a) Biểu thức tính v và T
2.1.4.Tìm cực trị trong bài toán va chạm của các vật
Phương pháp giải
• Sử dụng hai định luật bảo toàn: bảo toàn cơ năng (đối với va chạm đàn hồi), bảo toàn động lượng
• Sử dụng điều kiện đầu bài kết hợp với các kiến thức toán học: bất đẳng thức cosi, đạo hàm, giá trị cực trị của hàm lượng giác …tìm được giá trị cực trị mà bài yêu cầu .
a. Bài tập mẫu
26
Một viên đạn khối lượng m1 bay ngang ,đập vào mặt nghiêng của 1 chiếc nêm. Nêm có khối lượng m2 ban đầu đứng yên trên một mặt phẳng ngang nhẵn. Sau va chạm (tuyệt đối đàn hồi ) đạn nảy lên theo phương thẳng đứng còn nêm chuyển động theo hướng cũ của m1 với vận tốc v2.Tính độ cao cực đại (từ vị trí va chạm) mà viên đạn lên được.
Bài giải
Trong va chạm giữa m1 và m2, ngoại lực 2+ 2
không bù trừ và cũng không thể bỏ qua so với nội lực tương tác .
Nếu lớn, nên sẽ nén mạnh lên mặt phẳng đỡ
Và N2 cũng khá lớn ( N2 > P1 + P2 )
Tuy nhiên vì và 2 đều có phương thẳng đứng nên ta vẫn có thể áp dụng định luật bảo toàn cho thành phần động lượng của m1 và m2 trên phương ngang Ox :
m1vox = m1v1x + m2v2
⇒ m1vo = 0 + m2v2 (1)
Đồng thời do va chạm là tuyệt đối đàn hồi nên động năng của hệ sẽ được bảo toàn:
m1 = m1 + m2 (2)
ta suy ra vận tốc m1 trước va chạm v0 = v2 ;
Thay vào (2) ta tính được vận tốc v1 của m1 ngay sau va chạm.
= .
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho chuyển động của m1 ngay sau va chạm và khi lên cao nhất : W1 =
27
Vậy độ cao cực đại mà m1 đạt được sau khi va chạm là :
h = = . (điều kiện m2 > m1 )
Ví dụ 2 ( tập 2)
Một giá ABC nhẹ gắn trên một đế có khối lượng m1 như hình vẽ. Tại A, người ta buộc 1 dây nhẹ chiều dài l = 1,2m, đầu dây treo một quả cầu khối lượng m2. Để có thể chuyển động không ma sát trên mặt phẳng ngang. Ban đầu đế nằm yên còn quả cầu được nâng lên đến vị trí dây treo nằm ngang rồi buông không vận tốc đầu. Tính vận tốc của đế lúc quả cầu xuống đến vị trí thấp nhất, biết chiều dài l < BC mà m1= 2m2.
Bài giải
Hệ thống gồm quả cầu và đế sẽ tương tác với nhau và cùng chuyển động. Để xác định vận tốc của quảcầu và của đế, ta sử dụng đồng thời định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn cơ năng.
Gọi vận tốc của quả cầu và đế khi dây treo thẳng đứng lần lượt là v2 , v1 .
Ngoại lực ; tác dụng lên hệ đều có phương thẳng đứng nên xét trên phương ngang ox, theo định luật bảo toàn động lượng :
0 = m1v1x + m2v2x
⇒ 0 = m1v1 – m2v2 (1) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chọn mốc thế năng trọng trương tại vị tri thấp nhất của quả cầu theo định luật bảo toàn cơ năng :
W0 = W
m2gl = m1v12 + m2v22 (2) Từ (1) ta suy ra : v2 = v1 ; thay vào (2)
28
Thay m1 = 2m2 , g và l vào ta được : v1 = 2 m/s
Ví dụ 3
Vật m1 chuyển động với vận tốc tại A và đồng thời va chạm với vật m2
đang nằm yên tại đó. Sau va chạm m1 có vận tốc ; hãy xác định tỷ số của m1 để góc lệch a giữa và lớn nhất. Cho m1 > m2. Bài giải Động lượng hệ trước va chạm: Động lượng hệ sau va chạm: . Hệ kín nên Động lượng hệ bảo toàn:
Gọi
Ta có: (1)
29 ⇒ ⇒ (2) Từ (1) và (2) ⇔ Đặt x = ⇒
Để amax thì (cosa)min . Theo BĐT cosi: (cosa)min khi:
Vậy khi thì góc lệch giữa và cực đại.
