Hướng dẫn giải các bài Toán cực trị số phức

LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Tuyển Chọn Các Bài Toán Cực Trị Số Phức Hay Nhất Từ Các Đề Thi Thử THPTQG 2018 CỰC TRỊ SỐ PHỨC ĐẠI SỐ p Câu Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |z + 2| + 2|z − 2| √ √ √ √ A max T = B max T = 10 C max T = D max T = Cấ Hướng dẫn giải Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R) Khi đó, |z| = nên a2 + b2 = Ta có: T = » » (a + 2)2 + b2 + (a − 2)2 + b2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: » (a + 2)2 + b2 + (a − 2)2 + b2 Vậy max T = ó î î ó ≤ (12 + 22 ) (a + 2)2 + b2 + (a − 2)2 + b2 = 2(a2 + b2 ) + = 50 √ √ 50 = Sơ » Chọn đáp án A Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Theo giả thiết, ta có: ọc Câu Gọi a phần thực số phức z thỏa mãn (z − 1) (z + 2i) số thực |z| nhỏ Tìm a A a = B a = C a = D a = 5 5 Hướng dẫn giải (z − 1) (z + 2i) = [(a − 1) + bi] [a − (b − 2)i] = a(a − 1) + b(b − 2) + [ab − (a − 1)(b − 2)] i nH (z − 1) (z + 2i) số thực ⇔ ab − (a − 1)(b − 2) = ⇔ 2a + b − = ⇔ b =à − 2a √ Ç å2 √ 4 + ≥ Từ Khi z = a + (2 − 2a) i Suy |z| = a2 + (2 − 2a) = 5a2 − 8a + = a − 5 √ đây, ta |z| = a = 5 Chọn đáp án D Câu Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ phần thực số phức w = z + z số phức có |z| = Tính P = M + m2 Hướng dẫn giải B P = To A P = C P = 29 Ç 1 Đặt z = a + bi ⇒ z + = 2a w = z + ⇔ w = z + z z z 2 Do a + b = ⇒ −1 ≤ a ≤ å3 Ç −3 z+ z , z3 D P = 10 å = 8a3 − 6a Xét hàm số f (a) = 8a3 − 6a với a ∈ [−1; 1] có max f (a) = f (a) = −2 Vậy P = M + m2 = Chọn đáp án A √ Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − − i| = 2 Gọi M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức H = |z + − 2i| + |z − + 4i| Tính M + m √ √ √ √ A 26 + B 16 C 11 "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates √ √ D 26 + Trang LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Hướng dẫn giải √ Ta có H = |z + − 2i| + | − z + − 4i| ≥ |z + − 2i − z + − 4i| = |6 − 6i| = √ Đặt w = z − − i ⇒ |w| = 2 Đặt w = a + bi ta có a2 + b2 = ⇒ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2 ) = 16 ⇒ a + b ≤ Ta có H = |w + − i| + |w − + 5i| = » (a + 5)2 + (b − 1)2 + » (a − 1)2 + (b + 5)2 p ⇒ H ≤ (1 + 1)[(a + 5)2 + (b − 1)2 + (a − 1)2 + (b + 5)2 ] Chọn đáp án B Câu Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện |z − − 4i| = đạt giá trị lớn Môđun số phức z − − i √ B A Đặt z = x + yi, (∀x, y ∈ R) ⇒ |z − − 4i| = √ biểu thức M = |z + 2|2 − |z − i|2 C 25 √ ⇔ (x − 3)2 + (y − 4)2 = D (1) Sơ Hướng dẫn giải Cấ ⇒ H ≤ 2(2a2 + 2b2 + 8(a + b) + 52) ≤ 2(2 · + · + 52) = 200 √ √ Do H ≤ 10 Vậy M + m = 16 Ta có: M = |z + 2|2 − |z − i|2 = (x + 2)2 + y − x2 − (y − 1)2 = 4x + 2y + ọc = 4(x − 3) + 2(y − 4) + 23 √ » 20 (x − 3)2 + (y − 4)2 + 23 = 33  Dấu = xảy khi x = y = ⇒ z = + 5i x−3 = kết hợp với (1) suy   y−4 x = 1, y = ⇒ z = + 3i Chọn đáp án D nH Thử lại ta có Mmax = 33 ⇔ z = + 5i ⇒ |z − − i| = Câu Cho số phức z thoả mãn |z − − 4i| = Mô-đun số phức z A 10 Hướng dẫn giải √ B √ biểu thức P = |z + 2|2 − |z − i|2 đạt giá trị lớn C 13 D √ 10 To Đặt z = x + yi với x, y ∈ R gọi M (x; y) điểm biểu diễn z Oxy, ta có √ |z − − 4i| = ⇔ (x − 3)2 + (y − 4)2 = Và P = |z + 2|2 − |z − i|2 = (x + 2)2 + y − x2 − (y − 1)2 = 4x + 2y + » √ ⇒ P = 4x + 2y + = [4(x − 3) + 2(y − 4)] + 23 ≤ 42 + 22 · (x − 3)2 + (y − 4)2 + 23 = 33   x=5  x−3 y−4       = =t Dấu “=” xảy  ⇔ y =    4(x − 3) + 2(y − 4) = 10    t = 0,5 √ Vậy P đạt giá trị lớn z = + 5i ⇒ |z| = Chọn đáp án B "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Câu Cho số phức z thỏa mãn |z| = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = |z +√ 1| + |z − z + 1| Giá trị √ M · m 13 13 A B Hướng dẫn giải √ C √ 3 D Ta lại có Cấ P = |z + 1| + |z − z + z · z¯| = |z + 1| + |z + z¯ − 1| p Đặt t = |z + 1| ≤ |z| + = nên t ∈ [0; 2] Vì |z| = nên z · z¯ = 1, suy t2 = |z + 1|2 = (z + 1)(¯ z + 1) = + (z + z¯) nên z + z¯ = t2 − Vậy P = f (t) = t + |t2 − 3|, với t ∈ [0; 2] Ta viết lại hàm số f (t) sau:    t2 √ 3≤t≤2 √  − t2 + t + ≤ t < Ta có Sơ f (t) =  +t−3 √ 3≤t ⇔ a <  √   max f (a) = + 21 a = cos t = ⇒ f (a) đồng biến [−1; 1] ⇒  √  f (a) = −1 + 21 a = cos t = −1 √ Vậy M + m = 21 Cấ p Đặt  Chọn đáp án C Sơ Câu 10 Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn (z − z¯) − 15i = i (z + z¯ − 1)2 Tính P = −a + 4b z − + 3i đạt giá trị nhỏ A P = B P = C P = D P = Hướng dẫn giải Ta có (z − z¯) − 15i = i (z + z¯ − 1)2 ọc ⇔ 4(2bi) − 15i = i(2a − 1)2 ⇔ 8b − 15 = (2a − 1)2 å Ç 15 = 2b − ⇔ a− Ta có 15 15 ≥0⇔b≥ nH Từ (1) suy 2b − (1) 1 21 z − + 3i = a − + (b + 3)2 = b2 + 8b + 2 ñ å 21 15 Xét hàm số f (b) = b2 + 8b + ; +∞ ta có bảng biến thiên Ç 15 To b f (b) f (b) å Ç f 15 +∞ + +∞ å 15 Từ bảng biến thiên suy z − + 3i đạt giá trị nhỏ b = , a = 15 Vậy P = −a + 4b = − + · = Chọn đáp án A "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Câu 11 Cho số phức z = cos 2α + (sin α − cos α)i với α ∈ R Giá trị lớn |z| √ B C A D Hướng dẫn giải » cos2 2α + (sin α − cos α)2 = » − sin2 2α + − sin α cos α = » − sin2 2α − sin 2α Ã Ç − sin 2α + = å2 ≤ Cấ |z| = p Ta có Dấu xảy sin 2α = − Vậy giá trị lớn |z| 2 Chọn đáp án B Sơ Câu 12 Trong số phức z thỏa mãn |z − + i| = |z + − 2i|, số phức z có mơ-đun nhỏ −3 3 −3 3 A + i B + i C − i D − i 10 10 10 10 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) |z − + i| = |z + − 2i| ⇔ |x + yi − + i| = |x − yi + − 2i| ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 2)2 ọc ⇔ −2x + + 2y + = 2x + + 4y + ⇔ 4x + 2y = −3 ⇒ (4x + 2y)2 = nH ⇒ ≤ (42 + 22 )(x2 + y ) ⇒ |z| ≥ √      x = −  2x + y = −3 Vậy z = − − i Đẳng thức xảy  x ⇔ y 10   = y = − 10 Chọn đáp án C Câu 13 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 6i |z1 − z2 | = Tìm giá trị lớn P = |z1 | + |z2 | Hướng dẫn giải √ C Pmax = 32 + B Pmax = 104 To √ A Pmax = 26 √ D Pmax = Ta có |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 ≥ (|z1 | + |z2 |)2 √ Suy P = |z1 | + |z2 | ≤ 26, dấu xảy Ä       ä |z1 | = |z2 | z1 + z2 = + 6i      |z − z | = Vậy Pmax ⇔   17 19   z1 = + i     5     23 11 z1 = + i   5      z = + 6i − z √ = 26 Chọn đáp án A "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Câu 14 Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 1| = số phức có mơ-đun nhỏ Tính S = 2a + b B −4 A z+z + , gọi số phức z = a + bi (a, b ∈ R) D −2 C Hướng dẫn giải p » » z+z Ta có |z + 1| = + ⇔ (a + 1)2 + b2 = (a + 3)2 ⇔ b2 = 4a + √ √ Lại có |z| = a2 + b2 = a2 + 4a + nhỏ a = −2 ⇒ b = Vậy S = 2a + b = −4 Cấ Chọn đáp án B Câu 15 Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ Giá trị nhỏ P = 2|z + 1| + 2|z − 1| + |z − z − 4i| √ √ 14 A + B + C + √ D + √ 15 15 Hướng dẫn giải Giả sử z = x + yi với x, y ∈ R Ta có |z| ≤ ⇔ x2 + y ≤ Suy x, y ∈ [−2; 2] » » P = (x + 1)2 + y + (x − 1)2 + y + 2|y − 2| = Sơ Khi » (x + 1)2 + y + » (1 − x)2 + y + 2|y − 2| Bằng phép biến đổi tương đương với ý |x| ≥ x, ta có: Với số thực a, b, c, d, » √ √ a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 ; ọc dấu “=” xảy ad = bc ≥ Áp dụng bất đẳng thức với a = x + 1, c = − x, b = d = y tính chất giá trị tuyệt đối ta có » » P ≥ (x + + − x)2 + (y + y)2 + 2(2 − y) = + y − 2y + Chọn đáp án A To nH » Xét hàm số f (y) = + y − 2y + liên tục [−2; 2] Ta có f (y) = ⇔ y = ± √ ∈ [−2; 2] Ta có Ç å Ç å √ √ √ √ 1 10 f (2) = 5, f (−2) = + 8, f √ = + 3, f − √ = + √ Suy f (y) = + = [−2;2] 3 Ç å f √       (x + 1)y = y(1 − x) ≥      x = √ − y ≥ Khi P ≥ f (y) ≥ + 3, ∀y ∈ [−2; 2] Dấu xảy ⇔  ⇔    y = √    y = √ √ Vậy giá trị nhỏ P + Câu 16 Trong số phức z thỏa mãn |z − + i| = |z + − 4i| Tìm phần thực số phức có mơ-đun nhỏ A −1 B −2 C D Hướng dẫn giải Giả sử z = x + yi với x; y ∈ R, ta có |z − + i| = |z + − 4i| ⇔ (x − 2)2 + (y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 4)2 ⇔ x = −2 − y "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Ta có |z| = » x2 + y = (2 + y)2 + y = » 2y + 4y + = (y + 1)2 + ≥ √ Dấu xảy y = −1 ⇒ x = −1 Chọn đáp án A Câu 17 Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M, M Số phức z(4 + 3i) số phức liên trị nhỏ |z + 4i − 5| A √ B √ Hướng dẫn giải p hợp có điểm biểu diễn N, N Biết M, M , N, N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá D √ 13 Cấ C √ 34 Đặt z = a+bi Khi đó, điểm M, M , N, N có tọa độ M (a, b), M (a, −b), N (4a−3b, 3a+4b), N (4a− 3b, −3a − 4b) Vì M, M , N, N đỉnh hình chữ nhật nên có trường hợp xảy • Trường hợp 1: Tứ giác M M N N hình chữ nhật Sơ • Trường hợp 2: Tứ giác M M N N hình chữ nhật Ta có P = |z + 4i − 5| = |z − (5 − 4i)| Đặt K(5; −4) Khi P = |M K| Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật Vì M đối xứng với M qua trục Ox, N đối xứng với N qua trục Ox nên I thuộc trục Ox hay điểm I có tung độ Trường hợp 1: Tứ giác M M N N hình chữ nhật Do điểm M thuộc đường thẳng d1 : x + y = ọc Tung độ điểm I nên −3a − 3b = ⇔ a + b = Đoạn M K ngắn có độ dài khoảng cách