Hướng dẫn giải bài toán cực trị số phức lương đức trọng

Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) CỰC TRỊ SỐ PHỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bất đẳng thức tam giác: • |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, dấu "=" z1 = kz2 với k ≥ • |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, dấu "=" z1 = kz2 với k ≤ • |z1 + z2 | ≥ ||z1 | − |z2 ||, dấu "=" z1 = kz2 với k ≤ • |z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 ||, dấu "=" z1 = kz2 với k ≥ Công thức trung tuyến: |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ) Tập hợp điểm: • |z − (a + bi)| = r: Đường tròn tâm I(a; b) bán kính r • |z − (a1 + b1 i)| = |z − (a2 + b2 i)|: Đường trung trực AB với A(a1 ; b1 ), B(a2 ; b2 ) • |z − (a1 + b1 i)| + |z − (a2 + b2 i)| = 2a: – Đoạn thẳng AB với A(a1 ; b1 ), B(a2 ; b2 ) 2a = AB – Elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn 2a 2a > AB √ x2 y Đặc biệt |z + c| + |z − c| = 2a: Elip (E) : + = với b = a2 − c2 a b B CÁC DẠNG BÀI TẬP Phương pháp đại số VÍ DỤ (Sở GD Hưng Yên 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 2i| = Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ |z + + i| Tính S = M + m2 A S = 34 B S = 82 C S = 68 D S = 36 LỜI GIẢI Ta có √ = |z + + i − (3 + 3i)| ≥ ||z + + i| − |3 + 3i|| = ||z + + i| − 2| ⇒ √ |z + + i| ≤ + = M √ |z + + i| ≥ − = m Khi S = M + m2 = 68 Đáp án C VÍ DỤ (Sở GD Hà Tĩnh 2017) Trong số phức z thỏa mãn |z − (2 + 4i)| = 2, gọi z1 z2 số phức có mô đun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z1 z2 A 8i B C −8 D https://www.facebook.com/luong.d.trong LỜI GIẢI Ta có √ √ √ ≥ ||z| − |2 + 4i|| = ||z| − 5| ⇒ − ≤ |z| ≤ + √ √ Giá trị lớn |z| − z = k(2 + 4i) với (k − 1) = ⇒ k = + √ Do z1 = 1+ √ (2 + 4i) √ √ Giá trị nhỏ |z| − z = k(2 + 4i) với (1 − k) = ⇒ k = − √ Do z2 = 1− √ (2 + 4i) Như vậy, tổng hai phần ảo z1 , z2 + √ Đáp án D +4 1− √ = VÍ DỤ (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn |z + 4| = 2|z| Kí hiệu M = max w = M + mi √ mô đun số phức √ √ √ |z|, m = |z| Tìm B |w| = C |w| = D |w| = A |w| = LỜI GIẢI Ta có 2|z| ≥ |z|2 − ⇔ |z|2 − 2|z| − ≤ ⇒ |z| ≤ + √ 2|z| ≥ − |z|2 ⇔ |z|2 + 2|z| − ≥ ⇒ |z| ≥ −1 + √ √ Vậy |w| = M + m2 = Đáp án A = M √ = m VÍ DỤ (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc 2017) Trong số phức z thỏa mãn |2z +z| = |z −i|, −1 tìm số phức √ có phần thực không âm cho |z | đạt giá √ trị lớn √ i i i i A z = + B z = C z = + D z = + 2 8 LỜI GIẢI Gọi z = a + bi (a ≥ 0) z = a − bi Khi √ 9a2 + b2 = Ta có |z −1 | = a2 + (b − 1)2 ⇔ 2b = − 8a2 ⇔ b = − 4a2 √ lớn |z| = a2 + b2 nhỏ |z| √ 7 |z|2 = a2 + = 16a4 − 3a2 + = 4a2 − + ≥ ⇒ |z| ≥ 64 64  √ √  a2 = ⇒ a = 6 i 32 + Do số phức z cần tìm thỏa mãn Vậy z = 1  8 b = − 4a2 = Đáp án D − 4a2 2 Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) Phương pháp hình học VÍ DỤ (THPT Phan Bội Châu-Đăk Lăk 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 4i| = Mô đun lớn số phức z là: A B C D LỜI GIẢI y N I M x O Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(3; 4) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do max |z| = OI + r = + = Đáp án B VÍ DỤ (THPT Đồng Quan-Hà Nội 2017,THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam 2017) Trong số phức z thỏa mãn |z − − 4i| = |z − 2i| Tìm số