(SKKN HAY NHẤT) các phương pháp giải bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong đề thi tốt nghiệp, thi đại học, thi học sinh giỏi thường có câu hỏi tìm giá trị cực trị đại lượng mạch điện xoay chiều như: công suất, cường độ dịng điện, hiệu điện có biến thiên phần tử mạch như: R, L, C tần số góc Gặp tốn học sinh thường lúng túng việc tìm cho phương pháp giải tốt hiệu Do thời gian làm ảnh hưởng đến thời gian làm toán khác kết không cao Qua thực tế giảng dạy trường THPT tơi thấy có số phương pháp để giải toán dạng Trong đề tài tơi muốn giới thiệu số dạng tốn cực trị mạch điện xoay chiều phương pháp giải để giúp em học sinh có nhiều phương pháp để giải lựa chọn cho phương pháp tối ưu nhất, nhanh, xác đạt hiệu cao II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Qua tìm hiểu đề thi, nghiên cứu tài liệu tham khảo mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, tơi thấy có số dạng tốn cực trị thường gặp có phương pháp giải sau: DẠNG 1: BÀI TỐN BIỆN LUẬN THEO R Tìm giá trị cực đại cường độ dịng điện, cơng suất hiệu điện mạch điện xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp R thay đổi, U, L, C,  khơng đổi ( mạch điện hình vẽ) A R L C B 1.1 Tìm R để Imax =? Lập biểu thức tính cường độ dịng điện: Theo định luật ơm I= LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com U = Const nên Imax Zmin R ->0 => Imax = 1.2 Tìm R để Pmax =? Lập biểu thức công suất mạch: P = I2R = - Phương pháp đạo hàm: Đạo hàm P theo R ta được: P' = U2 P' = => R = /ZL - ZC/ khảo sát biến thiên P theo R R /ZL - ZC/ + P' + P - Pmax 0 Ta thấy R = /ZL - ZC/ P = Pmax => Pmax = - Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi: Từ (1) => P = Do Rvà R+ => Rmax R + số dương nên theo bất đẳng thức cơsi ta có:  2/ZL - ZC/ Dấu "=" xảy khi: R = /ZL - ZC/ Vậy với R = /ZL - ZC/ thì: Pmax = Nhận xét: Trong phương pháp ta thấy dùng phương pháp bất đẳng thức côsi dễ hiểu hơn, nhanh không bị nhầm lẫn so với phương pháp đạo hàm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.3 Tìm R để UR; UL; UC đạt giá trị cực đại? a.Tìm R để URmax= ? Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R = => URmax mẫu số nhỏ nhất, R ->  URmax = U b.Tìm R để ULmax= ? Lập biểu thức tính UL ta có: UL= I.ZL = => ULmax mẫu số nhỏ nhất, R = ULmax = c Tìm R để UCmax= ? Lập biểu thức tính UC ta có: UC = I.ZC = => UCmax mẫu số nhỏ nhất, R = UCmax = Nhận xét: Do URmax = U nên khơng xãy trường hợp UR > U, cịn ULmax UCmax lớn U giải toán trắc nghiệm cần ý 1.4 Tìm R để URL, URC , ULC đạt cực đại: a Tìm R để URL đạt cực đại: Ta có: URL = I.ZRL = => URL = Để URLmax mẫu số nhỏ Ta thấy để mẫu số nhỏ R ->  URLmax = U b Tìm R để URC đạt cực đại: Ta có URC = I.ZRC = = => URCmax = U R ->  c Tìm R để ULC đạt cực đại: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có ULC = I.ZLC = ; ULcmax R -> => ULCmax = U Ví dụ1: Cho mạch điện hình vẽ: A R L C B Hiệu điện hai đầu mạch điện u AB = 100 cảm có độ tự cảm L = cos 100 t (V) Cho cuộn dây (H); tụ điện có điện dung C = (F), R thay đổi được.Tìm R để công suất tiêu thụ mạch cực đại, tính Pmax=? *Phương pháp đạo hàm: Ta có cơng suất P = I2R = ; U = 100(v); ZL = 200(); ZC = 100() => P = => P' = => 1002 (1002 - R2) = => R = 100() Ta thấy R = 100() P' = đổi dấu từ dương sang âm Do Pmax R = 100() Pmax = = 50(W) * Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi: Ta có: P = Theo Cơsi ta có: R + Dấu "=" R2 = 1002 => R = 100() (loại nghiệm R = -100 Pmax = 1002/1.200 = 50 (W) Ví dụ 2: Cho mạch điện hình vẽ: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A R UAB = 100 R0, L cos 100 C B t (v) cuộn dây có độ tự cảm L = R0 = 30 (), tụ điện có điện dung C = (H) điện trở (F) a Tìm R để cơng suất mạch đạt cực đại Tìm giá trị cực đại ? b Tìm R để cơng suất R cực đại Tìm giá trị cực đại ? Bài giải: *Phương pháp dùng BĐT Côsi: a Công suất tiêu thụ mạch: P = I2 (R+R0) = => P = Do U = Const nên P max Amin theo bất đẳng thức  / ZL - ZC / cơsi ta có: A = (R + R0) + => Amin = / ZL - ZC / = (140 - 100) = 80() Dấu "=" R + R0 = / ZL - ZC / = (140 - 100) = 40() => R = 40 - R0 = 10() Pmax = = Chú ý: Khi cuộn dây có thêm điện trở R ta đặt R tđ= R + R0 áp dụng BĐT Cô si Khi cơng suất tiêu thụ mạch đạt cực đại Rtđ= R + R0 = / ZL - ZC / => R= / ZL - ZC /- R0 Nếu R0 > / ZL - ZC / R khơng âm nên ta có kết R= cơng suất tiêu thụ mạch đạt cực đại : Pmax = b Công suất tiêu thụ R: PR = I2 R = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com => PR = PR = Do U, R0 không đổi nên PRmax Amin Theo bất đẳng thức cơsi ta có: A = R + Dấu "=" R = = = 50 => Amin = 2R = 100 => PRmax = DẠNG 2: BÀI TỐN BIỆN LUẬN THEO L Tìm giá trị cực đại cường độ dòng điện hiệu điện thế, công suất mạch xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp L thay đổi, đại lượng U, R, C,  không đổi (mạch điện hình vẽ) A R L C B 2.1 Tìm L để Imax, Pmax = ? a Theo định luật ơm ta có: I = Do U khơng đổi nên Imax mẫu số Ta thấy mẫu số cực tiểu ZL - ZC = => ZL = ZC => L = => Imax = mạch xảy cộng hưởng điện b Ta có: P = I2R Do R không đổi nên Pmax Imax theo L = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com => Pmax = R= 2.2 Tìm L để ULmax;URmax; Ucmax =? a Tìm L để URmax = ? Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R = ZL = ZC => L = ta thấy URmax => URmax= U b Tìm L để ULmax=? *Phương pháp dùng đạo hàm: Ta có: UL = I.ZL = Với f (ZL) = = = U f (ZL) (1) đạo hàm theo ZL rút gọn ta được: f' (ZL) = ta có f' (ZL) = => ZL = => fmax = đổi dấu từ dương sang âm ; ULmax = U.fmax = * Phương pháp hình học: Giản đồ véc tơ hình vẽ: Theo định lý hàm số sin ta có: U   URC  UL UR I  UC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta thấy Sin  = R, C không đổi nên sin không đổi nên UL cực đại sin = = >  = /2.