Với
b. Bài tập tương tự Bài tập 1
Viên đạn m1= 50 g bay theo phương ngang với vận tốc v0 = 20 m/s đến cắm vào vật m2= 450 g treo ở đầu sợi dây dài l = 2 m. Tính góc lớn nhất mà dây treo lệch so với phương thẳng đứng sau khi viên đạn cắm vào m2.
Đáp số: 260
2.1.5. Tìm đoạn đường đi được lớn nhất và nhỏ nhất của vật dao động điều hòa
30
Dạng bài toán 1: Tính quãng đường lớn nhất , nhỏ nhất mà vật đi được khoảng thời gian o < t <
Ta có vận tốc lớn nhất khi qua vị trí cân bằng , nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian , quãng đường đi được càng dài khi vật ở càng gần vị trí cân bằng và càng ngắn khi càng gần vị trí biên.
Phương pháp giải
Theo thời gian t , tính góc ở tâm mà bán kính quét được = .
Quãng đường lớn nhất : Smax = 2Asin ( khi vật đi từ M đến N đối xứng qua trục sin thẳng đứng )
Quãng đường nhỏ nhất, Smin = 2A(1- cos ) ( khi vật đi từ M đến N đối xứng qua trục có nằm ngang ).
Dạng bài toán 2: Tính quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất mà vật đi được khoảng thời gian t’
>
Phương pháp giải
Tách t’= n + t, trong đó n (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
31
Trong thời gian t thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất được tính như dạng bài 1 ở trên
a. Bài tập mẫu Ví dụ 1 2009 )
Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hòa theo phương trình
X = 6cos(3 + ) cm . so sánh trong những khoảng thời gian như nhau .
quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là bao nhiêu ?
Ta biết rằng khi qua vị trí cân bằng thì vận tốc đạt giá trị lớn nhất, còn ở biên thì vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất .
Tính trong cùng một khoảng thời gian, muốn cho quãng đường đi được dài nhất thì vận tốc trên quãng đường đó phải lớn hơn trên các đoạn đường khác. Như vậy đoạn đường dài nhất sẽ nằm xung quanh vị trí cân bằng như hình vẽ. Do tính đối xứng của đoạn đường này qua vị trí cân bằng nên ta chia đoạn Smax thành hai phần bằng nhau, mỗi phần đó ứng với thời gian của bài toán cho, tức là .
Mặt khác khi xuất phát từ VTCB, sau khoảng thời gian , vật sẽ đạt tọa độ x = tức là đã đi được quãng đường dài S =
32 Chú ý 1 :
Bài toán trên được trình bày theo cách diễn giải, khi đã hiểu có thể giải nhanh theo công thức đã nêu ở trên, giải như sau :
+) = = = =
+) Smax = 2Asin = 2Asin = 2Asin = 2A = A = 6 .
Ví dụ 2
Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình
x= cm, so sánh trong những khoảng thời gian s như nhau, quãng đường dài nhất và ngắn nhất mà vật có thể đi được là bao nhiêu ?
Bài giải
Ta có :T = = = (s) ⇒ = s Dễ dàng thấy rằng s > s tức là t’ > Nên có thể tách và viết thành = 5 + Với 5 , quãng đường là 5.2A = 10A Với , theo phương pháp trên , ta có Cho cả 2 khoảng thời gian này thì :
Smax = 10A + A = A(10 + ) = 7(10 + ) 82 cm Smin = 10A + A = 11A = 11.7 = 77 cm .
Ví dụ 3
Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hòa với biên độ A , chu kì T. Xét trong cùng khoảng thời gian tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất mà vật đạt được ?
33 Ta thấy > ta có thể viết = +
Quãng đường mà vật đi được trong luôn là 2A . Quãng đường nhỏ nhất Trong là do quyết định. Như vậy ta có :
Smin = 2A + 2A(1- cos ) = 2A + 2A(1 - cos ) Smin = 2A + 2A( 1 - cos ) = 2A + A(2- ) = A( 4 - ) Cuối cùng thu được:
Vtb min = = =
Nhận xét : Khi sử dụng đường tròn vào để giải bài tập dạng này cần : xác định quanh vị trí cân bằng Smax , vtb max
quanh vị trí biên Smin , vtb min
để có thể chọn được yếu tố Smin hay Smax
b. Bài tập tương tự Bài tập 1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x= cm, so sánh trong những khoảng thời gian s như nhau, quãng đường dài nhất và ngắn nhất mà vật có thể đi được là bao nhiêu ?
Đáp số: Smax= 82 cm , Smin = 77 cm
Bài tập 2
Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = Acos( t + .So sánh trong những khoảng thời gian T/3 như nhau,người ta thấy quãng đường dài nhất vật có thể đi được là 5 cm .Tìm biên độ của dao động.
Đáp số:A = 5 cm