chuyên đề bồi dưỡng HSG phần cực trị

Lý do chọn đề tài : Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi các cấp bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thờng có các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất

I Lý do chọn đề tài :

Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi các cấp bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thờng có các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nào

đó Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số

Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tơng đối mới và khó

đối với học sinh THCS Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biết đổi tơng

đơng các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản

đến phức tạp phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, t duy sáng tạo

Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hớng đợc hớng đi, hay hơn thế

là hình thành đợc một công thức "ẩn tàng" nào đó mỗi khi gặp một bài toán

bản nhất Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số phơng pháp cơ bản

để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS".

II mục đích và nhiệm vụ của đề tài.

1 Mục đích nghiên cứu

 Nghiên cứu đề tài một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại

số bậc THCS giúp giáo viên vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng đào sâu và hoàn thiện hiểu biết từ đó có phơng pháp dạy học phần này cho học sinh có hiệu quả giúp học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học đặc biệt là kiến thức về

"Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS ”

 Nghiên cứu đề tài để lắm đợc những thuận lợi và khó khăn khi dạy học phần giải bài toán tìm cực trị từ đó xác định hớng nâng cao chất lợng dạy và học môn toán

 Nghiên cứu đề tài giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công dạy toán tìm cc trị của đồ thức.

2 Nhiệm vụ nghiên cứu.

 Đề tài đa ra một hệ thống các phơng pháp thờng dùng để giải bài toán cực trị và một số bài toán áp dụng đối với từng phơng pháp

 Trang bị cho học sinh lớp 9 hệ thống kiến thức để giả bài toán cực trị, tránh đợc những nhầm lẫn thờng gặp khi giải dạng bài toán này

 Thông qua đề tài, học sinh có thể nắm đợc một số phơng pháp và có thể vận dụng vào giải bài tập, rèn kĩ năng giải bài toán cực trị, đồng thời giúp học sinh thấy đợc cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học, kích thích sự tò mò khám phá, tìm hiểu bài toán

III đối t ợng và phạm vi nghiên cứu

 Nghiên cứu các phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị trong chơng trình toán THCS

 Nghiên cứu các tài liệu có liên quan

 Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 8, 9

IV Ph ơng pháp nghiên cứu

1 Phơng pháp nghiên cứu lí luận

Đọc các tài liệu có liên quan

 Điều tra nắm tình hình dạy của các giáo viên trong và ngoài nhà trờng

 Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng "Một số phơng pháp cơ bản

để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS ” của học sinh

 Chất lợng của học sinh trớc và sau khi thực hiện

phần ii: nội dung

Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) ∈ |D

1.2 Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền |D :

M đợc gọi là GTNN của f(x,y, ) trên miền |D đến 2 điều kiện sau

2.3 Bất đẳng thức côsi :

∀ai ≥ 0 ; i = 1 ,n : n

n

n a a a n

a a

1 + + + ≥ ∀n∈N, n ≥2.dấu "=" xảy ra ⇔ a1 = a2 = = an

b + ≥ +

4 1

1

II Một số phơng pháp cơ bản

giải bài toán cực trị đại số

Ph ơng pháp 01

( Sử dụng phép biến đổi đồng nhất )

Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dơng) và những hằng số Từ đó :

1.Để tìm Max f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra :

x

M y

x f

| ) , (

) , (

0 0

x

m y

x f

| ) , (

) , (

0 0

sao cho f(x0,y0, ) = m

I Các vi dụ minh hoạ :

1 Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A1 = x2 + 4x + 7

⇒ A3 min

= 1966 ⇔ x2-9x + 14 = 0 ⇔

4 VÝ dô 4 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A4 = ( 1 )

1 2

1 10 2

2

2

≠ +

−

−

x x

x x

Gi¶i :

2 2

2

) 1 (

9 1

6 2 )

1 (

9 ) 1 ( 6 ) 1 2 ( 2 1

2

1 10 2

−

= +

−

−

−

x x

x

x x

x x

x

x x

5 VÝ dô 5 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A5 = x y

x

y y

xy

y x y y x

x( − ) − ( − )

A5 =

xy

y x y

6 VÝ dô 6 : Cho x,y ≥ 0 vµ x + y = 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña A6 = x2 + y2

MÆt kh¸c : x + y = 1 ⇒ (x + y)2 = 1 ⇒ 1 = x2 + 2xy + y2 ⇒ (x2+y2)-(x-y)2

⇒ A6 = x2+y2 = ( ) 21

2

1 2

y

x y

7 Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2

 Phơng pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất đợc áp

dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau Song đôi khi học sinh thờng gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt đợc mục đích Vậy còn những phơng pháp nào;

để cùng phơng pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải Trớc hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm.