từ điểm K đến đường thẳng d1 nH |5 · − · 1| √ =√ 2 +1 Trường hợp 2: Tứ giác M M N N hình chữ nhật To Tương tự trường hợp 1, ta điểm M thuộc đường thẳng d2 : 3x + 5y = Đoạn thẳng M K ngắn có độ |3 · + · (−4)| √ √ dài = 32 + 52 34 Vậy giá trị nhỏ |z + 4i − 5| = √ Chọn đáp án B Câu 18 Gọi M m giá trị lớn nhỏ P = M mãn |z| ≥ Tính tỉ số m M A = m Hướng dẫn giải B M = m C M = m z+i , với z số phức khác thỏa z D M = m Với z số phức khác thỏa mãn |z| ≥ 2, ta có z+i |z + i| |z| + |i| 1 = ≤ =1+ ≤1+ = z |z| |z| |z| 2 3 Rõ ràng z = 2i P = Do M = 2 • P = "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang LATEX PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ z+i ||z| − |i|| 1 |z + i| ≥ =1− ≥1− = = z |z| |z| |z| 2 1 Rõ ràng z = −2i P = Do m = 2 • P = p M = = Như vậy: m Chọn đáp án B mô-đun nhỏ lớn Khi mơ-đun số phức w = z1 + z2 √ √ B |w| = C |w| = A |w| = 2 Hướng dẫn giải Cấ Câu 19 Trong số phức z có phần ảo dương thỏa mãn z + = |z|, gọi z1 z2 số phức có D |w| = + √ z + = |z| ⇔ z + = |z|2 Ä ⇔ Ä z2 + äÄ äÄ z2 + ä ä Sơ ⇔ |z|2 = z + z + = 4z · z ⇔ (z · z)2 + z + z + − 4z · z = ⇔ (z + z)2 + (z · z)2 − (z · z) + = ⇔ (z + z)2 + |z|4 − |z|2 + = |z1 | =  |z2 | = Do  √ √ 2−1 Dấu “=” xảy 2+1       |z1 | = √ √ |z2 | =     z + z = 2−1 nH    2+1 ⇔       z1        z1       z2       z Ä√ ä 2−1 i √ ä Ä = − i (loại) √ ⇒ |w| = |z1 + z2 | = 2 Ä√ ä = 2+1 i √ ä Ä = − + i (loại) = To Chọn đáp án A ọc ⇔ |z|4 − |z|2 + = − (z + z)2 ≤ √ √ ⇒ − 2 ≤ |z|2 ≤ + 2 √ √ ⇒ − ≤ |z| ≤ + Câu 20 Trong số phức z thỏa mãn |z + − 5i| = |z + − i|, giả sử số phức có mơ-đun nhỏ có dạng a z = a + bi Khi S = bao nhiêu? b 1 B C D A 3 Hướng dẫn giải Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Khi |z + − 5i| = |z + − i| ⇔(a + 1)2 + (b − 5)2 = (a + 3)2 + (b + 1)2 Do » √ √ a2 + b2 = (4 − 3b)2 + b2 = 10b2 − 24b + 16 Ã Ç = Đẳng thức xảy b = a = b Chọn đáp án B √ 12 10b − √ 10 å2 + 16 ≥√ 10 10 ⇒ a = Suy |z| = √ 5 10 Sơ Vậy S = Cấ |z| = p ⇔a + 3b − = ⇔ a = − 3b √ Câu 21 Cho số phức z thỏa mãn |(1 + i)z + 2| + |(1 + i)z − 2| = Gọi m = max |z|, n = |z| số phức w = m + ni Tính |w|2018 A 41009 B 51009 C 61009 Hướng dẫn giải D 21009 ọc • Chia hai vế đẳng thức giả thiết cho |1 + i|, ta = |z − + i| + |z + − i| ≥ |z − + i + z + − i| nH = 2|z|, hay |z| ≤ 2, đẳng thức xảy z = √ 2(1 − i) Do m = • Giả sử z = x + yi, với x, y ∈ R Suy 16 = [|z + − i| + |z − + i|]2 » (x − 1)2 + (y + 1)2 + To = » ỵ (x + 1)2 + (y − 1)2 ≤ (x − 1)2 + (y + 1)2 + (x + 1)2 + (y − 1)2 Ä ó ä = 2x2 + 2y + , suy x2 + y ≥ 2, hay |z| ≥ √ Vậy w = 2i, suy |w| = 61009 Chọn đáp án C √ √ 2, dấu xảy z = + i Do n = Câu 22 Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R) có mơ-đun nhỏ thỏa mãn điều kiện |z − − 2i| = |z − 2| Tính P = x2 + y A 32 B 16 "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates C D 10 Trang LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Hướng dẫn giải Ta có |z − − 2i| = |(x − 4) + (y − 2) i| = (x − 2)2 + y Do giả thiết ta có (x − 4)2 + (y − 2)2 = (x − 2)2 + y Cấ |z − − 2i| = |z − 2| ⇔ p Tương tự |z − 2| = |(x − 2) + yi| = (x − 4)2 + (y − 2)2 ⇔ (x − 4)2 + (y − 2)2 = (x − 2)2 + y ⇔ x2 − 8x + 16 + y − 4y + = x2 − 4x + + y ⇔ x + y − = ⇔ y = − x Khi P = x2 + (4 − x)2 = 2x2 − 8x + 16 = (x − 2)2 + Sơ Vì (x − 2)2 ≥ 0, ∀x ∈ R nên P ≥ 8, ∀x ∈ R Dấu đẳn thức xảy x = suy y = Vậy P = Chọn đáp án C Câu 23 Cho số phức z thỏa mãn |z − − 4i| = √ Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = |z + 2|2 − |z − i|2 Môđun số phức w = M + mi √ √ √ A |w| = 137 B |w| = 1258 C |w| = 309 √ D |w| = 314 ọc Hướng dẫn giải Gọi z = a + bi Khi ta có P = |a + + bi|2 − |a + (b − 1)i|2 = (a + 2)2 + b2 − a2 − (b − 1)2 nH = a2 + 4a + + b2 − a2 − b2 + 2b − = 4a + 2b + Vậy P = 4a + 2b + u2 To √ Ta có |a − + i(b −4)| = ⇒ |a − + i(b − 4)|2 = ⇒ (a − 3)2 + (b − 4)2 = √   a = + sin t Do ta đặt  , với t ∈ [0; π] √  b = + cos t √ √ ⇒ P = sin t + cos t + 23 √ √ Xét f (t) = sin t + cos t √ √ + (2 5)2 = 10 Chia hai vế f (t) cho (4 5) √ √ 5 f (t) = sin t + cos t ⇒ 10 5 √   √ √    cos u = 5 √5 với u ∈ [0; π] Vì + = nên ta đặt  5    sin u = f (t) Khi = cos u sin t + sin u cos t = sin(t + u) 10 f (t) Vì −1 ≤ sin(u + t) ≤ nên −1 ≤ ≤ ⇒ −10 ≤ f (t) ≤ 10 ⇒ 13 ≤ f (t) + 23 ≤ 33 10 hay 13 ≤ P ≤ 33 Chọn đáp án B Câ Suy M = 33; m = 13 ⇒ w = 33 + 13i √ √ Khi |w| = 332 + 132 = 1258 "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 10 LATEX PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Giả