Bài toán cực trị số phức

1 CỰC TRỊ SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC √ Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − − i | + |z + + 3i | = Giá trị lớn |z − − 3i | √ A 5 √ B √ C √ D Hướng dẫn giải √ √ Ta có |z − − i | + |z + + 3i | = ⇔ MA + MB = với M ( x; y) M biểu diễn số phức z = x + yi, A(1; 1) biểu diễn số phức + i, B(−1; −3) biểu diễn số phức −1 − 3i √ Khi điểm M nằm elip tâm I có độ dài trục lớn A, B C A I M B hai tiêu điểm • |z − − 3i | = MC với C (2; 3) biểu diễn số phức + 3i √ # » • AB = (−2; −4) ⇒ AB = √ # » • AC = (1; 2) ⇒ AC = # » # » # » # » • Vì AB = −2 AC nên AB, AC ngược hướng AB = 2AC Gọi M điểm√nằm elip cho A, B, M thẳng hàng M khác phía A so với B √ − AB = Ta có BM = Ta thấy MC ≤ M C với điểm M nằm elip Do MC lớn M ≡ M √ √ √ √ Khi MC = M C = CA + AB + BM = + + = 5 Chọn đáp án A Câu Cho số phức z thỏa mãn |z + 1| + |z − − 4i | = 10 Giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = |z − + 2i | √ A Pmin = 17 B Pmin = √ 34 √ C Pmin = 10 √ D Pmin = Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi, điểm biểu diễn z M ( x; y) Khi |z + 1| + |z − − 4i | = 10 ⇔ MA + MB = 10 với A(−1; 0) B(3; 4) Suy M thuộc elip có độ dài trục lớn 10 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = hai tiêu điểm A, B √ √ √ # » Mà AB = (4; 4) ⇒ AB = ⇒ 2c = ⇒ c = 2 Ta có P = |z − + 2i | = ( x − 1)2 + (y − 2)2 = MH 34 2 Với H (1; 2) Dễ thấy A, B, H thẳng hàng nên H thuộc đoạn AB Do Pmin ⇔ MH ngắn M thuộc trục nhỏ elip √ √ Khi độ dài MH nửa trục nhỏ hay MH = b = a2 − c2 = 17 Chọn đáp án A Câu Cho số phức z, w thỏa mãn |z − + 3i | = 3, |iw + + 2i | = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |3iz + 2w| √ A 554 + √ B 578 + 13 C √ 578 + D √ 554 + 13 Hướng dẫn giải A Ta có |z − + 3i | = ⇔ O I B 3iz − 15i − = ⇔ |3iz − − 15i | = 3i −i (−2w − + 8i ) = ⇔ | − 2w − + 8i | = Gọi A B điểm biểu diễn 3iz −2w, A B thuộc đường tròn tâm √ O(9; 15) bán kính đường tròn I (4; −8) bán kính Ta tính OI = 554 |iw + + 2i | = ⇔ Khi T = |3iz + 2w| = |3iz − (−2w)| = AB √ √ Do IO = 554 > + nên hai đường tròn ngồi nhau, suy ABmax = AO + OI + IB = 554 + 13 Chọn đáp án D √ Câu Xét số phức z thỏa mãn |iz − 2i − 2| − |z + − 3i | = 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = |(1 + i )z + 2i | A Pmin = √ 17 Hướng dẫn giải √ B Pmin = √ C Pmin = D Pmin = √ 26 Giả sử số phức z có dạng z = a + bi, z có biểu diễn hình học điểm M( a; b) Khi √ √ (1) |iz − 2i − 2| − |z + − 3i | = 34 ⇔ (b + 2)2 + ( a − 2)2 − ( a + 1)2 + (b − 3)2 = 34 √ Gọi điểm A(2; −2), B(−1; 3) ta có AB = 34 Kết hợp với (1) ta suy MA − MB = AB ⇒ Điểm M trùng với điểm B B trung điểm MA Ta xét hai trường hợp sau: • TH1: M trùng B ⇒ M(−1; 3) Suy P= ( a − b )2 + ( a + b + 2)2 = √ √ 32 = • TH2: B trung điểm MA ⇒ M(−4; 8) Suy P= ( a − b )2 + ( a + b + 2)2 = √ √ 180 = √ Suy ra, P = Chọn đáp án C z − 2i Câu Cho số phức z thỏa mãn = Giá trị nhỏ |z + − 2i | z+3−i √ √ √ √ 10 10 A B 10 C 10 D 5 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi với x, y ∈ R z − 2i = ⇔ |z − 2i | = |z + − i | ⇔ | x + (y − 2)i | = |( x + 3) + (y − 1)i | ⇔ 3x + y + = z+3−i Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d : 3x + y + = Ta có |z + − 2i | = |z − (−3 + 2i )|, với M0 (−3; 2) √ 10 | − + + 3| √ =√ = |z + − 2i | đạt giá trị nhỏ d( M0 , d) = 9+1 10 Chọn đáp án A √ Câu Cho số phức z, w thỏa mãn |z| = 5, w = (4 − 3i )z + − 2i Giá trị nhỏ |w| √ A √ B √ C 5 √ D Hướng dẫn giải w − + 2i Theo giả thiết ta có w = (4 − 3i )z + − 2i ⇒ z = − 3i √ √ √ w − + 2i Nên |z| = ⇔ = ⇔ |w − + 2i | = 5 − 3i √ Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn I (1; −2) bán kính R = 5 √ Ta có OI = 12 + (−2)2 = < R √ √ √ Do |w| = R − OI = 5 − = Chọn đáp án B Câu Cho số phức z thỏa mãn |z − + 4i | = Mô-đun lớn