SKKN phương pháp giải các bài toán cực trị trong đại số 8

Phần 1: MỞ ĐẦU Mục đích sáng kiến Để thực mục tiêu: “Tiếp tục đổi toàn diện G iáo dục Đ tạo, nâng cao hiệu chất lượng Giáo dục Đào tạo gắn chặt với mục tiêu phát triển Kinh tế - Xã hội địa phương”, “Tiếp tục đổi m ới phương pháp dạy học ,cải cách thủ tục hành chính” Là giáo viên dạy học Tốn trường THCS,cùng với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí; việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Toán trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Qua thực tế giảng dạy tơi thấy học sinh thường gặp khó khăn giải tập "Các toán cực trị đại số" phần trọng tâm việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Thế thực trạng học sinh trường trường tơi dạy là: học sinh khơng có hứng thú với loại toán này, lẽ tốn cực trị đại số trường THCS khơng theo phương pháp định nên em lúng túng làm toán cực trị, em không theo hướng Hầu hết học sinh ngại gặp tốn cực trị khơng biết vận dụng để giải tập khác Qua nhiều năm nhiên cứu, đọc tài liệu giảng dạy mơn Tốn lớp trường THCS, mạnh dạn thực sáng kiến: "Phương pháp giải toán cực trị Đại số 8" Tính ưu điểm bật sáng kiến * Sáng kiến với giải pháp trình bày có nhiều điểm khác, so với giải pháp cũ trước đây: - Lấy lý luận dạy học đại làm sở - Đáp ứng mục tiêu dạy học - Tạo hứng thú học tập cho học sinh - Học sinh chủ động lĩnh hội tri thức cách nhanh xác nhớ lâu kiến thức * Sáng kiến áp dụng lần đầu thực tiễn đơn vị đầu năm học 2017-2018; ưu điểm bật sáng kiến là: - Học sinh có hứng thú chất lượng học sinh giỏi có tiến rõ rệt - Rèn tư nhanh nhạy, kỹ quan sát, phân tích tổng hợp, khái quát hoá kiến thức, phát triển kỹ phán đoán học sinh - V ận dụng thực yêu cầu đổi phương pháp dạy học nay: giáo viên thực người tổ chức, hướng dẫn, điều khiển hoạt động học sinh học sinh đối tượng tham gia trực tiếp, chủ động, linh hoạt, sáng tạo hoạt động học tập tạo khơng khí phấ n khởi, hào hứng học tập Tốn học Đóng góp sáng kiến Qua sáng kiến học sinh có cách suy nghĩ, tìm tịi tài liệu góp phần phát triển khả tư trừu tượng, sáng tạo với thao tác tư duy: Có kỹ phân tích, tổng hợp, từ đưa phương pháp giải số dạng tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ giải tốn cách xác Từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường - Kích thích hứng thú, phát huy tính tích cực, tự giác, tư sáng tạo khả hợp tác cao học tập sống học sinh - Tạo điều kiện để cá thể hoá hoạt động dạy học - Giáo dục học sinh tính tự giác, trung thực, kiên trì, tính kỷ luật tinh thần đồng đội học tập sống hàng ngày Phần 2: NỘI DUNG Chương 1: Mục tiêu hướng tới thực việc sử dụng phương pháp giải toán cực trị Đại số Q ua nhiều năm giả ng dạy mơn Tốn học cấp trung học sở tơi có nhận thấy: Học sinh chưa biết cách giải tập cực trị giải toán, chưa biết cách biến đổi biểu thức toán học dạng học, học sinh hiểu làm mơ hồ, số học sinh làm nằm vào số học sinh khá- giỏi Số lại chủ yếu học sinh TB, Yếu, khơng biết giải thích tốn nào, số học sinh khác có biết hướng biến đổi Sau học phân dạng cách giải tập cực trị giải tốn Đại số thì: Học sinh người chủ động, chủ đạo kiến thức Học sinh phải tư tốt thâu tóm kiến thức học để tận dụng vào làm tập Học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng toán “ Toán Cực chỉ” Sau xin đưa số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán cực trị đại số Chương 2: N hững giải pháp áp dụng