=> => ULmax = Mặt khác ta có: mà Sin  = => UL = => không đổi Mặt khác U vuông pha với Trong Sin = => ZL = => ZL = * Phương pháp dùng tam thức bậc 2: Từ (1) ta có: UL = = UL = Đặt X = Với f(ZL) = = f(ZL) = f(x) = (R2 + Z ) X2 - 2ZC X + Ta thấy: f(x) tam thức bậc có a = (R2 + Z ) > => ZL = => f(x) X = => f(ZL) = => ULmax = c Tìm L để UCmax = ? Lập biểu thức tính UC ta có: UC= I.ZC = ZL = ZC => L = ta thấy UCmax => 2.3 Tìm L để URLmax; URcmax; ULcmax =? a Tìm L để URLmax =? Theo định luật ơm ta có: URL = I ZRL = ZRL LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com => URL = = Trong đó: f(ZL) = (1) đạo hàm theo ZL Ta có: f'(ZL) = f' (ZL) = => Z - ZLZC - R2 = => ZL1 = ta có  = Z + 4R2 > (loại nghiệm âm) f' (ZL) triệt tiêu đổi dấu từ âm sang dương nên f (ZL1) ZL1 = URLmax = với f (ZL1) theo (1) thay ZL1 vừa tìm ta có URLmax = b Tìm L để URCmax= ? Ta có : URC = => URCmax ZL = ZC => L = => URCmax = c Tìm L để ULCmax= ? Ta có: ULC = ULCmax ZL ->  => L - => ULCmax = U Ví dụ 1: Cho mạch điện hình vẽ: Trong UAB = 200 sin 100 t (V) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A R C L B V Cuộn dây cảm có L thay đổi; RV = ; R = 50 (); C = (F) a Khi L = L1 P = Pmax Tìm L1 Pmax ? b Khi L = L2 Uvmax Tìm L2 Uvmax? Bài giải: a Ta có: P = I2R = Do U, R = Const => Pmax ZL1 = ZC = 100() => ZL1 = 100() => L1 = => Pmax = (H) = 400(w) b Ta có UV = UL = I.ZL = UL = f(ZL) = f(x) = (R2 + R ) x2 - 2ZC.x + Ta có : a = R2 + Z > => f(x) x = => => UVmax = Ví dụ 2: Cho mạch điện hình vẽ Trong UAB = 200 A M N sin 100 t (v) B 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com L R C Cuộng dây cảm có L thay đổi ; R = 24 (); C = a Tìm L = L1 để UANmax ? b Tìm L = L2 để UMBmax ? Bài giải: a Ta có UAN = URL = UAN = => UANmax fmin Theo mục (d) => f(ZL) ZL1 = loại nghiệm âm.=> fmin = => UANmax = Hoặc UANmax = URLmax = b Ta có: UMB = I.ZMB = I = UMBmax Zmin => ZL2 = ZC = 20() => L2 = => UMBmax = = 156,2(V) 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DẠNG 3: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO C Tìm giá trị cực đại cường độ dịng điện, cơng suất hiệu điện mạch R, L, C mắc nối tiếp C thay đổi cịn U, R, L,  khơng đổi ( mạch điện hình vẽ) A R L C B 3.1 Tìm C để Imax; Pmax=? a Tìm C để Imax=? Ta có: I = => Imax = Khi ZL = ZC = > C = => mạch xảy cộng hưởng điện b Tìm C để Pmax=? Ta có cơng suất tiêu thụ P = I2.R => Pmax = I2max.R = C = 3.2 Tìm C để URmax ;ULmax; UCmax =? a Tìm C để URmax = ? Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R = ZL = ZC => C = ta thấy URmax => URmax= U b Tìm C để ULmax = ? Lập biểu thức tính UL ta có: UL= I.ZL = ZL = ZC => C = ta thấy ULmax => c Tìm C để UCmax =? *Phương pháp dùng đạo hàm 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có UC = I.ZC = = U f (c); Đặt f(Zc) = f'(Zc) = f’ (Zc) = => ZC1 = => f’(Zc) triệt tiêu ZC đổi dấu từ dương sang âm nên đạt cực đại Z c => f(ZCmax) = UCmax = U => UCmax = U f(ZCmax) Zc = * Phương pháp hình học:  URL Vẽ giản đồ véc tơ: Theo định lý hàm số sin ta có: UR  U Mà Sin  = UL I  UC = Const => UCmax Sin  = => B = /2 => UCmax = Mặt khác ta có: mà Sin  = => UC = ; sin = => ZC = => UC = => C = * Phương pháp dùng