683

x x

(x ≠1)

d D = x3 + y3 + xy biết x + y = 1

e E =

xy y

x

xy y x

2

) (

4

+ +

+ +

196 74 7

−

x x

x x

3 Tìm GTLN, GTNN của A =

32

64

2

2

++

+

+

x x

x x

Ph -

ơng pháp 02 : ( Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản )

Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đa về 1 bất

đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng mà một vế là hằng số Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng ta có thể tìm đợc cực trị của 1 biểu thức nào đó

I Các ví dụ minh hoạ :

1 Ví dụ 1 : Cho a > b > 0 Tìm GTNN của B1 = a + b(a1−b)

Giải :

Ta có : B1 = a + b(a1−b) = b + (a-b) + b(a1−b) ≥ 3.3

) (

) (

b a b

b a b

2 Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 Tìm GTNN của B2 =

4 )

1 2

1 ( 2

1 1

2

2 1

1

b a ab b

a ab ab

b a ab b

Vậy : B2min = 6 ⇔ a = b = 21

3 Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 Tìm GTNN của B3 = x4 + y4 + z4

Giải :

Do xy + xz + yz = 4 ⇒ 16 = (xy + xz + yz)2≤ (x2+y2+z2) (x2+y2+z2)

(Theo Bunhiac«pxki)

4 VÝ dô 4 : Cho |a| ≤1; |b| ≤1 vµ | a+ b| = 3

(1)

¸p dông (1) ta cã :

2

1 2

) (

2 2

1 1

3 2

2

2 2

2 2

(do | a + b| = 3)

⇒

2 2 2

2

1 1

VËy : B4Max = 1 ⇔ a = b =

2 3

5 VÝ dô 5 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B6 = | x + 7| + | x - 1995|

0 0

x

0 0

8 Ví dụ 8 : Cho xyz = 1 và x + y + z = 3

Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1)

áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có :

3 = x + y + z ⇒ 9 = (x+ y + z)2≤ (x2 + y2 + z2).3

⇔ 3 ≤ (x2 + y2 + z2) ⇔ 9 ≤ (x2 + y2 + z2)2≤ (x4 + y4 + z4).3

⇔ 3 ≤ x4 + y4 + z4⇔ 9 ≤ (x4 + y4 + z4)2≤ (x8 + y8 + z8).3

⇔ 3 ≤ x8 + y8 + z8⇔ 9 ≤ (x8 + y8 + z8)2≤ (x16 + y16 + z16).3

 Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán đợc giải quyết nhanh hơn Song

việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó Một vấn đề đặt ra là : Hai phơng pháp vừa nêu vẫn cha đủ để giải quyết đợc hết các bài toán cực trị đại số THCS Chính vì lẽ đó nhu cầu phải

có những phơng pháp khác tối u hơn và thực hiện đợc yêu cầu bài toán Trớc khi đi nghiên cứu phơng pháp 03 Chúng ta cùng nghiên cứu một số bài tập sau :

ab + +

3 Cho a,b,c > 0

a) Tìm GTNN của C =

b a

c a c

b c b

a

+

+ +

+ +

b) Tìm GTNN của D =

c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b

a + + + + + +

+

+ +

+ +

7 Cho 0 ≤ x ≤ 3 ; Cho 0 ≤ y ≤4 Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y)

8 Cho x,y,z,t ≥ 0 và 2x + xy + z + yzt = 1

( Sử dụng phơng pháp đặt biến phụ )

Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tơng đơng Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị hơn

I Các ví dụ minh hoạ :

2 Ví dụ 2: Tìm GTNN của C2 = 2. + 2 

2 2

2

x

y y

x

- 5 + x+ 6

y y

2

x

y y

x

3

3 − + 2004 với x,y>0

Giải :

z z

x

y z

y

x

+

+ +

+ +

2

c b a c b a c b

a b

c c

b a

b b a

Theo C«si víi a,b,c >0 ta cã : + ≥ 2 ; + ≥ 2 ; + ≥ 2

b

c c

b a

c c

a a

b b a

⇒ C4≥

2

3 ) 3 2 2 2 ( 2

1

=

− + +

) 1

)(

(

y x

y x y

x

+ +

−

−

Gi¶i :

Ta có :

4

) (a+b 2 ≥ a.b

y x

= + +

+

) 1 )(

1

2 2

y x

y x

= + +

−

) 1 )(

1 (

1

2 2

2 2

Khi đó : C5 =a.b

Theo (1) và (2) ta có : -

4

) (a+b 2 ≤ C5 = ab ≤

4

) (a+b 2

⇔ -

2 2 2

2 2 2

2 5

2 2 2

2 2 2

2

) 1 )(

1 (

1 4

1 )

1 )(

1 (

1 4

− +

+

−

−

y x

y x y

x C

y x

y x y

x

⇔ -

2 2 2

2 2

5

2 2 2

2 2

) 1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( 4

1 )

1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( 4

− +

+

−

y x

y x

C y

x

y x

⇔ -

2 2

2

1

1

2

1

1 4

−

y y

Ta có : 0 ≤

2 2

2

1

1 4

1 4

1 4

−

y y

4 Cho x,y > 0 Tìm GTNN của D = 2 3 4

2 2

x

y y

x x

y y x

Ph -

ơng pháp 04 :

( Sử dụng biểu thức phụ )

Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi ngời ta xét cực trị của 1 biểu thức khác có thể so sánh đợc với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn

Ví dụ : Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức :

A

1

, -A, kA, k + A, |A| , A2 (k là hằng số)

I Các vị dụ minh hoạ :

1 Ví dụ 1: Tìm GTLN của A =

1

2 4

2

+ + x x x

+ +

= + +

x

x x

x x

−

x x

+ + + +

+ + +

Gi¶i :

§Æt P = 2D ta cã :

P = y2x t 2(y x t) t2y x 2(t y x) x2t y + 2(x t+ y)

+ +

+ + + +

+ + +

P=  + + + + + + + + + + + +  + + + + +t 

t x y

x t x

t y t

y x y x

t y

x t x t

y x

t y t y

x

2

3 2

2 2

2 2

2

P= + + + + + + + + + + + +  + + + + + t 

y t

x y

x y

t x

t x

y t

y x y x

t y

x t x t

y x

t y t y

x

2

3 2

2 2

2 2

2

P ≥ 2 + 2 + 2 + 63.6 (theo c«si)

P ≥ 15 ⇒ PMin = 15 ⇔ x = y = t > 0

y x

5 , 4

y x

6 VÝ dô 6 : Cho x2 + y2 = 52 T×m GTLN cña F = 2x + 3y

7 VÝ dô 7: Cho x,y > 0

T×m GTNN cña G =

x

y y

x x

y y

x x

y y

x x

y y

x x

y y

x44 + 44 − 22 − 22 + + -2

x x

y x

y y

x y

x x

y x

y y

x

y

x

2

2 1

2 1

.

2 2

2 2

2 4

4 2

2 2 2 2 2

2

≥

− +







 −+







 −+

y y

x x

y y

8

+ + x x x

b a

6 Cho a, b, c, d > 0

T×m GTNN cña F =

c b a

a d b a d

d c a d c

c b d c b

b a

+ +

+ + + +

+ + + +

+

= + + +

7 Cho a,b ∈ |R

T×m GTNN cña G = a2 + ( 1 −b) 2 + b2 + ( 1 −a) 2

Ph ¬ng ph¸p 05 :

( Phơng pháp miền giá trị )

Trong một số trờng hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có một hoặc hai biến

số và đa đợc về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức về miền già trị của hàm số

để giải và thấy rất hiệu quả

 Đờng lối chung là :

Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y là một giá trị nào đó của f(x) với x ∈ D Điều này có nghĩa là điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm Sau đó giải điều kiện để phơng trình f(x)=y có nghiệm (x là biến, coi y là tham số)

Thờng đa đến biểu thức sau : m ≤y≤M

6 4

2

2

+ +

+ +

x x

x x

Giải :

Gọi y là một giá trị của f(x)

