Giải bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều

BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN ĐIỆN XOAY CHIỀU Mạch điện xoay chiều RLC có R thay đổi Bài toán tổng quát 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC R thay đổi (R cịn gọi biến trở) Tìm giá trị R để : a Cường độ hiệu dụng I mạch đạt giá trị cực đại, (nếu có) b Cường độ hiệu dụng I mạch đạt giá trị cực tiểu, (nếu có) c Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại, (nếu có) d Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực tiểu, (nếu có) e Công suất tỏa nhiệt điện trở R đạt cực đại * Hướng dẫn giải: Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị biểu thức xuất phát từ công thức tổng quát chúng, thực phép biến đổi theo quy tắc tử số mẫu số đại lượng biến thiên để biểu thức thay đổi (chia tử mẫu cho tử số chẳng hạn ) Bổ đề : • Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số khơng âm a, b Dấu xảy a = b • Hàm số bậc hai , với a > đạt giá trị nhỏ điểm a Cường độ hiệu dụng R = Imax giá trị b Vậy R lớn cường độ dịng điện nhỏ giảm dần 0, (đúng với khái niệm điện trở : cho biết khả cản trở di chuyển điện tích, tức cản trở dịng điện) c Điện áp hiệu dụng hai đầu điện trở là: d Ta có: e Cơng suất tỏa nhiệt R (cũng toàn mạch): với Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Dấu xảy Khi cơng suất cực đại mạch Vậy mạch điện xoay chiều RLC có R thay đổi đạt công suất tỏa nhiệt R cực đại: Khi Chú ý: • Trong trường hợp Pmax hệ số cơng suất mạch • Thơng thường mạch điện có R thay đổi đề thường yêu cầu tìm R để Pmax nên em ý trường hợp Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC, R thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là: Tìm R để : a Mạch tiêu thụ công suất P = 90W viết biểu thức cường độ hiệu dụng mạch b Cơng suất tỏa nhiệt mạch cực đại Pmax tính giá trị Pmax * Hướng dẫn giải: Ta có: a Cơng suất mạch tiêu thụ cơng suất tỏa nhiệt điện trở R: • Với Độ lệch pha u va i thỏa mãn Biểu thức cường độ dịng điện • Với Độ lệch pha u va i thỏa mãn Biểu thức cường độ dòng điện b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: với Dấu xảy Khi cơng suất cực đại mạch Vậy * Nhận xét : Trong mạch điện RLC mà cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r ta tìm cơng suất mạch cực đại cơng suất tỏa nhiệt R cực đại • Cơng suất tỏa nhiệt P tồn mạch cực đại: với Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Dấu xảy Khi cơng suất cực đại mạch Vậy mạch điện xoay chiều RLC có R thay đổi cuộn dây không cảm đạt công suất tỏa nhiệt toàn mạch đạt giá trị cực đại • Cơng suất tỏa nhiệt điện trở R, (PR) cực đại: với Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Dấu xảy Khi cơng suất cực đại mạch Vậy mạch điện xoay chiều RLC có R thay đổi cuộn dây không cảm đạt công suất tỏa nhiệt R cực đại khi: Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r = 50Ω, dung tụ điện có điện điện trở R thay đổi Tất mắc nối tiếp với nhau, đặt vào hai đầu đoạn mạch có hiệu điện xoay chiều Tìm R để: a Hệ số công suất mạch b Công suất