CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU [ Người thực hiện : Nguyễn Văn Trào Chức v

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

[

Người thực hiện : Nguyễn Văn Trào Chức vụ : Giáo viên

Đơn vị công tác : Trường THPT Hoằng Hoá 4 SKKN thuộc lĩnh vực: Môn Vật Lý

THANH HÓA NĂM 2013

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong các đề thi tốt nghiệp, thi đại học, thi học sinh giỏi thường có các câu hỏi tìm giá trị cực trị của các đại lượng trong mạch điện xoay chiều như: công suất, cường độ dòng điện, hiệu điện thế khi có sự biến thiên của các phần tử trong mạch như: R, L, C hoặc tần số góc  Gặp những bài toán này học sinh thường lúng túng trong việc tìm cho mình một phương

pháp giải tốt nhất và hiệu quả nhất Do đó mất thời gian và làm ảnh hưởng đến thời gian làm các bài toán khác và kết quả không cao

Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi thấy có một số phương pháp cơ bản để giải các bài toán dạng này Trong đề tài này tôi muốn giới thiệu một số dạng bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều và phương pháp giải để giúp các em học sinh có nhiều phương pháp để giải và lựa chọn cho mình một phương pháp tối ưu nhất, nhanh, chính xác và đạt hiệu quả cao nhất

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Qua tìm hiểu các đề thi, nghiên cứu các tài liệu tham khảo về mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, tôi thấy có một số dạng bài toán cực trị thường gặp và có các phương pháp giải như sau:

DẠNG 1: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO R.

Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện thế trong mạch điện xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi R thay đổi,

trong đó U, L, C,  không đổi ( mạch điện như hình vẽ).

A R L C B

1.1 Tìm R để I max =?

Lập biểu thức tính cường độ dòng điện: Theo định luật ôm

I = R2 (Z L Z c) 2

U Z

U







do U = Const nên Imax khi Zmin khi đó R ->0 => Imax =

C

L Z Z

U



1.2 Tìm R để P max =?

Lập biểu thức công suất của mạch: P = I2R = ( 1 )

) (

.

2 2

2 2

2

c

Z R

R U Z

R U







- Phương pháp đạo hàm: Đạo hàm P theo R ta được:

P' = U2  

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

) (

) (

) (

2 ) (

C L

C L

C L

C L

Z Z R

R Z

Z U Z

Z R

R U Z

Z R





















P' = 0 => R = /ZL - ZC/ khảo sát biến thiên của P theo R

R 0 /ZL - ZC/ +

Ta thấy khi R = /ZL - ZC/ thì P = Pmax => Pmax = Z U Z U R

C

2

2 2





- Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi:

Từ (1) => P =

2 2

( L C)

U

Z Z R

R



 => Rmax khi R +

R

Z

Z L C) 2 ( 

min

Do Rvà

R

Z

Z L C) 2

( 

là những số dương nên theo bất đẳng thức côsi ta có:

R +

R

Z

Z L C) 2 ( 

 2/ZL - ZC/ Dấu "=" xảy ra khi: R = /ZL - ZC/

Vậy với R = /ZL - ZC/ thì: Pmax = Z U Z U R

C

2

2 2



Nhận xét : Trong 2 phương pháp trên ta có thể thấy dùng phương pháp bất

đẳng thức côsi dễ hiểu hơn, nhanh hơn và không bị nhầm lẫn so với phương pháp đạo hàm

1.3 Tìm R để U R ; U L ; U C đạt giá trị cực đại?

a.Tìm R để U Rmax = ?

Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R =

2

2 2

1 )

(

R

Z Z

U Z

Z R

R U

C L C









=> URmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R ->  và URmax = U

b.Tìm R để U Lmax = ?

Lập biểu thức tính UL ta có: UL= I.ZL = 2 2

.

L

L C

U Z

R  Z  Z

=> ULmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R = 0 và ULmax = | . L |

L C

U Z

Z  Z

c Tìm R để U Cmax = ?