z A B C D Hướng dẫn giải Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa |z − + 4i | = đường tròn có tâm I (3; −4) bán kính R = Suy max |z| = IO + R = Chọn đáp án A Câu Cho số phức z thỏa mãn |z − − 3i | + |z − + 2i | = √ 34 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức |z + + 2i | Khi tổng M + m √ √ 30 30 30 A √ + 34 B √ + C 34 + D √ + 34 34 34 Hướng dẫn giải y Đặt z = x + yi với x, y ∈ R A Gọi I ( x; y) điểm biểu diễn số phức z Ta có A(2; 3), B(5; −2), C (−1; −2) điểm biểu diễn số √ phức z1 = + 3i, z2 = − 2i, z3 = −1 − 2i Khi AB = 34 |z + + 2i | = CI Theo đề AI + BI = √ I x O 34 = AB nên I thuộc đoạn thẳng AB B C Phương trình đường thẳng AB 5x + 3y − 19 = |5 · (−1) + · (−2) − 19| 30 √ =√ 34 52 + 32 CI đạt giá trị lớn nhất I trùng với điểm đầu mút đoạn thẳng AB √ Mặt khác CA = 34 CB = CI đạt giá trị nhỏ CI ⊥ AB hay CI = d(C, AB) = Vậy giá trị lớn CI 30 Do M = 6, m = √ 34 30 Vì M + m = √ + 34 Chọn đáp án D Câu Cho số phức z1 z2 thỏa mãn điều kiện |z1 − i | = |z1 − + i | |z2 − 1| = |z2 + 2i | Tìm giá trị nhỏ √ biểu thức P = |√ z1 − z2 | + | z1 − 3| + | z2 − 3|? √ 4 A Pmin = B Pmin = C Pmin = Hướng dẫn giải √ D Pmin = Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z1 = a + bi, z2 = c + di ( a, b, c, d ∈ R) Ta có • |z1 − i | = |z1 − + i | ⇔ a2 + (b − 1)2 = ( a − 1)2 + (b + 1)2 ⇔ 2a − 4b − = ⇒ M di động đường thẳng d1 : 2x − 4y − = • |z2 − 1| = |z2 + 2i | ⇔ (c − 1)2 + d2 = c2 + (d + 2)2 ⇔ 2c + 4d + = ⇒ N di động đường thẳng d2 : 2x + 4y + = Ta có P = |z1 − z2 | + |z1 − 3| + |z2 − 3| = MN + MA + N A với A(3; 0) ( a − c )2 + ( b − d )2 + ( a − 3)2 + b2 + ( c − 3)2 + d2 = d2 A2 N H2 A M H1 d1 A1 Gọi A1 đối xứng với A qua đường thẳng d1 ; A2 đối xứng với A qua đường thẳng d2 , ta có MN + MA + N A = MN + MA1 + N A2 ≥ A1 A2 Đẳng thức xảy bốn điểm M, N, A1 , A2 thẳng hàng Gọi ∆1 đường thẳng qua điểm A vng góc với d1 , ta có phương trình đường thẳng ∆1 2x + y − =   x = Gọi H1 = ∆1 ∩ d1 ⇒ tọa độ điểm H1 nghiệm hệ phương trình ⇔  2x + y − =  y =   2x − 4y − = ; ⇒ A1 (2; 2) Gọi ∆2 đường thẳng qua điểm A vng góc với d2 , ta có phương trình đường thẳng ∆2 ⇒ H1 2x − y − =  21  x = 10 Gọi H2 = ∆2 ∩ d2 ⇒ tọa độ điểm H2 nghiệm hệ phương trình ⇔   2x − y − =  y = −9 21 18 ⇒ H2 ;− ⇒ A2 ;− 10 5 2 √ 18 Vậy Pmin = A1 A2 = − + − − = 5 Chọn đáp án D √ Câu 10 Cho số phức w, z thỏa mãn |w + i | = 5w = (2 + i )(z − 4) Giá trị lớn biểu thức P = |z − − 2i | + |z − − 2i | √ √ √ √ A 13 B + 13 C 53 D   2x + 4y + = Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có: √ 5i = ⇔ |z − + 2i | = |5w + 5i | = ⇔ |(2 + i )(z − 4) + 5i | = ⇔ z − + 2+i |2 + i | √ √ Gọi M( a; b) điểm biểu diễn số phức z, suy M thuộc đường tròn ( T ) tâm I (3; −2) bán kính R = Gọi A(1; 2), B(5; 2) E(3; 2) trung điểm AB Ta có P = MA + MB Khi P2 = ( MA + MB)2 2( MA2 + MB2 ) = 4ME2 + AB2 Nhận thấy E nằm ngồi đường tròn ( T ), gọi D giao điểm tia đối tia IE đường tròn ( T ) suy ME y A E B ED, với M thuộc ( T ) # » #» Mặt khác ta có: AB = (4; 0), IE = (0; 4) ⇒ AB ⊥ IE ⇒ DE = R + IE = + = ⇒ P2 4ME2 + AB2 4DE2 + AB2 = · 49 + 16 = 212 √ ⇒ P 53, dấu “=” xảy M ≡ D √ Vậy giá trị lớn biểu thức Pmax = 53 O −2 x I D Chọn đáp án C Câu 11 Có số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: |z − 10 + 2i | = |z + − 14i | |z − − 10i | = 5? A Vô số B Một C Không D Hai Hướng dẫn giải Gọi M( x; y) điểm biểu diễn số phức z Từ điều kiện ban đầu ta có hệ phương trình     ( x − 10)2 + (y + 2)2 = ( x + 2)2 + (y − 14)2  3x − 4y + 12 = ⇔   ( x − 1)2 + (y − 10)2 = 25  ( x − 1)2 + (y − 10)2 = Để ý đường thẳng 3x − 4y + 12 = tiếp xúc với đường tròn ( x − 1)2 + (y − 10)2 = 25, nên hệ có cặp nghiệm ( x; y), suy có số phức thỏa yêu cầu đề Chọn đáp án B Câu 12 Cho số phức z thoả điều kiện |z + 2| = |z + 2i | Giá trị nhỏ biểu thức P = |z − − 2i | + |z − − 4i | + |z − − 6i | √ √ viết dạng a + b 17 / với a, b hữu tỉ Giá trị a + b A Hướng dẫn giải B C D y C B M A M O −1 A x −1 Cách • Đặt E(−2; 0), F (0; −2), A(1, 2), B(3, 4), C (5, 6), M( x, y) biểu diễn cho số phức z • Từ giả thiết, ta có M thuộc đường trung trực ∆ : y = x đoạn EF P = AM + BM + CM • Ta chứng minh điểm M hình chiếu vng góc B lên đường thẳng ∆ – Với M tuỳ ý thuộc ∆, M khác M Gọi A điểm đối xứng A qua ∆ Nhận thấy ba điểm A , M, C thẳng hàng – Ta có AM + BM + CM = A M + BM + CM Mà A M + CM > A C = A M + CM = AM + CM Lại có BM > BM Do AM + BM + CM > AM + BM + CM Cách • Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ R) Từ giả thiết |z + 2| = |z + 2i |, dẫn đến y = x Khi z = x + xi • P= ( x − 1)2 + ( x − 2)2 + ( x − 3)2 + ( x − 4)2 + ( x − 5)2 + ( x − 6)2 • Sử dụng bất đẳng thức a2 + b2 + Dấu đẳng thức xảy ( x − 1)2 + ( x − 2)2 + c2 + d2 ( a + c )2 + ( b + d )2 a b = Ta có c d ( x − 5)2 + ( x − 6)2 = ( x − 1)2 + ( x − 2)2 + (5 − x )2 + (6 − x )2 ( x − + − x )2 + ( x − + − x )2 √ Dấu đẳng thức xảy 34 x−1 x−2 = ⇔x= 6−x 5−x • Mặt khác (x − 3)2 + (x − 4)2 2x2 = − 14x + 25 = √ x− 2 + √ Dấu đẳng thức xảy x = √ + 17 √ • Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ P Khi a + b = Chọn đáp án A Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − + 2i | = √ Khi số phức w = z + + i có mơđun lớn |w|max √ B |w|max = A |w|max = 20 Hướng dẫn giải Ta có |z − + 2i | = √ ⇔ |w − + i | = √ w = − 2i Vậy |w|max = √ C |w|max = √ | w | − |2 − i | = | w | − √ D |w|max = 5 √ ⇒ |w| √ 5, dấu ” = ” xảy Chọn đáp án B Câu 14 Cho hai số phức z1 , z2 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện |z − 1| = √ 34 |z + + mi | = |z + m + 2i | m ∈ R, cho |z1 − z2 | lớn Khi giá trị |z1 + z2 | √ √ A B 130 C D 10 Hướng dẫn giải √ Đặt z = x + yi, x, y ∈ R |z − 1| = 34 suy biểu diễn z thuộc đường tron tâm I (1; 0), bán kính √ 34, |z + + mi | = |z + m + 2i | ⇔ (2m − 2) x + (4 − 2m)y + = (d) nên biểu diễn z thuộc 3 cố định đường thẳng d, dễ thấy d điểm K − ; − 2 y N I x K M Biểu diễn z1 , z2 giao điểm đường tròn tâm I đường thẳng d, dễ thấy |z1 − z2 | lớn d qua I, z1 = −4 − 3i, z2 = + 3i |z1 + z2 | = Chọn đáp án C Câu 15 Cho số phức z thỏa mãn |2z − − 4i | = 10 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ |z| Khi M − m A B 15 C 10 D 20 Hướng dẫn giải Giả sử số phức z = x + iy với x, y ∈ R điểm M ( x; y) điểm biểu diễn số phức z Khi |2z − − 4i | = 10 ⇔ |2 ( x + yi ) − − 4i | = 10 ⇔ |(2x − 3) + (2y − 4) i | = 10 suy (2x − 3)2 + (2y − 4)2 = 100 ⇔ x− Do tập hợp điểm M thuộc đường tròn (C ) có tâm I 3 ;2 2 + (y − 2)2 = 25 bán kính R = 5 suy O nằm đường tròn (C ) 15 5 Do max |z| = OI + I M = + = |z| = I M − OI = − = 2 2 15 − = Vậy M − m = 2 Chọn đáp án A Mà |z| = OM, O gốc tọa độ Do OI = + 22 = Câu 16 Xét số phức z thoả mãn |z + − i | + |z − + i | = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = |z + + 4i | A B 2+ √ D 5− C √ Hướng dẫn giải I Ta nhận thấy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn |z + − i | + |z − + i | = đường elíp ( E) có độ dài trục lớn 2a = 6, trục nhỏ 2b = với A(−1; 1) B(3; −1) hai đỉnh M trục lớn Xét điểm I (−1; 4) nằm ngồi elíp ( E) I nằm đường trung trực đoạn AB A O B Ta có P = |z + + 4i | = MI với điểm M ∈ ( E) Từ suy giá trị nhỏ P d( I, AB) − b = − = Chọn đáp án A Câu 17 Trong mặt phẳng phức, xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M, M ; số phức z(4 + 3i ) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N, N Biết M, M , N, N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ |z + 4i − 5| A √ B √ C √ D √ 34 13 Hướng dẫn giải 10 y Đặt z = a + bi Khi z(4 + 3i ) = 4a − 3b + (3a + 4b)i Theo tính chất đối xứng MNN M hình thang cân Do # » để MNN M hình chữ nhật MN phương