sử z = x + yi, z = x + y i với x, y, x , y ∈ R Từ giả thiết ta có (x − 3)2 + (y − 2)2 = 2x + 4y − = Như tập điểm biều diễn z đường tròn (C) tâm I(3; 2), bán kính R = tập điểm biểu diễn z đường thẳng d : 2x + 4y − = Ç å 5 Gọi A(x; y) B(x ; y ) điểm biểu diễn z z , C = ; điểm biểu diễn − i 2 H hình chiếu C lên d Nhận √ thấy √ IC⊥d Ta có P = AB + AC ≥ BI − AI + CI − IA ≥ 13 − 10 HI − AI + CI − IA = √ + −2= 5 y −2 −1 O H −1 −2 Dấu xảy H ≡ B A giao đoạn thẳng IC với đường tròn (C) Chọn đáp án A √ Câu 38 Cho số phức z thỏa mãn |z + − i| + |z − − 7i| = Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ |z − + i| Khi P = M a2 + m2 171 167 171 B C A 4 Hướng dẫn giải D 167 Giả sử z = x+yi với x, y ∈ R Gọi P, A, B điểm biểu diễn y chocác số phức z, −2 + i, + 7i Khi P (x; y), A(−2; 1), B(4; 7)    P A = |z + − i|    P B = |z − − 7i|   √   AB = hay tập hợp điểm P biểu diễn cho số phức z đoạn thẳng AB Gọi K điểm biểu diễn số phức − i ⇒ K(1; −1), √ √ KA = 13, KB = 73 |z − + i| = P K √ Ta có M = max{KA, KB} = 73 Dễ thấy tam giác KAB tam giác có ba góc nhọn, hình chiếu H A vng góc H điểm K đường thẳng AB nằm đoạn AB, O −2 −1 m = KH = d(K, AB) −1 Đường thẳng AB có phương trình B √ Từ suy |z + − i| + |z − − 7i| = ⇔ P A + P B = AB x K x+2 y−1 = hay x − y + = 4+2 7−1 "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 35 LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ 5 |1 − (−1) + 3| √ = √ ⇒m= √ 2 171 25 = Vậy M + m2 = 73 + 2 Chọn đáp án A Do d(K, AB) = √ Câu 39 Cho số phức z thỏa mãn |z − + 3i| + |z + + i| = Tính giá trị lớn P = |z − + 4i| √ 169 A Pmax = B Pmax = 50 C Pmax = 34 D Pmax = 5 Hướng dẫn giải Giả sử z = x + yi, M (x; y), A(2; −3), B(−2; −1), I(4; −4) Khi ta có √ |z − + 3i| + |z + + i| = » (x − 2)2 + (y + 3)2 + √ ⇔ AM + BM = ⇔ » √ (x + 2)2 + (y + 1)2 = (1) √ Mặt khác, AM + BM ≥ AB = 5, kết hợp với (1) suy dấu xảy M nằm đoạn AB #» #» Kiểm tra ta thấy IA = (−2; 1) IB = (−6; 3) phương, suy A, B, I thẳng hàng (2) Từ suy P = IM đạt giá trị lớn M trùng A B √ √ √ Ta có IA = IB = 5, suy Pmax = Chọn đáp án D Số phức z có phần thực a phần ảo√ b thỏa mãn 3a − 2b = 12 Giá trị nhỏ P = |z √ − z1 | + |z − 2z2 | + √ √ 9945 9945 A Pmin = B Pmin = − C Pmin = D Pmin = + 11 13 Hướng dẫn giải Câu 40 Biết hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 − − 4i| = |z2 − − 4i| = Đặt z3 = 2z2 |z3 − − 8i| = P = |z − z1 | + |z − z3 | + Gọi M , A, B điểm biểu diễn cho z, z1 z3 Khi đó: Điểm A nằm đường tròn (C1 ) có tâm I1 (3; 4), bán kính R1 = 1; Điểm B nằm đường tròn (C3 ) có tâm I3 (6; 8), bán kính R3 = Và điểm M nằm đường thẳng d : 3x − 2y − 12 = Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ P = M A + M B + "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 36 LATEX PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ (C1 ) (C3 ) I1 I3 A B d H M A I1 (C1 ) Ta kiểm tra thấy (C1 ) (C3 ) nằm phía khơng cắt đường thẳng d : 3x − 2y − 12 = Gọi đường tròn (C1 ) có tâm I1 bán kính R1 = đối xứng với (C1 ) qua d Điểm A đối xứng với A qua d A thuộc (C1 ) å Ç Ç å 105 72 30 ; ; suy I1 Ta có I1 I1 : 2x + 3y − 18 = Gọi H = I1 I1 ∩ d ⇒ H 13 13 13 13 Ta có P = M A + M B + = M A + M B + = (M A + R1 ) + (M B +√R3 ) ≥ I1 M + I3 M ≥ I1 I3 9945 Từ Pmin điểm I1 , I3 , A , B M thẳng hàng Pmin = I1 I3 = 13 Chọn đáp án C Câu 41 Cho số phức z thỏa mãn z + − i = z + + 2i Biết biểu thức Q = |z − − 4i| + |z − − 6i| đạt 2 giá trị nhỏ z = a + bi, (a, b ∈ R) Tính P = a − 4b 911 691 A P = −2 B P = − C P = −1 D P = 460 272 Hướng dẫn giải y Đặt z = x + yi, (x, y ∈ R) Giả thiết có B Ã Ç x+ à å2 Ç + (y − 1)2 = x+ å2 + (y + 2)2 A ⇔2x + = 6y M Biểu thức Q = » (x − 2)2 + (y − 4)2 + » (x − 4)2 + (y − 6)2 x O A Gọi M (x; y) điểm biểu diễn z, lúc M thuộc đường thẳng d : 2x − 6y + = Gọi A(2; 4), B(4; 6) Ta cần tìm giá trị nhỏ M A + M B Kiểm tra A, B nằm phía với d nên "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 37 LATEX PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Ç gọi A điểm đối xứng với A qua d Ta tìm A å 39 17 ;− 10 10 151 Độ dài M A+M B nhỏ M ≡ d∩A B Đường thẳng A B có phương trình −77x+y+ = å Ç 1813 681 1813 681 ; hay a = b = Từ tìm M 460 460 460 460 911 Kết luận, a − 4b = − 460 Chọn đáp án B Câu 42 Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn |z1 | = 12 |z2 − − 4i| = Giá trị nhỏ |z1 − z2 | A B C D 17 Hướng dẫn giải y Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 