Lập biểu thức tính UC ta có: UC = I.ZC = 2 2

.

C

L C

U Z

R  Z  Z

=> UCmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R = 0 và UCmax = | . C |

L C

U Z

Z  Z

Nhận xét: Do URmax = U nên không xãy ra trường hợp UR > U, còn ULmax và

UCmax có thể lớn hơn U khi giải các bài toán trắc nghiệm chúng ta cần chú ý

1.4 Tìm R để U RL , U RC , U LC đạt cực đại:

a Tìm R để U RL đạt cực đại:

Ta có: URL = I.ZRL =

2 2 2

R

L RL

L C

U Z





  => URL =

2 2

2 R

2 1

L

C L C

Z

Z Z Z

U







Để URLmax thì mẫu số nhỏ nhất Ta thấy để mẫu số nhỏ nhất khi R ->  khi đó

URLmax = U

b Tìm R để U RC đạt cực đại:

Ta có URC = I.ZRC =

2 2

R

C RC

L C

U Z





2 2 2 R

2 1

C

C L L

Z

Z Z Z

U







=> URCmax = U khi R -> 

c Tìm R để U LC đạt cực đại:

Ta có ULC =I.ZLC = 2 2

2 L

) (

) (Z

C L

C Z Z R

Z U







; ULcmax khi R -> 0 => ULCmax = U

Ví dụ1: Cho mạch điện như hình vẽ:

Hiệu điện thế ở hai đầu mạch điện uAB = 100 2cos 100t (V) Cho cuộn

dây thuần cảm có độ tự cảm L =



2

(H); tụ điện có điện dung C =



 4 10

(F), R thay đổi được.Tìm R để công suất tiêu thụ trên mạch cực đại, tính

Pmax=?

*Phương pháp đạo hàm:

Ta có công suất P = I2R = 2 2

2 ) (Z L Z C R

R U



U = 100(v); ZL = 200(); ZC = 100()

2 2 2

2 2 )

( 2

2

2

) 100 (

2 100 ) 100 (

100 '

100

100











R R

P R

R

R

=> P' = 0 => 1002 (1002 - R2) = 0 => R = 100()

Ta thấy khi R = 100() thì P' = 0 và đổi dấu từ dương sang âm

Do đó Pmax khi R = 100() và Pmax = 1001002 .1001002 1002

2



 = 50(W)

* Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi:

Ta có: P =

R R

2 2

100

100

 Theo Côsi ta có: R + 100 2 100

2



R

Dấu "=" khi R2 = 1002 => R = 100() (loại nghiệm R = -100 <0 )

=> Pmax = 1002/1.200 = 50 (W)

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ:

A R R 0, L C B

UAB = 100 2cos 100 t (v) cuộn dây có độ tự cảm L =



4 1

(H) và

điện trở trong R0 = 30 (), tụ điện có điện dung C =



 4 10

(F)

a Tìm R để công suất của mạch đạt cực đại Tìm giá trị cực đại đó ?

b Tìm R để công suất trên R cực đại Tìm giá trị cực đại đó ?

Bài giải:

*Phương pháp dùng BĐT Côsi:

a Công suất tiêu thụ của mạch: P = I2 (R+R0) =

2 0

0 2

) (

) (

C

Z R

R

R R U









U R

R

Z Z R

R

U

C L

2

0

2 0

2

) (

) (









 Do U = Const nên Pmax khi Amin theo bất

đẳng thức côsi ta có: A = (R + R0) +

0

2 ) (

R R

Z

Z L C





 2 / ZL - ZC /

=> Amin = 2 / ZL - ZC / = 2 (140 - 100) = 80()

Dấu "=" khi R + R0 = / ZL - ZC / = (140 - 100) = 40() => R = 40 - R0 =

10() khi đó Pmax =

min

2

A

U

= 1002 125( )