tỏa nhiệt tồn mạch đạt cực đại Tính giá trị cực đại c Cơng suất tỏa nhiệt điện trở R cực đại Tính giá trị cực đại cơng suất * Hướng dẫn giải: Ta có a Hệ số công suất mạch Thay số ta Giải phương trình ta nghiệm R cần tìm b Cơng suất tiêu thụ đoạn mạch đạt giá trị cực đại Khi cơng suất cực đại mạch c Ta có cơng st tỏa nhiệt R là: với Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Dấu xảy Khi cơng suất cực đại mạch: Bài tốn tổng qt 2: Cho mạch điện RLC có R thay đổi Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch điện U Khi R = R R = R2 mạch tiêu thụ công suất (hay P1 = P2 ) Chứng minh rằng: a b Công suất tiêu thụ * Hướng dẫn giải: a Theo giả thiết ta có P1 = P2 b Ta có Vậy mạch RLC có R thay đổi mà R = R1 R = R2 P1 = P2 thỏa mãn Ví dụ: (Đại học – 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện Dung kháng tụ điện 100Ω Khi điều chỉnh R hai giá trị R1 R2 công suất tiêu thụ đoạn mạch Biết điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện R = R1 hai lần điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện R = R2 Các giá trị R1 R2 là: A R1 = 50Ω, R2 = 100Ω B R1 = 40Ω, R2 = 250Ω C R1 = 50Ω, R2 = 200Ω D R1 = 25Ω, R2 = 100Ω * Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có P1 = P2 , (1) Mặt khác, gọi U1C điện áp tụ điện R = R1 U2C điện áp tụ điện R = R2 Khi theo ta Lại có , (2) Giải (1) (2) ta R1 = 50Ω, R2 = 200Ω Ví dụ 2: Một mạch điện gồm tụ điện C, cuộn cảm L cảm kháng biến trở R mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch điện hiệu điện xoay chiều Biết ứng với hai giá trị biến trở: R1 = 18Ω R2 = 32Ω cơng suất tiêu thụ P đoạn mạch Công suất P đoạn mạch nhận giá trị giá trị sau? * Hướng dẫn giải: Theo chứng minh công thức ta Mạch điện xoay chiều RLC có L thay đổi Bài tốn tổng qt: Cho mạch điện xoay chiều RLC L thay đổi Tìm giá trị L để: a Cường độ hiệu dụng I mạch đạt giá trị cực đại b Công suất tỏa nhiệt mạch đạt cực đại Tính giá trị Pmax c Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại * Hướng dẫn giải: a Cường độ hiệu dụng Imax giá trị b Công suất tỏa nhiệt mạch Do R không đổi nên Giá trị c Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm là: Với Do hệ số , đặt hàm số y đạt giá trị nhỏ khi: Khi giá trị nhỏ hàm số y là: Vậy Ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Cho mạch điện hình vẽ Trong Cuộn dây cảm có độ tự cảm L thay đổi Điện áp hai đầu đoạn mạch u = 200cos(100πt) (V) Xác định độ tự cảm cuộn dây trường hợp sau: a Hệ số công suất mạch cosφ = b Hệ số công suất mạch cosφ = c Điện áp hiệu dụng cuộn cảm L cực đại * Hướng dẫn giải: Ta có a Hệ số cơng suất b Khi c Theo chứng minh ta áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại Giá trị cực đại: điện Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L thay đổi được, điện áp hai đầu mạch Các giá trị Tìm L để: a Mạch có cơng suất cực đại Tính Pmax b Mạch có cơng suất P = 80W c Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại Tính giá trị cực đại * Hướng dẫn giải: Ta có a Cơng suất mạch P = I2.R Do R khơng đổi nên: Khi