Van dung dinh li ostrogradski gauss vao giai mot so bai tap tinh dien hoc

Vì cường độ điện trường tại một điểm trên bề mặt cầu luôn vuông góc với mặt cầu tại điểm đó và có độ lớn không đổi.. Tìm cường độ điện trường do một mặt cầu bán kính R tích điện đều, mật

VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKI-GAUSS VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP

TĨNH ĐIỆN HỌC

Mục đích của tác giả viết bài viết là nhằm giúp cho độc giả yêu thích môn Vật lí có thêm một kênh thông tin tham khảo trong việc học tập ở trường phổ thông và Đại học, cao đẳng

Bài viết dành cho nhiều đối tượng độc giả: Giáo viên dạy vật lí, học sinh các lớp chuyên vật lí, sinh viên Đại học, cao đẳng cũng như mọi người quan tâm đến việc giải các bài tập vật lí nâng cao

Nội dung bài viết gồm: Lý thuyết cơ bản về khái niệm điện thông, cách tính điện thông gửi qua một mặt cầu, mặt trụ, mặt kín bất kỳ, định lý Ostrogradski-gauss và một số bài tập tĩnh điện học có lời giải dựa trên định lý Ostrogradski-gauss

Tác giả hy vọng nhận được sự quan tâm, góp ý của bạn đọc để bài viết sau được hoàn chỉnh hơn

Phần I Tóm tắt lý thuyết cơ bản

1 Khái niệm điện thông

Cho mặt S có pháp tuyến n, đặt trong điện trường đều

có cường độ điện trường là E

Đại lượng:  S E n E S .cos E n, E S cos gọi là điện

thông gửi qua mặt S

Nếu điện trường là không đều, thì ta chia mặt S thành những mặt dS rất nhỏ sao cho điện trường là đều rồi tính điện thông d qua từng mặt, sau đó:  dEdS.cos E n, (*)

Vậy điện thông qua S là một đại lượng vô hướng tính bằng biểu thức (*)

2 Định lí Ostrogradski-gauss

a Điện thông gửi qua mặt cầu bán kính R khi ở tâm của nó có có điện tích điểm q

Vì cường độ điện trường tại một điểm trên bề mặt cầu luôn vuông góc với mặt cầu tại điểm đó và

có độ lớn không đổi

2

0

1

q

R





Do đó:

Vậy đối với một điện tích điểm đặt ở tâm mặt cầu, điện thông qua mặt cầu này không phụ thuộc bán kính của nó

b Điện thông gửi qua mặt bất kì khi bên trong mặt đó có điện tích điểm q

0

1 cos ,

q

r



Vì S là mặt bất kì nên n và r0 không trùng nhau

Ta thấy: r ndS o = cos .dS =dS’ Với dS’ là hình

chiếu của dS trên mặt phẳng vuông góc với r

Mặt khác: dS2'

r   là góc khối nhì dS từ q

.cos ,



n

dS

q

dS’



n

E

S

n

R

0

r

0

q

ds

2

Vậy điện thông gửi qua một mặt kín bất kì

0

q



  Với q là điện tích điểm bên trong mặt kín, 0 là hằng số điện

c Điện thông gửi qua mặt bất kì khi bên ngoài mặt đó có điện tích điểm q

Xét hai phần tử diện tích dS1 và dS2 cùng được nhìn từ q dưới góc khối  nhưng nằm đối diện nhau như hình vẽ

' 1

1 2 0 1 1 2

0 1 0 1 0

' 2

2 2 0 2 2 2

0 2 0 2 0

1 2

1

1

0

dS

dS











      

Suy ra điện thông qua mặt S:  d  0

c Điện thông gửi qua mặt bất kì khi bên trong mặt đó có hệ các điện tích điểm

0

1

1

4

S

n i

n i n

q

r

q q

q q

E ndS E ndS E ndS





Định lí:

Điện thông gửi qua một mặt kín S(mặt Gauss) bằng tổng đại số các điện tích trong mặt kín S đó chia cho hằng số điện:

1 0

.

n i i

q

E n ds







Phần II Một số bài toán cơ bản

1 Bài 1

Tìm cường độ điện trường do một mặt cầu bán kính R tích điện đều, mật độ điện mặt  gây ra tại điểm cách tâm của mặt cầu một đoạn r

Lời giải:

Vì lí do đối xứng nên các véc tơ cường độ điện trường tại các điểm

khác nhau đều có phương đi qua tâm Tại những điểm cách đều mặt

cầu thì cường độ điện trường có độ lớn bằng nhau

Chọn mặt Gauss là mặt cầu bán kính đồng tâm với mặt cầu tích điện

Khi đó, xét một vi phân diện tích dS: d EndSEE dS .cos 0 E dS.