phức z có mô đun nhỏ A z = − 2i K B z = + i C z = + 2i D z = − i LỜI GIẢI y A I B H x O Gọi A(2; 4), B(0; 2), tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiết đề đường trung trực d AB có phương trình x + y − = Khi |z| = OM nhỏ M hình chiếu O d H(2; 2) Đáp án C VÍ DỤ (THPT Trần Phú-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| + |z − 3| = 10 Giá trị nhỏ |z| A B C D LỜI GIẢI Gọi A(−3; 0), B(3; 0) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo công thức trung tuyến |z|2 = M O2 = M A2 + M B AB − https://www.facebook.com/luong.d.trong Ta có M A2 + M B ≥ (M A + M B)2 = 50 Do m= 50 36 − = 4 Vậy |z| = Đáp án B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phương pháp đại số BÀI (Sở GD Long An 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 3i| = Tìm giá trị lớn |z| √ √ √ √ A + 13 B 13 C + 13 D 13 − BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Tìm giá trị lớn |z| biết −2 − 3i z + = − 2i A √ B C D BÀI (THPT Nguyễn Huệ-Huế 2017 L2, Hà Huy Tập-Hà Tĩnh 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn |z − i| = Tìm giá √ trị lớn |z| √ √ A B C 2 D BÀI (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3) Xác định số phức z thỏa mãn |z − √ − 2i| = mà |z| đạt giá trị lớn A z = + i B z = + i C z = + 3i D z = + 3i BÀI (THPT Yên Khánh A-Ninh Bình 2017,THPT Kim Liên-Hà Nội 2017) Cho số phức z √ thỏa mãn |z − − 3i| = Giá trị nhỏ |z + + i| √ A 13 − B C D 13 + BÀI (THPT Đống Đa-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z + 2z + 2| = |z + − i| Biểu thức √ |z| có giá trị lớn √ √ B C + D − A + BÀI (THPT Hùng Vương-Phú Thọ 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = |(1 + i)z| √ Đặt m = |z|, tìm giá trị lớn m √ √ A + B C − D BÀI (THPT Chuyên Lào Cai 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn z + giá trị lớn nhỏ √ |z| Tính√M + m? A B C 13 4i = Gọi M, m z D √ Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + − 4i| = |z2 + − i| = Tính tổng Giá trị lớn Giá √ √ trị nhỏ biểu thức |z1 − z2 | A 18 B C D BÀI 10 (Sở GD Điện Biên 2017,Gia Lộc-Hải Dương 2017 L2) Cho số phức z thỏa 2z − i mãn |z| ≤ Đặt A = Mệnh đề đúng? + iz A |A| < B |A| ≤ C |A| ≥ D |A| > BÀI 11 (Sở GD Hải Dương 2017) Cho số phức z thỏa mãn z.z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = |z + 3z + z| − |z + z| 15 13 B C D A 4 BÀI 12 (Chuyên Ngoại Ngữ-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu √ √ √ thức T = |z + 1| + 2|z√− 1| B max T = 10 C max T = D max T = A max T = BÀI 13 (Sở GD Bắc Ninh 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu thức T √ = |z + 1| + 3|z − 1| √ √ A max T = 10 B max T = 10 C max T = D max T = √ BÀI 14 (Chu Văn An-Hà Nội 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = Tìm giá trị lớn √ √ T = |z + i| + |z − − i| B max T = C max T = D max T = A max T = Phương pháp hình học BÀI 15 (Sở GD Đà Nẵng 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − + 2i| = Mô đun lớn số phức z là: √ √ 15(14 − 5) 15(14 + 5) √ √ A 14 + B C 14 − D 5 BÀI 16 (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn |z −1−2i| = Tìm giá√trị nhỏ |z| √ B C D − A BÀI 17 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3) Cho số phức z, w thỏa mãn |z − + 2i| = |z + √ 5i|, w = iz + 20 Giá trị nhỏ m |w| là√ √ √ 10 10 A m = B m = 10 C m = D m = 10 2 − 2i = z + + 2i 2 Biết biểu thức Q = |z − − 4i| + |z − − 6i| đạt giá trị nhỏ z = a + bi (a, b ∈ R) Tính P = a − 4b 1333 691 C P = −1 D P = A P = −2 B P = 272 272 BÀI 18 (THPT Cổ Loa-Hà Nội 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn z + https://www.facebook.com/luong.d.trong BÀI 19 (THPT Cao Nguyên-Dăk Lăk 2017) Cho số phức z thỏa mãn iz + + 1−i = Gọi M m Giá trị lớn Giá trị nhỏ |z| Tính i−1 M.m √ √ D M m = A M m = B M m = C M m = 2 iz + BÀI 20 (Lương Đức Trọng 2017) Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10 Gọi M, m tương √ ứng giá trị lớn nhỏ |z| Tính M + m 35 80 50 30 A B C D 15 11 BÀI 21 (THPT Thăng Long-Hà Nội 2017 L2) Cho z số phức thay đổi thỏa mãn √ |z − 2| + |z + 2| = Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N điểm biểu diễn z z Tính giá trị lớn diện tích tam√giác OM N √ √ A B C D 2 BÀI 22 (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2017 L3) Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình |6 − 3i + iz| = |2z − − 9i| thỏa mãn |z1 − z2 | = Giá trị lớn |z1 + z2 | √ 56 31 B C A D 5 D LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN GIẢI BÀI TẬP Ta có ≥ |z| − |2 + 3i| = |z| − √ √ 13 ⇒ |z| ≤ + 13 Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có 1≥ −2 − 3i −2 − 3i z −1= |z| − = |z| − ⇒ |z| ≤ − 2i − 2i Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có ≥ |z | − |i| = |z|2 − ⇒ |z|2 ≤ ⇒ |z| ≤ Đáp án D GIẢI BÀI TẬP Ta có √ √ √ ≥ |z| − |2 + 2i| = |z| − 2 ⇒ |z| ≤ √ √ √ Dấu "=" z = k(2 + 2i) với 2k − 2 = ⇒ k = Vậy k = + 3i Đáp án C GIẢI BÀI TẬP Ta có |z + + i| = |z + − i| = |(z − − 3i) + (3 + 2i)| ≥ ||z − − 3i| − |3 + 2i|| = √ Vậy |z + + i| = 13 − Đáp án A √ 13 − Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) GIẢI BÀI TẬP Ta có z+1−i=0 |z + + i| = |z + 2z + 2| = |(z + 1)2 − i2 | = |z + − i|.|z + + i| = |z + − i| ⇔ • Nếu z = i − |z| = √ • Nếu |z + + i| = ≥ |z| − |1 + i| = |z| − √ Do |z| ≤ + √ Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có |z − 1| = 2|z| ≤ |z| + ⇒ |z| ≤ Do max |z| = Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có 2|z| ≥ |z|2 − ⇔ |z|2 − 2|z| − ≤ ⇒ |z| ≤ + √ 2|z| ≥ − |z|2 ⇔ |z|2 + 2|z| − ≥ ⇒ |z| ≥ −1 + √ Vậy M + m = Đáp án B = M √ = m GIẢI BÀI TẬP Ta có √ |z1 − z2 | = |(z1 + − 4i) − (z2 + − i) + (3 + 3i)| ≤ |z1 + − 4i| + |z2 + − i| + |3 + 3i| = + = max √ |z1 − z2 | = |(z1 + − 4i) − (z2 + − i) + (3 + 3i)| ≥ |3 + 3i| − |z1 + − 4i| − |z2 + − i| = − = √ Do tổng Giá trị lớn Giá trị nhỏ Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 10 Ta có 2A + Aiz = 2z − i ⇔ (2 − Ai)z = 2A + i ⇒ z = 2A + i − Ai Đặt A = a + bi Suy |z| ≤ ⇒ |2A + i| ≤ |2 − Ai| ⇔ 4a2 + (2b + 1)2 ≤ a2 + (b + 2)2 ⇔ 3a2 + 3b2 ≤ ⇒ |A| = Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 11 Ta có |z + 3z + z| = |z z + 3z.z + z | = |z + + z | = |(z + z)2 + 1| Suy P = (z + z) + − (z + z) = Vậy giá trị nhỏ P Đáp án C z+z− 2 + 3 ≥ 4 √ a2 + b2 ≤ https://www.facebook.com/luong.d.trong GIẢI BÀI TẬP 12 Áp dụng công thức trung tuyến ta có |z + 1|2 + |z − 1|2 = 2|z|2 + |1 + 1|2 = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki √ T ≤ (|z + 1|2 + |z − 1|2 )(12 + 22 ) = 20 ⇒ T ≤ Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 13 Áp dụng công thức trung tuyến ta có |1 + 1|2 |z + 1| + |z − 1| = 2|z| + = 2 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki √ T ≤ (|z + 1|2 + |z − 1|2 )(12 + 32 ) = 40 ⇒ T ≤ 10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 14 Áp dụng công thức trung tuyến ta có |z + i|2 + |z − − i|2 = 2|z − 1|2 + |2 + 2i|2 = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki T ≤ (|z + 1|2 + |z − 1|2 )(12 + 12 ) = 16 ⇒ T ≤ Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 15 y M x O I N Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do √ max |z| = OI + r = + Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 16 N y I M x O Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do √ K |z| = OI − r = − Đáp án D GIẢI BÀI TẬP 17 y A x H B C Gọi A (1; −2) , B (0; −5), tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiêt đề đường trung trực d AB có phương trình x + 3y + 10 = Ta có |w| = |iz + 20| = |z − 20i| = CM √ với M điểm biểu diễn số phức z C(0; 20) Do |w| = d(C.∆) = 10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 18 N y M A I x M B Gọi A − ; , B − ; −2 , tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiêt đề đường trung 2 trực d AB có phương trình x − 4y + = Xét hai điểm M (2; 4), N (4; 6) Q = IM + IN 58 28 với I ∈ d Do Q nhỏ I giao điểm M N với M ;− 17 17 62 24 62 24 điểm đối xứng M qua d Vậy I ; , ứng với z = + i 17 17 17 17 Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 19 Ta có ≥ iz + 2 + iz + = |2iz| = 2|z| ⇒ M = 1−i i−1 Theo giả thiết số phức z thỏa mãn z+ 2 + z+ = ⇔ |z + − i| + |z − + i| = i(1 − i) i(i − 1) https://www.facebook.com/luong.d.trong Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo công thức trung tuyến M A2 + M B AB |z|2 = M O2 = − Ta có (M A + M B)2 M A2 + M B ≥ =8 Do 8 √ m= − = 2 √ Vậy M m = 2 Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 20 Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo công thức trung tuyến |z|2 = M O2 = M A2 + M B AB − √ 10 − 4a Do Theo giả thiết 4M A + 3M B = 2 Đặt a = M A ⇒ M B = |M A − M B| = |10 − 7a| 16 ≤ AB = ⇒ −6 ≤ 10 − 7a ≤ ⇔ ≤ a ≤ 7 Ta có 2 MA + MB = a + Do − 10 − 4a = (5a − 8)2 + 36 25a2 − 80a + 100 = 9 36 34 1296 ≤ 5a − ≤ ⇒ ≤ (5a − 8)2 ≤ Suy 7 49 • M A2 + M B ≥ nên |z|2 ≥ ⇒ |z| ≥ = m 1296 + 36 340 121 11 • M A2 + M B ≤ 49 = ⇒ |z|2 ≤ ⇒ |z| ≤ = M 49 49 49 60 Vậy M + m = 49 Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 21 y M x A O B N Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy N biểu diễn số phức z M, M đối xứng 10 Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) qua Ox Diện tích tam giác OM N SOM N = |xy| √ x2 y Do |z − 2| + |z + 2| = nên tập hợp M biểu diễn z Elip (E) : + = Do 1= x2 y + ≥2 √ x2 y |xy| = √ ⇒ SOM N = |xy| ≤ 2 2 Đáp án D 11 ... https://www.facebook.com/luong.d.trong BÀI 19 (THPT Cao Nguyên-Dăk Lăk 2017) Cho số phức z thỏa mãn iz + + 1−i = Gọi M m Giá trị lớn Giá trị nhỏ |z| Tính i−1 M.m √ √ D M m = A M m = B M m = C M m = 2 iz + BÀI 20 (Lương Đức Trọng. .. 49 49 49 60 Vậy M + m = 49 Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 21 y M x A O B N Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy N biểu diễn số phức z M, M đối xứng 10 Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) qua... M, m z D √ Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + − 4i| = |z2 + − i| = Tính tổng Giá trị lớn Giá √ √ trị nhỏ biểu