với trục Ox O Ta có −3a − 4b = N 3a + 4b hay 3a + 3b = ⇔ b = − a |z + 4i − 5| = M b M( a; b); M ( a; −b), N (4a − 3b; 3a + 4b), N (4a − 3b; −3a − 4b) # » MN = (3a − 3b; 3a + 3b) a 4a − 3b x N ( a − 5)2 + ( b + 4)2 ( a − 5)2 + (− a + 4)2 = 2a2 − 18a + 41 −b M = a− + 2 ≥ √ 9 Dấu xảy a = hay z = − i 2 9 Vậy giá trị nhỏ |z + 4i − 5| √ z = − i 2 Chọn đáp án A Câu 18 Cho số phức z w thỏa mãn z + w = + 4i |z − w| = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |z| + |w| √ A max T = 176 B max T = 14 C max T = Hướng dẫn giải Đặt z = a + bi (a, b ∈ R); w = c + di (c, d ∈ R) Ta có |z + w| = |3 + 4i | = ⇔ |( a + bi ) + (c + di )| = ⇔ |( a + c) + (b + d)i | = ⇔ ( a + c)2 + (b + d)2 = 25 |z − w| = ⇔ |( a + bi ) − (c + di )| = ⇔ |( a − c) + (b − d)i | = ⇔ ( a − c)2 + (b − d)2 = 81 D max T = √ 106 37 √ Ta có H = |z + − 2i | + | − z + − 4i | ≥ |z + − 2i − z + − 4i | = |6 − 6i | = √ Đặt w = z − − i ⇒ |w| = 2 Đặt w = a + bi ta có a2 + b2 = ⇒ ( a + b)2 ≤ 2( a2 + b2 ) = 16 ⇒ a + b ≤ Ta có H = |w + − i | + |w − + 5i | = ( a + 5)2 + ( b − 1)2 + ( a − 1)2 + ( b + 5)2 ⇒ H ≤ (1 + 1)[( a + 5)2 + (b − 1)2 + ( a − 1)2 + (b + 5)2 ] ⇒ H ≤ 2(2a2 + 2b2 + 8( a + b) + 52) ≤ 2(2 · + · + 52) = 200 √ √ Do H ≤ 10 Vậy M + m = 16 Chọn đáp án B Câu Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện |z − − 4i | = |z + 2|2 − |z − i |2 đạt giá trị lớn Môđun số phức z − − i √ A B C 25 Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi, (∀ x, y ∈ R) ⇒ |z − − 4i | = √ ⇔ ( x − 3)2 + ( y − 4)2 = √ biểu thức M = D (1) Ta có: M = | z + 2|2 − | z − i |2 = ( x + 2)2 + y2 − x2 − (y − 1)2 = 4x + 2y + = 4( x − 3) + 2(y − 4) + 23 √ 20 ( x − 3)2 + (y − 4)2 + 23 = 33  Dấu x = y = ⇒ z = + 5i x−3 = kết hợp với (1) suy  y−4 x = 1, y = ⇒ z = + 3i = 33 ⇔ z = + 5i ⇒ |z − − i | = = xảy khi Thử lại ta có Mmax Chọn đáp án D Câu Cho số phức z thoả mãn |z − − 4i | = Mô-đun số phức z √ A 10 B √ biểu thức P = |z + 2|2 − |z − i |2 đạt giá trị lớn C 13 D √ 10 Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi với x, y ∈ R gọi M( x; y) điểm biểu diễn z Oxy, ta có √ |z − − 4i | = ⇔ ( x − 3)2 + (y − 4)2 = Và P = |z + 2|2 − |z − i |2 = ( x + 2)2 + y2 − x2 − (y − 1)2 = 4x + 2y + √ ⇒ P = 4x + 2y + = [4( x − 3) + 2(y − 4)] + 23 ≤ 42 + 22 · ( x − 3)2 + (y − 4)2 + 23 = 33   x=5     x−3 = y−4 = t  Dấu “=” xảy ⇔ y=5    4( x − 3) + 2(y − 4) = 10    t = 0,5 √ Vậy P đạt giá trị lớn z = + 5i ⇒ |z| = Chọn đáp án B 38 Câu Cho số phức z thỏa mãn |z| = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu √ thức P = |z + 1| + |z2 − √ z + 1| Giá trị M · √ m 13 13 3 A B C Hướng dẫn giải √ 3 D Đặt t = |z + 1| ≤ |z| + = nên t ∈ [0; 2] Vì |z| = nên z · z¯ = 1, suy P = |z + 1| + |z2 − z + z · z¯ | = |z + 1| + |z + z¯ − 1| Ta lại có t2 = |z + 1|2 = (z + 1)(z¯ + 1) = + (z + z¯ ) nên z + z¯ = t2 − Vậy P = f (t) = t + |t2 − 3|, với t ∈ [0; 2] Ta viết lại hàm số f (t) sau:  √  t2 + t − ≤ t ≤ f (t) =  − t2 + t + ≤ t < √3 Ta có f (t) =   2t + √ 3≤t ⇔ a <  √  max f ( a) = + 21 a = cos t = ⇒ f ( a) đồng biến [−1; 1] ⇒ √  f ( a) = −1 + 21 a = cos t = −1 √ Vậy M + m = 21 Chọn đáp án C Câu 10 Cho số phức z = a + bi, ( a, b ∈ R) thỏa mãn (z − z¯ ) − 15i = i (z + z¯ − 1)2 Tính P = − a + 4b z − + 3i đạt giá trị nhỏ A P = B P = C P = D P = Hướng dẫn giải Ta có (z − z¯ ) − 15i = i (z + z¯ − 1)2 ⇔ 4(2bi ) − 15i = i (2a − 1)2 ⇔ 8b − 15 = (2a − 1)2 ⇔ Từ (1) suy 2b − Ta có a− = 2b − 15 (1) 15 15 ≥0⇔b≥ z− + 3i Xét hàm số f (b) = b2 + 8b + a− = 21 15 ; +∞ + (b + 3)2 = b2 + 8b + ta có bảng biến thiên 15 b f (b) 21 +∞ + +∞ f (b) f 15 40 Từ bảng biến thiên suy z − 15 + 3i đạt giá trị nhỏ b = , a = 15 Vậy P = − a + 4b = − + · = Chọn đáp án A Câu 11 Cho số phức z = cos 2α + (sin α − cos α)i với α ∈ R Giá trị lớn |z| √ A B C D Hướng dẫn giải Ta có |z| = cos2 