Hướng dẫn giải bài toán cực trị số phức lương đức trọng file word có lời giải chi tiết image marked

CỰC TRỊ SỐ PHỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bất đẳng thức tam giác: • z1 + z2  z1 + z2 , dấu "="  z1   =  kz2 với k ≥ • z1 - z2  z1 + z2 , dấu "="  z1   =  kz2 với k ≤ • z1 + z2  • z1 - z2  z1 - z2 , dấu "="  z1   =  kz2 với k ≤ z1 - z2 , dấu "="  z1   =  kz2 với k ≥ ( 2 Công thức trung tuyến: z1 + z + z1 − z = z1 + z 2 ) Tập hợp điểm: • |z − (a + bi)| = r: Đường tròn tâm I(a; b) bán kính r • z − (a1 + b1i ) = z − (a2 + b2i ) : Đường trung trực AB với A (a1;b1 ),(a2 ;b2 ) • z − (a1 + b1i ) + a2 + b2i ) = 2a : – Đoạn thẳng AB với A ( a1; b1 ) , B( a2 ; b2 ) 2a = AB – Elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn 2a 2a >AB Đặc biệt |z + c| + |z − c| = 2a: Elip (E): x2 y2 + = với b = a2 − c y b2 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Phương pháp đại số VÍ DỤ (Sở GD Hưng Yên 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 2i| = Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ |z + + i| Tính S = M + m A S = 34 B S = 82 C S = 68 D S = 36 LỜI GIẢI Ta có  z + + i  + = M = z + + i − ( + 3i )  z + + i − + 3i = z + + i −    z + + i  − = m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi S = M + m = 68 Đáp án C VÍ DỤ (Sở GD Hà Tĩnh 2017) Trong số phức z thỏa mãn |z − (2 + 4i)| = 2, gọi z z số phức có mơ đun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z z A 8i B C -8 D LỜI GIẢI Ta có ≥ ||z| − |2 + 4i|| = ||z| − | ⇒ − ≤ |z| ≤ + Do Giá trị lớn |z| − z = k(2 + 4i) với (k − 1) = ⇒ k = +   z1 =  +  (2 + 4i )   Giá trị nhỏ |z| − z = k(2 + 4i) với (k − 1) = ⇒ k = - Do   z2 =  1−  (2 + 4i ) )    Như vậy, tổng hai phần ảo z1,z2 4 +      + 1−  = 5  5 Đáp án D VÍ DỤ (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn | z + 4| = 2|z| Kí hiệu M = max |z|, m = |z| Tìm mơ đun số phức w = M + mi A w = B w = C w = D w = LỜI GIẢI Ta có 2 z  z −  z − z −   z  1+ = M 2 z  − z  z − z −   z  −1+ = m Vậy w = M + m2 = Đáp án A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word VÍ DỤ (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc 2017) Trong số phức z thỏa mãn 2z + z = z − i , tìm số phức có phần thực không âm cho z −1 đạt giá trị lớn A z = i + B z = i C z = i + D z = i + 8 LỜI GIẢI Gọi z = a + bi (a ≥ 0) z = a − bi Khi 9a2 + b = a2 + (b − 1)2  2b = − 8a2  b = Ta có z −1 = − 4a2 lớn z = a2 + b nhỏ z  3 7 1  z = a +  − 4a2  = 16a4 − 3a2 + =  4a2 −  +   z    64 64 2  2  a= a = 32 Vậy z = + i Do số phức z cần tìm thỏa mãn  8 b = − 4a2 =  Đáp án D Phương pháp hình học VÍ DỤ (THPT Phan Bội Châu-Đăk Lăk 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z −3−4i|= Mô đun lớn số phức z là: A B C D LỜI GIẢI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(3; 4) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do max |z| = OI + r = + = Đáp án B VÍ DỤ (THPT Đồng Quan-Hà Nội 2017,THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam 2017) Trong số phức z thỏa mãn |z − − 4i| = |z − 2i| Tìm số phức z có mơ đun nhỏ A z = − 2i B z = + i C z = + 2i D z = − i LỜI GIẢI điểm z thỏa mãn giả thiết đề Gọi A(2; 4), B(0; 2), tập hợp đường trung trực d AB có phương trình x + y − = Khi |z| = OM nhỏ M hình chiếu O d H(2; 2) Đáp án C VÍ DỤ (THPT Trần Phú-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| + |z − 3| = 10 Giá trị nhỏ |z| A B C D LỜI GIẢI Gọi A(−3; 0), B(3; 0) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến z = MO = MA + MB AB − Ta có (MA + MB )2 MA + MB  = 50 2 Do m= 50 36 − = 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy z = Đáp án B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phương pháp đại số BÀI (Sở GD Long An 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 3i| = Tìm giá trị lớn |z| A + B C + 13 13 13 − D BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Tìm giá trị lớn |z| biết −2 − 3i z + = − 2i A B C D BÀI (THPT Nguyễn Huệ-Huế 2017 L2, Hà Huy Tập-Hà Tĩnh 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn z − i = Tìm giá trị lớn |z| A 2` B C 2 D BÀI (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3) Xác định số phức z thỏa mãn z − − 2i = mà |z| đạt giá trị lớn A + i C + 3i B + i D + 3i BÀI (THPT Yên Khánh A-Ninh Bình 2017,THPT Kim Liên-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 3i| = Giá trị nhỏ |z + + i| A 13 − B C D 13 + BÀI (THPT Đống Đa-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn z + 2z + = z + − i Biểu thức |z| có giá trị lớn A +1 B C 2+2 D −1 BÀI (THPT Hùng Vương-Phú Thọ 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = |(1 + i)z| Đặt m = |z|, tìm giá trị lớn m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word +1 A B −1 C BÀI (THPT Chuyên Lào Cai 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn z + D 4i = Gọi M, m lần z lượt giá trị lớn nhỏ |z| Tính M + m? A B C 13 D BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn  z1 + − 4i = 1    z + − i = Tính tổng Giá trị lớn Giá trị nhỏ biểu thức z1 − z2 A 18 C B D BÀI 10 (Sở GD Điện Biên 2017,Gia Lộc-Hải Dương 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ Đặt A = 2z − Mệnh đề đúng? + iz A |A| < B |A| ≤ C |A| ≥ D |A| > BÀI 11 (Sở GD Hải Dương 2017) Cho số phức z thỏa mãn z z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z + 3z + z z + z A 15 B C 13 D BÀI 12 (Chuyên Ngoại Ngữ-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |z + 1| + 2|z − 1| A maxT = C max = B maxT = 10 D maxT = BÀI 13 (Sở GD Bắc Ninh 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |z + 1| + 3|z − 1| A maxT = 10 C max = B maxT = 10 D maxT = BÀI 14 (Chu Văn An-Hà Nội 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − = Tìm giá trị lớn T = |z + i| + |z − − i| A maxT = B maxT = C max = D maxT = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Phương pháp hình học BÀI 15 (Sở GD Đà Nẵng 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − + 2i| = Mô đun lớn số phức z là: 14 + A B 15(14 − 5) C 14 − D 15(14 + 5) BÀI 16 (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn |z−1−2i| = Tìm giá trị nhỏ |z| A C B D −1 BÀI 17 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3) Cho số phức z, w thỏa mãn |z − + 2i| = |z + 5i|, w = iz + 20 Giá trị nhỏ m |w| A m = 10 B m = 10 C m = 10 BÀI 18 (THPT Cổ Loa-Hà Nội 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn z + D m = 10 − i = z + + 2i 2 Biết biểu thức Q = |z − − 4i| + |z − − 6i| đạt giá trị nhỏ z = a + bi (a, b ∈ R) Tính P = a − 4b A P = −2 B P = 1333 272 C P = −1 D P = 691 272 BÀI 19 (THPT Cao Nguyên-Dăk Lăk 2017) Cho số phức z thỏa mãn iz + 2 = Gọi M m Giá trị lớn Giá trị nhỏ |z| + iz + 1− i i −1 Tính M.m A Mm = C Mm = 2 B Mm = D Mm = BÀI 20 (Lương Đức Trọng 2017) Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10 Gọi M, m tương ứng giá trị lớn nhỏ |z| Tính M + m A 35 15 B 80 C 50 11 D 30 7 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word BÀI 21 (THPT Thăng Long-Hà Nội 2017 L2) Cho z số phức thay đổi thỏa mãn z − + z + = Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N điểm biểu diễn z z Tính giá trị lớn diện tích tam giác OMN A B C D 2 BÀI 22 (THPT Chun Hồng Văn Thụ-Hòa Bình 2017 L3) Cho z1, z hai nghiệm phương trình |6 − 3i + iz| = |2z − − 9i| thỏa mãn z1 − z = A 31 B 56 | Giá trị lớn z1 + z2 C D D LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN GIẢI BÀI TẬP Ta có    z − 2  +  3i = z − 13  z  + 13 Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có 1 −2 − 3i −2 − 3i z −1= z − = z −  z  − 2i − 2i Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có 2  z − i = z −  z   z  Đáp án D GIẢI BÀI TẬP Ta có  z − + 2i = z − 2  z  Dấu "=" z = k(2 + 2i) với 2k − 2  k = Vậy k = + 3i Đáp án C GIẢI BÀI TẬP Ta có |z + + i| = |z + − i| = |(z − − 3i) + (3 + 2i)| ≥ ||z − − 3i| − |3 + 2i|| = 13 − http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy min z + + i = 13 − Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có z + 1− i = z + 2z + = (z + 1)2 − i = z + − i z + + i = z + − i    z + 1+ i = • Nếu z = i − z = • Nếu |z + + i| = ≥ |z| − |1 + i| = |z| − Do |z| ≤ + Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có |z − 1| = 2|z| ≤ |z| + ⇒ |z| ≤ Do max |z| = Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có 2 z  z −  z − z −   z  1+ = M 2 z  − z  z + z −   z  −1+ = m Vậy M + m = Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có z1 − z2 = (z1 + − 4i ) − (z2 + − i ) + (3 + 3i )  z1 + − 4i + z2 + − i + + 3i = + = max z1 − z2 = (z1 + − 4i ) − (z2 + − i ) + (3 + 3i )  + 3i − z1 + − 4i − z2 + − i = − = Do tổng Giá trị lớn Giá trị nhỏ Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 10 Ta có 2A + Aiz = 2z − i  (2 − Ai )z = 2A + i  z = 2A + i − Ai Đặt A = a + bi Suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word | z   2A + i  − Ai  4a2 + (2b + 1)2  a2 + (b + 2)2  3a2 + 3b   A = a2 + b  Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 11 Ta có 2 z + 3z + z = z 3.z + 3z z + z = z + + z = (z + z )2 + Suy 1 3  P = (z + z ) + − (z + z ) =  z + z −  +  2 4  Vậy giá trị nhỏ P Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 12 Áp dụng cơng thức trung tuyến ta có 2 1+ z +1 + z −1 = z + =4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T  ( z + + z − )(12 + 22 ) = 20 T  Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 13 Áp dụng cơng thức trung tuyến ta có 2 z +1 + z −1 = z + 1+ 2 =4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T  ( z + + z − )(12 + 32 ) = 40  T  10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 14 Áp dụng công thức trung tuyến ta có z +1 + z − 2− i 2 = z −1 + + 2i 2 =8 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T  ( z + + z − )(12 + 12 ) = 16  T  10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 15 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do max |z| = OI + r = + Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 16 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do |z| = OI − r = − Đáp án D GIẢI BÀI TẬP 17 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi A (1; −2), B (0; −5), tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiêt đề đường trung trực d AB có phương trình x + 3y + 10 = Ta có |w| = |iz + 20| = |z − 20i| = OM với M điểm biểu diễn số phức z C(0; 20) Do |w| = d(C.∆) = 10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 18     A  − ;2  , B  − ; −2  ,     Gọi tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiêt đề đường trung trực d AB có phương trình x−4y + = Xét hai điểm M(2; 4), N(4; 6) Q = IM + IN với I ∈ d Do Q nhỏ I  58 28  ;−   17 17  giao điểm M0N với M '  62 24  62 24  + i ;  , ứng với z = 17 17  17 17  điểm đối xứng M qua d Vậy I  Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 19 Ta có  iz + 2 + iz + = 2iz = z  M = 1− i i −1 Theo giả thiết số phức z thỏa mãn z+ 2 + z+ =  z + 1− i + z − 1+ i = i (i − 1) i (i − 1) Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo công thức trung tuyến 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word z = MO = MA + MB AB − Ta có (MA + MB )2 MA + MB  =8 2 Do 8 − = 2 m= Vậy Mn = 2 Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 20 Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo công thức trung tuyến MA + MB AB z = MO = − 2 Theo giả thiết 4MA + 3MB = 2 Đặt a = MA  MB = MA − MB = 10 − 7a 10 − 4a Do  AB =  −6  10 − 7a   16 a 7 Ta có  10 − 4a  25a − 80a + 100 ( 5a − 8) + 36 MA + MB = a +  = =  9   2 Do − 2 36 34 11296  5a −    (5a − 8)2  Suy 7 49 • MA + MB  nên z   z  = m 1296 + 36 340 121 = z  =M • MA + MB  49 49 49 Vậy M + m = 60 49 Đáp án C 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word GIẢI BÀI TẬP 21 Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy N biểu diễn số phức z M, M0 đối xứng qua Ox Diện tích tam giác OMN SOMN = xy Do z − + z + = nên tập hợp M biểu diễn x Elip (E): x2 y2 + = Do xy x2 y2 x2 y2 1= + 2 =  SOMN = xy  2 8 2 Đáp án D 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... Trong số phức z thỏa mãn |z − (2 + 4i)| = 2, gọi z z số phức có mơ đun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z z A 8i B C -8 D LỜI GIẢI Ta có ≥ ||z| − |2 + 4i|| = ||z| − | ⇒ − ≤ |z| ≤ + Do Giá trị. .. liệu file word VÍ DỤ (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc 2017) Trong số phức z thỏa mãn 2z + z = z − i , tìm số phức có phần thực khơng âm cho z −1 đạt giá trị lớn A z = i + B z = i C z = i + D z = i + 8 LỜI... liệu file word Vậy z = Đáp án B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phương pháp đại số BÀI (Sở GD Long An 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 3i| = Tìm giá trị lớn |z| A + B C + 13 13 13 − D BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái