Hướng dẫn giải các dạng toán số phức

Tài liệu Toán hay về chủ đề số phức, hỗ trợ các em trong quá trình học tập nội dung chương trình Giải tích 12 chương 4 và ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán. Tài liệu gồm 104 trang phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán số phức thường gặp, trong mỗi dạng toán, tài liệu đều trình bày đầy đủ lý thuyết, hướng dẫn phương pháp giải toán, cùng với đó là các ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết.

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX SỐ PHỨC BÀI DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN SỐ PHỨC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Định nghĩa Mỗi biểu thức dạng a + bi, a, b ∈ R, i2 = −1 gọi số phức Đối với số phức z = a + bi, ta nói a phần thực, b phần ảo z, i gọi đơn vị ảo Tập số phức C = {a + bi|a, b ∈ R, i2 = −1} Tập số thực R ⊂ C VÍ DỤ Số phức z = − 2i có phần thực phần ảo Lời giải Số phức z = − 2i có phần thực phần ảo −2 Đặc biệt Khi phần ảo b = ⇔ z = a ∈ R ⇔ z số thực ! Khi phần thực a = ⇔ z = bi ⇔ z số ảo Số = + 0i vừa số thực, vừa số ảo Hai số phức Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng ® a=c a + bi = c + di ⇔ , với a, b, c, d ∈ R b=d VÍ DỤ Tìm số thực x, y biết (2x + 1) + (3y − 2)i = (x + 2) + (y + 4)i Lời giải ® Từ định nghĩa ta có 2x + = x + ⇔ 3y − = y + ® x=1 y = Biểu diễn hình học số phức Điểm M (a; b) hệ trục tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi VÍ DỤ Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta có y D Điểm A biểu diễn cho số phức Điểm B biểu diễn cho số phức −3 x O Điểm C biểu diễn cho số phức Điểm D biểu diễn cho số phức A C −2 −3 B Lời giải Ta có "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Điểm A biểu diễn cho số phức z = + 2i Điểm B biểu diễn cho số phức z = − 3i Điểm C biểu diễn cho số phức z = −3 − 2i Điểm D biểu diễn cho số phức z = 3i Mô-đun số phức Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M (a; b) mặt phẳng tọa độ # » Độ dài véc-tơ OM gọi mô-đun số phức z ký hiệu |z| √ # » Khi đó, |z| = OM = |a + bi| = a2 + b2 Kết quả, với số phức z ta có y M b O a x (a) |z| ≥ |z| = ⇔ z = (b) z · z¯ = |z|2 (c) |z| = |¯ z | (d) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | |z1 | z1 = (e) z2 |z2 | VÍ DỤ Tìm mơ-đun số phức sau » z = − 2i ⇒ |z| = |3 − 2i| = = » √ √ z = + i ⇒ |z| = |1 + i 3| = = Lời giải Ta có √ 32 + (−2)2 = 13 » √ √ |z| = |1 + i 3| = 12 + ( 3)2 = |z| = |3 − 2i| = Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) Ta gọi a − bi số phức liên hợp z ký hiệu z¯ = a − bi VÍ DỤ Cho z = −3 − 2i ⇒ z¯ = Cho z¯ = + 3i ⇒ z = Lời giải Cho z = −3 − 2i ⇒ z¯ = −3 + 2i Cho z¯ = + 3i ⇒ z = − 3i Trang "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn z z¯ đối xứng với qua trục Ox y z = a + bi b Từ định nghĩa ta có kết sau z¯ = z; |¯ z | = |z| O a x z1 ± z2 = z¯1 ± z¯2 z1 · z2 = z¯1 · z¯2 Å ã z¯1 z1 = z2 z¯2 −b z¯ = a − bi z số thực ⇔ z = z¯ z số ảo ⇔ z = −¯ z Cộng, trừ, nhân, chia số phức Cho hai số phức z1 = a + bi z2 = c + di Phép cộng phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức Phép cộng: z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Phép trừ: z1 − z2 = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Số phức đối của số phức z = a + bi −z = −a − bi Do đó, z + (−z) = (−z) + z = VÍ DỤ Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = + 7i Tìm phần thực, phần ảo mô-đun số phức w = z1 + z2 số phức w = z2 − z1 Lời giải Ta có w = (5 + 2i) + (3 + 7i) = + 9i w = (3 + 7i) − (5 + 2i) = −2 + 5i Như √ √ • w có phần thực 8, phần ảo mô-đun |w| = 82 + 92 = 145, √ • w có phần thực −2, phần ảo mô-đun |w | = (−2)2 + 52 = 29 Phép nhân số phức thực theo quy tắc nhân đa thức, thay i2 = −1 kết nhận Cụ thể, z1 · z2 = (ac − bd) + (ad + bc)i Phép chia: z1 ac + bd bc − ad z1 · z¯2 z1 · z¯2 = = = c2 + d2 + c2 + d2 · i, (z2 = 0) z2 z2 z¯2 |z2 | Số phức nghịch đảo z = a + bi = z¯ z¯ a − bi = = = z |z| a + b2 a + b2 VÍ DỤ Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = + 3i Hãy tính • w = z1 · z2 = • z1 · z¯2 = z1 • r= = z2 Lời giải Ta có • w = z1 · z2 = (5 + 2i)(4 + 3i) = 14 + 23i • z1 · z¯2 = (5 + 2i)(4 − 3i) = 26 − 7i = 26 + 7i • r= z1 + 2i (5 + 2i)(4 − 3i) 26 − 7i 26 = = = = − · i z2 + 3i (4 + 3i)(4 − 3i) 25 25 25 "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ B LATEX DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP DẠNG 1.1 Bài tốn quy giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực Phương pháp giải Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng ® a=c a + bi = c + di ⇔ , với a, b, c, d ∈ R b=d Biểu diễn số phức cần tìm z = a + bi với a, b ∈ R Biến đổi thu gọn phương trình toán dạng A + Bi = C + Di ® A=C Giải hệ phương trình B = D Ví dụ VÍ DỤ Tìm số thực x y thỏa điều kiện sau 2x + + (1 − 2y)i = 2(2 − i) + yi − x ĐS: x = 1, y = (1 − 2i)x + (1 + 2y)i = + i ĐS: x = 1, y = Lời giải Ta có 2x + + (1 − 2y)i = 2(2 − i) + yi − x ⇔ 2x + + (1 − 2y)i = − x + (y − 2)i ® ⇔ 2x + = − x ⇔ − 2y = y − ® x=1 y = Vậy x = 1, y = ® Ta có (1 − 2i)x + (1 + 2y)i = + i ⇔ x + (−2x + + 2y)i = + i ⇔ x=1 ⇔ − 2x + + 2y = ® x=1 y = Vậy x = 1, y = VÍ DỤ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện bên Từ xác định phần thực, phần ảo, số phức liên hợp mô-đun z (2 + 3i) z − (1 + 2i) z = − i ĐS: z = − i √ |z − (2 + i)| = 10 z · z = 25 ĐS: z = + 4i, z = Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có (2 + 3i) (a + bi) − (1 + 2i) (a − bi) = − i ⇔ 2a + 2bi + 3ai + 3bi2 − a + bi − 2ai + 2bi2 = − i ⇔ (a − 5b) + (a + 3b) i = − i ® ® a − 5b = a=2 ⇔ ⇔ a + 3b = −1 