2α + (sin α − cos α)2 = − sin2 2α + − sin α cos α = − sin2 2α − sin 2α = − sin 2α + 2 ≤ Dấu xảy sin 2α = − Vậy giá trị lớn |z| 2 Chọn đáp án B Câu 12 Trong số phức z thỏa mãn |z − + i | = |z + − 2i |, số phức z có mơ-đun nhỏ −3 3 −3 3 A B C D − i + i + i − i 10 10 10 10 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) |z − + i | = |z + − 2i | ⇔ | x + yi − + i | = | x − yi + − 2i | ⇔ ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = ( x + 1)2 + ( y + 2)2 ⇔ −2x + + 2y + = 2x + + 4y + ⇔ 4x + 2y = −3 ⇒ (4x + 2y)2 = ⇒ ≤ (42 + 22 )( x2 + y2 ) ⇒ |z| ≥ √     2x + y = −3 x = − Vậy z = − − i Đẳng thức xảy x ⇔ y  =  10 y = − 10 Chọn đáp án C Câu 13 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 6i |z1 − z2 | = Tìm giá trị lớn P = | z1 | + | z2 | √ A Pmax = 26 B Pmax = 104 √ C Pmax = 32 + Hướng dẫn giải Ta có |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 ≥ (|z1 | + |z2 |)2 √ D Pmax = 41 √ Suy P = |z1 | + |z2 | ≤ 26, dấu xảy   17 19   z = + i   z = z | | | |     5    23 11 z1 + z2 = + 6i ⇔ + i z1 =     5      | z1 − z2 | =  z = + 6i − z √ Vậy Pmax = 26 Chọn đáp án A Câu 14 Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 1| = (a, b ∈ R) số phức có mơ-đun nhỏ Tính S = 2a + b B −4 A z+z + , gọi số phức z = a + bi D −2 C Hướng dẫn giải z+z Ta có |z + 1| = + ⇔ ( a + 1)2 + b2 = ( a + 3)2 ⇔ b2 = 4a + √ √ Lại có |z| = a2 + b2 = a2 + 4a + nhỏ a = −2 ⇒ b = Vậy S = 2a + b = −4 Chọn đáp án B Câu 15 Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ Giá trị nhỏ P = 2|z + 1| + 2|z − 1| + |z − z − 4i | √ A + B 2+ √ 14 C 4+ √ 15 D 2+ √ 15 Hướng dẫn giải Giả sử z = x + yi với x, y ∈ R Ta có |z| ≤ ⇔ x2 + y2 ≤ Suy x, y ∈ [−2; 2] Khi P=2 ( x + 1)2 + y2 + ( x − 1)2 + y2 + 2| y − 2| = ( x + 1)2 + y2 + (1 − x )2 + y2 + 2| y − 2| Bằng phép biến đổi tương đương với ý | x | ≥ x, ta có: Với số thực a, b, c, d, a2 + b2 + c2 + d2 ≥ ( a + c )2 + ( b + d )2 ; dấu “=” xảy ad = bc ≥ Áp dụng bất đẳng thức với a = x + 1, c = − x, b = d = y tính chất giá trị tuyệt đối ta có P≥2 ( x + + − x )2 + (y + y)2 + 2(2 − y) = + y2 − 2y + 1 + y2 − 2y + liên tục [−2; 2] Ta có f (y) = ⇔ y = ± √ ∈ [−2; 2] √ √ √ 1 10 Ta có f (2) = 5, f (−2) = + 8, f √ = + 3, f − √ = + √ Suy f (y) = [−2;2] 3 √ 4+2 = f √ Xét hàm số f (y) = 42 √ Khi P ≥ f (y) ≥ + 3,   x =   ( x + 1) y = y (1 − x ) ≥     2−y ≥ ⇔ ∀y ∈ [−2; 2] Dấu xảy ⇔     y = √ √ Vậy giá trị nhỏ P +  y = √ Chọn đáp án A Câu 16 Trong số phức z thỏa mãn |z − + i | = |z + − 4i | Tìm phần thực số phức có mơ-đun nhỏ A −1 B −2 C D Hướng dẫn giải Giả sử z = x + yi với x; y ∈ R, ta có |z − + i | = |z + − 4i | ⇔ ( x − 2)2 + ( y + 1)2 = Ta có |z| = x + y2 = ( x + 1)2 + (y + 4)2 ⇔ x = −2 − y (2 + y )2 + y2 = 2y2 + 4y + = ( y + 1)2 + ≥ √ Dấu xảy y = −1 ⇒ x = −1 Chọn đáp án A Câu 17 Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M, M Số phức z(4 + 3i ) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N, N Biết M, M , N, N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ |z + 4i − 5| A √ B √ C √ 34 Hướng dẫn giải D √ 13 Đặt z = a + bi Khi đó, điểm M, M , N, N có tọa độ M( a, b), M ( a, −b), N (4a − 3b, 3a + 4b), N (4a − 3b, −3a − 4b) Vì M, M , N, N đỉnh hình chữ nhật nên có trường hợp xảy • Trường hợp 1: Tứ giác MM N N hình chữ nhật • Trường hợp 2: Tứ giác MM NN hình chữ nhật Ta có P = |z + 4i − 5| = |z − (5 − 4i )| Đặt K (5; −4) Khi P = | MK | Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật Vì M đối xứng với M qua trục Ox, N đối xứng với N qua trục Ox nên I thuộc trục Ox hay điểm I có tung độ Trường hợp 1: Tứ giác MM N N hình chữ nhật Tung độ điểm I nên −3a − 3b = ⇔ a + b = Do điểm M thuộc đường thẳng d1 : x + y = Đoạn MK ngắn có độ dài khoảng cách từ điểm K đến đường thẳng d1 |5 · − · 1| √ =√ 12 + 12 43 Trường hợp 2: Tứ giác