Đề thi học phần toán cao cấp 3 - 4 pps

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 07 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số: 3 2 2 2 2 5 2 2 x z x x xy y y = + − + + − 1. Tìm cực trị của hàm 2. Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 0 45 3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2: Tính ( ) ( ) 2 2 2 L x xy dx xy y y dy − + − + ∫ Ñ L là đường cong nối 3 điểm A (-1, 1), B ( 2 , 2), C (0, 2) trong đó đoạn AB là đường 2 y x= , đoạn BC là đường y=2 và đoạn CA là đường y = x + 2 bằng 2 cách: Cách 1: Tính trực tiếp tích phân đường loại 2. Cách 2: Áp dụng công thức Green. Câu 3: Giải hệ phương trình vi phân: { ' ' 3 2 1 3 y y z z y z = − + = + − với điều kiện khi x=0 thì y=0 và z=0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2: 2 -2 -4 y x N Bài giải Câu 1: 3 2 2 2 2 5 2 2 x z x x xy y y = + − + + − ' 2 ' 1 3 4 2 0 2 2 4 5 0 x y z x x y z x y = + − + = =− − + =    →-2y=x- 5 2 Thay vào phương trình trên ta có: 2 2 5 1 3 4 3 5 2 0 2 2 x x x x x + + − + = + − = → 1 2 1 3 2 3 x x = = − → 1 2 13 12 9 4 y y = = M 1 ( 1 13 , 3 12 ) M 2 (-2, 9 4 ) '' 6 4 xx z x r = + = 6 - 8 '' 2 xy z s = − = - 2 - 2 '' 4 yy z t =−= - 4 - 4 s 2 - rt 4+24=28 4-32=-28<0 Không cực trị Có cực trị r = -8 cực đại 2. ' ' 1 5 ( ) 3.4 8 2 2 2 ( ) 4 4 5 5 5 os 5 os 0 2 4 4 x y z N z N z c c l π π = − − + = = − + = ∂ = + > ∂ Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 0 45 . 3. Hướng thay đổi nhanh nhất là 5 2 i+5j. -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 1 2 x y A B C Câu 2: * Trực tiếp: AB: x: -1→ 2 , 2 y x= ( ) 2 2 2 2 4 2 1 2 2 3 4 5 3 1 2 3 5 6 2 2 4 5 1 1 2 . . .2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 3 2 2 8 2 8 1 2 1 2 2 8 2 2 2 3 5 3 3 5 3 3 5 5 x x x x x x x x dx x x x x x dx x x x x x x dx − − − −   − + − +     = − + − +       = + − = + −  ÷     = + − + + + = + + − ∫ ∫ ∫ BC: x: 2 →0, y=2 ( ) 0 3 2 2 0 2 2 2 2 4 2 4 3 3 x x x dx x   − = − = − +  ÷   ∫ CA: x : 0→-1, y=x+2 ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) 1 2 2 0 1 2 2 2 2 0 1 3 2 2 1 0 0 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2 5 5 2 2 3 2 1 5 2 3 2 x x x x x x x dx x x x x x x x x dx x x x x dx x − − − −     − + + + − + + +     = − − + + − − − + +   = − − − = − − −  ÷   = − + ∫ ∫ ∫ Vậy ( ) ( ) 2 2 2 2 8 2 2 2 2 1 5 2 2 4 2 3 5 5 3 3 2 8 2 67 5 30 L x xy dx xy y y dy − + − + = + + − − + + − + = + ∫ Ñ * Áp dụng công thức Green: 2 2P x xy= − 2 P x y ∂ = − ∂ , 2 Q xy y y= − + , Q y x ∂ = ∂ Vậy ( ) 2 D I y x dxdy= + ∫∫ Phần 1: x:-1→0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 2 2 2 1 1 2 0 4 3 1 0 2 4 2 3 1 0 4 2 3 1 5 4 3 2 0 1 dx 