M Ta thấy |z1 | = 12 B N ⇒ M ∈ (C1 ) có tâm O bán kính R1 = 12 A Ta thấy |z2 − − 4i| = ⇒ N ∈ (C2 ) có tâm I(3; 4) bán kính R2 = #» Ta thấy OI = (3; 4) ⇒ OI = ⇒ O ∈ (C2 ) I O Ta có |z1 − z2 | = M N ≥ OM − ON x Vì OM = 12 nên min(M N ) = 12 − max(ON ) = 12 − 10 =   M ≡B N ≡A Khi đó,  với A, B giao điểm tia OI với (C1 ), (C2 ) Chọn đáp án B Câu 43 Cho số phức z thỏa mãn (3−7i)|z| = √ √ √ √ A − B − 176 − 82i +7+3i Tìm giá trị nhỏ |(1 + i)z + − i| z √ √ √ C − D Hướng dẫn giải Điều kiện z = Ta có 176 − 82i + + 3i z + 3i 19 + 17i 19 + 17i ⇔ |z| = + ⇔ |z| = −i (3 − 7i) · z − 7i z 19 + 17i ⇔ |z| + i = ⇔ (|z| + i)z = 19 + 17i z ⇒ |(|z| + i)z| = |19 + 17i| (Lấy mô-đun hai vế) » √ √ ⇔ ||z| + i| · |z| = 26 ⇔ |z|2 + 1.|z| = 26 (3 − 7i)|z| = (2) Đặt t = |z| > 0, (2) ⇒ √  √ t2 = 25 t2 + · t = 26 ⇔ (t2 + 1) · t2 = 650 ⇔ t4 + t2 − 650 = ⇔   t2 = −26 (loại) "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 38 LATEX PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Với t2 = 25 ⇒ t = ⇒ |z| = å å Ç √ √ 2−i −2 + i Đặt P = |(1 + i)z + − i| = (1 + i) z + = z− = z− − + i 1+i 1+i 2 å Ç điểm biểu diễn số phức z w = Gọi M (x; y), A − ; 2 − + i 2 √ Khi P = 2M A M thuộc đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính Ç R = √ Ta có OA = √ < R = ⇒ A nằm đường tròn (C) Gọi E, F giao điểm OA với đường tròn (C) với AF < AE Ta có E O M A F AF ≤ M A ≤ AE Vậy P nhỏ √ M A nhỏ√nhất √ 5 2− √ ⇔ M A = M O − OA = − √ = 2 √ √ ⇒ P = − Chọn đáp án A Câu 44 Xét số phức z, w thỏa mãn |z − − 3i| ≤ |z + 2i| |w + + 3i| ≤ |w − 2i| Tính giá trị nhỏ biểu thức P = |z − w| A P = 13 Hướng dẫn giải √ √ 26 B P = 13 C P = √ 26 D P = 13 + Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) Ta có |z − − 3i| ≤ |z + 2i| ⇔ (x − 1)2 + (y − 3)2 ≤ x2 + (y + 2)2 ⇔ x + 5y ≥ Suy tập hợp số phức z miền nghiệm (E1 ) bất phương trình x + 5y ≥ (phần gạch sọc) Gọi w = a + bi (a, b ∈ R) Ta có |w + + 3i| ≤ |w − 2i| ⇔ (a + 1)2 + (b + 3)2 ≤ a2 + (b − 2)2 ⇔ a + 5b ≤ −3 Suy tập hợp số phức w miền nghiệm (E2 ) bất phương trình x + 5y ≤ −3 (phần gạch sọc) y (E1 ) −3 x O (E2 ) "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates N3 M d1 d2 Trang 39 LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Gọi M, N điểm biểu diễn số phức w, z Suy M ∈ (E2 ) N ∈ (E1 ) Ta có P = |z − w| = M N ⇒ P = d(d1 , d2 ), d1 : x + 5y − = d2 : x + 5y + = Chọn N (3; 0) ∈ d1 , suy √ 26 Vậy P = 13 Chọn đáp án B √ 26 |3 + · + 3| = d(d1 , d2 ) = d(N, d2 ) = √ 13 + 25 Câu 45 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng có phương trình √ √ 3x − y − 2018 = Tìm giá trị nhỏ P = z − + 2i √ √ 1005 1013 A P = B P = C P = 1013 D P = 1005 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi, x, y ∈ R Ta có √ x + yi − + 2i √ ä Ä√ = x + 3x − 2018 i − + 2i » √ = …4x2 − 4036 3x + 20162 + 12 √ ä2 Ä = 2x − 1009 + 10052 √ ≥ 10052 = 1005 √ 1009 1009 − i Vậy giá trị nhỏ P = 1005 z = 2 Chọn đáp án D P = Câu 46 Trên hệ tọa độ Oxy, gọi M điểm biểu diễn số phức z có mô-đun lớn thỏa mãn |z + − 3i| = Tọa độ điểm M A M (−6; 8) B M (8; −6) C M (8; 6) D M (−8; 6) Hướng dẫn giải Giả sử z = a + bi với a, b ∈ R ta có ||z| − |4 − 3i|| ≤ |z + − 3i| ≤ |z| + |4 − 3i| "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 40 LATEX Mà |4 − 3i| = PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ » 42 + (−3)2 = giả thiết ta suy ≤ |z| ≤ 10 Do max |z| = 10       a2 |z| = 10   |z + − 3i| =    a2 + b2 = 100 ⇔ + b2 = 100 (a + 4)2 + (b − 3)2 = 25     a2 + b2 = 100 ⇔ ⇔   4a − 3b = −50  a2 + 8a + 16 + b2 − 6b + = 25 4a + 50 + b = 100 = 100 + ⇔  ⇔ 4a + 50    4a + 50 b =  b = 3   2 2      9a + (4a + 50) = 900  9a + 16a + 400a + 2500 = 900 ⇔  ⇔ 4a + 50 4a + 50   b = b = 3     a     a å Ç    a  + 16a + 64 =  a = −8 ⇔ ⇔  4a + 50   b =  b = Suy số phức z = −8 + 6i thỏa mãn tốn Do tọa độ điểm M (−8; 6) Chọn đáp án D Câu 47 Cho số phức z thỏa mãn |z − − 2i| = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = |z − − i| + |z − − 2i| √ A + 10 B C √ 17 D Hướng dẫn giải y Gọi z = x + yi với x, y ∈ R có điểm biểu diễn M (x; y) Số phức + i, + 2i có điểm biểu diễn A(1; 1), B(5; 2) Ta có |z − − 2i| = ⇔ (x − 2)2 + (y − 2)2 = phương trình đường tròn tâm I(2; 2) bán kính R = P = |z − − i| + |z − − 2i| = M A + M B Nhận xét: A nằm bên đường tròn tâm I, B nằm ngồi đường tròn tâm I Dựa vào hình vẽ ta có M A + M B ≥ AB Dấu “=” xảy M giao điểm đoạn AB đường tròn tâm I Khi P = AB = » (5 − 1)2 + (2 − 1)2 = √ O −1 −1 I B A x 17 Chọn đáp án C Câu 48 Cho số phức z = x + iy (x, y ∈ R) thỏa mãn |z + 1| = |(z + i)(z + 2)| Khi z có mơ-đun nhỏ tính giá trị biểu thức P = x2 + 2y A P = B P = − 25 25 Hướng dẫn giải C P = 25  Ta có |z + 1| = |(z + i)(z + 2)| ⇔ |z + i||z − i| = |z + i||z + 2| ⇔   "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates D P = − 25 z = −i |z − i| = |z + 2| Trang 41 LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ • Với z = −i ta có |z| = • Với z thỏa |z − i| = |z + 2| tập hợp z đường trung trực d đoạn thẳng AB với A(0; 1), B(−2; 0) Khi z có mơ-đun nhỏ điểm biểu diễn z hình chiếu vng góc O lên d = Gọi H hình chiếu vng góc O d, phương trình Ta có phương trình d : 2x + y + å Ç 3 OH : x − 2y = Suy H − ; − 10 3 Từ hai trường hợp ta có mô-đun z nhỏ z = − − i 10 3 Suy x = − , y = − ⇒ P = − 10 25 Chọn đáp án D √ Câu 49 Với số phức z thỏa mãn |(1 + i)z + − 7i| = 2, tìm giá trị lớn |z| A max |z| = B max |z| = C max |z| = D max |z| = Hướng dẫn giải y Đặt z = a + bi ⇒, với a, b ∈ R Khi √ |(1 + i)z + − 7i| = ⇔ |(1 + i)(a + bi) + − 7i| = √ I 2 ⇔ (a − b + 1) + (a + b − 7) = ⇔ a2 + b2 − 6a − 8b + 24 = Do đó, |z|max = OI + R = + = x O Chọn đáp án D Câu 50 Trong số phức z thoả mãn điều kiện |z + − 2i| = |z − i|, tìm số phức z có mơ-đun nhỏ A z = −1 + i B z = −1 − i C z = − i D z = + i Hướng dẫn giải Ta có |z + − 2i| = |z − i| ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = x2 + (y − 1)2 ⇔ x − y + = Vậy tập hợp số phức z thoả điều kiện đề đường thẳng d : x − y + = Gọi ∆ đường thẳng qua O vng góc với d Phương  trình đường thẳng∆ : x + y =   x + y =  x = −1 Gọi H = ∆ ∩ d Tọa độ H nghiệm hệ phương trình  ⇔ Suy H(−1; 1) x − y + = y = Độ dài OH mô-đun nhỏ số phức z thỏa yêu cầu Vậy số phức thoả yêu cầu z = −1 + i Chọn đáp án A Câu 51 Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + 5| = 5, |z2 + − 3i| = |z2 − − 6i| Tìm giá trị nhỏ |z1 − z2 | A Hướng dẫn giải √ B "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates C √ D Trang 42 LATEX PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ • Gọi M1 , M2 điểm biểu diễn số phức z1 , z2 Ta có M1 thuộc đường tròn (C) : (x + 5)2 + y = M2 thuộc đường thẳng ∆ : 8x + 6y − 35 = • |z1 − z2 | = M1 M2 Do |z1 − z2 | đạt GTNN ⇔ M1 ≡ M, M2 ≡ H Ta có 15 −5= |z1 − z2 | = M H = d(I, ∆) − R = 2 I M ∆ H Chọn đáp án C Câu 52 Cho số phức z thỏa mãn |z − 4| + |z + 4| = 10 gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Tính M + m A M + m = B M + m = C M + m = D M + m = 34 Hướng dẫn giải Gọi A(x; y) điểm biểu diễn số phức z = x + iy Ta có |z − 4| + |z + 4| = 10 ⇔ » (x − 4)2 + y + » (x + 4)2 + y = 10 Nên điểm A điểm thỏa mãn AF1 + AF2 = 10, với F1 (4; 0) F2 (−4; 0) Do tập hợp điểm A e-líp √ (E) với tiêu cự 2c = 8, độ dài trục lớn 2a = 10, độ dài trục nhỏ 2b = a2 − c2 = Khi m = OAmin = b = M = OAmax = a = Vậy M + m = Chọn đáp án B Câu 53 Cho số phức z thỏa mãn |z − + 3i| + |z + − i| = Giá trị nhỏ m |2z + + 2i| √ A m = B m = C m = D m = 39 Hướng dẫn giải Gọi A, B, M, C điểm biểu diễn số phức − 3i, −2 + i, z − − i Khi đó, M A + M B = ta cần tìm GTNN 2M C Ä ä Để ý C trung điểm AB nên 4M C = M A2 + M B − AB ≥ (M A + M B)2 − AB = 64 − 25 = √ 39 Vậy, GTNN cần tìm 39, đạt M A = M B = 4, tức M giao điểm đường trung trực AB đường tròn tâm A, bán kính Chọn đáp án D Câu 54 Cho z số phức thoả |z − + i| P = |z + − i| + |z − − 3i| A 18 = Tìm giá trị lớn biểu thức: √ B 38 + 10 √ C 18 + 10 √ D 16 + 10 Hướng dẫn giải "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 43 LATEX PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Giả sử z = x + yi, x, y ∈ R, đó: y |z − + i| = ⇔ |(x − 1) + (y + 1)i| = A ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 = Như điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I(1; −1) bán x O kính R = Ta có: I P = (x + 2)2 + (y − 1)2 + (x − 2)2 + (y − 3)2 ỵ ó = x2 + (y − 2)2 + 10 M Khi P lớn ⇔ x2 + (y − 2)2 lớn nhất, hay M A lớn với A(0; 2) Nhận thấy M A lớn M, I, A thẳng hàng I nằm √ M, A Khi ta có M A = AI + R = + 10 √ P = 2M A2 + 10 = 38 + 10 Chọn đáp án B Câu 55 Cho hai số phức z1 ;z2 thỏa mãn |z1 − 3i + 5| = |iz2 − + 2i| = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |2iz1 + 3z2 | √ A 313 + 16 B √ 313 C √ 313 + D √ √ 313 + Hướng dẫn giải Giả sử 2iz1 = a + bi,−3z2 = c + di Gọi A(a; b), B(c; d) điểm biểu diễn cho số phức Khi |z1 − 3i + 5| = ⇔ (a + 6)2 + (b + 10)2 = 16 