80  W

Chú ý: Khi cuộn dây có thêm điện trở thuần R0 thì ta có thể đặt Rtđ= R + R0

rồi áp dụng BĐT Cô si Khi đó công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại khi

Rtđ= R + R0 = / ZL - ZC / => R= / ZL - ZC /- R0 Nếu R0 > / ZL - ZC /

thì do R không âm nên ta có kết quả là khi R= 0 thì công suất tiêu thụ trên

mạch đạt cực đại : Pmax =

2 0

0

( L C)

U R

R  Z  Z

b Công suất tiêu thụ trên R: PR = I2 R = 2 2

Z

R U

=> PR =

R R  Z  Z R R  Z  Z  RR

2

0

2 2

0

2

2 2

)

U R

R

Z Z R

R

U

C















Do U, R0 không đổi nên PRmax khi Amin

Theo bất đẳng thức côsi ta có: A = R +   2 2

0

2 2

0 ( L C) 2 R (Z L Z C)

R

Z Z R











Dấu "=" khi R = 2 2

0 (Z L Z C)

R   = 30  2 40 2 = 50 => Amin = 2R = 100

=> PRmax =

100 100

62,5(W) min 2 2( ) 2(50 30) 160

A  R  R R    

DẠNG 2: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO L.

Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện và hiệu điện thế, công suất trong mạch xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi L thay đổi, các đại

lượng U, R, C,  không đổi (mạch điện như hình vẽ)

2.1 Tìm L để Imax , P max = ?

a Theo định luật ôm ta có: I = R2 (Z L Z c) 2

U Z

U





Do U không đổi nên Imax khi mẫu số min

Ta thấy mẫu số cực tiểu khi ZL - ZC = 0 => ZL = ZC => L = 2C

1



=> Imax = U R mạch xảy ra cộng hưởng điện

b Ta có: P = I2R Do R không đổi nên Pmax khi Imax theo trên L = 2C

1



=> Pmax = 2

max

I R=

R

U R R

2

2 

2.2 Tìm L để U Lmax ;U Rmax; U cmax =?

a Tìm L để U Rmax = ?

Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R = 2 2

( L C)

U R

R  Z  Z ta thấy URmax khi

ZL = ZC => L = 2C

1

 => URmax= U

b Tìm L để U Lmax =?

*Phương pháp dùng đạo hàm:

Ta có: UL = I.ZL = U.Z L

Z = 2 ( ) 2

.

C L

L

Z Z R

Z U



 = U f (ZL) (1) Với f (ZL) = 2 ( L C) 2

L

Z Z R

Z



 đạo hàm theo ZL rút gọn ta được:

f' (ZL) =

2 2

) ( L C

C L C

Z Z R

Z Z Z R









ta có f' (ZL) = 0 => ZL =

C

C

Z

Z

R 

và đổi dấu từ dương sang âm

Z Z

Z R R

Z

Z R

C

C C

C C

C

2 2 2

2 2 2

2 2

























; ULmax = U.fmax = U. R2 Z C2

R



* Phương pháp hình học: Giản đồ véc tơ như hình vẽ:

Theo định lý hàm số sin ta có:







sin

U U Sin

U

Sin

U

L L







Ta thấy Sin  = 2 2

RC

R U

C

Z R

R U



 do R, C không đổi nên sin không đổi

Mặt khác do U không đổi nên UL cực đại khi sin = 1 = >  = /2.=> U RC

và

U

vuông pha với nhau

=> ULmax =

R

Z R

U 2  C2 Mặt khác ta có: U L U RC

Sin Sin Trong đó Sin =

RC

C U

U

=> 



Sin

C

U

RC U

mà Sin  = 1 => UL =

2 C

U

RC U

=> ZL =

2 C

Z

RC Z

=> ZL =

C

C

Z

Z

R2 2



* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:

Từ (1) ta có: UL = 2 ( ) 2

.