tam thức bậc 2: Ta có : UC = I.ZC = = UC = => Ucmax f (Zc) => f (Zc) = Đặt X = => f(x) = (R2 + Z ) X2 - 2ZL X + Ta có: a = R2 + Z >0 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com => f(x) X = ZC = => => => C = =>fmin = => UCmax = => UCmax = 3.3 Tìm C để URCmax; URLmax; ULCmax=? a Tìm C để URLmax= ? Ta có : URL = I.ZRL = => URLmax ZL = ZC => C = => URLmax = b Tìm C để URCmax=? T acó: URC = I ZRC = Đặt f(ZC) = = (1) để URCmax f (ZC) Ta có: f'(ZC) = f'(ZC) = f'(ZC) = => Z ZC1 = - ZLZC - R2 = (loại nghiệm ZC2 < 0) Ta thấy f' (x) triệt tiêu đổi dấu từ âm sang dương nên f (ZC) ZC1 => URCmax = với f (ZC) theo (1) Hoặc URCmax = 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com c Tìm C để ULCmax: Ta có ULC = I ZLC = Ta thấy để ULCmax -> => ZC ->  => C -> Vậy C -> Khi ULCmax = U Ví dụ 1: Cho mạch điện R, L, C mắc nối tiếp hình vẽ C thay đổi A R Có : u=120 L sin 100 C B t(V); R =240() cuộn dây cảm có L= (H) a Tìm C để I, P cực đại Tính Imax, Pmax= ? b Tìm C để UCmax Tính UCmax ? Bài giải: a *Ta có: I = => Imax Zmin => ZL = ZC=> ZC = 320 => C = => Imax = * Công suất tiêu thụ: P = I2 R => Pmax = I2max R = 0,52 240 = 60 (W) Kết luận: Vậy C = Imax = 0,5(A); Pmax = 60(W) b Ta có : UC = I.ZC = theo lý thuyết ta có: UCmax = ZC = = => C = (F) UCmax = 200(V) = 320 + 180 = 500() Ví dụ 2: Cho mạch điện hình vẽ Trong UAB = 60 sin 100 t (V), Tụ điện có điện dung C thay đổi 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A R Điện trở R = 10 C L B ; cuộn dây cảm có độ tự cảm L = a Tìm C để URCmax Tìm URCmax = ? b Tìm C để ULCmax, URLmax = ? Bài giải: a.URC = I.ZRC = Theo toán tổng quát: URCmax= Khi ZC1 = => f(ZC) = => f(ZC) = > URCmax = URCmax = = b.* ULC = * Ta có: URLmax = ; ULCmax = U = 60(V) C->0 ; URLmax = Khi ZC = ZL = 20() => C = URLmax = = =2 DẠNG 4: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO  16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tìm giá trị cực trị cường độ dịng điện, cơng suất hiệu điện mạch xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp tần số góc thay đổi , đại lượng U, R, L, C khơng đổi Tìm  để Imax =? Imin = ? Pmax =?Pmin=? a Tìm  để Imax =? Imin = ? Imax  L - * Ta có I = Imax = ; mạch có cộng hưởng điện * Tìm  để Imin: Imin (L - )         ->  C => Imin = b.Tìm  để Pmax =?Pmin=? * Cơng suất tiêu thụ P = I2.R => Pmax = I2max.R = * Pmin = Imin = => Tìm  để URmax, URmin Ta có: UR = IR = * URmin = (ZL - ZC)2max ->  => /L * URmax => (ZL - ZC)2 = => ZL - ZC => 0 = => URmax = U Tìm  để UCmax, UCmin: Ta có UCmin = ZC = =>  ->  * Ta có: UC = I.ZC = U Z C * Mặt khác: UC = UC = R  Z L2  L =  Z C2 C = ; UCmax f () min: 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com f() = L2C24 - (2LC - R2C2) 2 + (1) Có a = L2C2 > LC  R C = => 1 = L2 C => f()  = = > R2 với ĐK Khi đó: UCmax = với f() xác định theo (1) Tìm  để ULmin ULmax = ? Ta có: UL = I.ZL = = * ULmin = ZL = =>  = * UL = = = ULmax f () Ta có f() = Ta có a = => > => f() ; (1) = = => 2 = = với