nên A thuộc đường tròn (C1 ) có tâm I1 (−6; −10) bán kính R1 = |iz2 − + 2i| = ⇔ (c − 6)2 + (d − 3)2 = 144 nên B thuộc đường tròn (C2 ) có tâm I2 (6; 3) bán kính R2 = 12 Ta lại có T = » (a − c)2 + (b − d)2 = AB nên T đạt giá trị lớn T = AB = R1 + I1 I2 + R2 = 16 + √ 313 Chọn đáp án A Câu 56 Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 − + 2i| = |z2 − + i| = |z¯2 + i| Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = |z1 − z2 | √ √ A Pmin = − B Pmin = + C Pmin = D Pmin = Hướng dẫn giải Gọi M, N điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng phức Từ giả thiết, ta suy M nằm đường tròn (C) có tâm I(1; −2), bán kính R = 1, N nằm đường thẳng d : x − y − = (là đường trung trực đoạn thẳng mà điểm đầu mút điểm biểu diễn số phức − i i) √ Dễ thấy d không cắt (C) nên Pmin = d(I, d) − R = − Chọn đáp án A "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 44 LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Câu 57 Cho z số phức mà (z + − 2i)(¯ z + 3) số thực Tìm giá trị nhỏ P0 biểu thức P = |z − + 2i| √ A P0 = √ B P0 = C P0 = √ D P0 = Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi với x, y ∈ R Biến đổi giả thiết ta x − y + = (d) Gọi A(3; −2) điểm biểu diễn số phức − 2i, M điểm biểu diễn z Khi đó, M thuộc đường thẳng (d) P = AM Do đó, √ P0 = d(A, (d)) = Chọn đáp án A Câu 58 Trong số phức z thỏa mãn |z| = |z − + 2i|, số phức có mơđun nhỏ B z = + i C z = + i D z = A z = + i Hướng dẫn giải y Vì |z| = |z| nên |z| = |z − + 2i| ⇔ |z| = |z − + 2i| B Gọi A, M điểm biểu diễn hình học số phức z − 2i Từ đẳng thức suy khoảng cách từ điểm A đến O khoảng cách từ điểm A đến M , suy x O A thuộc đường trung trực OM Điểm thuộc đường trung trực OM mà cách O ngắn trung điểm OM , tương ứng điểm biểu diễn số phức z = − i Vậy số phức cần tìm z = + i A d −2 M Chọn đáp án B Câu 59 Cho số phức z thỏa mãn |z − + 3i| = Giá trị lớn |z − i| A B C D Hướng dẫn giải Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − + 3i| = đường y tròn (C) tâm I(3; −3), bán kính R = Như tốn trở thành: “Tính khoảng A x cách lớn từ điểm A(0; 1) đến điểm đường tròn (C)” Và khoảng cách từ điểm A đến điểm Q hình vẽ bên AQ = AI + IQ = √ P −3 32 + 42 + R = + = Vậy giá trị lớn |z − i| I Q Chọn đáp án A Câu 60 Giả sử z1 ,z2 hai số số phức z thỏa mãn iz + |z1 | + |z2 | A √ B √ √ C 2 − i = |z1 − z2 | = Giá trị lớn D Hướng dẫn giải √ √ ä Ä Ta có iz + − i = ⇔ z − + i = √ Ä √ ä Gọi z0 = + i có điểm biểu diễn I 1; "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 45 LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Gọi A, B điểm biểu diễn z1 ,z2 Vì |z1 − z2 | = nên I trung điểm AB Ta có » |z1 | + |z2 | = OA + OB (OA2 + OB ) = √ 4OI + AB = √ 16 = Dấu xảy OA = OB Chọn đáp án A Câu 61 Cho số phức z = a + bi (a, b số thực) thỏa mãn |z| = |¯ z − + 4i| có mơ-đun nhỏ Giá trị P = ab A Hướng dẫn giải B C D Đặt z = a + bi, ta có |z| = |¯ z − + 4i| ⇔ |a + bi| = |a − bi − + 4i| ⇔ |a + bi| = |(a − 3) − (b − 4)i| » √ a2 + b2 = (a − 3)2 + (b − 4)2 ⇔ ⇔ a2 + b2 = (a − 3)2 + (b − 4)2 ⇔ −6a + − 8b + 16 = ⇔ 6a + 8b − 25 = Tập hợp điểm số phức z đường thẳng 6x + 8y − 25 = Vậy mô-đun nhỏ số phức z hình chiếu vng góc gốc tọa độ O lên đường thẳng Xét đường thẳng qua O vuông góc với đường thẳng 6x + 8y − 25 = có phương trìnhlà 8x − 6y =   6x + 8y − 25 = ⇔ Gọi H hình chiếu O lên đường thẳng 6x + 8y − 25 = Ta có tọa độ H thỏa hệ   8x − 6y =    x =   y = å Ç 3 ; điểm biểu diễn số phức z = + 2i Vậy a = , b = P = Suy H 2 Chọn đáp án D Câu 62 Cho số phức z thỏa mãn |z − − i| = 1, số phức w thỏa mãn |w − − 3i| = Tìm giá trị nhỏ |z − w| √ A 13 − B √ 17 − C √ 17 + D √ 13 + Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi, Đặt w = a + bi Khi |z − − i| = ⇔ |x − + (y − 1)i| = ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn (C1 ) có tâm I1 (1; 1), r = |w − − 3i| = ⇔ |a − − (b + 3)i| = ⇔ (a − 2)2 + (b + 3)2 = "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 46 LATEX PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Do tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn (C2 ) có tâm I2 (2; −3), bán kính R = |z − w| = » (x − a)2 + (y − b)2 biểu thức xác định khoảng cách hai điểm biểu diễn cho số phức z w Ta có I1 I2 = √ 17 > R + r nên (C1 ) nằm ngồi (C2 ) Khi khoảng cách ngắn hai điểm nằm hai đường tròn là: d = I1 I2 − R − r = √ 17 − Chọn đáp án B Câu 63 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + − i| = z2 = iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức P = |z1 − z2 | √ A m = 2 + B m = √ + Hướng dẫn giải Ta có |z1 − z2 | = |z1 − iz1 | = |1 − i| · |z1 | = √ √ C m = 2 D m = 2|z1 | Do P lớn |z1 | lớn Gọi M (x; y) điểm biểu diễn số phức z1 Ta có |z1 + − i| = ⇔ (x + 1)2 + (y − 1)2 = ⇒ M thuộc đường tròn tâm I(−1; 1), bán kính R = z1 lớn OM lớn ⇒ M ∈ OI ∩ (I, R) √ √ √ √ Đường thẳng OI y = −x Do OI ∩ (I, R) = {A( − 1; − 2); B(− − 1; + 1)} √ √ Mà OA = − 2, OB = + √ √ √ √ Nên max OM = OB = + M ≡ B ⇔ z1 = − − + ( + 1)i Vậy max P = m = + 2 Chọn đáp án A √ √ √ √ 3 i, z2 = − + i Gọi z số phức thỏa mãn |3z − 3i| = Gọi Câu 64 Cho hai số phức z1 = + 2 2 M , m giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức T = |z| + |z − z1 | + |z − z2 | Tính mơ-đun số phức w=M√ + mi 21 A Hướng dẫn giải B √ Ta có x + y − OK + KA + KB 2 = √ √ C 13 D (C) Gọi K, A, B điểm biểu diễn z, z1 , z2 Khi T = Ta có A, B, O thuộc đường tròn (C) tam giác ABO Suy m = 2OA = Đẳng thức xảy K trùng với O, A, B √ Gọi K thuộc cung AB, ta có KA·KB = OA·BK +AB ·OK ⇔ KA = KB +OK suy T = KA =≤ √   16 · 21 Vậy |w| = +4= Chọn đáp án A    |z Câu 65 Cho hai số phức z, w thỏa mãn  − − 2i| ≤  |w + + 2i| ≤ |w − − i| Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = |z − w| "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 47 LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ √ 2+1 A Pmin = Hướng dẫn giải B Pmin √ 2−2 = C Pmin √ 2−2 = √ D Pmin = + Gọi z = x + yi w = a + bi với a, b, x, y ∈ R    |z − − 2i| ≤    |x + yi − − 2i| ⇔ ≤1   |w + + 2i| ≤ |w − − i|  |a + bi + + 2i| ≤ |a + bi − − i|  »    (x − 3)2 + (y − 2)2  (x − 3)2 + (y − 2)2 ≤ ⇔ ⇔» » a + b ≤  (a + 1)2 + (b + 2)2 ≤ (a − 2)2 + (b − 1)2 ≤1 Vậy điểm biểu diễn hai số phức z w mặt phẳng tọa độ Oxy tương ứng điểm thuộc hình tròn (x − 3)2 + (y − 2)2 = nửa mặt phẳng giới hạn phương trình x + y = Bài tốn yêu cầu tìm giá trị nhỏ P = |z − w| = » (x − a)2 + (y − b)2 , nghĩa tìm khoảng cách ngắn hai điểm biểu diễn z w √ |3 + 2| 2−2 Khoảng cách d(I;d) − R = √ −1= + 12 Chọn đáp án C Câu 66 Cho hai số phức z1 , z2 có điểm biểu diễn M1 , M2 thuộc đường tròn có phương trình: x2 + y = √ |z1 − z2 | = Tính giá trị biểu thức P = |z1 + z2 | √ √ A P = B P = C P = 2 Hướng dẫn giải D P = √ Ta có M1 , M2 thuộc đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = |z1 − z2 | = ⇔ M1 M2 = ⇔ OM1√ M2 tam giác cạnh Gọi H trung điểm M1 M2 ⇒ OH = √ √ # » # » # » Khi P = |z1 + z2 | = OM1 + OM2 = 2OH = 2OH = · = Chọn đáp án D z−1 Câu 67 Cho số phức z thỏa mãn = √ Tìm giá trị lớn biểu thức P = |z + i| + |z − + 7i| z + 3i √ √ A B 20 C D Hướng dẫn giải z−1 =√ z + 3i √ ⇔ |z − 1| = |z + 3i| ⇔ 2(x − 1)2 + 2y = x2 + (y + 3)2 ⇔ x2 + y − 4x − 6y − = ⇔ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 20 Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn (C) có phương trình (x − 2)2 + (y − 3)2 = 20 với bán kính √ R = P = |z + i| + |z − + 7i| = |z + i| + |z − − 7i| = M A + 2M B với A(0; −1), B(4; 7) biểu diễn "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 48 LATEX PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ số phức z1 = −i, z2 = + 7i √ Ta có A(0; −1), B(4; 7) ∈ (C) AB = = 2R nên AB đường kính đường tròn (C) ⇒ M A2 + M B = AB = 80 Mặt khác: P = M A + 2M B ≤ » 5(M A2 + M B ) = 20 Dấu xảy M B = 2M A Vậy giá trị lớn P 20 Chọn đáp án B ĐÁP ÁN A A D C A B A D D 10 C 11 B 12 A 13 B 14 C 15 A 16 A 17 A 18 D 19 B 20 B 21 B 22 B 23 C 24 C 25 A 26 B 27 A 28 C 29 B 30 D 31 D 32 A 33 A 34 A 35 A 36 A 37 A 38 A 39 D 40 C 41 B 42 B 43 A 44 B 45 D 46 D 47 C 48 D 49 D 50 A 51 C 52 B 53 D 54 B 55 A 56 A 57 A 58 B 59 A 60 A 61 D 62 B 63 A 64 A 65 C 66 D 67 B "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 49 ... Cho số phức z thỏa mãn |2z − − 4i| = 10 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ |z| Khi M − m A B 15 C 10 D 20 Hướng dẫn giải Giả sử số phức z = x + iy với x, y ∈ R điểm M (x; y) điểm biểu diễn số phức. .. PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ CỰC TRỊ SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC √ Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − − i| + |z + + 3i| = Giá trị lớn |z − − 3i| √ √ √ √ A 5 B C D Hướng dẫn. .. M ∈ (E) Từ suy giá trị A B O nhỏ P d(I, AB) − b = − = Chọn đáp án A Câu 17 Trong mặt phẳng phức, xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M, M ; số phức z(4 + 3i) số phức liên hợp có điểm