b Từ ta tìm hai giá trị L thỏa mãn đề c Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại Giá trị cực đại Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC,điện áp hai đầu mạch điện u = 200 đổi Khi mạch có L = L1 = (H) L = L2 = cos(100πt) (V) L thay (H) Thì mạch có cường độ dịng điện hiệu dụng giá trị tức thời lệch pha góc a Tính R C b Viết biểu thức i * Hướng dẫn giải: Ta có a Do Theo u1 u2 lệch pha góc biểu thức chậm pha i Do nên có biểu thức nhanh pha i nên u1 nhanh pha i cịn u2 chậm pha i Khi Trong Vậy giá trị cần tìm b Viết biểu thức i • Với Tổng trở mạch Độ lệch pha u i: Biểu thức cường độ dịng điện i là: • Với Tổng trở mạch: Độ lệch pha u i: Biểu thức cường độ dòng điện i là: * Nhận xét: Cách giải tổng quát cho trường hợp độ lệch pha Tuy nhiên tốn nhận xét cường độ dòng điện hai trường hợp nên hai trường hợp độ lệch pha u i có độ lớn Khi u nhanh pha i góc giải R không cần phải khai triển công thức lượng giác Mạch điện xoay chiều RLC có C thay đổi Bài tốn tổng qt: Cho mạch điện xoay chiều RLC C thay đổi Tìm giá trị C để: a Cường độ hiệu dụng I mạch đạt giá trị cực đại b Công suất tỏa nhiệt mạch đạt cực đại Tính giá trị Pmax c Điện áp hiệu dụng hai đầu C đạt cực đại * Hướng dẫn giải: a Cường độ hiệu dụng Imax giá trị b Công suất tỏa nhiệt mạch P = I2.R Do R không đổi nên Giá trị : c Điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện là: Với Do hệ số , đặt hàm số y đạt giá trị nhỏ Khi giá trị nhỏ hàm số y Vậy: Ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có , C thay đổi Điện áp hai đầu đoạn mạch Tìm C để: a Mạch tiêu thụ cơng suất P = 50W b Mạch tiêu thụ công suất cực đại Tính Pmax c UC max * Hướng dẫn giải: Ta có a Nhận nghiệm ZC = 200Ω ta b Công suất mạch P = I2.R Do R khơng đổi nên: Khi c Theo cơng thức chứng minh điện áp hiệu dụng hai tụ cực đại khi: Khi 10 Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, hiệu điện hai đầu đoạn mạch: Khi C = C1= F C = C2 = F mạch có cơng suất P = 200W a Tính R L b Tính hệ số cơng suất mạch ứng với C1, C2 * Hướng dẫn giải: a Theo giải thiết ta có: Với ZL = 300Ω ta Giải phương trình ta nghiệm R = 100Ω Vậy b Tính hệ số cơng suất ứng với trường hợp • Khi • Khi Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi C thay đổi thấy vai trị L C bình đẳng nên hốn đổi vị trí L C ta kết Vậy nên trắc nghiệm cần nhớ kết với C L Mạch điện xoay chiều RLC có tần số f hay ω thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC tần số góc ω thay đổi Tìm ω để : a Cường độ hiệu dụng dịng điện đạt cực đại Tính giá trị cực đại b Cơng suất tỏa nhiệt mạch đạt cực đại Tính giá trị cực đại c Điện áp hiệu dụng hai đầu R, hai đầu L, hai đầu C đạt cực đại * Hướng dẫn giải: a Cường độ hiệu dụng: Vậy cường độ hiệu dụng mạch đạt giá trị cực đại giá trị 11 b Công suất tỏa nhiệt mạch P = I2.R Do R không đổi nên Giá trị c Điện áp hiệu dụng đạt cực đại • UR đạt cực đại Khi • UL đạt cực đại Với , đặt Do hệ số Vậy UL đạt cực đại • UC đạt cực đại Với , đặt Do hệ số Vậy UC đạt cực đại tần số góc Nhận xét: - Do vai trò