Giảng dạy các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC I ĐẶT VẤN ĐỀ II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠN PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến Dạng 2: Sự tương giao hai đồ thị Dạng 3: Cực trị hàm số 10 Dạng 4: Diện tích hình phẳng 11 Dạng 5: Thể tích vật trịn xoay 13 B BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 14 C KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 18 D Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 19 III.KẾT THÚC 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Khảo sát vẽ đồ thị hàm số tốn bắt buộc kì thi tốt nghiệp THPT, song song với toán liên quan đến khảo sát hàm số như: viết phương trình tiếp tuyến đường cong, tương giao hai đồ thị, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, tính diện tích thể tích Đó kiến thức khơng thể thiếu kì thi tốt nghiệp THPT, kể kì thi Đại học, Cao đẳng Với học sinh có lực học trung bình trở xuống, toán liên quan tới khảo sát hàm số nêu tốn khơng đơn giản, nhiều em lúng túng khâu phân dạng định hình phương pháp giải, kĩ trình bày lời giải hạn chế Xuất phát từ thực tiễn học sinh đại trà trường ta yêu cầu đề thi TN THPT nêu “cấu trúc đề thi TN 2010” mạnh dạn chọn đề tài này, đề tài “giảng dạy số toán liên quan tới khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình”, nhằm tìm hiểu sâu thêm dạng này, cách hướng dẫn học sinh tiếp cận với cách dạng toán, sai lầm học sinh dễ mắc phải, giúp em học sinh ơn tập tốt cho kì thi TN THPT tới, rút học kinh nghiệm cho riêng phương pháp dạy đối tượng học sinh trung bình, yếu, kém, ơn thi TN THPT, … Tôi cho vấn đề lựa chọn nội dung phương pháp phù hợp việc giảng dạy cho học sinh trung bình, yếu, (nói phạm vi trường ta) dừng lại ý kiến ngắn ngủi cá nhân, mà cần phải tiếp tục bàn bạc, trao đổi, rút kinh nghiệm rộng rãi, cần đầu tư nghiên cứu, tìm hiểu, đánh giá cách toàn diện hơn, cần tiếp tục đưa sáng kiến giải pháp, đồng thời thực hành vận dụng chúng vào thực tế, kiên trì quan điểm “vừa nghĩ  vừa làm  vừa rút kinh nghiệm”, tuyệt khơng thể nhờ lí thuyết mà đưa phương án tối ưu giải vấn đề Mục đích nghiên cứu đề tài Đề xuất số phương pháp hướng dẫn học sinh diện đại trà ơn tập phần tốn liên quan tới khảo sát hàm số Chọn lọc số ví dụ điểm hình hệ thống số tập tương tự (chủ yếu đề thi TN THPT năm) làm tài liệu ôn tập Đề xuất việc phân chia tập thành nhóm:  Nhóm 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong; Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình  Nhóm 2: Sự tương giao hai đồ thị ;  Nhóm 3: Cực trị hàm số;  Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng;  Nhóm 5: Tính thể tích khối trịn xoay Góp phần tự bồi dưỡng, nâng cao kĩ nghiệp vụ chuyên môn thân Góp phần giúp em học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi TN THPT tới Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nêu bật phương pháp chủ yếu hướng dẫn học sinh trung bình ôn tập toán liên quan tới khảo sát hàm số Làm rõ để dạy cách có hiệu đối tượng học sinh trung bình, yếu, phải đảm bảo hai yêu cầu sau đây:  Về kiến thức, kĩ năng: đảm bảo bản, phù hợp với đối tượng học sinh, phù hợp với kì thi tốt nghiệp THPT  Về tiến trình ơn tập: phân loại dạng tập, nêu phương pháp làm cụ thể tỉ mỉ loại bài, lấy ví dụ minh hoạ, cung cấp hệ thống tập đề nghị học sinh làm, kiểm tra việc làm tập học sinh Phạm vi nghiên cứu Chương trình giải tích 12 (cơ bản) Đối tượng nghiên cứu Các toán liên quan tới khảo sát hàm số thường gặp kì thi TN THPT Các phương pháp dạy học mơn tốn Tân lí lứa tuổi nhận thức học sinh THPT Phương pháp nghiên cứu Tổng kết, đánh giá, so sánh, rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, trao đồng nghiệp, nghiên cứu tài liệu II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình A PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong Để làm toán viết phương trình tiếp tuyến đường cong em cần nắm kết quan trọng sau Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) M 0(x0,y0) điểm thuộc đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) M0(x0,y0) là: y = f’(x0)(x - x0) + y0 (*) x0: hoành độ tiếp điểm y0 = f(x0): tung độ tiếp điểm M0(x0,y0): tiếp điểm k = f’(x0): hệ số góc tiếp tuyến Từ ta có tốn viết phương trình tiếp tuyến đường cong (C) y = f(x) sau đây: Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số Phương pháp: - Bước 1: Tính đạo hàm cấp f’(x), tính f’(x0) - Bước 2: Áp dụng công thức (*), đưa phương trình dạng y = ax + b Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ x0 Phương pháp : - Bước 1: Thay x = x0 vào y = f(x) để tìm y0 (y0 = f(x0)) - Bước 2: Tính đạo hàm cấp f’(x), tính f’(x0); - Bước 3: Áp dụng cơng thức (*), đưa phương trình dạng y = ax + b Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ y0 Phương pháp: - Bước 1: Thay y = y0 vào y = f(x) để tìm x0 - Bước 2: Tính đạo hàm cấp f’(x), tính f’(x0) - Bước 3: Áp dụng cơng thức (*), đưa phương trình dạng y = ax + b Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình Bài tốn 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng y = ax + b Phương pháp: - Bước1: Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng y = ax + b nên có hệ số góc a - Bước 2: Tính đạo hàm cấp f’(x), giải pt f’(x0) = a để tìm x0 - Bước 3: Tìm y0 - Bước 4: Áp dụng cơng thức (*) Lưu ý với học sinh cần phải kiểm tra lại xem tiếp tuyến tìm có trùng với đường thẳng đề cho hay không Bài tốn 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) vng góc với đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) Phương pháp: - Bước1: Vì tiếp tuyến cần tìm vng góc với đường thẳng y = ax + b nên tiếp tuyến có hệ số góc -1/a - Bước 2: Tính đạo hàm cấp f’(x), giải PT f’(x0) = -1/a để tìm x0 - Bước 3: Tìm y0 - Bước 4: Áp dụng cơng thức (*) Bài tốn 6: Viết PT tiếp tuyến (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k Phương pháp: (Bài toán khái quát toán toán 5) �y  f (x) - Bước 1: Giải hệ phương trình � , nghiệm hệ toạ độ tiếp điểm k  f '(x) � - Bước 2: Quay trở thực toán Bài toán 7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) qua điểm M1(x1;y1) Phương pháp: - Bước 1: Giả sử M0(x0,y0) tiếp điểm, tiếp tuyến có PT y = f’(x0)(x - x0) + f(x0) - Bước 2: Do M1 thuộc tiếp tuyến nên y1 = f’(x0)(x1 - x0) + f(x0) Từ tìm x0 thay vào phương trình nêu bước để tiếp tuyến cần tìm * Chú ý: Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải là: em thay toạ độ điểm M vào phương trình y = f(x) thấy thoả mãn, em sử dụng toán để làm dẫn tới tốn thiếu nghiệm Do dạy cần nhấn mạnh để em phân biệt khác hai toán toán 7: Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình Bài toán 1: Tiếp tuyến “TẠI” điểm (chỉ có đáp số); Bài tốn 7: Tiếp tuyến “ĐI QUA” điểm, điểm nằm hay khơng nằm đường cong (có thể nhiều đáp số) nên cần ý hai từ “ TẠI” “ĐI QUA” để lựa chọn toán tốn Ví dụ áp dụng:  Ví dụ Cho hàm số y = 4x3-6x2+4x -1 có đồ thị (C) a Viết phương trình tiếp tuyến (C) TẠI điểm M0(0; 1) b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ 2; c Viết PT tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x – d Chứng minh (C) không tồn hai điểm mà tiếp tuyến vng góc với  Hướng dẫn giải Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y – y0 = y’(x0)(x – x0) a Đề cho x0 = 0, y0 = 1, y’ = 12x2 - 12x + 4, y’(0) = 4, nên tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = 4(x  0)   y = 4x  b Thay x0 = phương trình (C) ta y0 = 15 Ta có y’ = 12x2 - 12x + suy hệ số góc tiếp tuyến y’(2) = 28 Vậy phương trình tiếp tuyến điểm M(2; 15) y = 28x – 41 c Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) nên hệ số góc tiếp tuyến k = 4, ta có: x  � y  1 � y’(x0) =  12x20 -12x0 + =  x20-x0 = � � x  � y0  � Phương trình tiếp tuyến A(0, -1) y = 4x – (loại trùng với (d)) Phương trình tiếp tuyến B(1, 1) y = 4x – (thoả mãn) Vậy tiếp tuyến cần tìm y = 4x – d Hệ số góc tiếp tuyến x 12x20 - 12x0 + > với x0, tồn hai điểm x1, x2 để y’(x1).y’(x2) = -1, nghĩa (C) không tồn hai điểm mà tiếp tuyến vng góc với  Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến (C): y  f ( x)  x biết: x a Tiếptuyến có hệ số góc k = 1/9 Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình b Tiếp tuyến vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai c Đi qua điểm (0, -2)  Hướng dẫn giải Phương trình tiếp tuyến có dạng y – y0 = y’(x0)(x – x0) � �  x  4, y  � � �(x  1) �� a Với x 1, ta có y’ = Xét hệ phương trình � (x  1) x  � �y  x  2, y  � � � � x 1 2 Tiếp tuyến (C) điểm A(4; ) có PT y  (x  4)  � y  x  9 4 14 Tiếp tuyến (C) điểm B(2; ) có PT y  (x  2)  � y  x  9 14 Vậy có hai tiếp tuyến (C) có hệ số góc k = 1/9 y  x  , y  x  9 9 b Vì tiếp tuyến vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai y = -x nên ta có: (-1).f’(x0) = -1  f’(x0) = � 1  (x  1) x  � y0  � (x0 - 1)2 = � � x  � y0  � Vậy có hai tiếp tuyến y = x + y = x – x0  , x �1 Phương trình tiếp tuyến c Giả sử M0(x0; y0) tiếp điểm với y0  f (x )  x0 1 (C) M0 y = f’(x0)(x - x0) + f(x0) hay y  x0  (x  x )  Vì (0; 2) thuộc tiếp x0 1 (x  1) x0  � x0  � (0  x )  � tuyến nên 2  � x0  x0  (x  1) �  Với x0 = k = 1: ta có tiếp tuyến y = x –  Với x0 = k = 9: ta có tiếp tuyến y = 9x – Nhận xét  Trong ví dụ ý d khó so với số học sinh GV cần dẫn dắt học sinh bước Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình  Cần lưu ý học sinh, để viết PT tiếp tuyến đồ thị hàm số ta cố gắng tìm tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến  Chú ý học sinh không viết PTTT sau y = 4(x  0)  = 4x   Hai tiếp tuyến ý a ví dụ viết x  9y   0, x  9y  14  − Cho hai đường thẳng 1 : y  a1x  