Để đáp ứng yêu cầu cải cách giá o dục, bước vận dụng phương pháp dạy học “lấy học sinh nhâ n vật trung tâm, giáo viên người tổ chức, hướng dẫn cho học sinh học tập” Để hướng dẫn học giải toán cực trị đại số đạt kết quả: Tôi nghiên cứu kỹ sách giáo khoa trước soạn bài, đọc tài liệu tham khảo Toán học nâng cao dành cho giáo viên học sinh, tham khảo số đề thi học sinh giỏi cấp huyện, tỉnh, sách viết chuyên đề giải tập Toán học 8, Kết hợp với chương trình dạy khối lớp biên soạn thành hệ thống nội dung kiến thức tập theo mạch kiến thức từ dễ đến khó cho phù hợp với đối tượng học sinh Trong q trình giảng dạy tơi ln tìm tịi, nghiên cứu để lựa chọn nội dung tiết dạy, chọn phương pháp phù hợp để học sinh tiếp thu kiến thức học cách thoải mái, khơng bị gị bó, thụ động, gây hứng thú học tập học sinh Từ định kiến thức cần chuẩn bị cho học sinh H oạch định thao tác tư cần sử dụng thành thạo, đơn vị kiến thức cần truyền thụ, trao đổi với đồng nghiệp nhóm, tổ chun mơn, bước thử nghiệm qua dạy, chuẩn bị kiến thức cho nội dung G iảng kỹ kiến thức dạy, đặc biệt kiến thức bản, trọng tâm chương trình Tốn học THCS Giải pháp thứ nhất:Cung cấp khái niệm, nguyên tắc, kiến thức cần nhớ toán cực trị Đ ại s a Khái niệm cực trị biĨu thøc Cho biĨu thøc nhiỊu biÕn sè P(x, y, , z) víi x, y, , z thc miỊn S xác định Nếu với giá trị c¸c biÕn (x , y , z )  S mµ ta cã: P(x , y , z )  P(x, y, , z) hc P(x , y , z )  P(x, y, , z) th× ta nãi P(x, y, , z) lớn nhỏ (x , y , z ) trªn miỊn S P(x, y, , z) đạt giá trị lớn t¹i (x , y , z ) S gọi P đạt cực đại (x , y , z ) hc P m a x t¹i (x , y , z ) Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhấ t (x , y , z ) S gọi P đạt cực tiểu (x , y , z ) P m i n (x , y , z ) Gi¸ trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miề n S b Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là: *) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cÇn chøng minh i b­íc: - Chøng tá r»ng P  k ( víi k lµ h»ng sè ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức *) Để tìm giá trị lớn mét biĨu thøc P(x, y, , z) trª n miỊn xác định S, ta cần chứng minh i bước: - Chøng tá r»ng P  k ( víi k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức Chú ý không thiếu bước hai bước Ví dơ : Cho biĨu thøc A = (x-1) + (x - 3) Một học sinh tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A nh­ sau: Ta cã (x-1) ; (x - 3)  nªn A Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có không? Giải : Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức không xảy ra, có đồng thời: (x-1) = (x - 3) = Lời giải là: A = (x-1) + (x - 3) = x -2x + + x - 6x +9 = 2x - 8x + 10 = 2(x -4x +4) + = 2(x - 2) + (x - 2) Ta cã:  , x  2(x - 2) +  A  x x  Do ®ã A = x = Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A b»ng víi x = c.Kiến thức cần nhớ: Để tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc: * a2 0, tổng quát: a k (k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức a = * -a  0, tỉng qu¸t: -a k  (k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức a = a  ( X¶y dÊu đẳng thức *- a a a ( Xảy dấu đẳ ng thức a = 0) * a  b  a  b ( X¶y dÊu ®¼ng thøc  ab  0) * * a 2 , a a >0 vµ a    2 , a a = 0) a 0  1  a b ( Xảy dấu đẳng thức a = b) Giải pháp thứ hai: Phân dạng tập hướng dẫn cách giải Bài tập toán cực tr i s 8: Thông qua toán sách giáo khoa (sách tham khảo) tiến hành phân loại thành số dạng toán cực trị đại số THCS hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải dạng toán Sau số dạng thường gặp: Dạng : toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn bi ểu thức tam thứ c bậc hai Ví dụ 1: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A(x) = x - 4x+9 Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phả i biến đổi dạng A(x) k (k số) với gía trị biến trường hợp xảy đẳng thức Lời gi¶i: A(x) = x - 4x+9 = x - 2.2x+9 = (x - 2.2x+4) + = (x- 2) + Với giá trị x: (x - 2)  nªn ta cã: A(x) = (x- 2) +  Vậy A(x ) đạt giá trị nhỏ x=2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhÊt c đa biĨu thøc B(x) = -5x - 4x+1 Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phả i biến đổi đưa B(x) dạng B(x) k (k số) với giá trị biến giá trị lớn B(x)= k xảy đẳng thức Lời gi¶i: B(x) = -5x - 4x+1 = -5 (x + x) +1 2  2  = -5  x  x          5     2 4  x       1 = 5 25   2  x     1 = -5 5  2  = -5  x    5  2 2 Với giá trị x: x  nªn -5  x     5  5 9  suy ra: B(x)= -5  x   +  5 5 Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)= , x = 5 VÝ dơ : (Tỉng qu¸t) Cho tam thøc bËc hai P = ax +bx + c Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa P nÕu a < H­íng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A (x ) + k Sau xét với trường hợp a>0 a0 a x P  k 2a   b  +NÕu a0) 2a giá trị lớn k (nếu a -4 ®ã A = - 2x >3 + Trong khoảng x x - = x - x - 5 = - (x - 5) = - x  A = x - + - x = + Trong khoảng x > x - = x - x - 5= x -  A = x - + x - = 2x - Do x > nªn 2x > 10 ®ã A = 2x - > So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ A vµ chØ  x  Vậy A m i n = vµ chØ  x  C¸ch 2: Ta cã thĨ sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ tổng giá trị tuyệt đối.Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A A = x - 2+ x  = x - 2+  x Lêi gi¶i: Ta cã: x - 2 + 5 - x  x - + - x = A =  (x - 2) (5 - x)   x Vậy giá trị nhỏ cđa A b»ng vµ chØ  x dạng 4: Bài toán Tìm gtnn, gtln phân thức có tử số, mẫu tam th øc bËc hai 12 VÝ dô : Tìm giá trị lớn M = 4x - 4x Hướng dẫn giải: Gợi ý: Sư dơng tÝnh chÊt a  b, ab >0  1 theo a b quy tắc so sánh hai phân số tử, tử mẫu dương Lời giải: Xét M = 3 = = 4x - 4x  (2 x)  x   (2x - 1)2  Ta thÊy (2x - 1)  nªn (2x - 1) +  Do ®ã: (2x - 1)2   Dấu xảy 2x - = => x = x = Tr¶ lêi: VËy M lín nhÊt b»ng VÝ dơ : Tìm giá trị nhỏ B = 2x - x - H­íng dÉn giải: Ta có: B = Vì => =2x - x - 1 = x - 2x  (x - 1)  (x - 1)  => (x + 1) +  1  (x - 1)  => - 1  (x - 1)  Dấu xảy x - 1= => x =1 VËy B nhá nhÊt b»ng - x =1 13 Chó ý: Khi gặp dạng tập em thường xuyên lập luận M (hoặc B) có tử hằ ng số nên M (hoặc B) lớn (nhỏ nhÊt) mÉu nhá nhÊt (lín nhÊt) LËp ln trªn dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thøc x 3 MÉu thøc x - có giá trị nhỏ -3 x = Nh­ng víi x = th× 1 = - giá trị lớn x 3 phân thức Chẳng hạ n với x = th× 1 =1> x 3 Nh­ vËy tõ -3 < kh«ng thĨ suy Vậy từ a < b suy 1 > 1 > a b dấu a b dạng 5: Bài toán Tì m g iá trị n hỏ nhất, lớn nh ất phân thức có mẫu bình phươ ng nhị thức Ví dụ Tìm giá trị nhá nhÊt cña A = x2  x  ( x 1) Cách1: Gợi ý: HÃy viế t tư thøc d­íi d¹ng lịy thõa cđa x + 1, đổi biến cách viết A dạng tổng biểu thức lũy thừa Từ tìm giá trị nhỏ A x 1 Lêi gi¶i: Ta cã: x + x + = (x + 2x + 1) - (x +1) + = (x + 1) - (x + 1) + Do ®ã A= 1 ( x  1) ( x  1) = 1+   2 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) x 1 14 ®ã biĨu thức A trở thành: x Đặt y= A = - y + y = y - 2.y Ta cã: A = - y + y2 1 + ( )2 + 2 3 =  y   +   2 4 Dấu xảy vµ chØ khi: y- =0  y=  x + =  x = Vậy giá trị nhỏ A khi: x=1 Cách 2: Gợi ý: Ta cã thĨ viÕt A d­íi d¹ng tỉng cđa mét sè với biểu thức không âm Từ tìm giá trị nhỏ A Lời giải: A x  x  x  x  3x  x   x  x    2 x  12 4 x  1 4x  1 A 3( x  1)2  ( x  1) 4( x  1) A ( x  1)  4( x  1)2  x 1  A    2( x  1)  A=  x 1   +  2( x  1)  15 Dấu xảy vµ khi: x-1=0 x=1 Vậy giá trị nhỏ A x=1 dạng 6: to án tìm giá tr ị nh ỏ nhất, lớn nhấ t biểu thức đại số cách đưa dạng (hoặc A( x) k2 A( x) 0) k2 Ví dụ 10 : Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: M( x ) = 3x  x  10 x2  2x  (V íi x thc tËp hỵp sè thùc) Hướng dẫn giải: Gợi ý: Từ M ( x ) = M( x ) = (?) 3x  x  10 ta cã: x2  2x  3x  x   3( x  x  3)  = x2  2x  x2  2x  Ta chia tử thức mẫu thức cđa biĨu thøc cho x + 2x + không? Vì sao? Trả lời: Vì x + 2x + = x + 2x + + = (x+1) +2 > víi mäi giá trị x nên sau chia tử vµ mÉu cho x + 2x + ta ®­ỵc M(x) = + (?) ( x  1) Bài toán xuất điều mới? Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc ( x  2) 16 (?) HÃy tìm giá trị lớn từ suy giá ( x )2 trị lớn M(x) Trả lời: V × (x+1)  (x+1) + Nên Do Với x với x 1  2 ( x  1)  Tõ ®ã ta cã: M(x) = + 1 =3  + 2 ( x  1)  DÊu “=” x¶y x+1=0 hay x=-1 Vậy giá trị lớn M(x) = vµ chØ x=-1 DẠNG 7: BÀI TỐN TÌ M GIÁ TR Ị N HỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦ A PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ NHỊ TH ỨC BẬC NHẤT Ví dụ 11 : Cho F = 42  x Tìm số nguyên x để F đạt giá trị nhỏ x  15 (Đề thi khảo sát lớp chất lượng cao Huyện Gia Bình năm học 2012 - 2013) Hướng dẫn giải: 42  x 27 27 = -1 + đạt GTNN  nhỏ x  15 x  15 x  15 27 Xét x-15 > >0 x  15 27 27 Xét x-15 < < Vậy nhỏ x-15 x = 14 Vậy x= 14 F nhỏ F = -28 17 Chương 3: K iểm chứng giải pháp triển khai sáng kiến Cách làm trê n vận dụng vào dạy học sinh học lớp trường THCS Nhân Thắng cho đối tượng giỏi, khá, trung bình Nhờ có áp dụng phương pháp với trao đổi kinh nghiệm thường xuyên với bạn đồng nghiệp thấy kết mơn Tốn học lớp tơi dạy nâng lên rõ rệt, tạo cho học sinh say mê học tập môn Với cách làm kết mơn Tốn học (về nhận thức, độ nhanh nhạy tìm hướng giải) học sinh tăng lên đáng kể Thời gian đầu tiếp xúc với dạng tập em lúng túng hoang mang hồn tồn kiến thức Nhưng sau thời gian hướng dẫn làm quen với dạng tập này, em tiến nhiều Đặc biệt lực tư học sinh, khả nă ng sử dụng thao tác tư để tìm lời biện luận Từ phương pháp 87,3% em vận dụng giải đ ược tập dạng SGK có 30% HS lớp 8A giải thêm tập sách nâng cao Kết thi cuối năm học sau: * Thi cuối năm: Lớp Số H S Điểm 0-2 Đ iểm 9- Đ iểm > 10 8A 36 07 34 8B 35 03 31 18 Qua kết cho thấy rõ việc đưa phương pháp vào dạy học có hiệu Chất lượng điểm kiểm tra học sinh có tiến so với kết khảo sát đầu năm Hơn thế, học sinh tự giác, tích cực, chủ động, bước đầu tự tìm tịi phát kiến thức Đồng thời học sinh có lịng u thích, hứng thú mơn Tốn Một số học sinh say mê với môn học, đầu tư nhiều thời gian trí tuệ cho mơn học hơn, điểm số theo mà cao Qua điều tra sơ cho thấy chất lượng học tập học sinh có tiến hơn, nhiê n học sinh bị điểm trung bình Phần KẾT LUẬN Những vấn đề quan trọng đề cập đến sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán Cực trị Đại số - Một số dạng tập áp dụng Sau ¸p dụngcác cách giải toán cực trị đại số thùc tÕ häc sinh dÇn dÇn chó träng giải toán không lúng túng trước Hiu thiết thực sáng kiến kinh nghiệm Sau thực giảng dạy phần "Phương