điều kiện: => ULmax = với f() xác định theo (1) Nhận xét: Ta thấy  thay đổi URmax  = 0 ;ULmax  = 1 UCmax  = 2 ta ln có 1 2 = 02 Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp U = 100 sin  thay đổi R = 100(); C = (F); L = (H) 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a Xác định  để Imax , Pmax = ? b Xác định  để URmax , ULmax, UCmax = ? Bài giải: a I = = để Imax => ZL = ZC => 0 = (rad/s) Khi Pmax = I2max.R; Imax = (A) => Pmax = 1,5 100 = 150 (W) (v) ZL = ZC => 0 = b * URmax = U = * UC = 1 = Khi đó: ZC1 = (rad/s) theo toán tổng quát UCmax khi: (rad/s) ; ZL1 = 1L = 50 => UCmax = (v) * ULmax khi: 2 = Ta có ZC2 = Khi đó: ULmax = (rad/s) ZL2 = 2.L (V) Nhận xét: 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp chung để giải tập khảo sát xét cực trị dòng điện xoay chiều khảo sát hàm số: I(R); I(C); I(L); I(), dự vào biểu thức định luật ơm Q trình giải tổng kết theo sơ đồ sau: Định hướng lập mối tương quan Áp dụng định luật ôm lập biểu thức Khảo sát phụ thuộc Nhận xét lựa chọn kết Phương pháp chung để giải tập khảo sát xét cực trị hiệu điện theo đại lượng biến thiên tổng kết theo sơ đồ sau: Phân tích tốn xác định mối tương quan Dùng định luật ôm để lập biểu thức Lựa chọn phương pháp: đạo, hàm, hình học, cơsin, tam thức Nhận xét lựa chọn kết Phương pháp chung để giải tập xét cực trị công suất hệ số công suất theo đại lượng biến thiên tổng kết theo sơ đồ sau: Xác định mối tương quan Lập hệ thức liên hệ Lựa chọn phương pháp giải (đạo hàm, cô sin ) Xét cực trị theo phương pháp lựa chọn Nhận xét lựa chọn kết III- KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong đề tài với khả có hạn thời gian không cho phép, mạnh dạn trình bày số phương pháp giải tốn cực trị số ví dụ cụ thể áp dụng phương pháp mà qua thực tế giảng dạy, thấy giới thiệu cho học sinh em tự tin hơn, có định hướng lựa chọn xác phương pháp thích hợp để giải toán cực trị mạch điện xoay chiều, áp dụng tốt thi tự luận thi trắc nghiệm Tuy có nhiều cố gắng kinh nghiệm giảng dạy cịn hạn chế nên tơi tin đề tài cịn có thiếu sót Tơi mong nhận xét góp ý chân thành đồng chí đồng nghiệp em học sinh để đề tài hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm ĐƠN VỊ 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Văn Trào 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... số phương pháp để giải toán dạng Trong đề tài muốn giới thiệu số dạng toán cực trị mạch điện xoay chiều phương pháp giải để giúp em học sinh có nhiều phương pháp để giải lựa chọn cho phương pháp. .. 30 (), tụ điện có điện dung C = (H) điện trở (F) a Tìm R để cơng suất mạch đạt cực đại Tìm giá trị cực đại ? b Tìm R để cơng suất R cực đại Tìm giá trị cực đại ? Bài giải: *Phương pháp dùng BĐT... II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Qua tìm hiểu đề thi, nghiên cứu tài liệu tham khảo mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, tơi thấy có số dạng tốn cực trị thường gặp có phương pháp giải sau: DẠNG 1: BÀI TOÁN