b1;  : y  a x  b Khi a  a2 � 1 //  � �1 ; b1 �b � a  a2 � 1 � � �1 ; b1  b � 1   � a1.a  1 − Cho hai đường thẳng d1 : a1x  b1y  c1  0; d : a x  b y  c  Ta nhớ lại d1 / /d � a1 b1 c1 a b c  � (a , b ,c �0);d1 �d �   (a , b ,c �0);d1  d � a1.a  b1.b  a b c2 a b2 c2 Dạng 2: Sự tương giao đồ thị Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm PT g(x,m) = theo tham số m Phương pháp: - Bước 1: Đưa phương trình g(x,m) = dạng f(x) = h(m) (1) với f(x) đồ thị hàm số vừa khảo sát - Bước 2: (1) phương trình hồnh độ điểm chung hai đồ thị (C) (d) y = h(m), số nghiệm (1) số điểm chung (C) (d) y = h(m) ((d) đường thẳng nằm ngang) - Bước 3: Dựa vào đồ thị để biện luận (sử dụng điểm cực đại, cực tiểu) * Chú ý: Bài tốn hỏi trường hợp: chẳng hạn dựa vào đồ thị để tìm m để phương trình có nghiệm, nghiệm, nghiệm phân biệt Bài toán : Biện luận theo tham số số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) đường thẳng có hệ số góc k ≠ Phương pháp: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm - Đưa phương trình hoành độ pt quen thuộc biết cách giải pt bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc bốn trùng phương, -Biện luận  Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x3+ 3x + (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm PT x3 – 3x + m = theo m c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình  Hướng dẫn giải: a Học sinh tự làm b Phương trình x3 – 3x + m =  - x3 + 3x + = m + phương trình hồnh độ điểm chung đồ thị (C) đường thẳng (d) y = m + Số nghiệm phương trình số giao điểm (C) (d) Dựa vào đồ thị ta thấy: m   3 m  4 � � �� + Nếu � (C) cắt (d) điểm pt có nghiệm m 1  m2 � � m   3 m  4 � � �� + Nếu � pt có hai nghiệm m 1  m2 � � m   3 m  4 � � �� � 4  m  phương trình có nghiệm phân biệt + Nếu � m 1  m2 � � Khơng nên trình bày lời giải theo cách + Nếu m + < -3 m + > tức m < -4 m > (c) cắt (d) điểm phương trình có nghiệm + Nếu m + = -3 m + = tức m = - m =2 phương trình có nghiệm + Nếu -3 < m + <  - < m < phương trình có nghiệm phân biệt c Học sinh tự làm  Ví dụ 2: Chứng minh đồ thị (C) y = x cắt đường thẳng y = m – x hai điểm x 1 phân biệt với giá trị m  Hướng dẫn giải x 1 mx Ta có x 1 (C) ln cắt (d) phương trình �x   (m  x)(x  1)  x �  �  � x 1  m  x (1) có nghiệm (  m) x 1 � �x  (2  m)x  m   (2) � �x �1 Xét phương trình (2) có  = m2 + > m x = -1 không thoả mãn (2) nên phương trình ln có hai nghiệm khác -1 Vậy (C) cắt (d) hai điểm phân biệt với m  Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = x cắt đường thẳng (d) y = x + m hai điểm phân x 1 biệt Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình  Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng (d) � g(x)  x  mx  m   (2) �x   (x  m)(x  1) x 1 � � = x + m (1) Đồ thị hàm số � � x 1 �x �1 �x �1 y= x 1 cắt (d) hai điểm phân biệt � (1) có hai nghiệm phân biệt � (2) có hai nghiệm x 1 �  g  (m  2)  � phân biệt khác �۹� g(1) �0 �  m Chú ý: yêu cầu học sinh cần làm tập tương tự ba ví dụ Dạng 3: Cực trị hàm số Bài tốn 1: Tìm tham số để hàm số y = f(x) có cực trị (có cực đại cực tiểu) (xét toán mà y’ tam thức bậc hai y’ hàm phân thức mà tử thức tam thức bậc hai) Phương pháp: Tính y’, y = f(x) có