2 dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 5 2 6 2 2 2 5 3 2 10 2 6 1 1 5 3 2 10 2 6 y x y x y x y x y x y dy x y x x x x x dx x x x x x x dx x x x x dx x x x x x =+ =+ = − − = − − − −   = + = +  ÷     + = + + − −         = + + + + − −  ÷     = − − + + +  ÷     = − − + + +  ÷   =− + + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 10 7 10 12 30 =− + = Phần 2: x : 0→ 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 4 4 3 3 0 0 5 4 2 2 0 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 10 2 4 2 8 2 2 4 2 2 2 10 5 y y y x y x y dx x y dy xy dx x x x x dx x x dx x x x x = = = =   + = +  ÷       = + − − = − − +  ÷  ÷       = − − + +  ÷   =− − + + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy 7 4 2 16 2 7 8 2 67 2 2 2 2 30 10 10 30 5 30 D =− − + + = + + = + ∫∫ Câu 3: ( ) '' ' ' ' ' ' ' 3 2 3 2 2 3 3 2 2 6 3 2 3 1 6 y y z y y y y z y y y y = − = − + − = − − + = − + − − + ' '' ' 4 5 5 4 5 5 y y y y y = − + → − + = * Phương trình thuần nhất: '' ' 4 5 0y y y − + = Phương trình đặc trưng: 2 4 5 0 λ λ − + = ' ' 2 2 1 2 4 5 1 2 cos , sin x x i i y e x y e x λ ∆ = − =− → ∆ =± → = ± → = = 2 2 1 2 cos sin x x y c e x c e x = + * Phương trình không thuần nhất: { { { ' 2 ' 2 1 2 ' 2 2 ' 2 2 1 2 ' ' 1 2 ' ' 2 1 2 ' ' 1 2 ' ' 2 1 2 cos sinx 0 (2 cos sinx) (2 sin cos ) 5 cos sinx 0 (2cos sinx) (2sin cos ) 5 cos sinx 0 sinx cos ) 5 x x x x x x x x c e x c e c e x e c e x e x c x c c x c x x e c x c c c x e − − + = − + + = + = − + + = + = − + = → → ' 2 2 * 1 1 1 5 sinx 5 sin x x x c e c e dx c − − → = − → = − + ∫ ' 2 2 * 2 2 2 5 cosx 5 cosx x x c e c e dx c − − → = → = + ∫ * 2 sin x ? x e dx − = ∫ 2x e u − = → du=-2 2x e dx − sinxdx=dv →v =- cosx 2 2 cos 2 cos x x e x e xdx − − = − − ∫ 2 2 2 cos sinx x x e u du e dx xdx dv v − − = → = − = → = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 sinx 2 sin x 5 sin x cos 2 sin 1 2 sin x cos sin 5 5 x x x x x x x x x e x e e dx e dx e x e x e dx e x e x − − − − − − − − −   =− − +   → =− − → =− − ∫ ∫ ∫ * 2 2 2 cosx 2 x x x e dx e u du e dx − − − → = → =− ∫ cos sinx xdx dv v = → = 2 2 2 cosx sin 2 sin x x x e dx e x e x − − − = + ∫ ∫ 2 2 2 sin x cos x x e u du e dx dx dv v x − − = → = − = → = − 2 2 2 cosx sin 2 sin x x x e dx e x e x − − − = + ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 2 os 2 os 5 cosx sin 2 os 1 2 osx sin os 5 5 x x x x x x x x x e x e c x e c x e dx e x e c x e c dx e x e c x − − − − − − − − −   = + − −   → = − → = − ∫ ∫ ∫ 2 2 * 1 1 2 2 * 2 2 cos 2 sin sin 2 os x x x x c e x e x c c e x e c x c − − − −   → = + +     = − +   Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 * 2 2 2 * 2 1 2 * * 2 1 