f ω nên f thay đổi phép thay ta giải lớp tốn mà có f thay đổi - Do việc tính tốn để tìm giá trị UL max hay UC max tương đối phức tạp nên toán dạng dừng lại việc tìm giá trị ω ( hay f ) điện áp hiệu dụng đạt cực đại Ví dụ điển hình: 12 Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm điện trở R = 100Ω, cuộn dây cảm có độ tự cảm , tụ điện có điện dung , mắc nối tiếp Mắc hai đầu M, N vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời , tần số f nguồn điện điều chỉnh thay đổi a Khi f = f1 = 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng dịng điện tính cơng suất tiêu thụ P1 đoạn mạch điện MN Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời chạy đoạn mạch b Điều chỉnh tần số nguồn điện đến giá trị f2 cho công suất tiêu thụ đoạn mạch điện MN lúc P2 = 2P1 Hãy xác định tần số f2 nguồn điện Tính hệ số công suất * Hướng dẫn giải: a Khi f = f1 = 50 Hz Cường độ hiệu dụng dịng điện mạch là: Cơng suất tiêu thu đoạn mạch điện là: Độ lêch pha u i mạch: Biểu thức cường độ dòng điện mạch là: b Khi thay đổi f để P2 = 2P1 tức P2 = 144W Ta có Đây trường hợp xảy cộng hưởng điện, thay số ta tìm được: Hệ số cơng suất Ví dụ 2: Một mạch điện xoay chiều RLC có R = 100Ω, L = 1/π(H) C = 10-4/2π (F) mắc nối tiếp Đoạn mạch mắc vào hiệu điện xoay chiều có tần số f thay đổi Khi hiệu điện hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại tần số f có giá trị bao nhiêu? * Hướng dẫn giải: Ta có: Với , đặt 13 Do hệ số Vậy UC đạt cực đại tần số dao động BÀI TẬP LUYỆN TẬP Dạng 1: Mạch có R thay đổi Bài 1: Cho mạch RLC có C thay đổi, Khi C = C1 = F dịng điện trễ pha so với điện áp u điện áp hiệu dụng đầu tụ điện cực đại Khi C = C2 = a Tính R tần số góc ω, biết b Biết UC max = 250V Viết biểu thức điện áp u hai đầu mạch điện Bài 2: Cho mạch điện RLC; u = 30 cos(100πt) (V).R thay đổi Khi mạch có R = R1 = 9Ω độ lệch pha u i φ1 Khi mạch có R = R2 = 16Ω độ lệch pha u i φ2 biết a Tính cơng suất ứng với R1 R2 b Viết biểu thức cường độ dòng điện ứng với R1, R2 c Tính L biết C = d Tính cơng suất cực đại mạch Bài 3: Cho mạch điện RLC; u = U cosπt (V) R thay đổi Khi mạch có R = R1 = 90Ω độ lệch pha u i φ1 Khi mạch có R = R2 = 160Ω độ lệch pha u i φ2 biết a Tìm L biết C = b Tìm C biết L = (H); ω = 100πrad/s c Tìm ω Biết L = ; ω = 100πrad/s (H); C = Bài 4: Cho mạch điện RLC; u = U cos100πt (V).R thay đổi ; Khi mạch có R = R1 = 90Ω u R = R2 = 160Ω mạch có cơng suất P a Tính C biết L = (H) b Tính U P = 40W 14 Bài 5: Cho mạch điện RLC, R thay đổi được, Hiệu điện hai đầu mạch u = 200 cos(100πt) V; L = (H), C = Tìm R để: a Hệ số cơng suất mạch b Hiệu điện hiệu dụng hai đầu điện trở UR = 50 c Mạch tiêu thụ công suất P = 80W V Bài 6: Cho mạch điện RLC, R thay đổi được, Hiệu điện hai đầu mạch u = 240 cos(100πt) V; C = Khi mạch có R = R1 = 90Ω u R = R2 = 160Ω mạch có cơng suất P a Tính L, P b Giả sử chưa biết L biết Pmax = 240W với giá trị R3 R4 mạch có cơng suất P = 230,4W Tính giá trị R3 R4 Bài 7: Cho mạch điện hình vẽ : U AB = 100 V; UAN = 100 V; UNB = 200V Công suất mạch P = 100 