4 VÝ dô 4 :

T×m GTNN cña f(x) =

1 2

6 2

x x

x x

Gi¶i :

Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x)

Ta cã : y =

1 2

6 2

x x

x x

⇔ yx2 + 2yx + y - x2 - 2x - 6 = 0

⇔ (y - 1)x2 - 2(y + 1)x + y - 6 = 0 (cã nghiÖm)

* NÕu y = 1 ⇒ x = -

4 5

Gi¶i :

Gäi y lµ mét gi¸ trÞ cña f(x)

2 + −

− x x ; c) C =

x x

x

4 4

2 5

11

2 − x+

x ; c) C =

25 10

196 74

−

x x

x x

x

x x

; b) B =

1

3 4

y x

xy x

+ +

Ph ơng pháp 06 :

( Phơng pháp xét từng khoảng giá trị )

Có nhiều bài toán nếu ta chỉ sử dụng các phép biến đổi tơng đơng, các bất đẳng thức cơ bản phơng pháp đổi biến hay biểu thức phụ, thậm chí ngay cả khi sử dụng phơng pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị vẫn gặp rất nhiều khó khăn có khi không thể tìm đợc Những khi ta biết cách xét từng khoảng hợp lý (có sự dự đoán) thì việc tìm đợc cực trị trở nên đơn giản.

I Các ví dụ minh hoạ :

Nếu 5m > 36m thì A có chữ số tận cùng là 9

a) XÐt A

= 1 ta cã : 36m -

5m = 1 (kh«ng x¶y ra) v×

(36m - 1) : 7 cßn 5m :7b) XÐt A = 9 ta cã : 5m - 36m = 9 (kh«ng x¶y ra) v×

(5m - 36m) : 9 cßn 9 : 9c) XÐt A = 11 , x¶y ra , ch¼ng h¹n m = 1, n = 2

Víi n = 3 ta cã : B =

8

9

> 1Víi n = 4 ta cã : B = 1

Víi n = 5 ta cã : B =

32

25

< 1Víi n = 6 ta cã : B =

16

9 64

Tìm GTNN và GTLN của T =

bd ac

= +

a b a

d b c

19

+

= +

Kết hợp cả 3 trờng hợp ta thấy PMax =

19

172 19

P =

a

c a b a

c b

c a

d b

= +

Ta có : 1 − 1 > 0

a

b ; đặt A =

a b

11

* XÐt P =

b b

a b a

a

19 1

19 1 20

* XÐt Pb+1 - Pb : 1 ≤ b ≤ 9 ; b ∈ N

Pb+1 - Pb =

) 20 )(

19 )(

1 (

380 58

18 2

b b

b b

b b

−

− +

− +

19 3

P4 =

16

7 1 16

Trong các bài toán xét cực trị của biểu thức đại số nếu biểu thức ở dạng là tổng hiệu của căn bậc hai của các tam thức thì ta có thể đa bài toán xét cực trị của các biểu thức đại số sang xét độ dài của các đoạn thẳng bằng việc chọn các điểm có toạ độ thích hợp chứa các đoạn thẳng

đó

 Lý thuyết cần vận dụng.

+ Nếu A(x1, y1); B (x2, y2) ⇒ AB = 2

2 1

2 2

Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5

khi và chỉ khi 3 điểm M, A, B thẳng hàng

Ta lại có phơng trình của đờng thẳng qua A và B là : d =

3

5 3

2 Ví dụ 2:

Cho f(x) = 5x2 + 20 + 5x2 − 32x+ 64 + 5x2 − 40x+ 100 + 5x2 − 8x+ 16

Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) (1)

Giải :

Ta có :

2 2

2 20 ( 4 ) ( 2 2 )

2 2

D,E,F thẳng hàng PT đờng thẳng đi qua DE nhận F (x-4, 0) là nghiệm

⇔ Giải điều kiện ta tìm đợc x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) = 4 ( 5+ 10) tại x = 2

Nhận xét : Vận dụng phơng pháp này để tìm cực trị của biểu thức, đòi hỏi ngời giải phải rất tinh tế khi chọn điểm để thảo mãn những yêu cầu bài toán

Bài tập tham khảo :

Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x2 − 2x+ 5 + x2 + 2x+ 10

Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của f(x) = 4x2 +2x+1− 4x2 −2x+1