2 ' * * * * 2 * * * * 2 1 2 2 1 2 1 1 2 cos 2sinx . cos cos sinx 2cos . sinx sinx cos sinx 1 sin 2 sinx cos 2 cos 2 sinx 2 cos x x x x x x x x x y x e e x c e x x e e c e y c x c e y c x c c x c x e c c c c x e − − = + + + − + = + +     = − + + + = − + +     Thay vào 2z = y ’ -3y-1 ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * 2 * * 2 2 1 1 2 1 2 * * * * 2 1 2 2 1 * * * * 2 2 1 1 2 2 sinx 2 cos 3 cos sinx 3 1 sinx cos 4 cos sinx 2 2 2 x x x x c c c c x e c x c e c c c c x e c c c c z x e     = − + + − + − −       = − − + − −     − + → = − −  ÷   * * 1 1 y 0 0 1 1c c = → = + → = − * * 2 2 1 3 z 0 0 2 2 2 c c + = → = − → = 2 3 cos sinx 1 2 x y x e   → = − + +  ÷   2 5 1 cos sinx 2 4 4 x z x e   = − −  ÷   Đáp án-Thang điểm Câu 1(2đ): * 2 3 5 2 0x x+ − = → 1 13 , 3 12    ÷   (1) → 9 2, 4   −  ÷   * Tại 1 1 13 , 3 12 M    ÷   không cực trị (28) (0.25) * Tại 2 9 2, 4 M   −  ÷   cực trị (-28,-8) (0.25) 2. Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 0 45 (0.25) 3. Hướng thay đổi nhanh nhất là 5 2 i+5j (0.25) Câu 2(5đ): Vẽ hình: (1/2) 1. Trực tiếp AB→ 2 2 8 2 2 2 3 5 5 + + − (1/2) BC → 2 2 4 3 − + (1/2) CA→ 1 5 2 3 2 − + (1/2) 8 2 67 5 30 L = + ∫Ñ (1/2) 2. Công thức Green: ( ) 2 D y x dxdy+ ∫∫ (1/2) Tích phân trên bằng tổng 2 tích phân: ( ) 2 2 0 1 7 2 30 y x y x dx x y dy = + − = + = ∫ ∫ (1.0) ( ) 2 2 2 0 8 2 2 2 5 y y x dx x y dy = = + = + ∫ ∫ (1.0) Vậy ( ) 8 2 67 2 5 30 D y x dxdy+ = + ∫∫ Câu 3(3đ): * Khử → '' ' 4 5 5y y y − + = (1/2) * Thuần nhất → 2 4 5 0 λ λ − + = → 2 i λ = ± 2 2 1 2 cos , sin x x y e x y e x→ = = (1/2) * Không thuần nhất: → { ' ' 1 2 ' ' 2 1 2 cos sinx 0 sinx cos 5 x c x c c c x e − + = − + = ' 2 2 * 1 1 1 5 sinx 5 sin x x x c e c e dx c − − → = − → = − + ∫ (0.25) ' 2 2 * 2 2 2 5 cosx 5 cosx x x c e c e dx c − − → = → = + ∫ (0.25) 2 2 * 1 1 2 2 * 2 2 cos 2 sin sin 2 os x x x x c e x e x c c e x e c x c − − − −   → = + +     = − +   (1/2) ( ) * * 2 1 2 cos sinx 1 x y c x c e= + + (0.25) * * * * 2 2 1 1 2 cos sinx 2 2 2 x c c c c z x e   − + → = − −  ÷   (0.25) * Thay điều kiện: ( ) ( ) 2 2 2 2 5cos sinx 5 5 1 3cos 2sinx 2 2 x x x x y x e e z x e e = − + + =− + + +  →   (1/2) . 1 2 1 3 2 3 x x = = − → 1 2 13 12 9 4 y y = = M 1 ( 1 13 , 3 12 ) M 2 (-2 , 9 4 ) '' 6 4 xx z x r = + = 6 - 8 '' 2 xy z s = − = - 2 - 2 '' 4 yy z t =−= - 4 - 4 s 2. TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 07 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số: 3 2 2 2 2 5 2 2 x z x x. 2 '' 4 yy z t =−= - 4 - 4 s 2 - rt 4+ 24= 28 4 -3 2 =-2 8<0 Không cực trị Có cực trị r = -8 cực đại 2. ' ' 1 5 ( ) 3. 4 8 2 2 2 ( ) 4 4 5 5 5 os 5 os 0 2 4 4 x y z N z N z c c l π π = −