W a Chứng minh P = 100 W giá trị cơng suất cực đại mạch b Với hai giá trị R1 R2 mạch có cơng suất P’ Tính P’ R2 biết R1 = 200Ω Dạng 2: Mạch có L thay đổi Bài 1: Cho mạch điện RLC, L thay đổi được, hiệu điện hai đầu mạch u = 200 cos(100πt) V; C = R = 120Ω a Tính L để ULmax Tính UL max b Tính L để UL 175 V Bài 2: Cho mạch điện hình vẽ, u = U cos100πt (V), C = , R = 120Ω a Tính L để vng góc với b Tính L để UAN đạt giá trị cực đại c Tính L để cosφ = 0,6 Bài 3: Cho mạch điện RLC, L thay đổi được, Hiệu điện hai đầu mạch u = 100 cos(100πt) V; Khi mạch có L = L1 = mạch có cơng suất P = 40W a Tính R C b Viết biểu thức i ứng với L1 L2 (H) L = L2 = (H) Bài 4: Cho mạch điện RLC, L thay đổi được, Hiệu điện hai đầu mạch u = 170 cos(100πt) V; R = 80Ω, C = a Mạch có cơng suất cực đại Tính Pmax b Mạch có cơng suất P = 80W , Tìm L để: 15 Bài 5: Cho mạch điện RLC; u = 200 thay đổi cos100πt (V) R = 200 Ω; C = L a Khi L = H viết biểu thức i tính P b Tìm L để ULmax Tính ULmax c Tính L để Pmax , Tìm Pmax Bài 6: Cho mạch điện RLC, L thay đổi được, Hiệu điện hai đầu mạch u = U V; Khi mạch có góc cos(ωt) giá trị tức thời dòng điện lệch pha so với u a Tính R ω biết b Tính ω C biết R = 100Ω c Tính C R biết ω = 100πrad/s Bài 7: Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp hình vẽ , L thay đổi u = 200 cos(100πt) V, R = 200Ω a Viết biểu thức i, tính P b Viết biểu thức UAN c Viết biểu thức UMB d Tính góc hợp UAM UMB e Tính góc lệch UAM UMB , , Dạng 3: Mạch có C thay đổi Bài 1: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, hiệu điện hai đầu đoạn mạch: u = 120 cos(100πt) (V), R = 240Ω, Tìm C để: a I = Imax, P = Pmax Tính Imax, Pmax Tính UL b UC = UC max Tính UC max Bài 2: Cho mạch điện RLC, u = U cosωt(V), C thay đổi, R = 120Ω, U = 150V a Để Uc = UL = nU phải chọn L C bao nhiêu? Áp dụng n = 4/3 b Để Uc trễ pha u góc φ có tanφ = 4/3 Tính Uc Bài 3: Cho mạch điện RLC, C thay đổi , hiệu điện hai đầu đoạn mạch: u = 200cos(100πt)V Khi C = C1 = C = C2 = i1 i2 lệch pha với u góc rad a Tính R, L b Viết biểu thức i1 i2 Bài 4: Cho mạch điện RLC, C thay đổi , hiệu điện hai đầu đoạn mạch: u = U0cos(100πt)V Khi C = C1 = F C = C2 = mạch có cơng suất, 16 i1 i2 ( ứng với giá trị C) lệch pha với góc a Tính R biết L= rad H b Tính L ω, biết c Tính R L, biết ω = 100π(rad/s) Bài 5: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, u = 120 200V Khi P = 38,4W Tính R, L, C0 cos(100πt)V Khi C = C0 UCmax = 17 ... đoạn mạch nhận giá trị giá trị sau? * Hướng dẫn giải: Theo chứng minh công thức ta Mạch điện xoay chiều RLC có L thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC L thay đổi Tìm giá trị. .. đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC C thay đổi Tìm giá trị C để: a Cường độ hiệu dụng I mạch đạt giá trị cực đại b Công suất tỏa nhiệt mạch đạt cực đại Tính giá trị Pmax c Điện. .. Mạch điện xoay chiều RLC có tần số f hay ω thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC tần số góc ω thay đổi Tìm ω để : a Cường độ hiệu dụng dòng điện đạt cực đại Tính giá trị cực