) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép

c)Với m=? phơng trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?

Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp)

Bài toán 30: Cho phơng trình x2  (2m 5)x n  0 (x là ẩn)

a) Giải phơng trình khi m=1; n=4

b) Tìm m và n để phơng trình có hai nghiệm là 2 và -3

c) Cho m=5 Tìm số nguyên n nhỏ nhất để phơng trình có nghiệm dơng

Bài toán 31: Cho phơng trình x2  2(m 1)x 2m 10 0  có hai nghiệm x x1; 2.Tìm giá trị của

1 2 1 2

10x x x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán 32: Cho phơng trình (2m 1)x2  4mx  4 0 (1) có ẩn là x

a) Giải phơng trình (1) với m=1

b) Giải phơng trình (1) với m bất kỳ

c) Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng m

Bài toán 33: Chứng minh rằng nếu a, b là hai nghiệm của phơng trình x2  px  1 0

và b, c là hai nghiệm của phơng trình x2 qx  2 0 thì (b-a)(b-c)=pq-6

Bài toán 34: Cho phơng trình x2  (2m 3)x m  3 0  (ẩn x)

a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để x1 x2 đạt GTNN, tìm GTNN ấy

Bài toán 35: Cho phơng trình x2  px q  0

a) CMR: nếu 2p2  9q 0 thì phơng trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

b) Cho p, q là các số nguyên CMR: nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó phải là số nguyên

Bài toán 36: Cho phơng trình x2  mx 6x 9 0  có ẩn là x

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để có 2 2

1 2 13

x x 

Bài toán 37: Tìm k để phơng trình kx2  (12 5 )  k x 4(1 k) 0  có tổng bình phơng các nghiệm bằng 13

-Bài toán 38: Cho phơng trình mx2  2mx m 2  3m 3 0  có ẩn là x

a) Tìm m để phơng trình vô nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn x1 x2  1

Bài toán 39: CMR: phơng trình (a2  b x2 ) 2  2(a3  b x a3 )  4  b4  0 luôn có nghiệm với mọi

a, b

Bài toán 40: Cho phơng trình (m 1)x2  2(m 1)x m  0

1) Giải và biện luận phơng trình đã cho theo m

2) Khi phơng trình có hai nghiệm x x1; 2

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x x1; 2 độc lập với m

b) Tìm m sao cho x1 x2  2

Bài toán 41: Cho phơng trình mx2  2(m 1)x m  0(m 0) (1) CMR: nếu x x1; 2là nghiệm của (1) và thoả mãn 2 2

1 2 2

x x  thì phơng trình trên có nghiệm kép

Bài toán 42: Cho phơng trình x2  2mx m 2  1 0 

a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm x x1; 2 với mọi m

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x x1; 2 không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 1 2

2 1

5 2

x x

x  x 

Bài toán 43: Cho phơng trình x2 mx n  0 ẩn x

a) Tìm m và n biết rằng phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 13 23

1 2

1 7

x x

x x

 





 

 b) Cho biết n=m-2 Tìm m và n để 2 2

1 2

x x đạt GTNN

Bài toán 44: Cho phơng trình x2  (2m 3)x m 1  1 0  (ẩn x)

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thoả mãn x1 2x2  4

b) Tìm m sao cho A đạt GTNN và tính giá trị ấy với 2 2

1 2 6 1 2

A x x  x x

Bài toán 45: Cho phơng trình x2  px q  0 Tìm p, q biết rằng phơng trình có hai nghiệm

thoả mãn 13 23

1 2

5 35

x x

x x

 





 



Bài toán 46: Cho phơng trình ax2 bx c  0 có hai nghiệm số dơng x x1; 2 CMR: phơng trình cx2 bx a  0cũng có hai nghiệm số dơng Gọi các nghiệm đó là x x3; 4 Chứng minh rằng (x1x2)(x3x4) 4 

Bài toán 47: Gọi   ; là các nghiệm của phơng trình 3x2  7x  4 0 Không giảI phơng trình hãylập một phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là

1



  và

1



 

Bài toán 48: Cho phơng trình (m2 m 1)x2  (m2  8m 3)x 1 0 

Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm GTLN và GTNN của tổng S=x1x2

Bài toán 49: Cho phơng trình x2  x m 0 với m là tham số Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình

a) Tìm m sao cho x3 x3 x x2 x x2

-b) Tìm GTLN của biểu thức 3 3 2 2

1 2 1 2

A x x x x

Bài toán 50: Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình x2  (2m 3)x  1 m 0

Tìm m để 2 2

1 2 3 1 2 ( 1 2 )

x x  x x x x đạt giá trị lớn nhất

Bài toán 51: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR phơng trình

x  a b c x ab bc ca      vô nghiệm

Bài toán 52: Cho phơng trình mx2  (2m 1)x m   2 0

Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 2 2

1 2 2003

x x 

Bài toán 53: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình x2 px  1 0; c, d là hai nghiệm của phơng trình y2 qy  1 0 Chứng minh hệ thức (a c a d b c b d )(  )(  )(  ) (  p q ) 2

Bài toán 54: Cho phơng trình x2  2mx 3m2  4m 2 0  (ẩn x)

a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 với mọi m

b) Tìm m sao cho x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán 55: Cho phơng trình (m 2)x2  (2m 1)x m  3 0  (ẩn x)

a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 Khi đó hãy tìm m

để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài toán 56: Cho phơng trình mx2  (m2 m 1)x m   1 0

Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt khác -1

Bài toán 57: Cho f x( ) x2  2(m 2)x 6m 1

a) CMR: phơng trình f(x)=0 có nghiệm với mọi m

b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t từ đó tìm điều kiện của m để phơng trình f(x)=0 có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài toán 58: Biết rằng x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 bx c  0 Viết

ph-ơng trình bậc hai nhận hai số 3 3

1 ; 2

x x là nghiệm

Bài toán 59: a) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình x2  ax  1 0

Tính A= 3 3

1 2

x x theo a

b) Cho f x( ) 2  mx4  (5 4 )  m x3  (2m 20)x2  (45m 26)x 32 2  m Tìm m để f(x) có một nghiệm là 2 Chứng minh lúc ấy f(x) chia hết cho x2  7x 10 Tìm các nghiệm còn lại của f(x)

Bài toán 60: Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình x2  7x  3 0

a) Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 x2 và 2x2 x1

b) Hãy tính giá trị của biểu thức A 2x1 x2  2x2 x1

Bài toán 61: Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình x2  mx  2 0

Tính 2 2

1 2

A x x theo m

Bài toán 62: Chứng minh rằng nếu a a c(  ) c c a(  ) 8(  d b ) 0 

thì hai phơng trình x2 ax b  0 và x2 cx d  0 có ít nhất một phơng trình có hai

nghiệm phân biệt

Bài toán 63:

Cho phơng trình (m 4)x2  2(m 2)x m  1 0  Xác định m để phơng trình

a) có hai nghiệm cùng dấu

-b) Có hai nghiệm tráidấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn

c) Có một nghiệm dơng

Bài toán 64: Cho phơng trình x2  (2m 1)x m  5 0 

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và tìm nghiệm kia

b) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 với mọi m

c) Với giá trị nào của m thì 2 2

1 2

A x x đạt GTNN tìm GTNN ấy

Bài toán 65: Cho phơng trình x2  (2m 1)x m  3 0 

a)CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 2 2

1 2 10

x x 

Bài toán 66: Cho phơng trình x2  (2m 3)x m 2  3m 0

a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm khi m thay đổi

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn 1 x1x2  6

Bài toán 67: Cho phơng trình x2  (2m 1)x m 2 m 6 0 

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn x13 x23  50

Bài toán 68: Cho phơng trình x2  (2m 1)x m 2  4m  5 0

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng

Bài toán 69: Cho phơng trình (m 1)x2  2(m 2)x m  3 0 

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn (4x1 1)(4x2 1) 18 

Bài toán 70: Cho hai phơng trình 2

1 1 0

x p x q  và 2

2 2 0

x p x q  Biết rằng

1 2 2( 1 2 )

p p  q q CMR: ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

Bài toán 71: Cho phơng trình (m2  m 1)x2  (m2 m 1)x 1 0 

a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm x x1; 2

b) Tìm GTNN của P=x x1. 2

c) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S=x1x2

Bài toán 72: Cho phơng trình (m2 m 1)x2  (m2  2m 2)x 1 0 

a) CMR: phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình trên Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

S=x1x2

Bài toán 73: Cho phơng trình 2x2  2(m 2)x m 2  4m  3 0

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm

b) CMR: khi phơng trình có nghiệm thì hai nghiệm của nó thoả mãn

2

1 2 1 2

2

2

x x  x x   

Bài toán 74: Tìm Tất cả các sô nguyên k để phơng trình :

kx2 – 2009 Cao Quốc C(1-2k)x + k – 2009 Cao Quốc C 2 = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ

Bài toán 75: Cho 2 phơng trình : x2 + a1x +b1 =0 (1)

x2 + a2x + b2 = 0 (2)

-Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 +b2) Chứng minh một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng

so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc

*********

Bài toán 1: Tìm m để phơng trình x2  mx m  0 có nghiệm thoả mãn điều kiện

1 2 2

x  x

Bài toán 2: Tìm m để phơng trình 2mx2  x m  0 có nghiệm thoả mãn

1 2

x   x

Bài toán 3: Cho phơng trình x2  2(m 1)x (m 1) 0 

a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2

Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu a, b, c là những số dơng thì phơng trình

0

xx a x b 

Có hai nghiệm x x1; 2 (x >x )1 2 sao cho 1 2

x

  và 2 2

x



  

Bài toán 5: Cho hai phơng trình x2  2px n  0 (1) và x2  2mx n  0 (2)

Tìm điều kiện cần và đủ để mỗi phơng trình có một nghiệm nằm xen giữa hai nghiệm của phơng trình kia

Bài toán 6: Tìm giá trị của tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ

hơn 1: x2  (m 1)x m  0

Bài toán 7: Tìm m để phơng trình 3x2  4x 2(m 1) 0  có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

Bài toán 8: Xác định m để phơng trình mx2  2(m 2)x  1 0 có hai nghiệm phân biệt và nghịch đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1

Bài toán 9: Cho phơng trình mx2  2(m 3)x m  4 0  Xác định m để phơng trình:

a) Có đúng một nghiệm dơng

b) Có đúng một nghiệm không dơng

Bài toán 10: Cho phơng trình (m 4)x2  2(m 2)x m  1 0  Xác định m để phơng trình

có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn:

a) x1  0 x2 và x1 x2

1 2 2( 1 2 )

x x  x x

Bài toán 11: Cho phơng trình (m 1)x2  2mx m   5 0 Xác định m để phơng trình :

a) Có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2

b) Có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2

-Bài toán 12: Cho phơng trình ax2 bx c  0;(a 0) có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn điều

1 2

x x

Chứng minh rằng: b3 a c ac2  2  3abc.

Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp)