Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều -Tài liệu Vật lý 12 - P1

Nguyên tắc chung thiết lập các biểu thức tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiệ

Nguyên tắc chung thiết lập các biểu thức tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều:

Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn )

Bổ đề :

 Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó a b ab a b 2 ab

2 Dấu bằng xảy ra khi a = b

 Hàm số bậc hai y = ax2

+ bx + c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

2

min

I MẠCH RLC CÓ R THAY ĐỔI

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 1:

Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở) Tìm giá trị của R để

a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại

b) điện áp hiệu dụng hai đầu L hoặc C đạt cực đại

c) công suất tỏa nhiệt trên R là P o cho trước

d) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại

e) điện áp giữa hai đầu đoạn mạch RL, RC đạt cực đại, cực tiểu (nếu có)

Hướng dẫn giải:

2 2

Vậy R = 0 thì Imax và giá trị max

U I

Z Z

b) Ta có UL = I.ZL Do L không đổi nên (UL)max khi Imax R = 0

L max max L

U.Z

Tương tự ta cũng có

C max

C

C max max C

U.Z

c) Theo bài ta có

2

2

U

Thay các giá trị của U, ZL, ZC và Po vào phương trình trên ta giải được R cần tìm

d) Công suất tỏa nhiệt trên R:

2

CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU_P1

(TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)

Giáo viên: ĐẶNG VIỆT HÙNG

Dấu bằng xảy ra khi

2

2

max

U P

2 Z Z

Vậy mạch RLC có R thay đổi, giá trị của R và Pmax tương ứng là

2

max

U P

Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có

4

được Tìm R để

a) công suất tỏa nhiệt P = 90 W và viết biểu thức của cường độ dòng điện khi đó

b) hệ số công suất của mạch là cosφ = 1/2

c) công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại P max và tính giá trị P max

Hướng dẫn giải:

Ta có ZL = 200 Ω, ZC = 125 Ω, U = 150 V

a) Ta có

R 225Ω

R 25Ω

o

Độ lệch pha của u va i thỏa mãn L C

Biểu thức cường độ dòng điện là i 2 cos 100πt arctan 1 A

3 5

o

Độ lệch pha của u va i thỏa mãn L C

Biểu thức cường độ dòng điện là i 6 cos 100πt arctan 3 A

5

b) Từ công thức tính hệ số công suất ta có

2

2

c) Ta có Pmax khi

2

max

U P

2 Z Z

Thay số ta được R = 75 Ω và

max

Chú ý:

 Trong trường hợp P max thì hệ số công suất của mạch khi đó là

1

cosφ , do R Z Z

Z R R Tức là độ lệch pha của u và i khi đó là π/4

 Khi cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r 0 thì ta còn có thêm dạng bài tính công suât tỏa nhiệt trên R, trên cuộn dây và trên toàn mạch

TH 1 : Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch cực đại

Ta có

2

2

R r

R r

Từ đó ta cũng được giá trị của R và Pmax tương ứng

TH 2 : Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại

Ta có

2

R 2r

R

Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu số ta cũng được

P

2r R

R

Từ đó ta được giá trị của R và (PR)max tương ứng là

2 2

2

2

U P

Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r = 50 Ω, L = 0,4/π (H) và tụ điện có điện dung C =

10 –4 /π (F) và điện trở thuần R thay đổi được Điện áp hai đầu mạch là u 100 2 cos 100πt V Tìm R để a) hệ số công suất của mạch là cosφ = 0,5

b) công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó

c) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R cực đại Tính giá trị cực đại của công suất đó

Hướng dẫn giải:

Ta có ZL 40Ω, ZC 100Ω, U 100V

a) Hệ số công suất của mạch là

cosφ

2

Giải phương trình trên ta được các nghiệm R cần tìm

Khi đó, công suất cực đại của mạch max 2 2

c) Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại khi

2 2

2

2

U P

Thay số ta được

2

2

100 20 61

Ví dụ 3: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, biết R có thể thay đổi được Biểu thức điện áp hai

4 Điều chỉnh R để công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại và bằng 100 W Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch, biết mạch có tính dung kháng

Hướng dẫn giải:

Khi công suất tỏa nhiệt trên R cực đại thì ta có

max

R 50 Ω

Khi đó,

o o

4 2

Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là π

i 2cos 100πt A

2

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 2:

Cho mạch điện RLC có R thay đổi Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch điện là U Khi R = R 1 và R = R 2 thì mạch tiêu thụ cùng một công suất (hay P 1 = P 2 ) Chứng minh rằng:

a) R R 1 2 Z L Z C 2

2 , với φ 1 , φ 2 lần lượt là độ lệch pha của u và i khi R = R 1 , R = R 2 c) Công suất tỏa nhiệt tương ứng khi đó

2

U

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết ta có P1 = P2

b) Ta có

1

1

2

2

tan φ

R

tan φ

R

Từ đó ta được 1 2 π

2

c) Ta có

2

Vậy mạch RLC có R thay đổi mà R = R1 và R = R2 thì P1 = P2 sẽ thỏa mãn

2

2

1 2

π

2 U P

Chú ý:

 Trong trường hợp mạch điện bị khuyết một phần tử (hoặc L hoặc C) thì ta có các điều kiện tương tự

+ Với mạch R, L:

2

1 2 2

1 2

L

R R Z U P

R R

+ Với mạch R, C:

2

1 2 2

C

R R Z U P

R R

 Các em cần phân biệt rõ hai trường hợp công suất cực đại khi R biến thiên và công suất bằng nhau

+ Khi R biến thiên thì công suất cực đại là

max

L C

P

Z Z R

+ Khi R biến thiên có hai giá trị cho P bằng nhau thì

2

1 2

max

L C

L C

U

Z Z R R

Z Z R R

Ví dụ 1: (Trích ĐTST Đại học 2009)

Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện Dung kháng của tụ điện là 100 Ω Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R 1 và R 2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R 1 bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R 2 Các giá trị R 1 và

R 2 là

A R 1 = 50 Ω, R 2 = 100 Ω B R 1 = 40 Ω, R 2 = 250 Ω

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có P1 = P2

Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi R = R2

2

I

I Lại có

2

Giải (1) và (2) ta được R1 = 50 Ω, R2 = 200 Ω

Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở R được

với hai giá trị của biến trở R 1 = 18 Ω và R 2 = 32 Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào ?

Hướng dẫn giải:

Theo chứng minh công thức ở trên ta được 2 2

Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u 30 2cos(100πt)V, R thay đổi được Khi mạch

có R = R 1 = 9 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 1 Khi mạch có R = R 2 = 16 Ω thì độ lệch pha giữa u và i

là φ 2 biết φ 1 φ 2 π .

2 a) Tính công suất ứng với các giá trị của R 1 và R 2

b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R 1 , R 2

c) Tính L biết

3

10

d) Tính công suất cực đại của mạch

Hướng dẫn giải:

a) Theo chứng minh công thức ở trên, khi

1 2

R R , R R

π

2

b) Ta có

2

R R , R R

π

2

 Khi R = R1 = 9 Ω thì ta có tổng trở của mạch là 2 2 2

U

Z

Độ lệch pha của u và i thỏa mãn L C

1

Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là i 2 2cos 100πt artan 4 A

3

 Khi R = R1 = 16 Ω thì ta có tổng trở của mạch là 2 2 2

U

Z

Độ lệch pha của u và i thỏa mãn L C

2

Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là i 1,5 2cos 100πt artan 3 A

4

c) Khi

3

C

10

L

8

25π

d) Công suất cực đại của mạch khi R biến thiên được tính bởi

max

2 Z Z 2.12

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch u U 2cos( ωt )V , R thay đổi được Khi mạch có R = R 1 =

90 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 1 Khi mạch có R = R 2 = 160 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 2 Biết rằng

1 2

π

φ φ

2

a) Tìm L biết C = 10 –4 /π (F) và ω = 100π rad/s

b) Tìm ω biết

4 3,2 10

L ( H ),C ( F ).

Bài 2: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u U 2cos( 100πt )V , R thay đổi được Khi mạch có R =

R 1 = 90 Ω và R = R 2 = 160 Ω thì mạch có cùng công suất P

a) Tính C biết L = 2/π (H)

b) Tính U khi P = 40 W

Bài 3: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u 200 2cos( 100πt )V , L = 2/π (H), C = 10 –4 /π (F) Tìm R để

a) hệ số công suất của mạch là 3

2

b) điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là U R 50 2 V

c) công suất tỏa nhiệt trên R là P = 80 W

Bài 4: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là

4 10

u 240 2cos( 100πt )V ,C ( F ).

π Khi R = R 1 = 90 Ω và R = R 2 = 160 Ω thì mạch có cùng công suất P

a) Tính L, công suất P của mạch

b) Giả sử chưa biết L, chỉ biết P max = 240 W và với 2 giá trị R 3 và R 4 thì mạch có cùng công suất là P = 230,4

W

Tính giá trị R 3 và R 4

Giáo viên : Đặng Việt Hùng

Nguồn : Hocmai.vn