b = −1 » √ Suy z = − i ⇒ |z| = |2 − i| = 22 + (−1) = Vậy phần thực số phức z 2, phần ảo −1, số phức liên hợp z = + i Nhận xét Khi tốn u cầu tìm thuộc tính số phức (phần thực, phần ảo, mô-đun số phức liên hợp) mà đề cho √ giả thiết chứa hai thành phần ba thành phần z, z, |z| ta gọi số phức z = a + bi ⇒ z = a − bi, |z| = a2 + b2 với a, b ∈ R, sau thu gọn sử dụng kết hai số phức nhau, giải hệ Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R).» Ta có |a + bi − − i| = Trang √ 10 ⇔ 2 (a − 2) + (b − 1) = √ 2 10 ⇔ (a − 2) + (b − 1) = 10 (1) "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX 2 Lại có a2 + b2 = 25 ⇔ (a − 2) + (b − 1) + 4a + 2b = 30 (2) ñ a=3 Thế (1) vào (2) ta b = 10 − 2a Khi a2 + (10 − 2a) = 25 ⇔ 5a2 − 40a + 75 = ⇒ a = Với a = ⇒ b = Với a = ⇒ b = Vậy có số phức z thỏa mãn đề z = + 4i z = √ VÍ DỤ Có số phức z thỏa mãn |z + − i| = 2 (z − 1) số ảo?  z = −i Ä √ √ ä  z = −1 + + − i ĐS:   Ä √ √ ä z = −1 − + + i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Ta có 2 (z − 1) = z − 2z + = (a + bi) − (a + bi) + ⇒ (z − 1) = a2 + 2abi + b2 i2 − 2a − 2bi + = a2 − b2 − 2a + + (2ab − 2b) i 2 Vì (z − 1) số 0, nghĩa có a2 − b2√− 2a + = ⇔ (a − 2) − b2 = √ ảo nên phần thực √ 2 Ta có |z + − i| = 2 ⇔ |a + bi + − i| = 2 ⇔ |(a + 2) + (b − 1) i| = 2 ⇔ (a + 2) + (b − 1) = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình ® b=a−1    (a + 2)2 + (b − 1)2 =  b = (a − 1) ®  ⇔ ⇔  b=1−a  2 (a + 2) + (b − 1) =   ® ® 2 (a + 2) + (b − 1) = Vậy có ba số phức thỏa mãn yêu cầu toán z = −i, z = −1 +   b=a−1    2a = ⇔ ®  b=1−a    a + 2a − =  (1) (2) a=0 b = −1 √ a = −1 + √ b=2− √ a = −1 − √ b = + Ä Ä √ √ ä √ √ ä + − i, z = −1 − + + i Nhận xét Số phức z = a + bi gọi số phức ảo ⇔ phần thực a = z số thực ⇔ phần ảo b = Bài tập áp dụng BÀI Tìm số thực x y thỏa điều kiện sau (nhóm sử dụng hai số phức nhau) 3x + 2iy − ix + 5y = + 5i ĐS: x = −1, y = Lời giải ® Ta có 3x + 2iy − ix + 5y = + 5i ⇔ 3x + 5y + (−x + 2y)i = + 5i ⇔ 3x + 5y = ⇔ − x + 2y = ® x = −1 y = Vậy x = −1, y = 2 x + yi = + 2i 1−i ĐS: x = 5, y = −1 Lời giải x + yi Ta có = + 2i ⇔ x + yi = (3 + 2i)(1 − i) ⇔ x + yi = − i ⇔ 1−i Vậy x = 5, y = −1 x−3 y−3 + = i 3+i 3−i ® x=5 y = −1 ĐS: x = −2, y = Lời giải "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX x−3 y−3 + = i ⇔ (x − 3)(3 − i) + (y − 3)(3 + i) = (3 + i)(3 − i)i ⇔ 3x + 3y − 18 + (−x + y)i = 10i 3+i 3−i ® ® 3x + 3y − 18 = x = −2 ⇔ ⇔ − x + y = 10 y = Vậy x = −2, y = Ta có BÀI Nhóm tốn tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp mô-đun z 2z − iz = + 5i ĐS: z = + 4i Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có (a + bi) − i (a − bi) = + 5i ⇔ 2a + 2bi − ia + bi2 = + 5i ⇔ (2a − b) + (2b − a) i = + 5i ® ® 2a − b = a=3 ⇔ ⇔ − a + 2b = b = Suy z = + 4i Vậy số phức z có phần thực 3, phần ảo 4, số phức liên hợp z = − 4i, mô-đun |z| = ĐS: z = − 3i z + (2 + i) z = + 5i Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có a + bi + (2 + i) (a − bi) = + 5i ⇔ a + bi + 2a − 2bi + − bi2 = + 5i ⇔ (3a + b) + (a − b) i = + 5i ® ® 3a + b = a=2 ⇔ ⇔ a−b=5 b = −3 Suy z = − 3i √ Vậy số phức z có phần thực 2, phần ảo −3, số phức liên hợp z = + 3i, mô-đun |z| = 13 2z + (1 − i) z = − 9i ĐS: z = + 3i Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có (a + bi) + (1 − i) (a − bi) = − 9i ⇔ 2a + 2bi + 3a − 3bi − 3ai + 3bi2 = − 9i ⇔ (5a − 3b) − (3a + b) i = − 9i ® ® 5a − 3b = a=2 ⇔ ⇔ 3a + b = b = Suy z = + 3i √ Vậy phần thực số phức z 2, phần ảo 3, số phức liên hợp z = − 3i, mô-đun |z| = 13 (3z − z) (1 + i) − 5z = 8i − ĐS: z = − 2i Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ [3 (a + bi) − (a − bi)] (1 + i) − (a + bi) = 8i − (2a + 4bi) (1 + i) − (a + bi) = 8i − 2a + 2ai + 4bi + 4bi2 − 5a − 5bi = 8i − (−3a − 4b) + (2a − b) i = 8i − ® ® − 3a − 4b = −1 a=3 ⇔ 2a − b = b = −2 Suy z = − 2i √ Vậy phần thực số phức z 3, phần ảo −2, số phức liên hợp z = + 2i, mô-đun |z| = 13 Trang "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX (2 − 3i) z + (4 + i) z = − (1 + 3i) ĐS: z = −2 + 5i Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có (2 − 3i) (a + bi) + (4 + i) (a − bi) = − 6i ⇔ 2a + 2bi − 3ai − 3bi2 + 4a − 4bi + − bi2 = − 6i ⇔ (6a + 4b) − (a + b) i = − 6i ® ® 6a + 4b = a = −2 ⇔ ⇔ 2a + 2b = b = Suy z = −2 + 5i √ Vậy phần thực số phức z −2, phần ảo 5, số phức liên hợp z = −2 − 5i, mô-đun |z| = 29 (3 − 2i) z + (1 + i) z = + 5i ĐS: z = − i Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có (3 − 2i) (a + bi) + (1 + i) (a − bi) = + 5i ⇔ 3a + 3bi − 2ai − 2bi2 + 5a − 5bi + 5ai − 5bi2 = + 5i ⇔ (8a + 7b) + (3a − 2b) i = + 5i ® ® 8a + 7b = a=1 ⇔ ⇔ 3a − 2b = b = −1 Suy z = − i √ Vậy phần thực số phức z 1, phần ảo −1, số phức liên hợp z = + i mô-đun |z| = (3 + i) z + (1 + 2i) z = − 4i ĐS: z = + 5i Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có (3 + i) (a − bi) + (1 + 2i) (a + bi) = − 4i ⇔ 3a − 3bi + − bi2 + a + bi + 2ai + 2bi2 = − 4i ⇔ (4a − b) + (3a − 2b) i = − 4i ® ® 4a − b = a=2 ⇔ ⇔ 3a − 2b = −4 b = Suy z = + 5i √ Vậy phần thực số phức z 2, phần ảo 5, số phức liên hợp z = − 5i, mô-đun |z| = 29 (1 + 2i) z + z = 4i − 20 ĐS: z = + 3i Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (1 + 2i) (a + bi) + a − bi = 4i − 20 (−3 + 4i) (a + bi) + a − bi = 4i − 20 −3a − 3bi + 4ai + 4bi2 + a − bi = 4i − 20 (−2a − 4b) + (4a − 4b) i = 4i − 20 ® ® − 2a − 4b = −20 a=4 ⇔ ⇒ z = + 3i 4a − 4b = b=3 Vậy phần thực số phức z 4, phần ảo 3, số phức liên hợp z = − 3i, mô-đun |z| = z + |z| = ĐS: z = 0; z = ±i Lời giải "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có (a + bi) + ® a2 + b2 2 =0⇔a −b + a2 + b2 =   ⇔   + b2 + 2abi = ⇔ a2 − b2 + 2ab = a2 + b2 =    añ =  √  b=0  − b2 + b2 =  ⇔ ®  ® b = ±1 b=0   b=0 √ 2 a + a =0 a = ®  2   − b + ⇔ a=0   b=0 a2 a=0 ñ z=0 z = ±i Vậy có số phức thỏa mãn đề z = 0, z = ±i Suy 10 |z| + (z − 3) i = ĐS: z = − 4i Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi, (a, b ∈ R) Ta có Ä ä a2 + b2 − bi2 + (a − 3) i = ⇔ a2 + b2 + b + (a − 3) i = ® a=3 a=3 ⇔ ⇒ z = − 4i b = −4 b2 + = − b a2 + b2 + (a − bi − 3) i = ⇔ ® ⇔ a2 + b2 + b = ⇔ a−3=0 Vậy phần thực số phức z 3, phần ảo −4, số phức liên hợp z = + 4i 11 z + z = 10 |z| = 13 ĐS: z = ± 12i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Ta có 2a = 10 ⇔ a = ⇒ Vậy có số phức z thỏa mãn đề z = ± 12i 12 |z + − 2i| = |z − − i| |z − 1| = √ b2 + 25 = 13 ⇒ b = ±12 ñ √ ĐS: z = + 2i z = −1 − i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có |z + − 2i| = |z − − i| ⇔ |a + bi + − 2i| = |a − bi − − i| 2 2 ⇔ (a + 1) + (b − 2) = (a − 2) + (b + 1) ⇔ a = b ñ √ b=2 2 Lại có |z − 1| = ⇔ (a − 1) + b2 = Thay a = b vào ta (b − 1) + b2 = ⇔ b = −1 Vậy có số phức z thỏa mãn đề z = + 2i z = −1 − i ñ 13 |z| + 2z · z + |z| = z + z = ĐS: z =1+i z =1−i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có z + z = ⇒ 2a = ⇒ a = 1.đ 2 Lại có |z| + 2z · z + |z| = ⇒ a2 + b2 = ⇔ a2 + b2 = ⇒ b2 = ⇒ b=1 b = −1 Vậy có số phức z thỏa mãn đề z = + i z = − i 14 w = z + iz + z với z + (2 − i) z = + i ĐS: w = −3i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có z + (2 − i) z = + i ⇔ a + bi + (2 − i) (a − bi) = + i ® ® 3a − b = a=1 ⇔ ⇔ −a−b=1 b = −2 ⇒ w = + i (1 − 2i) + (1 − 2i) ⇔ w = −3i Vậy số phức w cần tìm w = −3i Trang "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX 15 w = z + 2z với (1 − i) z + 2iz = + 3i ĐS: w = − i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Ta có (1 − i) z + 2iz = + 3i ⇔ (1 − i) (a + bi) + 2i (a − bi) = + 3i ⇔ a + bi − − bi2 + 2ai − 2bi2 = + 3i ⇔ (a + 3b) + (a + b) i = + 3i ® ® a=2 a + 3b = ⇔ ⇔ b = a+b=3 ⇒ z = + i ⇒ w = + i + (2 − i) = − i Vậy số phức w cần tìm w = − i BÀI Nhóm tốn tìm số phức z thỏa mãn biểu thức số phức số thực, số ảo |z| = ñ √ phần thực lần phần ảo ĐS: z =2+i z = −2 − i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Ta có phần thực√bằng lần phần ảo nên a = 2b Mặt khác |z| = ⇔ a2 + b2 = ® a=2 đ  a = 2b a = 2b a = 2b z =2+i  b=1 Ta có hệ phương trình ⇔ ⇔ ⇔® ⇒ 2 2  z = −2 − i a = −2 a +b =5 b =1 (2b) + b = b = −1 Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu toán z = + i, z = −2 − i ñ √ z =1±i 2 |z| = z số ảo ĐS: z = −1 ± i ® ® ® Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Ta có z = a2 −√b2 + 2abi số ảo nên a2 − b2 = Mặt khác |z| = ⇔ a2 + b2 = ® a=1  b=1  ®   a = −1 z =1+i  ® ®  2   b=1 a −b =0 a =1  z = −1 + i ® Ta có hệ phương trình ⇔ ⇔ ⇒  2 z = − i a +b =2 b =1  a=1   b = −1 z = −1 − i ®   a = −1 b = −1 Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán z = + i, z = −1 + i, z = − i, z = −1 − i |z − i| = ñ √ (z − 1) (z + i) số thực ĐS: z=1 z = −1 + 2i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Ta có (z − 1) (z + i) = z · z + zi − z − i = a2 + b2 + (a + bi) i − (a − bi) − i = a2 + b2 − a − b + (a + b − 1) i Do (z − 1) (z + i) √ số thực nên a + b − √ = Ta lại có |z − i| = ⇔ |a + bi − i| = ⇔ a2 + (b − 1) = ® a = −1 ñ ® ®  a=1−b a=1−b z=1  b=2 Ta có hệ phương trình ⇔ ⇔® ⇒ 2  a=1 z = −1 + 2i a + (b − 1) = 2 (b − 1) = b=0 "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX ñ √ |2z − z| = 13 (1 + 2i) z số ảo ĐS: z =2+i z = −2 − i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Ta có (1 + 2i) z = (1√+ 2i) (a + bi) = (a − 2b) + (2a √ + b) i số ảo √ nên a − 2b = ⇒ a = 2b Ta lại có |2z − z| = 13 ⇔ |2 (a + bi) − (a − bi)| = 13 ⇔ |a + 3bi| = 13 ⇔®a2 + 9b2 = 13  a=2 ® ® ® ñ  a = 2b a = 2b a = 2b z =2+i  b=1 Ta có hệ phương trình ⇔ ⇔ ⇔® ⇒ 2 2  a = −2 z = −2 − i a + 9b = 13 4b + 9b = 13 b =1 b = −1 Vậy có số phức z thỏa mãn yêu cầu toán z = + i, z = −2 − i |z − 1| = √ ñ (z − 1) (z + 2i) số thực ĐS: z=1 z = − 2i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Ta có (z − 1) (z + 2i) = z · z + 2iz − z − 2i = a2 + b2 + 2i (a + bi) − (a − bi) − 2i = a2 + b2 − a − 2b + (2a + b − 2) số thực nên 2a + b √ − = ⇒ b = − 2a √ Ta lại có |z − 1| = ⇔ |a − + bi| = ⇔ (a − 1) + b2 = ® a=0 đ ® ® ®  b=2 b = − 2a b = − 2a b = − 2a z = 2i  ⇒ ⇔ ⇔ ⇔® Ta có hệ phương trình 2 2  z = − 2i a=2 (a − 1) + b = 5 (a − 1) = (a − 1) = b = −2 Vậy có số phức z thỏa mãn yêu cầu toán z = 2i, z = − 2i z + z = z + 2z − 8i số thực ĐS: z = + 2i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Ta có z + z = ⇔ 2a = ⇔ a = Ta lại có z + 2z − 8i = a2 − b2 + 2abi + (a − bi) − 8i = a2 − b2 + 2a − (2ab − 2b − 8) i số thực nên 2ab − 2b − = Suy b = Vậy số phức z thỏa mãn z = + 2i |z − 3i| = |1 − iz| z + số ảo z ĐS: z = 2i Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) 9 (a − bi) 9a Ta có z + = a + bi + = a + bi + số ảo nên a + = z a + bi a +b a + b2 2 TalLại có |z − 3i| = |1 − iz| ⇔ |a + bi − 3i| = |1 − i (a − bi)| ⇔ a2 + (b − 3) = (1 − b) + a2 ⇔ b = 9a Suy a + = ⇔ a3 + 13a = ⇔ a = a +4 Vậy số phức z thỏa mãn z = 2i DẠNG 1.2 Xác định yếu tố số phức qua phép toán Phương pháp giải Sử dụng hợp lý phép toán cộng, trừ, nhân, chia để tìm số phức z Từ tìm phần thực, phần ảo, mơ-đun z tìm z Hai số phức có mơ-đun Sử dụng kết |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | z · z¯ = |z|2 |z| = |¯ z | z1 |z1 | = với z2 = z2 |z2 | Trang 10 "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ Đặt z = x + iy, (x; y ∈ R) Khi đó, |z − + 2i| = LATEX √ ⇔ (x − 1)2 + (y + 2)2 = ® x = − 2t Gọi