C L

L

Z Z R

Z U



2 2 2

L

Z

R

L

C L

Z

Z Z

U





1

2 Z

R

2

L

2 2

L L

C

U Z

Z Z

U







 Với f(ZL) = 2 2 1

2 2







L

C L

C

Z

Z Z

Z R

Đặt X =

L

Z

1

= f(ZL) = f(x) = (R2 + Z2

C ) X2 - 2ZC X + 1 Ta thấy: f(x) là tam thức bậc 2 có a = (R2 + Z2

C ) > 0 => f(x) min khi X = - 

a

b

C

Z Z R

2



=> ZL =

C

C

Z

Z

R2 2

 => f(ZL) min = 2 2

2

C

Z R

R

 => ULmax =

R

Z R



c Tìm L để U Cmax = ?

Lập biểu thức tính UC ta có: UC= I.ZC = 2 2

.

C

L C

U Z

R  Z  Z ta thấy UCmax khi

U C

0

UR

U

RC

I









ZL = ZC => L = 2C

1

 => ax

. C

Cm

U Z U

R



2.3 Tìm L để U RLmax; U Rcmax; U Lcmax =?.

a Tìm L để U RLmax =? Theo định luật ôm ta có: URL = I ZRL =

Z

U

ZRL

=> URL = 2 2

2 2

)

L Z Z R

Z R U





Z R

2

L 2

2

L C

L

U Z

Z Z

U











Trong đó: f(ZL) = 2

L 2

2 Z R

2



 L C

Z

(1) đạo hàm theo ZL

Ta có: f'(ZL) = 2 2

L 2

2 2

L 2

) Z R (

) 2

( 2 ) Z (

2









 Z C R Z L Z C Z L Z C

f' (ZL) = 0 =>Z2

L - ZLZC - R2 = 0 ta có  = Z2

C + 4R2 > 0

=> ZL1 =

2

4 2

2 R Z

Z C C (loại nghiệm âm) f' (ZL) triệt tiêu và đổi dấu từ âm

sang dương nên f (ZL1) min khi ZL1 =

2

4 2

2 R Z

Z C C

khi đó URLmax = 1 ( )min

1

L

Z f

U

 với f (ZL1) theo (1) hoặc có thể thay ZL1 vừa

tìm được ta có URLmax =

2 2 1

1

L

L C

U R Z

R Z Z





b Tìm L để U RCmax = ?

Ta có : URC =

2 2

.

C

L C

U R Z

R Z Z



  => URCmax khi ZL = ZC => L = 2C

1



=> URCmax =U R. 2 Z C2

R



c Tìm L để U LCmax = ?

Ta có: ULC =

2

2 2

2

2

) (

1 )

(

) (

C L

C L

C L

Z Z R

U Z

Z R

Z Z U











ULCmax khi ZL ->  => L - => ULCmax = U

Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Trong đó UAB = 200 2sin 100 t (V)

A R C L B

Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi; RV = ; R = 50 (); C =



10

(F)

a Khi L = L1 thì P = Pmax Tìm L1 và Pmax ?

b Khi L = L2 thì Uvmax Tìm L2 v à Uvmax?

Bài giải:

a Ta có: P = I2R =

2 2

C

Z R

R U



 Do U, R = Const

=> Pmax khi ZL1 = ZC = 100() => ZL1 = 100() => L1 =



1

(H)

=> Pmax =

50

100 2 50

) 2 100

2





R

b Ta có UV = UL = I.ZL = 2 ( ) 2

.

C L

L

Z Z R

Z U





1 2 2

L

C C

Z f U Z

Z Z

R

U









f(ZL) = f(x) = (R2 + R2

C) x2 - 2ZC.x + 1

Ta có : a = R2 + Z2

C > 0 => f(x) min khi x =  2b a

100

100 50

1

2

2 2

2 2 2 2

2

2

H L

Z

Z R Z

Z R

Z

C L

C

C















=> UVmax = 100 2.1252 2 100 2.125 100 10 ( )

25 5

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ Trong đó UAB = 200 2sin 100 t (v)

A M N B

L R C Cuộng dây thuần cảm có L thay đổi ; R = 24 (); C = ( )

2

10 3

F





a Tìm L = L1 để UANmax ?

b Tìm L = L2 để UMBmax ?