MM NN hình chữ nhật Tương tự trường hợp 1, ta điểm M thuộc đường thẳng d2 : 3x + 5y = Đoạn thẳng MK ngắn |3 · + · (−4)| √ có độ dài =√ 2 34 +5 Vậy giá trị nhỏ |z + 4i − 5| = √ Chọn đáp án B Câu 18 Gọi M m giá trị lớn nhỏ P = M thỏa mãn |z| ≥ Tính tỉ số m M M = = A B m m Hướng dẫn giải C z+i , với z số phức khác z M = m D M = m Với z số phức khác thỏa mãn |z| ≥ 2, ta có z+i 1 |z + i | | z | + |i | = ≤ = 1+ ≤ 1+ = z 2 |z| |z| |z| 3 Rõ ràng z = 2i P = Do M = 2 • P= 1 z+i ||z| − |i || |z + i | ≥ = 1− ≥ 1− = = z 2 |z| |z| |z| 1 Rõ ràng z = −2i P = Do m = 2 • P= M = = Như vậy: m Chọn đáp án B Câu 19 Trong số phức z có phần ảo dương thỏa mãn z2 + = |z|, gọi z1 z2 số phức có mơ-đun nhỏ lớn Khi mơ-đun số phức w = z1 + z2 √ √ √ A |w| = 2 B |w| = C |w| = D |w| = + Hướng dẫn giải z2 + = | z | ⇔ z2 + ⇔ | z |2 = z2 + ⇔ z2 + = | z |2 z2 + z2 + = 4z · z ⇔ (z · z)2 + z2 + z2 + − 4z · z = ⇔ ( z + z )2 + ( z · z )2 − ( z · z ) + = ⇔ ( z + z )2 + | z |4 − | z |2 + = ⇔ | z |4 − | z |2 + = − ( z + z )2 ≤ √ √ ⇒ − 2 ≤ | z |2 ≤ + 2 √ √ ⇒ − ≤ |z| ≤ + 44  √  | z1 | = − Do Dấu “=” xảy √  |z | = +   z =     √      | z1 | = −       z1 = √ | z2 | = + ⇔      z =   z+z =         z2 = √ 2−1 i √ − i (loại) √ = 2 ⇒ w = z + z | | | | √ 2+1 i √ − + i (loại) Chọn đáp án A Câu 20 Trong số phức z thỏa mãn |z + − 5i | = |z + − i |, giả sử số phức có mơ-đun nhỏ a có dạng z = a + bi Khi S = bao nhiêu? b 1 A B C D 3 Hướng dẫn giải Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi Khi |z + − 5i | = |z + − i | ⇔( a + 1)2 + (b − 5)2 = ( a + 3)2 + (b + 1)2 ⇔ a + 3b − = ⇔ a = − 3b Do |z| = = Đẳng thức xảy b = a = b Chọn đáp án Vậy S = B a2 + b2 = √ (4 − 3b)2 + b2 = 12 10b − √ 10 + 10b2 − 24b + 16 16 ≥√ 10 10 ⇒ a = Suy |z| = √ 5 10 √ Câu 21 Cho số phức z thỏa mãn |(1 + i )z + 2| + |(1 + i )z − 2| = Gọi m = max |z|, n = |z| số phức w = m + ni Tính |w|2018 A 41009 B 51009 C 61009 Hướng dẫn giải • Chia hai vế đẳng thức giả thiết cho |1 + i |, ta = |z − + i | + |z + − i | ≥ |z − + i + z + − i | D 21009 45 = 2| z |, √ hay |z| ≤ 2, đẳng thức xảy z = 2(1 − i ) Do m = • Giả sử z = x + yi, với x, y ∈ R Suy 16 = [|z + − i | + |z − + i |]2 = (x − 1)2 + ( y + 1)2 + (x + 1)2 + ( y − 1)2 ≤ ( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( x + 1)2 + ( y − 1)2 = 2x2 + 2y2 + , suy x2 + y2 ≥ 2, hay |z| ≥ √ 2, dấu xảy z = + i Do n = √ √ Vậy w = 2i, suy |w| = 61009 Chọn đáp án C Câu 22 Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R) có mơ-đun nhỏ thỏa mãn điều kiện |z − − 2i| = |z − 2| Tính P = x2 + y2 A 32 B 16 C D 10 Hướng dẫn giải Ta có |z − − 2i| = |( x − 4) + (y − 2) i| = Tương tự |z − 2| = |( x − 2) + yi| = ( x − 4)2 + ( y − 2)2 ( x − 2)2 + y2 Do giả thiết ta có |z − − 2i| = |z − 2| ⇔ ( x − 4)2 + ( y − 2)2 = ( x − 2)2 + y2 ⇔ ( x − 4)2 + ( y − 2)2 = ( x − 2)2 + y2 ⇔ x2 − 8x + 16 + y2 − 4y + = x2 − 4x + + y2 ⇔ x + y − = ⇔ y = − x Khi P = x2 + (4 − x )2 = 2x2 − 8x + 16 = ( x − 2)2 + Vì ( x − 2)2 ≥ 0, ∀ x ∈ R nên P ≥ 8, ∀ x ∈ R Dấu đẳn thức xảy x = suy y = Vậy P = Chọn đáp án C Câu 23 Cho số phức z thỏa mãn |z − − 4i | = √ Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = |z + 2|2 − |z − i |2 Môđun số phức w = M + mi √ √ √ √ A |w| = 137 B |w| = 1258 C |w| = 309 D |w| = 314 Hướng dẫn giải Gọi z = a + bi Khi ta có 46 P = | a + + bi |2 − | a + (b − 1)i |2 = ( a + 2)2 + b2 − a2 − ( b − 1)2 = a2 + 4a + + b2 − a2 − b2 + 2b − = 4a + 2b + Vậy P = 4a + 2b + √ Ta có | a − + i (b −  4)| = ⇒ | a − + i (b − 4)|2 = ⇒ ( a − 3)2 + (b − 4)2 = √  a = + sin t Do ta đặt , với t ∈ [0; π ]  b = + √5 cos t √ √ ⇒ P = sin t + cos t + 23 √ √ Xét f (t) = sin t + cos t √ √ Chia hai vế f (t) cho (4 5)2 + (2 5)2 = 10 √ √ f (t) = sin t + cos t ⇒ 10 5 √   √ √   cos u = 5 √5 với u ∈ [0; π ] + = nên ta đặt Vì  5   sin u = 5 f (t) = cos u sin t + sin u cos t = sin(t + u) Khi 10 f (t) Vì −1 ≤ sin(u + t) ≤ nên −1 ≤ ≤ ⇒ −10 ≤ f (t) ≤ 10 ⇒ 13 ≤ f (t) + 23 ≤ 33 10 hay 13 ≤ P ≤ 33 Suy M = 33; m = 13 ⇒ w = 33 + 13i √ √ Khi |w| = 332 + 132 = 1258 Chọn đáp án B Câu 24 Cho số phức z thỏa mãn √ A B −2 − 3i z + = Giá trị lớn mô-đun số phức z − 2i √ C D Hướng dẫn giải −2 − 3i z + = ⇔ | − iz + 1| = ⇔ |i | · | − iz + 1| = ⇔ |z + i | = Ta có − 2i Sử dụng bất đẳng thức mô-đun ta có = |z + i | = |z − (−i )| ≥ |z| − | − i | Suy |z| ≤ Chọn đáp án B Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn |z| = Gọi m, M giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = z5 + z3 + 6z − z4 + Tính M − m A M − m = B M − m = C M − m = Hướng dẫn giải Ta có |z| = ⇔ z2 = ⇔ z2 + z2 ∈ R −2 ≤ z2 + z2 ≤ D M − m = 12 47 Ta có P = = z5 + z3 + 6z − z4 + = z = z4 + z4 + − z2 + z2 = = = z4 + z3 +6 z z2 + z2 z2 + z2 2 − z2 z2 + z2 + − z2 + z2 + − z2 + z2 z2 + z2 − + Khi m = 3; M = Vậy M − m = Chọn đáp án A Câu 26 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |iz1 + √ 2| = z2 = iz1 Giá trị nhỏ biểu thức |z1 − z2 | √ 1 A 2+ √ B 2− √ C 2− √ 2 Hướng dẫn giải √ √ √ Ta có = |iz1 + 2| ≥ |iz1 | − = |z1 | − √ √ 1 Suy |z1 | − ≥ − ⇔ |z1 | ≥ − 2 √ √ √ Do |z1 − z2 | = |z1 − iz1 | = |(1 − i )z1 | = 2|z1 | ≥ 2− √ Dấu đẳng thức xảy z1 = 2− i Chọn đáp án B D √ 2+ √ = 2− √ Câu 27 Xét số phức z thỏa mãn |iz − 3| = |z − − i | Tìm phần thực số phức z cho |z| nhỏ A Hướng dẫn giải B − C − D Gọi z = x + yi, với x, y ∈ R |iz − 3| = |z − − i | ⇔ | xi − y − 3| = |( x − 2) + (y − 1)i | ⇔ x + ( y + 3)2 = ( x − 2)2 + ( y − 1)2 ⇔ x + 2y = −1 ⇔ x = −2y − Khi đó, |z| = x + y2 = (−1 − 2y)2 + y2 = Suy ra, |z|min = √ y = − ⇒ x = − 5 Chọn đáp án C y+ + 1 ≥√ 5 48 Câu 28 y Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng d hình vẽ bên tập hợp điểm biểu diễn số phức z √ Khi |z| có giá trị nhỏ √ √ 5 A B C D 5 2 d x O Hướng dẫn giải Mô-đun số phức z độ dài đoạn thẳng OM với M điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Gọi M hình chiếu vng góc O lên d, M điểm biểu diễn số phức |z| có mơ-đun nhỏ Gọi A(1; 0), B(0; 2), xét tam giác vng OAB có cạnh OA = 1, OB = 2, ta có OA · OB =√ OM = AB Chọn đáp án B Câu 29 Xét số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) thỏa mãn |z + + 2i | + |z − − 6i | = 10 Tính P = a + b |z + − 2i | đạt giá trị nhỏ 118 A P= B P = 25 Hướng dẫn giải C P = −5 D P=− 118 25 Gọi A(−3; −2), B(3; 6) điểm M( a; b) biểu diễn số phức z = a + bi Ta có |z + + 2i | + |z − − 6i | = 10 ⇔ MA + MB = 10 = AB Suy M( a; b) thuộc đoạn thẳng AB Phương trình đường thẳng AB : y = x + Vì M( a; b) thuộc đường thẳng AB nên b = a + 2, a ∈ [−3; 3] 25 2 2 |z + − 2i | = ( a + 8) + (b − 2) = ( a + 8) + a = a + 16a + 64 25 a+ 72 25 1024 32 ≥ , ∀ a ∈ [−3; 3] 25 32 72 46 118 Vậy |z + − 2i | đạt giá trị nhỏ a = − b = − ⇒ a+b = − 25 25 25 Chọn đáp án D = + Câu 30 Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − + 4i | + 1 = mô-đun |z| lớn 3|z − + 4i | − Tính tổng S = a + b A S = B S = −1 C S = −2 D S = Hướng dẫn giải t + 11 = ⇒ 2t + = 3t − ⇒ t = 3t − |z − + 4i | = ⇔ | a + bi − + 4i | = ⇔ |( a − 3) + (b + 4)i | = ⇔ ( a − 3)2 + (b + 4)2 = 25 ⇔ Đặt t = |z − + 4i |, ta phương trình a2 + b2 − 6a + 8b = ⇔ a2 + b2 = 6a − 8b Ta có (6a − 8b)2 ≤ 100( a2 + b2 ), suy |z|4 ≤ 100|z|2 ⇔ |z|4 − 100|z|2 ≤ ⇔ ≤ |z|2 ≤ 100 ⇔ 49    a2 + b2 = 100    ≤ |z| ≤ 10 Giá trị lớn |z| 10 a2 + b2 = 6a − 8b     a = −b   a = ⇒ S = a + b = −2   b = −8 ⇒   6a − 8b = 100 ⇔  4a + 3b = Chọn đáp án C Câu 31 Xét số phức z = a + bi (a, b ∈ R, b > 0) thỏa mãn |z| = Tính P = 2a + 4b2 |z3 − z + 2| đạt giá trị nhỏ A P = B P = 2− √ C P = D P = 2+ √ Hướng dẫn giải z = a + bi, |z| = ⇒ a2 + b2 = ⇔ b2 = − a2 Để ý |z1 z2 | = |z1 | · |z2 | z · z¯ = |z|2 nên 2z¯ |z3 − z + 2| = z z2 − + = | z | · z2 − + = |z2 − + 2z¯| = |( a + bi )2 − − 2a − 2bi | = z z · z¯ |( a2 − b2 − 1) + 2b( a − 1)i | = ( a2 − b2 − 1)2 + 4b2 ( a − 1)2 Thay f ( a) = ( a2 + a − 1)2 + (1 − a2 )( a − 1)2 = 4a3 − a2 − 4a + [−1; 1] f ( a) = 12a2 − 2a − = ⇔ a = a = − 13 2 f (−1) = 1, f − = ,f = , f (1) = 27 √ 3 Suy max |z − z + 2| = 13 a = − ⇒ b = ⇒ P = 2a + 4b2 = 2 Chọn đáp án C Câu 32 Xét số phức z = a + bi thỏa mãn |z − − 2i | = Tính a + b |z + − 2i | + |z − − 5i | đạt giá trị nhỏ √ A + B 2+ √ C 4− √ D Hướng dẫn giải Đặt z − − 2i = a + bi − − 2i = t = x + yi ⇒ |t| = x2 + y2 = Ta có |z + − 2i | + |z − − 5i | = |t + 4| + |t + − 3i | = x2 + 8x + 16 + y2 + |t + − 3i | √ + 16 + 8x =2 + |t + − 3i | = + 2x + |t + − 3i | = ( x + 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + (3 − y)2 ≥ (|y| + |3 − y|) ≥      x = −1     a − = −1 a =  x = −1 Dấu xảy ⇔ y (3 − y) ≥ ⇔ ⇔ ⇔   b − = √3  b = + √3  y = √3    x + y2 = Chọn đáp án A Câu 33 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện 2|z1 + i | = |z1 − z1 − 2i | |z2 − i − 10| = Tìm giá trị nhỏ biểu thức |z1 − z2 | √ √ A 10 + B − C √ 101 + D √ 101 − 50 Hướng dẫn giải Gọi z1 = x + yi ta có 2|z1 + i | = |z1 − z1 − 2i | tương đương với 4( x2 + (1 − y)2 ) = (2y + 2)2 4x2 + − 8y + 4y2 = 4y2 + 8y + x2 x = 4y ⇔ y = ( P ) Gọi z2 = a + bi ta có ( a − 10)2 + (b − 1)2 = 1, từ suy z2 nằm đường tròn ( x − 10)2 + (y − 1)2 = (C ) Nhận thấy đường tròn (C ) có tâm I (10; 1) bán kính R = Ta có |z1 − z2 | + ≥ |z1 − z0 | ⇔ |z1 − z2 | ≥ |z1 − z0 | − (I điểm biểu diễn z0 ) x2 x4 x2 2 Xét hàm số f ( x ) = |z1 − z0 | = ( x − 10) + −1 = + − 20x + 101, 16 x3 x2 có f ( x ) = + x − 20 = ⇔ ( x − 4) + x + = ⇔ x = 4 Từ suy hàm số f ( x ) đạt cực tiểu x = 4, suy f ( x ) ≥ f (4) = 45, ∀ x ∈ R √ √ Vậy ta có |z1 − z2 | ≥ |z1 − z0 | − ≥ 45 − = − Dấu xảy z1 = + 4i z2 giao điểm I M đường tròn (C ) (M điểm biểu diễn z1 ) Chọn đáp án B Câu 34 Cho hai số phức z, w thỏa mãn |z − 1| = |z + − 2i | w = z + m + i với m ∈ R tham số √ Giá trịcủa m để ta ln có |w| ≥  m≥7 m≥7 A  B  C −3 ≤ m < D ≤ m ≤ m≤3 m ≤ −3 Hướng dẫn giải Ta có z = w − m − i nên |w − m − − i | = |w − m + − 3i | Gọi w = a + bi, a, b ∈ R Ta có |( a − m − 1) + (b − 1)i | = |( a − m + 3) + (b − 3)i | ⇔ ( a − m − 1)2 + (b − 1)2 = ( a − m + 3)2 + (b − 3)2 Suy b = 2a − 2m + Ta lại có |w|2 = a2 + b2 = a2 + (2a − 2m + 4)2 = 5a2 + 8(2 − m) a + 4m2 − 16m + 16 √ Để |w| ≥ ⇔ 5a2 + 8(2 − m) a + 4m2 − 16m − ≥ với a  m≥7 Tương đương với ∆ ≤ ⇔ 16(2 − m)2 − 5(4m2 − 16m − 4) ≤ ⇔  m ≤ −3 Chọn đáp án B Câu 35 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + − i | = z2 = iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức |z1 − z2 | √ A m = − Hướng dẫn giải √ B m = 2 C m = √ D m = 2 − 51 √ Ta có |z1 | + |1 − i | ≥  |z1 + − i | = ⇒ |z1 | ≥ −  z1 = k (1 − i ), (k ∈ R, k ≥ 0) √ ⇔ z1 = ( − 1)(1 − i ) Dấu “=” xảy ⇔  |z + − i | = √ √ Lại có |z1 − z2 | = |z1 − iz1 | = |z1 (1 − i )| = |z1 | · |1 − i | = |z1 | · ≥ 2 − Chọn đáp án D ĐÁP ÁN A D A B D B A A C 10 A 11 B 12 C 13 A 14 B 15 A 16 A 17 B 18 B 19 A 20 B 21 C 22 C 23 B 24 B 25 A 26 B 27 C 28 B 29 D 30 C 31 C 32 A 33 B 34 B 35 D ... M ∈ ( E) Từ suy giá trị nhỏ P d( I, AB) − b = − = Chọn đáp án A Câu 17 Trong mặt phẳng phức, xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M, M ; số phức z(4 + 3i ) số phức liên hợp có điểm... diễn số phức z = − i Vậy số phức cần tìm z = + i Chọn đáp án B x A d −2 M Câu 59 Cho số phức z thỏa mãn |z − + 3i| = Giá trị lớn |z − i| A B C D Hướng dẫn giải Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức. .. Cho số phức z thỏa mãn |2z − − 4i | = 10 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ |z| Khi M − m A B 15 C 10 D 20 Hướng dẫn giải Giả sử số phức z = x + iy với x, y ∈ R điểm M ( x; y) điểm biểu diễn số phức