Viết phương trình các cạnh còn lại biết rằng cạnh song song với cạnh đã cho đi qua điểm –9; –1.. b, Tìm quỹ tích những điểm mà từ đó có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và
Trang 1ĐỀ THI HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A 1
(Thời gian làm bài 120 phỳt)
Cõu 1 ( 2,0 điểm)
Giải hệ phương trỡnh:
=
ư
ư + +
=
ư
ư + +
=
ư
ư + +
9 3 3 3 4
8 2 2 2 3 2
7 2
3
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x
Cõu 2 ( 3,0 điểm)
a, Biết phương trình một cạnh của hình thoi là x + 3y – 8 = 0 và phương trình một
đường chéo là 2x + y + 4 = 0 Viết phương trình các cạnh còn lại biết rằng cạnh song song với cạnh đã cho đi qua điểm (–9; –1)
b, Tìm quỹ tích những điểm mà từ đó có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và cùng tiếp xúc với một elip đã cho
Cõu 3 ( 2,0 điểm)
Cho ba đường thẳng:
Viết phương trỡnh đường thẳng cắt hai đường thẳng đầu và song song với đường thẳng thứ ba
Cõu 4 (3,0 điểm)
a, Tớnh giới hạn:
3 0
1 t anx 1 s inx lim
b, Xột sự liờn tục của hàm số tại điểm x = 0:
ln(1 ) ln(1 )
, 0 ( )
x
x
+ ư ư
≠
=
Trang 2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A 1
điểm Cõu 1
ư
ư
ư
ư
ư
ư
9 8 7
3 3 3 4 1
2 2 2 3 2
1 1 1 2 3
→
ư
ư
ư
ư
ư
ư
ư
ư
11 6 7
0 0 0 2 8
0 0 0 1 4
1 1 1 2 3
ư
ư
ư
ư
ư
1 6 7
0 0 0 0 0
0 0 0 1 4
1 1 1 2 3
Từ đây suy ra hệ vô nghiệm
1,0 1,0
Câu 2
(3,0đ)
a, Đặt a: x + 3y – 8 = 0 là đường thẳng AB, m: 2x + y + 4 = 0 là đường chéo
AC, điểm M(–9; –1) thuộc cạnh CD và I là tâm hình thoi ABCD
+ Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ: A( 4 ; 4)
0 4 y 2x
0 8 3y x
ư
⇒
= + +
=
ư +
+ Phương trình CD là: (x + 9) + 3(y + 1) = 0 ⇔x + 3y + 12 = 0
A
B
C
D
a
m I
M
+ Toạ độ C là nghiệm của hệ: C(0; 4)
0 4 y 2x
0 12 3y x
ư
⇒
= + +
= + +
Từ đó suy ra toạ độ trung điểm I của AC là I(–2; 0)
+ Đường chéo BD có phương trình x = –2 + 2t, y = t hay x – 2y + 2 = 0 Từ
đó suy ra toạ độ B là nghiệm của hệ phương trình:
B(2; 2)
0 2 y 2 x
0 8 3y x
⇒
= +
ư
=
ư +
+ D đối xứng với B qua I nên suy ra D(–6; –2) Vậy phương trình của BC
là:
3x – y – 4 = 0 và AD là 3x – y + 16 = 0
0,5
0,5
0,5
Trang 3b, Giả sử đường thẳng d: Ax + By + C = 0 là một tiếp tuyến của elip (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
+ Đường thẳng d' vuông góc với d có dạng Bx – Ay + D = 0 là tiếp tuyến của (E) áp dụng điều kiện tiếp xúc ta có:
a2A2 + b2B2 = C2 và a2B2 + b2A2 = D2
Gọi M(x; y) là giao điểm của d và d' thì ta cần tìm quỹ tích những điểm M Thế thì toạ độ của M là nghiệm của hệ:
B A
BC AD y
; B A
BD AC x
0 D Ay Bx
0 C By Ax
+
ư
= +
+
ư
=
⇔
= +
ư
= + +
Xét: x2 + y2 =
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
(A B )
+
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
b a B
A
A b B a B b A a B A
D C
+
= +
+ +
+
= +
+
Hệ thức x2 + y2 = a2 + b2, chứng tỏ rằng quỹ tích những điểm M mà từ đó có thể
vẽ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và cùng tiếp xúc với một elíp
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
+ đã cho, là một đường tròn tâm ở gốc toạ độ, bán kính R =
2
2
b
a +
0,5
0,5
Trang 4Cõu 3
(2,0đ)
Lấy M ∈ d1, N ∈ d2 thì M(3 + t; –1 + 2t; 4t) và N(–2 + 3u; – u; 4 – u)
Đường thẳng MN có véc tơ chỉ phương MN = (–5 + 3u – t; 1 – u – 2t; 4 –
u – 4t) Đường thẳng d3 có véc tơ chỉ phương u3= (2; 2; 4) = 2(1; 1; 2), do đó
MN // d3 khi và chỉ khi:
2
4t u 4 1
2t u 1 1
t 3u
=
ư
ư
=
ư +
ư
Giải hệ phương trình này ta được u = –2 và t = 14 Suy ra M(17; 27; 56),
N(–8; 2; 6) và phương trình đường thẳng MN cần tìm là:
17 27 56
+
=
+
=
+
=
t 2 56 z
t 27 y
t 17 x
⇔
+
=
+
=
+
ư
=
2u 6 z
u 2 y
u 8 x
0,5
1,0
0,5
Cõu 4
(3,0đ)
a, Ta cú
2
1 t anx 1 s inx 1 t anx 1 s inx
( 1 t anx 1 s inx )
1 t anx 1 s inx
x
=
ư
=
t anx 1 cos 1 lim 1; lim ; lim( 1 t anx 1 s inx )
2
x
ư
0
1 t anx 1 s inx 1 lim
4
=
0,5
1,0
b,
0
x lim
→ f(x) =
0
x lim
x) 1 ln(
x) ln(1 + ư ư
= 0
x lim
x) ln(1+
+ 0
x lim
x) 1 ln( ư
= 1 + 1 = 2
Vậy hàm số liờn tục tại điểm x = 0
1,0 0,5