Vậy, trên cả mặt kín:

2

         ; Theo định lí O –G: 2 1

0

.4

n i i

q

E r





*Nếu r < R: q = 0 => E = 0

rR q  R Suy ra:

2

2

4

r



2 Bài 2

Tìm cường độ điện trường do một quả cầu đặc bán kính R tích điện đều theo thể tích với mật độ điện khối  gây ra tại điểm cách tâm của mặt cầu một đoạn r

Lời giải:



dS2

q

dS2

’

2

n

dS1

’

1

n dS1

O R

r

Vì lí do đối xứng nên các véc tơ cường độ điện trường tại các điểm

khác nhau đều có phương đi qua tâm Tại những điểm cách đều mặt

cầu thì cường độ điện trường có độ lớn bằng nhau

Chọn mặt Gauss là mặt cầu bán kính đồng tâm với mặt cầu tích điện

Khi đó, xét một vi phân diện tích dS: d EndSEE dS .cos 0 E dS.

Vậy, trên cả mặt kín:

2

d EndSE E dS E dS E r

Theo định lí O –G: 2 1

0

.4

n i i

q

E r





*Nếu : 4 3

3

R

  Suy ra:

2

2

4 4

r



*Nếu : 4 3

3

r

rR q   Suy ra:

3 2

4 4

3 Bài 3

Tính cường độ điện trường do một mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều theo diện tích với mật độ điện mặt 

Lời giải:

Vì lí do đối xứng nên các véc tơ cường độ điện trường tại các điểm khác nhau đều có phương vông góc với mặt phẳng Đi ra ngoài mặt phẳng nếu  > 0 và đi vào mặt phẳng nếu  < 0

Xét mặt Gauss là mặt trụ bán kính r, nhận mặt phẳng tích điện là mặt đối xứng và có trục vuông góc với mặt phẳng tích điện

-Điện thông qua mặt Gauss bằng tổng điện thông 1 gửi qua các mặt bên và 2 gửi qua hai mặt đáy

       vì 1 = 0;  2 2 S E

2

n i i

q r



0

2





4 Bài 4

Tính cường độ điện trường do một hình trụ rỗng, bán kính R, dài vô hạn, tích điện dều theo chiều dài với mật độ điện dài  tại điểm cách trục hình trụ một đoạn r

Lời giải

Chọn mặt Gauss là mặt trụ đồng trục với hình trụ

trên, bán kính r, chiều cao h

Do tính đối xứng nên véc tơ cường độ điện trường ở

mọi điểm luôn vuông góc với mặt trụ tại điểm đó tức

là cùnphương bán kính

-Điện thông qua mặt Gauss bằng tổng điện thông 1 gửi qua các mặt bên và 2 gửi qua hai mặt đáy

       vì 2 = 0; 2

1 S xq.E r h E

.

n i i

q h

E ndS r h E 



0

E

r



 



*Nếu r < R: 2 1

0

n i i

q

E ndS r h E



0

0

n i i

q E





r

4

5 Bài 5

Tính cường độ điện trường do một hình trụ đặc, bán kính R, dài vô hạn, tích điện dều với mật độ điện khối  tại điểm cách trục hình trụ một đoạn r

Lời giải

Chọn mặt Gauss là mặt trụ đồng trục với

hình trụ trên, bán kính r, chiều cao h

Do tính đối xứng nên véc tơ cường độ điện

trường ở mọi điểm luôn vuông góc với mặt trụ

tại điểm đó tức là cùngphương bán kính

-Điện thông qua mặt Gauss bằng tổng điện thông 1 gửi qua các mặt bên và 2 gửi qua hai mặt đáy

       vì 2 = 0

2

1 S xq.E r h E

*Nếu r > R:

2 1

n i i

q



2

0

.

2

R E r







n i i

q



0

2

r





6 Bài 6

Bên trong một khối cô lập tâm O bán kính R, tích điện đều với mật

độ điện khối  có một cái hốc hình cầu tâm O1 bán kính r, OO1 = a

Chứng tỏ điện trường trong hốc là điện trường đều và có độ lớn

bằng

0

2

a



 Nếu O trung O1 thì kết quả sẽ ra sao?

Lời giải

Coi hốc rỗng là hợp của hai hốc, một hốc mang điện  và một mang điện - Phần mang điện  cùng với khối cầu tạo ra quả cầu đặc mang điện 

Xét một điểm M trong hốc Coi điện trường này là tổng hợp của điện trường do cầu đặc gây ra là

1

E và điện trường do hốc mang điện âm gây ra E2

EE E Trong đó 1 2

;

Dựa vào hình vẽ:

Có thể viết:

E   E E

Ta thấy:

E  r  MO nên hai tam giác đồng dạng hay E/ /O O1 2

Hay 1

E

Nếu hai tâm trùng nhau thì a = 0 => E = 0

O O1

M

r2

r1

E

2

E

1

E

M

O1 O2

r2

r1

E

2

E

1

E

a

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lương Duyên Bình – Dư trí Công – Nguyễn Hữu Hồ (1998), Vật lí đại cương

2 Vũ Thanh Khiết – Nguyễn Phúc Thuần (1992), Điện học Nhà xuất bản Giáo dục

3 Vũ Thanh Khiết (2005), Điện học Nhà xuất bản Đại học Sư phạm (sách dự án đào tạo giáo viên THCS)

4 http// thuvienvatly.com

Xác nhận của lãnh đạo đơn vị Tác giả

Hoàng Văn Vĩnh