I(1; −2), A(−1; −1) Khi phương trình đường thẳng d qua hai điểm I A d : , (t ∈ R) Thế y = −2 + t ñ t=1 x = − 2t y = −2 + t vào phương trình (x − 1)2 + (y + 2)2 = ta t2 = ⇔ t = −1 ○ Với t = M1 (−1; −1) AM1 = √ ○ Với t = −1 M2 (3; −3) AM2 = Vậy z = − 3i BÀI 49 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện |2z + 1| = |z + z + 3| cho số phức w = z − có mơ-đun nhỏ ĐS: z = + 4i z = − 4i Lời giải Đặt z = x + iy, (x; y ∈ R) Khi đó, |2z + 1| = |z + z + 3| ⇔ |(2x + 1) + 2yi| = |2x + 3| ⇔ (2x + 1)2 + 4y = (2x + 3)2 ⇔ y = 2x + 2 Khi đó, |z − 8| =√(x − 8)2 + y = (x − 8)2 + 2x + = x2 − 14x + 66 = (x − 7)2 + 17 ≥ 17 Vậy |z − 8|min = 17 x = y = ±4 Kết luận có hai số phức thỏa z = + 4i z = − 4i BÀI 50 Cho số phức z = x + 2yi, (x; y ∈ R) thay đổi thỏa mãn |z| = Hãy tìm giá trị lớn và√giá trị nhỏ nhất√của 5 biểu thức P = x − y ĐS: P = − max P = 2 Lời giải Đặt z = x + iy, (x; y ∈ R) Khi đó, |z| = ⇔ x2 + 4y = 2 Từ P = x − y ta có y = x − P vào (1) ta x2 + 4(x − √P ) = ⇔√5x − 8xP + 4P − = 5 Phương trình (2) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ − 4P ≥ ⇔ − ≤P ≤ 2 √ √ 5 Vậy P = − max P = 2 (1) (2) √ BÀI 51 Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho |z − − 2i| = 2, (*) Từ tìm số phức đ z thỏa (*) để z = −1 + 4i phần ảo z ĐS: z = + 4i Lời giải Gọi z = a + bi √ √ 2 Do |z − − 2i| = 2 ⇔ (a − 1)2 + (b − 2)2 = 2 ⇔ (a − 1) √ + (b − 2) = √ Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa |z − − 2i| = đ đường trịnđ(C) tâm I(1; 2) bán kính R = 2 a−1=2 a=3 Do z có phần ảo b = nên (a − 1)2 + = ⇔ (a − 1)2 = ⇔ ⇔ a − = −2 a = −1 Vậy có hai số phức z = −1 + 4i; z = + 4i DẠNG 3.4 Phương trình bậc hai bậc cao số phức Xét phương trình bậc hai az + bz + c = 0, (*) với a = có biệt số ∆ = b2 − 4ac Khi đó: Nếu ∆ = phương trình (*) có nghiệm kép z1 = z2 = − b 2a Nếu ∆ = gọi δ bậc hai ∆ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt z1 = z2 = Trang 90 −b − δ 2a −b + δ 2a "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Hệ thức Vi-ét trường phức C: z1 + z2 = − b c z1 z2 = a a Căn bậc hai số phức z = x + yi số phức w tìm sau: ! + Bước Đặt w = a + bi với x, y, a, b ∈ R bậc hai số phức z ® ® a = ··· a − b2 = x 2 2 + Bước Biến đổi w = x + yi = (a + bi) ⇔ (a − b ) + 2abi = x + yi ⇔ ⇒ b = ··· 2ab = y + Bước Kết luận bậc hai số phức z w = a + bi Ta làm tương tự trường hợp bậc ba, bậc bốn Ngoài cách tìm bậc hai số phức trên, ta tách ghép đưa số phương dựa vào đẳng thức Ví dụ VÍ DỤ Tìm bậc hai số phức z = 16 − 30i ĐS: z = ±5 ∓ 3i Lời giải Đặt w = a + bi bậc hai số phức z = 16 − 30i với ® a, b ∈ R a2 − b2 = 16 (1) Khi (a + bi)2 = 16 − 30i ⇔ a2 − b2 + 2abi = 16 − 30i ⇔ 2ab = −30 (2) ñ ñ b =9 b = −3 15 225 Từ (2) ⇒ a = − thay vào (1), ta có − b = 16 ⇒ b + 16b − 225 = ⇒ ⇒ b b b = b = −25 (V N ) Với b = −3 ⇒ a = Với b = ⇒ a = −5 Vậy w = −5 + 3i, w = − 3i VÍ DỤ Giải phương trình: z + 2z + = tập số phức C ĐS: z = −1 ± 2i Lời giải Ta có ∆ = −4 = 4i2 nên δ = 2i bậc hai ∆ Vậy phương trình có hai nghiệm phức phân biệt x1,2 = −1±2i Bài tập rèn luyện BÀI Tìm bậc hai số phức sau: z = −5 + 12i ĐS: w = ±2 ± 3i z = + 6i ĐS: w = ±3 ± i z = − 4i ĐS: w = ±2 ∓ i z = 33 − 56i √ z = + 5i √ z = −1 − 6i ĐS: w = ±7 ∓ 4i √ ĐS: w = ±3 ± i √ √ ĐS: w = ± ∓ i Lời giải z = −5 + 12i Đặt w = a + bi bậc hai số phức z = −5 + 12i với a, ® b 2∈ R a − b = −5 (1) Khi (a + bi)2 = −5 + 12i ⇔ a2 − b2 + 2abi = −5 + 12i ⇔ 2ab = 12 (2) ñ ñ b =9 b = −3 36 Từ (2) ⇒ a = thay vào (1), ta có − b = −5 ⇒ b − 5b − 36 = ⇒ ⇒ b b b = b = −4 (V N ) Với b = −3 ⇒ a = −2 Với b = ⇒ a = Vậy w = + 3i, w = −2 − 3i z = + 6i Đặt w = a + bi bậc hai số phức z = + 6i với a, b ∈ R "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 91 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX a2 − b2 = (1) 2ab = (2) ñ ñ b =1 b = −1 ⇒ Từ (2) ⇒ a = thay vào (1), ta có − b = ⇒ b + 8b − = ⇒ b b b = b = −9 (V N ) Với b = −1 ⇒ a = −3 Với b = ⇒ a = Vậy w = + i, w = −3 − i ® 2 Khi (a + bi) = + 6i ⇔ a − b + 2abi = + 6i ⇔ z = − 4i Đặt w = a + bi bậc hai số phức z = − 4i với ® a,2 b ∈ 2R a − b = (1) Khi (a + bi)2 = − 4i ⇔ a2 − b2 + 2abi = − 4i ⇔ 2ab = −4 (2) ñ ñ b =1 b = −1 −2 ⇒ thay vào (1), ta có − b = ⇒ b + 3b − = ⇒ Từ (2) ⇒ a = b b b = b = −4 (V N ) Với b = −1 ⇒ a = Với b = ⇒ a = −2 Vậy w = − i, w = −2 + i z = 33 − 56i Đặt w = a + bi bậc hai số phức z = 33 − 56i với ® a, b ∈ R a2 − b2 = 33 (1) Khi (a + bi)2 = 33 − 56i ⇔ a2 − b2 + 2abi = 33 − 56i ⇔ 2ab = −56 (2) ñ ñ b = 16 b = −4 −28 784 ⇒ Từ (2) ⇒ a = thay vào (1), ta có − b = 33 ⇒ b + 33b − 784 = ⇒ b b b = b = −49 (V N ) Với b = −4 ⇒ a = Với b = ⇒ a = −7 Vậy w = − 4i, w = −7 + 4i √ z = + 5i √ Đặt w = a + bi bậc hai số phức z = + 5i với a, ®b 2∈ R a − b = (1) √ √ √ Khi (a + bi)2 = + 5i ⇔ a2 − b2 + 2abi = + 5i ⇔ 2ab = (2) √ ñ √ b =5 b=− 49 thay vào (1), ta có − b = ⇒ b + 4b − 45 = ⇒ Từ (2) ⇒ a = ⇒ √ b b b = −9 (V N ) b = √ √ √ √ Với b = − ⇒ a = −3 Với b = ⇒ a = Vậy w = −3 − 5i, w = + 5i √ z = −1 − 6i √ Đặt w = a + bi bậc hai số phức z = −1 − 6i với a, b®∈ R a2 − b2 = −1 (1) √ √ √ Khi (a + bi)2 = −1 − 6i ⇔ a2 − b2 + 2abi = −1 − 6i ⇔ 2ab = −2 (2) √ ñ √ b =3 b=− − 6 Từ (2) ⇒ a = thay vào (1), ta có − b = −1 ⇒ b − b − = ⇒ ⇒ √ b b b = −2 (V N ) b = √ √ √ √ √ √ √ √ Với b = − ⇒ a = Với b = ⇒ a = − Vậy w = − 3i, w = − + 3i BÀI Tìm bậc ba số phức sau: z = −i z = −27 z = + 2i z = −46 + 9i √ − i ĐS: w = i, w = ± √ 3 ĐS: w = −3, w = ± i 2 √ √ √ √ 1− 1+ + −1 + ĐS: w = −1 + i, w = − i, w = + i 2 2 √ √ √ √ −2 − 3 + 21 − 12 3i −2 + 3 − 21 + 12 3i ĐS: w = , z = + 3i, z = 2 Lời giải z = −i Đặt w = a + bi bậc ba số phức z = −i với a, b ∈®R a3 − 3ab2 = (1) Khi (a + bi)3 = −i ⇔ a3 − 3ab2 + (3a2 b − b3 )i = −i ⇔ 3a b − b = −1 (2) ñ a=0 Từ (1), suy a(a2 − 3b2 ) = ⇔ a2 − 3b2 = Trang 92 "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Với a = thay vào (2), ta có −b3 = −1 ⇔ b = Vậy w = i √ 3 Với a2 − 3b2 = ⇔ a2 = 3b2 thay vào (2), ta có 9b3 − b3 = −1 ⇔ b = − ⇒ a2 = ⇒ a = ± √ Vậy w = ± − i 2 z = −27 Đặt w = a + bi bậc ba số phức z = −27 với a, b ∈ R ® a3 − 3ab2 = −27 Khi (a + bi)3 = −27 ⇔ a3 − 3ab2 + (3a2 b − b3 )i = −27 ⇔ 3a2 b − b3 = ñ b=0 Từ (2), suy b(3a2 − b2 ) = ⇔ 3a2 − b2 = Với b = thay vào (1), ta có a = −27 ⇔ a = −3 Vậy w = −3 Với 3a2 − b2 = ⇔ b2 = 3a2 thay vào (1), ta có a3 − 9a3 = −27 ⇔ a = ⇒ b2 = √ 3 i Vậy w = ± 2 (1) (2) √ 27 3 ⇒b=± z = + 2i √ ® x= + 2i √ y = − 2i Ta có (x + y)3 = x3 + y + 3xy(x + y) = + 6(x + y) Đặt x + y = −2 √  Suy ta có phương trình (x + y) − 6(x + y) − = ⇒  x + y = + √ x + y = − √ √ Mặt khác xy = + 2i · − 2i =  ñ X = −1 + i + Với x + y = −2 xy = Khi x, y nghiệm phương trình X + 2X + = ⇒ X = −1 − i √ Kiểm tra ta thấy w = + 2i = −1 + i √ √ + Với x + y = + √ xy = Khi√đó x, y nghiệm của√phương trình X − (1 + 3)X + = √ Ta có ∆ = (1 + 3)2 − 8= −4 + √3 = (4√− 3)i2 = ( − 1)2 i2 3−1 1+ + i X = 2√ Do ta có hai nghiệm  √  1+ 3−1 X= − i √ √2 √ 1+ 3−1 Kiểm tra ta thấy w = + 2i = + i 2 √ √ + Với x + y = − √ xy = Khi√đó x, y√là nghiệm phương trình X + (1 − 3)X + = Ta có ∆ = (1 − 3)2 − 8= −8 − √3 = ( √3 + 1)2 i2 1− 3+1 + i X = Do ta có hai nghiệm  √ √  1− 3+1 − i X= √ √2 √ 1− 3+1 Kiểm tra ta thấy w = + 2i = − i 2 z = −46 + 9i √ −46 + 9i √ y = −46 − 9i Ta có (x + y)3 = x3 + y + 3xy(x + y) = −92 + 39(x + y) ® Đặt x= x+y =4 √  Suy ta có phương trình (x + y)3 − 39(x + y) + 92 = ⇒  x + y = −2 + 3 √ x + y = −2 − 3 √ √ Mặt khác xy = −46 + 9i · −46 − 9i = 13  ñ X = + 3i + Với x + y = xy = 13 Khi x, y nghiệm phương trình X − 4X + 13 = ⇒ X = − 3i √ Kiểm tra ta thấy w = −46 + 9i = + 3i "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 93 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX √ √ + Với x + y = −2 + 3√ xy = 13 Khi√đó x, y nghiệm √ 2của phương trình X − (−2 + 3)X + 13 = Ta có ∆ = 31 − 12 − 52 = −21 − 12 = (21 + 12 3)i √ √  −2 + 3 + 21 + 12 3i X = Do ta có hai nghiệm  √ √  −2 + 3 − 21 + 12 3i X= √ √ √ −2 + 3 − 21 + 12 3i Kiểm tra ta thấy w = −46 + 9i = √ √ + Với x + y = −2 − 3√ xy = 13 Khi√đó x, y nghiệm √ 2của phương trình X + (2 + 3)X + 13 = Ta có ∆ = 31 + 12 − 52 = −21 + 12 = (21 − 12 3)i √ √  −2 − 3 + 21 − 12 3i X =  Do ta có hai nghiệm  √ √  −2 − 3 − 21 − 12 3i X= √ √ √ −2 − 3 + 21 − 12 3i Kiểm tra ta thấy w = −46 + 9i = BÀI Giải phương trình sau trường số phức C: x2 − 4x + = √ ĐS: x1,2 = ± i 4 √ ĐS: x1,2 = ± i 3 x2 − 2x + = ĐS: x1,2 = ± i 2x − 5x + = 8z − 4z + = ĐS: z1,2 = 1 ± i 4 ĐS: z1 = i, z2 = − i 2z − iz + = (z − i)2 + = ĐS: z1 = 3i, z2 = −i √ √ ĐS: z1,2 = ±i 2, z3,4 = ±i √ √ ĐS: z1,2 = ± 2, z3,4 = ±i √ ĐS: z1,2 = 1, z3,4 = (−2 ± 3)i z + 7z + 10 = z + z − = (z + i)4 + 4z = Lời giải 2x2 − 5x + = √ 7i √ ∆ √ bậc hai 5 ± 7i = ± i Vậy phương trình có hai nghiệm phức phân biệt x1,2 = 4 Ta có ∆ = (−5)2 − · · = −7 = 7i2 nên δ = x2 − 4x + = √ Ta có ∆ = (−2)2 − · = −3 = 3i2 nên δ = 3i căn√bậc hai ∆ Vậy phương trình có hai nghiệm phức phân biệt x1,2 = ± 3i x2 − 2x + = Ta có ∆ = (−1)2 − · = −1 = i2 nên δ = i bậc hai ∆ Vậy phương trình có hai nghiệm phức phân biệt x1,2 = ± i 8z − 4z + = Ta có ∆ = (−2)2 − · = −4 = 4i2 nên δ = 2i bậc hai ∆ ± 2i 1 Vậy phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1,2 = = ± i 4 2z − iz + = Ta có ∆ = (−i)2 − · · = −9 = 9i2 nên δ = 3i bậc hai ∆ i − 3i i + 3i Vậy phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1 = = i z2 = = − i 4 (z − i)2 + = ñ ñ z − i = 2i z = 3i Ta có (z − i) + = ⇔ (z − i) = 4i ⇔ ⇔ z − i = −2i z = −i Trang 94 2 "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX z + 7z + 10 = ñ t = −2 Đặt t = z , phương trình trở thành t2 + 7t + 10 = ⇔ t = −5 √ 2 Với t = −2 ⇒ z = −2 ⇒ z = 2i ⇒ z = ±√2i Với t = −5 ⇒ z = −5 ⇒ z = 5i2 ⇒ z = ± 5i z + z − = ñ Đặt t = z , phương trình trở thành t2 + t − = ⇔ √ Với t = ⇒ z = ⇒ z = ± √ Với t = −3 ⇒ z = −3 ⇒ z = 3i2 ⇒ z = ± 3i t=2 t = −3 (z + i)4 + 4z = ñ 2 2 Ta có (z + i) + 4z = ⇔ (z + i) = 4i z ⇔ (z + i)2 = 2iz ñ ⇔ z2 − = (1) (z + i) = −2iz z + 4iz − = (2) Theo (1) z − = ⇔ z = ⇔ z1,2 = ±1 √ hai ∆ √ Theo (2), ta có ∆ = (2i)2 + = −3 = 3i2 nên δ = 3i bậc √ Khi phương trình (2) có hai nghiệm phức phân biệt z3,4 = −2i ± 3i = (−2 ± 3)i BÀI Giải phương trình sau trường số phức C: 4z − − 7i = z − 2i z−i z − (1 + i)z + + 3i = z + 3(1 + i)z + 5i = z + (1 + i)z − − i = z − 8(1 − i)z + 63 − 16i = (2 − 3i)z + (4i − 3)z + − i = 2(1 + i)z − 4(2 − 4i)z − 10 + 14i = ĐS: z1 = + i, z2 = + 2i ĐS: z1 = − 2i, z2 = 3i ĐS: z1 = −1 − 2i, z2 = −2 − i ĐS: z1 = 1, z2 = −2 − i ĐS: z1 = − 12i, z2 = + 4i ĐS: z1 = 1, z2 = − − i 13 13 ĐS: z1 = −1, z2 = −1 − 6i Lời giải 4z − − 7i = z − 2i z−i 4z − − 7i Ta có = z − 2i ⇒ z − (3i + 4)z + + 7i = z−i Khi ∆ = (3i + 4)2 − 4(1 + 7i) = − 4i nên δ = − i bậc hai ∆ 3i + + − i 3i + − + i Vậy phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z = = + i z = = + 2i 2 z − (1 + i)z + + 3i = Ta có ∆ = (1 + i)2 − 4(6 + 3i) = + 2i − − 24 − 12i = −24 − 10i Gọi δ = − 5i bậc hai ∆ + i + − 5i + i − + 5i Vậy phương trình có hai nghiệm phức z1 = = − 2i z2 = = 3i 2 z + 3(1 + i)z + 5i = Ta có ∆ = 9(1 + i)2 − · 5i = 18i − 20i = −2i Gọi δ = − i bậc hai ∆ −3 − 3i + − i −3 − 3i − + i = −1 − 2i z2 = = −2 − i Vậy phương trình có hai nghiệm phức z1 = 2 z + (1 + i)z − − i = Ta có ∆ = (1 + i)2 − 4(−2 − i) = + 2i − + + 4i = + 6i Gọi δ = + i bậc hai ∆ −1 − i + + i −1 − i − − i Vậy phương trình có hai nghiệm phức z1 = = z2 = = −2 − i 2 z − 8(1 − i)z + 63 − 16i = Ta có ∆ = 16(1 − i)2 − (63 − 16i) = 16 − 32i − 16 − 63 + 16i = −63 − 16i Gọi δ = − 8i bậc hai ∆ Vậy phương trình có hai nghiệm phức z1 = 4(1 − i) + − 8i = − 12i z2 = 4(1 − i) − + 8i = + 4i "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 95 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX (2 − 3i)z + (4i − 3)z + − i = Ta có ∆ = (4i − 3)2 − 4(2 − 3i)(1 − i) = −16 − 24i + + + 20i = −3 − 4i Gọi δ = − 2i bậc hai ∆ − 6i −4i + − + 2i −4i + + − 2i = = z2 = = − − i Vậy phương trình có hai nghiệm z1 = 2(2 − 3i) − 6i 2(2 − 3i) 13 13 2(1 + i)z − 4(2 − 4i)z − 10 + 14i = Ta có a − b + c = + 2i + − 16i − 10 + 14i = Vậy phương trình có hai nghiệm z1 = −1 z2 = − −10 + 14i = −1 − 6i + 2i BÀI Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + 2z + 10 = Hãy tính giá trị biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 ĐS: A = 20 Lời giải Ta có ∆ = −9 = 9i2 nên δ = 3i bậc hai ∆ Khi phương trình có hai √ nghiệm√phức z1 = −1 − 3i z2 = −1 + 3i Vậy A = |z1 |2 + |z2 |2 = ( 10)2 + ( 10)2 = 20 |z1 |2 + |z2 |2 (z1 + z2 )2012 11 ĐS: M = 2012 BÀI Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình 2z −4z+11 = Hãy tính giá trị biểu thức M = Lời giải √ Ta có ∆ = − 22 = −18 = 18i2 nên δ = 2i bậc hai√của ∆ √ 3 Khi phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1 = − i z2 = + i 2 11 11 2 + |z1 | + |z2 | 11 Do (z1 + z2 )2012 = 22012 Vậy M = = 20122 = 2012 (z1 + z2 )2012 2 ® BÀI Tìm số phức z w thỏa z + w = − i z + w3 = + 28i ĐS: z =3+i w = − 2i ® z = − 2i w =3+i Lời giải Ta có z + w3 = + 28i ⇔ (z + w)(z + w2 − zw) = + 28i ⇔ z + w2 − zw = + 28i = 7i 4−i 7i − (4 − i)2 = − 5i −3 Khi z w hai nghiệm phương trình X − (4 − i)X + − 5i = Ta có ∆ = (4 − i)2 − 4(5 − 5i) = −5 + 12i nên δ = + 3i bậc hai ∆ − i − − 3i − i + + 3i Khi phương trình có hai nghiệm X = = + i X = = − 2i 2 ® ® z =3+i z = − 2i Vậy w = − 2i w =3+i Mặt khác z + w2 − zw = 7i ⇔ (z + w)2 − 3zw = 7i ⇔ zw = PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI ! Trong giải phương trình bậc cao, đề cho phương trình có nghiệm ảo, ta z = bi vào phương trình giải tìm b ⇒ z = bi Do có nghiệm z = bi nên chia Hoocner để đưa phương trình bậc thấp mà biết cách giải để tìm nghiệm cịn lại Cịn đề cho biết có nghiệm thực Khi cần đến khả nhẩm nghiệm phương trình bậc cao (nếu có i ta nhẩm nghiệm cho triệt tiêu i) BÀI Giải phương trình sau, biết chúng có nghiệm ảo z − 2(1 + i)z + 4(1 + i)z − 8i = z + (1 + i)z + (3 + i)z + 3i = √ ĐS: z = 2i z = ± i √ i 11 ĐS: z = −i z = − ± 2 z + (2 − 2i)z + (5 − 4i)z − 10i = ĐS: z = 2i z = −1 ± 2i Lời giải z − 2(1 + i)z + 4(1 + i)z − 8i = Giả sử phương trình có nghiệm ảo z = bi nên ta có: (bi)3 − 2(1 + i)(bi)2 + 4(1 + i)bi − 8i = ⇔ −b3 i + 2b2 + 2b2 i + 4bi − 4b − 8i = Trang 96 "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates LATEX PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ đ b=0   ®   2b − 4b = b=2 ⇔ ñ ⇔ ⇔ b =  b=2 − b + 2b + 4b − =    b = −2 ñ Khi phương trình cho trở thành (z − 2i)(z − 2z + 4) = ⇔ ñ z − 2i = z − 2z + = ⇔ z = 2i √ z = ± i z + (1 + i)z + (3 + i)z + 3i = Giả sử phương trình có nghiệm ảo z = bi nên ta có: (bi)3 + (1 + i)(bi)2 + (3 + i)bi + 3i ñ= ⇔ −b3 i − b2 − b2 i + 3bi − b + 3i =  b=0   ®   b = −1 −b −b=0 ñ ⇔ ⇔ ⇔ b = −1  b = −1 − b − b + 3b + =   √   b=±  ñ z = −i z + i = √  ⇔ Khi phương trình cho trở thành (z + i)(z + z + 3) = ⇔ i 11 z2 + z + = z=− ± 2 z + (2 − 2i)z + (5 − 4i)z − 10i = Giả sử phương trình có nghiệm ảo z = bi nên ta có: (bi)3 + (2 − 2i)(bi)2 + (5 − 4i)bi − 10iñ = ⇔ −b3 i − 2b2 + 2b2 i + 5bi + 4b − 10i =  b=0   ®   b=2 − 2b + 4b = ñ ⇔ b = ⇔ ⇔  b=2 − b + 2b + 5b − 10 =   √   b=± ñ ñ z − 2i = z = 2i Khi phương trình cho trở thành (z − 2i)(z + 2z + 5) = ⇔ ⇔ z = −1 ± 2i z + 2z + = BÀI Giải phương trình sau, biết chúng có nghiệm thực ĐS: z = − , z = + i, z = − i 2z − 5z + 3z + + (2z + 1)i = z − 2(1 + i)z + 3iz + − i = ĐS: z = 1, z = i, z = + i Lời giải 2z − 5z + 3z + + (2z + 1)i = Å ã Å ã Å ã Å Å ã ã 1 Vì − −5 − +3 − + − + i = nên z = − nghiệm phương trình cho 2 2 ñ 2z + = (1) Khi phương trình cho trở thành (2z + 1)(2z − 6z + + 2i) = ⇔ 2z − 6z + + 2i = (2) Với (1), ta có 2z + = ⇔ z = − Với (2), ∆ = − 2(6 + 2i) = −3 − 4i Khi gọi δ bậc hai ∆ δ = − 2i + − 2i − + 2i Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phức phân biệt z = = − i z = = + i 2 z − 2(1 + i)z + 3iz + − i = Vì + (−2 − 2i) + 3i + − i = nên phương trình có nghiệm z = đ Khi phương trình cho trở thành (z − 1)(z − (1 + 2i)z + i − 1) = ⇔ z−1=0 (1) z − (1 + 2i)z + i − = (2) Với (1) z − = ⇔ z = Với (2) ∆ = (1 + 2i)2 − 4(i − 1) = nên phương trình có hai nghiệm phân biệt z = + 2i − z= = i + 2i + = + i BÀI 10 Giải phương trình sau tập số phức C "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 97 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ z − (2i − 1)z + (3 − 2i)z + = LATEX ĐS: z = −1; z = −i; z = 3i Lời giải Ta có z − (2i − 1)z + (3 − 2i)z + = ⇔ (z + z ) − 2iz(z + 1) + 3(z + 1) = ⇔ (z + 1)(z − 2iz + 3) =  z = −1  ⇔  z = −i z = 3i Vậy phương trình có nghiệm z = −1, z = −i, z = 3i −2 ± ĐS: z = 2; z = 2 iz + z − (1 + 4i)z − = √ + i Lời giải Ta có iz + z − (1 + 4i)z − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Với z − = ⇔ z = −2 ± Với iz + (2i + 1)z + = ⇔ z = √ (iz − 4iz) + (z − z − 2) = iz(z − 2)(z + 2) + (z − 2)(z + 1) = (z − 2)[iz(z + 2) + (z + 1)] = (z − 2)[iz + (2i + 1)z + 1] = + i √ −2 ± Vậy phương trình có nghiệm z = 2, z = + i 2 z4 − z3 + z2 +z+1=0 1 ĐS: z = ± i; z = − ± i 