pháp giải toán cực trị Đại số 8" theo nội dung đề tài kết mà thu trường THCS N hân Thắng với nhiều đối tượng khác thu kết khả quan Đề tài giúp học sinh giải toán cực trị đại số có phương hơn, có hiệu vận dụng vào giải quyế t tập có liên quan kích thíc h đam mê học tốn nói chung say mê giải tốn cực trị nói riêng Y cầu phát huy tính tự giác rèn luyện khả tư tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thơng qua hoạt động giải tốn học 19 Về mặt tư tưởng toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế đời sống, rèn luyện nếp nghĩ khoa học mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhât, tốt Vì mong bạn bè đồng nghiệp tham khảo, mong nhà trường tạo điều kiện để áp dụng rộng rãi Kiến nghị với cấp quản lý Với đề tài "Phương pháp giải toán cực trị Đại số 8" Tôi cố gắng hệ thống số dạng toán cực trị đại số Trong dạy tơi có đưa sở lí thuyết ví dụ ví dụ có gợi ý hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp ví dụ khác em giải Để thực mục tiêu mơn, thân tơi phải cố gắng học hỏi, trao đổi kinh nghiệm, tự tìm tài liệu để nghiên cứu, song cũn hạn chế định Đ ể sáng kiến thực đem lại kết tơi xin có số kiến nghị sau: - Ban giám hiệu, phận thiết bị cần bổ sung số tài liệu phương pháp giải toán cực trị đại số - Với thời lượng học khố khơng đủ để em tiếp cận với cơng thức, cách giải tập nên đề nghị BGH nhà trường triể n khai cho em học số buổi đại trà để phụ đạo thêm cho em - Mong Ban giám hiệu nhà trường quan tâm đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, động viên khen thưởng kịp thời giáo viên học sinh có thành tích cao cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt danh hiệu giáo viên dạy giỏi cấp - Đề nghị Phòng giáo dục Đào tạo tổ chức nhiều buổi sinh hoạt chuyên môn cấp huyện để giáo viên có hội dự đồng nghiệp, nâng cao tay nghề 20 Với phạm vi nghiên cứu trường dù cố gắng song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi xin trình bày kinh nghiệm với mong muốn nhận nhiều ý kiến trao đổi, bảo chân thành bạn đồng nghiệp người làm công tác chuyên môn cấp quản lí để kinh nghiệm tơi đưa hồn thiện hơn, giúp tơi hồn thành công tác chuyên môn tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Nhân Thắng, ngày 08 tháng năm 2018 Người viết Phan Đình Đơng 21 PHẦN IV: PHỤ LỤC Tài liệu tham khảo SGK Toán 8- NX B Giáo dục- Phan Đức Chính, Tơn Thân SBT Tốn – NXB Giáo dục- Tơn Thân chủ biên Toán nâng cao chuyên đề Đại số 8- NX B Giáo dục- Vũ Dương Thuỵ (chủ biên), Nguyễn N gọc Đạm 4.Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán -NXB G iáo dục – Bùi Văn Tuyên Để học tốt đại số 8- NX B Giáo dục - Hoàng Chúng Chủ biên Các chuyên đề chọn lọc Toán – NXB Giáo dục – Tôn Thân (chủ biên) Tài liệu chuyên toán THCS To án Tập – NXB Giáo dục Vũ Hữu Bình (chủ biên) 22 ... đến sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán Cực trị Đại số - Một số dạng tập ỏp dng Sau áp dụngcác cách giải toán cực trị đại số thực tế học sinh trọng giải toán không lúng tóng nh­ tr­íc... Với đề tài "Phương pháp giải tốn cực trị Đại số 8" Tơi cố gắng hệ thống số dạng toán cực trị đại số Trong dạy tơi có đưa sở lí thuyết ví dụ ví dụ có gợi ý hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết... phần "Phương pháp giải toán cực trị Đại số 8" theo nội dung đề tài kết mà thu trường THCS N hân Thắng với nhiều đối tượng khác thu kết khả quan Đề tài giúp học sinh giải toán cực trị đại số có phương