Bài giải:

a Ta có UAN = URL = 2 2

2 2

) (

.

C L

L RL

Z Z R

Z R U Z

Z U









2

L L

C L

U Z

R

Z Z Z

U









 => UANmax khi fmin Theo mục (d)

=> f(ZL) min khi ZL1 = 36 ( )

2

24 4 20 20

2

2













loại nghiệm âm.=> fmin =

1872

1040 2

2 1 2

2









L

C L C

Z R

Z Z Z

=> UANmax =

120 120 2, 25 180( ) 832

1 ( ) min 1040

1 1872

L

U

V





Hoặc UANmax = URLmax =

1

1

180( )

L

L C

U R Z

V

R Z Z

b Ta có: UMB = I.ZMB = I

Z

Z R U Z

C

2 2 2



2 2

) (

.

C L

C Z Z R

Z R U







UMBmax khi Zmin => ZL2 = ZC = 20() => L2 = 0,2(H)



=> UMBmax = 22 22

24

20 1 120

R

Z

DẠNG 3: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO C.

Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện

thế trong mạch R, L, C mắc nối tiếp khi C thay đổi còn U, R, L,  không

đổi ( mạch điện như hình vẽ)

3.1 Tìm C để I max ; P max =?

a Tìm C để I max =?

Ta có: I = R2 (Z L Z c) 2

U Z

U





 => Imax =

R U

Khi ZL = ZC = > C = 2L

0

1

 =>trong mạch xảy ra cộng hưởng điện

b Tìm C để P max =?

Ta có công suất tiêu thụ P = I2.R => Pmax = I2

max.R =

R

U2

khi C = 2L

0

1



3.2 Tìm C để U Rmax ;U Lmax ; U Cmax =?

a Tìm C để U Rmax = ?

Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R = 2 2

( L C)

U R

R  Z  Z ta thấy URmax khi

ZL = ZC => C = 2

1

L

 => URmax= U

b Tìm C để U Lmax = ?

Lập biểu thức tính UL ta có: UL= I.ZL = 2 2

.

L

L C

U Z

R  Z  Z ta thấy ULmax khi

ZL = ZC => C = 2

1

L

 => ax

. L

Lm

U Z U

R



c Tìm C để U Cmax =?

*Phương pháp dùng đạo hàm

Ta có UC = I.ZC = 2 ( L c) 2

C

Z Z R

UZ



 = U f (c); Đặt f(Zc) = 2 ( L c) 2

C

Z Z R

Z





f'(Zc) =

2 2 /

3 2 2

2 2

) (

) (

2

C L

C L L

C L

L C C L L

Z Z R

Z Z Z R Z

Z R

Z Z Z Z Z

R





















f’ (Zc) = 0 => ZC1 =

R

Z

R2 L2

 => f’(Zc) triệt tiêu tại ZC và đổi dấu từ dương sang

âm nên đạt cực đại tại Z c => f(ZCmax) =

R

Z

R2 L2

 => UCmax = U f(ZCmax)

UCmax = U

R

Z

R2 L2

 khi Zc =

L

L

Z

Z

R2 2



* Phương pháp hình học:

Vẽ giản đồ véc tơ:

Theo định lý hàm số sin ta có:







sin

U U Sin

U

Sin

U

C

Mà Sin  = 2 2

RL

R

R U



 = Const

=> UCmax khi Sin  = 1 => B = /2 => UCmax =

R

Z R

U 2  L2

0

URL UL

U

R

U

I



U

C





Mặt khác ta có: 



Sin

U C



Sin

RL

U

; sin =

RL

L

U

U

=> UC =

2

RL L

U Sin U



mà Sin  = 1 => UC =

2 L

U

RL U

=> ZC =

L

L

Z

Z

R2 2



=> C = R2 2L2

L





* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:

Ta có : UC = I.ZC = 2 ( ) 2

.