2 Lời giải Ta thấy z = khơng phải nghiệm phương trình, phương trình tương đương với Å ã 1 z2 + − z − + = z z (1) 1 ⇒ z + = w2 + Thay vào phương trình (1) ta w2 − w + = ⇔ w = ± i z z 2  Å ã z =1+i 1 3 Với w = + i, ta có z − = + i ⇔ z − + i z−1=0⇔ 1 2 z 2 2 z = − + i 2  Å ã z =1−i 1 3 Với w = − i, ta có z − = − i ⇔ z − − i z−1=0⇔ 1 2 z 2 2 z = − − i 2 Đặt w = z − 1 Vậy phương trình có nghiệm z = ± i, z = − ± i 2 ß ™ i ĐS: z ∈ − ; 2; 2i; 2 4z − (6 + 10i)z + (15i − 8)z + (6 + 10i)z + = Lời giải Ta thấy z = khơng nghiệm phương trình, ta có Å ã Å ã 1 z + − (6 + 10i) z − + (15i − 8) = z z (1) w=  Đặt w = z − , thay vào (1) ta 4(w2 + 2) − (6 + 10i)w + 15i − = ⇔ 4w2 − (6 + 10i)w + 15i = ⇔  5i z w=  Trang 98 "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX z=− 3 , ta có z − = ⇔ z − z − = ⇔  z 2 z =  i z= 5i 5i 5i  ⇔z − z−1=0⇔ Với w = , ta có z − = z 2 z = 2i √ Vậy phương trình có nghiệm z = ±1 − 3i, z = (−3 ± 2)i  Với w = √ ĐS: z = ±1 − 3i; z = (−3 ± 2)i (z − i)(z + 2i)(z + 4i)(z + 7i) = 34 Lời giải Ta có (z − i)(z + 2i)(z + 4i)(z + 7i) = 34 ⇔ (z + 6iz + 7)(z + 6iz − ñ8) = 34 w = 17 Đặt w = z + 6iz + 7, ta có w(w − 15) = 34 ⇔ w2 − 15w − 34 = ⇔ w = −2 Với w = 17, ta có z + 6iz + = 17 ⇔ z + 6iz − 10 = ⇔ z = ±1 − 3i √ Với w = −2, ta có z + 6iz + = −2 ⇔ z + 6iz + = ⇔ z = (−3 ± 2)i √ Vậy phương trình có nghiệm z = ±1 − 3i, z = (−3 ± 2)i ® 2 ĐS: z ∈ (z + 3z + 2)(z + 11z + 30) = 60 0; −7; − ± √ ´ 15 i Lời giải Ta có (z + 3z + 2)(z + 11z + 30) = 60 ⇔ (z + 1)(z + 2)(z + 5)(z + 6) = 60 ⇔ (z + 7z + 6)(z + 7z + 10) = 60 Đặt w = z + 7z + 8, ta có (w + 2)(w − 2) = 60 ⇔ w2 = 64 ⇔ w = ±8 ñ z=0 Với w = 8, ta có z + 7z + = ⇔ z = −7 √ 15 2 i Với w = −8, ta có z + 7z + = −8 ⇔ z + 7z + 16 = ⇔ z = − ± 2 √ 15 Vậy phương trình có nghiệm z = 0, z = −7, z = − ± i 2 DẠNG 3.5 Dạng lượng giác số phức Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) Đặt r = √ a b a2 + b2 , cos ϕ = √ , sin ϕ = √ Khi a2 + b2 a2 + b2 Dạng lượng giác số phức z z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Một acgument số phức z ϕ tan ϕ = b a z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) √ VÍ DỤ (B-2012) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − Å3iz − = Viết dạng lượng giác z1 ã 2π 2π π π z2 ĐS: cos + i sin cos + i sin 3 3 Lời giải √ Ta có z − 3iz − = ⇔  π π z1 = cos + i sin 3i 3 ã  Å √ ⇒ 2π 2π z2 = −1 + 3i z2 = cos + i sin 3 z1 = + √ √ π VÍ DỤ Viết số phức z dạng lượng giác, biết |z − 1| = |z − i 3| iz có acgument ã Å π π 2π 2π ĐS: z = cos + i sin z = cos + i sin 3 3 "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 99 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX Lời giải Gọi z = a + bi (với a, b ∈ R) Ta có √ √ √ √ √ √ |z −1| = |z −i 3| ⇔ |(a−1)+bi| = |a+(b− 3)i| ⇔ (a−1)2 +b2 = a2 +(b− 3)2 ⇔ 2a−1 = 3(2b− 3) ⇔ a = 3b−1 √ √ b π b Ta lại có iz = b + ⇒ √ = cos ⇒ √ = ⇒ b2 = 3a2 ⇒ b = ± 3a 2 2 a +b a +b √ √ √ π π 3 ⇒z= + i = cos + i sin Với b = 3a, ta có a = 3a − ⇒ a = Do b = 2 2 3 √ √ Å ã √ 2π 1 2π 3 cos Với b = − 3a, ta có a = −3a − ⇒ a = − Do b = ⇒z=− + i= + i sin 4 4 3 Å ã π 2π π 2π Vậy z = cos + i sin z = cos + i sin 3 3 z+3 π có acgument z−3 √ √ √ √ 3±3 3±3 −3 ± 3 ∓ 3 ĐS: z = − i z = + i 2 2 VÍ DỤ Tìm số phức z, biết |1 − 2z| = |i − 2z| Lời giải Gọi z = a + bi (với a, b ∈ R) Ta có |1 − 2z| = |i − 2z| ⇔ |(1 − 2a) − 2bi| = | − 2a + (2b + 1)i| ⇔ (2a − 1)2 + 4b2 = 4a2 + (2b + 1)2 ⇔ 4a − = −4b − ⇔ a = −b Ta lại có (a + 3) + bi [(a + 3) + bi][(a − 3) − bi] (a2 + b2 − 9) − 6bi z+3 = = = Suy z−3 (a − 3) + bi (a − 3)2 + b2 (a − 3)2 + b2 2a2 − ⇔ (2a2 − 9)2 = 36a2 ⇔ 2a2 − = ±6a (2a2 − 9)2 + 36a2 √ 3±3 2 Với 2a − = 6a ⇔ 2a − 6a − = ⇔ a = √ √ √ √ 3+3 3+3 3+3 3+3 – Nếu a = b = − ⇒z= − i 2√ 2√ 2√ 2√ 3−3 3−3 3−3 3−3 – Nếu a = b = − ⇒z= − i 2 2 √ −3 ± 3 Với 2a2 − = −6a ⇔ 2a2 + 6a − = ⇔ a = √ √ √ √ −3 + 3 3−3 −3 + 3 − 3 – Nếu a = b = ⇒z= + i √ 2√ √ 2√ −3 − 3 3+3 −3 − 3 + 3 – Nếu a = b = ⇒z= + i 2 2 √ √ √ √ −3 ± 3 ∓ 3 3±3 3±3 − i z = + i Vậy có số phức thỏa mãn z = 2 2 cos π = VÍ DỤ Tìm số phức z, biết |z| = |2z − √ + i| 1− (1 + i)z π √ √ có acgument − + (1 + 3)i √ ĐS: z = + i Lời giải Gọi z = a + bi (với a, b ∈ R) Ta có √ √ √ √ |z| = |2z− 3+i| ⇔ |a+bi| = |(2a− 3)+(−2b+1)i| ⇔ a2 +b2 = (2a− 3)2 +(2b−1)2 ⇔ 3a2 +3b2 −4 3a−4b+4 = (1) Ta lại có (1 + i)z √ √ − + (1 + 3)i = = = Trang 100 [(1 + i)(a + bi)][1 − √ √ − (1 + 3)i] √ √ [(a − b) + (a + b)i][1 − − (1 + 3)i] √ √ (a + 3b) + (− 3a + b)i "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX √ √ √ π − 3a + b − 3a + b √ √ Suy tan − = ⇒ −√ = ⇒ a = 3b a + 3b a + 3b Thay vào (1) ta √ 9b2 + 3b2 − 12b2 − 4b + = ⇔ b = ⇒ a = √ Vậy z = + i VÍ DỤ Tìm số phức z thỏa mãn |z − 1| = |z − 3| acgument z − acgument z + cộng √ π với ĐS: z = + i Lời giải Gọi z = a + bi (với a, b ∈ R) Ta có |z − 1| = |z − 3| ⇔ |(a − 1) + bi| = |(a − 3) + bi| ⇔ (a − 1)2 + b2 = (a − 3)2 + b2 ⇔ 2(2a − 4) = ⇔ a = Lại có z − = (a − 3) + bi z + = (a + 3) + bi Gọi ϕ1 , ϕ2 acgument z − z + Theo đề ta có ϕ1 = ϕ2 + π π ⇔ sin ϕ1 = sin ϕ2 + 2 ⇔ sin ϕ1 = cos ϕ2 Do b = (a − 1)2 + b2 a+3 b ⇔√ =√ ⇔ 2 1+b 25 + b2 (a + 3) + b b>0 b 25 + b2 = + b2 ⇔b= √ √ Vậy z = + i √ VÍ DỤ Cho số phức z thỏa mãn |z| + (1 + i 3)z = Hãy tìm mơ-đun số phức w = z + z + z 123 ĐS: |w| = Lời giải Gọi z = a + bi (với a, b ∈ R) Ta có √ √ √ √ |z| + (1 + i 3)z = ⇔ a2 + b2 + (1 + i 3)(a + bi) = ⇔ ( a2 + b2 + a − b 3) + (a + b)i = √ √ a2 + b2 + a − b = a2 + b2 + a − b = Do ⇔ √ √ b+a 3=0 b = −a  ñ a = (thỏa mãn a ≥ 0) 6a = (nếu a ≥ 0)  Suy 2|a| + 4a = ⇔ ⇔ 2a = (nếu a ≤ 0) a = (không thỏa mãn a ≤ 0) √ √ 3 π π Với a = b = − ⇒z= − i = cos − + i sin − Khi 2 2 3 Å ã Å ã Å ã Å ã √ π π 2π 2π 123π 123π w = cos − + i sin − + cos − + i sin − + cos − + i sin − = −1 − 3i ⇒ |w| = 3 3 3 Vậy |w| = √ VÍ DỤ Tìm acgument âm lớn số phức z = (1 + i 3)10 ĐS: ϕ = − 2π Lời giải √ å Å ã √ π π 10π 10π + i = cos + i sin ⇒ (1 + i 3)10 = 210 cos + i sin 2 3 3 10π Ta thấy + k2π < ⇒ k < − Vì k ∈ Z nên k = −2, −3, Do đó, acgument âm lớn số phức 3 √ 10 2π z = (1 + i 3) − √ √ VÍ DỤ Tìm số phức z thỏa mãn |z + + i 3| = có acgument dương nhỏ ĐS: z = −3 √ Ta có + i = Ç Lời giải "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 101 PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX y Gọi z = a + bi (với a, b ∈ R) Ta có √ √ √ |z + + i 3| = ⇔ (a + 3)2 + (b + 3)2 = −3 x Gọi M điểm biểu √ diễn số phức z, √ M (a; b) nằm đường trịn tâm I(−3;√− 3) có bán kính R = Dễ thấy đường trịn tâm I bán kính R = tiếp xúc với trục hồnh điểm M0 (−3; 0) # » Vì acgument z góc tạo OM tia Ox nên điểm biểu diễn số phức có acgument dương nhỏ trùng với điểm M0 , hay z = −3 Ç VÍ DỤ Tìm số ngun dương n thỏa mãn z = O I √ ån 3−i √ số thực − 3i √ − ĐS: n = 6k, ≤ k ∈ Z Lời giải √ √ √ √ √ √ 3−i 3−i ( − i)(1 + i 3) 3 + 2i π π √ = Ta có √ = = = + i = cos + i sin 4 2 6 −Ç3i 1√− å i n nπ nπ 3−i = cos + i sin Suy z = √ 6 − 3i nπ nπ Do đó, để z số thực sin =0⇔ = kπ ⇔ n = 6k Do n ∈ N∗ nên k ≥ (k ∈ Z) 6 ån Ç√ ã Å 3−i − i n+2 √ số thực số phức z2 = số ảo Hãy tìm số ngun VÍ DỤ 10 Cho số phức z1 = − 3i 1−i dương n nhỏ ĐS: n = 12 Lời giải Ç√ ån √ √ √ √ √ 3−i 3−i ( − i)(1 + i 3) + 2i π π nπ nπ √ = √ Ta có = = + i = cos + i sin ⇒ z1 = = cos + i sin 4 2 6 6 1−i − 3i nπ nπ Do đó, để z số thực sin =0⇔ = kπ ⇔ n = 6k (k ∈ N∗ ) (1) 6 Å ã n+2 √ 5−i (5 − i)(2 + 3i) 13 + 13i π (n + 2)π (n + 2)π π Mà = = = + i = cos + i sin ⇒ z2 = 2 cos + i sin − 3i 13 13 4 4 (n + 2)π (n + 2)π π Để z2 số ảo cos =0⇔ = + kπ ⇔ n = 4k (k ∈ N∗ ) (2) 4 Từ (1) (2) suy số nguyên dương nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán n = 12 Ç VÍ DỤ 11 Cho số phức z thỏa mãn z − 2z + = Tìm số phức w = å7 √ 1+ 3−z 2+z √ ±π ±π ĐS: w = cos + i sin 12 12 Lời giải √ Ta có z − 2z + = ⇔ z = ± i √ Với z = + i 3, ta có √ √ √ √ √ √ 1−i (1 − i)( − i) 1+ 3−z 3−i 3 − − i(1 + 3) √ =√ = = = z1 = 2+z 4 3+i 3+i π π √ tan + tan 1+ = tan π + π = tan 7π Suy √ = Gọi ϕ acgument số phức z1 , tan ϕ = π π 12 1− − tan tan 7π ϕ= Từ ta có 12 √ Å Å ã √ Å ã ã √ √ 7π 7π 7π 7π 49π 49π π π z1 = ·2 cos + i sin = cos + i sin ⇒ w = cos + i sin = cos + i sin 12 12 12 12 12 12 12 12 Trang 102 "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX √ Với z = − i 3, ta có √ √ √ √ √ √ 3+i 1+i (1 + i)( + i) − + i(1 + 3) 1+ 3−z √ =√ = z2 = = = 2+z 4 3−i 3−i π π √ ã Å tan + tan 1+ = − tan π + π = tan − 7π √ =− Gọi ϕ acgument số phức z2 , tan ϕ = − π π 12 1− − tan tan 7π Suy ϕ = − Từ ta có 12 √ Å √ Å ã ã √ −7π −49π −π −7π −49π −π z2 = · cos ⇒ w = cos = cos + i sin + i sin + i sin 12 12 12 12 12 12 √ ±π ±π + i sin Vậy có số phức thỏa mãn w = cos 12 12 √ VÍ DỤ 12 Cho số phức z thỏa mãn 2|z| + 3iz = − z Tìm số phức w = z 2012 + √ 3 ĐS: w = − − i z 2013 2 Lời giải Gọi z = a + bi (với a, b ∈ R) Ta có 2|z| + √ √ √ √ 3iz = − z ⇔ a2 + b2 + i 3(a + bi) = − (a + bi) ⇔ (2 a2 + b2 − b 3) + a 3i = (4 − a) − bi √ √ a2 + b2 − b = − a a2 + b2 − b = − a Do ⇔ √ √ a = −b b = −a ñ 2a = (nếu a ≥ 0) Suy |a| + a = ⇔ ⇒ a = (thỏa mãn a ≥ 0) = (nếu a ≤ 0) √ √ √ 3 1 π π 1 π π Với a = b = − ⇒z= − i = cos − i sin = + i = cos + i sin Khi 2 2 3 z 2 3 √ 2012π 2013π 2013π 2π 2π 2012π w = cos − i sin + cos + i sin = cos − i sin + cos π + i sin π = − − i 3 3 3 2 √ 3 Vậy w = − − i 2 VÍ DỤ 13 Tìm phần thực phần ảo số phức sau √ z = ( + i)8 ĐS: Re(z) = − (1 + i)10 ( + i)9 √ , Im(z) = 29 29 ĐS: Re(z) = 0, Im(z) = −214 z= √ Lời giải √ π π Ta có + i = cos + i sin 3 √ Vậy Re(z) = − , Im(z) = 2 ⇒z= Ç √ å ã Å 8π 8π 1 cos + i sin = − + i 3 2 2 Ta có (1 + i)2 = 2i ⇒ (1 + i)10 = (2i)5 = 32i, Å ã √ √ π π 9π 9π 3+i= cos + i sin ⇒ ( + i) = cos + i sin = − 3 3 (1 + i)10 Do z = √ = −214 i ⇒ Re(z) = 0, Im(z) = −214 ( + i)9 "Toán học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates Trang 103 PAGE TỐN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX VÍ DỤ 14 Tìm phần thực phần ảo số phức sau w = z 2014 + 1 biết z + = z 2014 z ĐS: Re(z) = −1, Im(z) = (1 + i)2012 ( + i)2011 ĐS: Re(z) = −23016 , Im(z) = 23016 · z= √ √ Lời giải √ 1 π π Ta có z + = ⇔ z − z + = ⇔ z = ± i = cos ± i sin z 2 3 π π 2014π 2014π 2014π 2014π + i sin ⇒ w = cos + i sin + cos − i sin = −1 3 3 3 Do Re(z) = −1, Im(z) = π π 2014π 2014π 2014π 2014π Với z = cos − i sin ⇒ w = cos − i sin + cos + i sin = −1 3 3 3 Do Re(z) = −1, Im(z) = Với z = cos Ta có (1 + i)2 = 2i ⇒ (1 + i)2012 = (2i)1006 = −21006 , Ç √ å Å ã √ √ π π 2011π 2011π 1 2011 3+i= cos + i sin ⇒ ( + i) = 2011 cos + i sin = 2011 + i 3 3 2 (1 + i)2012 = −23017 Do z = √ ( + i)2011 Trang 104 Ç √ å √ √ − i = −23016 + 23016 · 3i ⇒ Re(z) = −23016 , Im(z) = 23016 · 2 "Tốn học mơn thể dục trí tuệ "–Isocrates ... (b − d)i Số phức đối của số phức z = a + bi −z = −a − bi Do đó, z + (−z) = (−z) + z = VÍ DỤ Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = + 7i Tìm phần thực, phần ảo mơ-đun số phức w = z1 + z2 số phức w = z2... i| = 22 + (−1) = Vậy phần thực số phức z 2, phần ảo −1, số phức liên hợp z = + i Nhận xét Khi toán u cầu tìm thuộc tính số phức (phần thực, phần ảo, mô-đun số phức liên hợp) mà đề cho √ giả thiết... + (2 − i) = − i Vậy số phức w cần tìm w = − i BÀI Nhóm tốn tìm số phức z thỏa mãn biểu thức số phức số thực, số ảo |z| = ñ √ phần thực lần phần ảo ĐS: z =2+i z = −2 − i Lời giải Gọi z = a + bi,