C L

C

Z Z R

Z U



Z

Z

L 2

C

2 L 2







C

Z U

UC = ( )

C

Z

f

U

=> Ucmax khi f (Zc) min => f (Zc) = 2 1

Z

R 2 C

2 2







C

L L

Z

Z Z

Đặt X =

C

Z

1

=> f(x) = (R2 + Z2

L) X2 - 2ZL X + 1 Ta có: a = R2 + Z2

L > 0

=> f(x) min khi X = - 2b a => 2 2

1

R Z

Z

L

C   =>

ZC =

L

2 2

Z

R Z L

=> C = R2 2L2

L





=>fmin = 2 2

2 R

R

L

Z

 => UCmax = f Umin => UCmax =

R

Z R



3.3 Tìm C để U RCmax ; U RLmax ; U LCmax =?

a Tìm C để U RLmax = ?

Ta có : URL = I.ZRL =

2 2

.

L

L C

U R Z

R Z Z



  => URLmax khi ZL = ZC => C = 2

1

L



=> URLmax =U R. 2 Z L2

R



b Tìm C để U RCmax =?

T acó: URC = I ZRC = 2 2

2 2

)

C Z Z R

Z R U







Z R

2 1

C 2

2

C C

L

U Z

Z Z

U











Đặt f(ZC) = 2

C 2

2 Z R

2



 L C

Z

(1) để URCmax thì f (ZC) min

Ta có: f'(ZC) = 2 2

C 2

2 2

C 2

) Z R (

) 2

( 2 ) Z (

2









 Z L R Z C Z L Z L Z C

f'(ZC) = 2 2

C 2

2 2

2 2 C 2

2 2

) Z R (

) (

2 )

Z R (

4 2

2



















 Z L R Z L Z C Z L Z C Z L Z C Z L Z C Z L Z C R

f'(ZC) = 0 =>Z2

C - ZLZC - R2 = 0

ZC1 =

2

4 2 2

R Z

Z L L  (loại nghiệm ZC2 < 0) Ta thấy f' (x) triệt tiêu và đổi dấu

từ âm sang dương nên f (ZC) min tại ZC1

=> URCmax = 1 ( )min

C

Z f

U

 với f (ZC) theo (1)

Hoặc URCmax =

2 2 1

1

C

L C

U R Z

R Z Z



c Tìm C để U LCmax :

Ta có ULC = I ZLC =

2

2 2

2

2

) (

1 )

(

) (

C L

C L

C L

Z Z R

U Z

Z R

Z Z U











Ta thấy để ULCmax khi

2

2

)

(Z L Z C

R

 -> 0 => ZC ->  => C -> 0 Vậy khi C -> 0 Khi đó ULCmax = U

Ví dụ 1: Cho mạch điện R, L, C mắc nối tiếp như hình vẽ C thay đổi

Có : u=120 2sin 100 t(V); R =240() cuộn dây thuần cảm có L=



2

,

3

(H)

a Tìm C để I, P cực đại Tính Imax, Pmax= ?

b Tìm C để UCmax Tính UCmax ?

Bài giải:

a *Ta có: I =

Z

U

=> Imax khi Zmin => ZL = ZC=> ZC = 320

=> C = 10 ( )

2

,

3

F



 => Imax = 0 , 5 ( )

240

120

A R

U





* Công suất tiêu thụ: P = I2 R => Pmax = I2

max R = 0,52 240 = 60 (W) Kết luận: Vậy C = 10 ( )

2 , 3

 thì Imax = 0,5(A); Pmax = 60(W)