cực trị y’ = có hai nghiệm phân biệt, giải bất phương trình  > tìm giá trị tham số Bài tốn 2: Chứng minh hàm số y = f(x) có cực trị với giá trị tham số Phương pháp: Tính y’, tính  khẳng định  > với giá trị tham số, từ suy điều phải chứng minh Bài tốn 3: Tìm tham số để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) điểm x = x (chỉ luyện hàm số bậc hàm trùng phương) Cách 1: Điều kiện cần: hàm số đạt cực đại (cực tiểu) điểm x f’(x0) = 0, từ tìm giá trị tham số Điều kiện đủ: thay giá giá trị tham số tìm vào hàm số y = f(x), xét biến thiên tường hàm số tương ứng kết luận Cách 2: f '(x )  � f ''(x )  � Hàm số đạt cực trị tiểu (cực đại) điểm x � � � f '(x )  � hay � �, giải hệ ta � � f ''(x )  � � � � tìm giá trị tham số Ví dụ áp dụng: Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 10  Ví dụ 1: Chứng minh với m hàm số y = x - mx2 - 2x + ln có cực đại cực tiểu  Hướng dẫn giải Ta có y’ = 3x2 - 2mx - 2, có  = m2 + > với m Do y’ ln có hai nghiệm phân biệt với m Vậy hàm số có hai cực trị: cực đại cực tiểu  Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = x3 - 2mx2 + m2x + đạt cực tiểu x0 =  Hướng dẫn giải Ta có y’ = 3x2 – 4mx + m2 Hàm số đạt cực tiểu x0 = �� m 1 � m  4m   �y '(1)  �� �� � �� m  � m  Vậy m = giá trị cần tìm �  4m  �y ''(1)  � � m  3/ �  Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m + 1)x - 2(m - 1)x2 Tìm m để hàm số đạt cực trị Tại gốc toạ độ điểm cực đại hay cực tiểu ?  Hướng dẫn giải Ta có y’ = 4(m + 1)x3 - 4(m - 1)x = 4x[(m + 1)x - (m - 1)], y’ =    m  0 m m 1  x 0 �  m m    �  Hàm số đạt ba cực trị   � m 1 m  1 (m  1) x m  � m  0  m 1 Vậy với m < -1 m > hàm số có cực trị Khi hồnh độ điểm cực trị là: x1= , x2,3= m m 1 y’’=12(m + 1)x2 - 4(m - 1)  y’’(0) = -4(m - 1) Nếu m > y’’(0) < gốc toạ độ điểm cực đại Nếu m < y’’(0) > gốc toạ độ điểm cực tiểu  Ví dụ 4: Cho hàm số y = (m  1) x  (m  2) x  (m  3) x (m �1) Tìm m để đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu  Hướng dẫn giải Ta có y’ = (m +1)x2 - 2(m + 2)x + m + 3, y’’= 2(m + 1)x - 2(m + 2)  y ' (0) 0  m  0    m  3  y ' ' (0)    2(m  2)  Hàm số đạt cực tiểu O(0,0) khi:  Vậy với m = -3 đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 11 Dạng 4: Diện tích hình phẳng Đối với em học sinh yếu yêu cầu em nắm hai toán sau phương pháp giải chúng: Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y =f(x) (C), y = (trục hoành Ox), b f ( x) dx (1) đường thẳng x = a, x = b (a < b) S  � a Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y =f(x) (C), y = g(x) (C’), b f ( x )  g ( x ) dx (2) đường thẳng x = a, x = b (a < b) S  � a Phương pháp: Khi áp dụng công thức (1), (2), cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Có nhiều cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như: Dựa vào đồ thị, chia khoảng lập bảng xét dấu Tuy nhiên học sinh yếu phương pháp tối ưu là: Giải phương trình: f(x) – g(x) = đoạn  a; b  Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d) Khi f(x) – g(x) khơng đổi dấu đoạn  a; c  ,  c; d  ,  d ; b  đó: b c d b a a c d S � f ( x)  g ( x) dx  � f ( x)  g ( x) dx  � f ( x)  g ( x) dx  � f ( x)  g ( x) dx  c d b a c d  f ( x)  g ( x) dx  �  f ( x)  g ( x)dx  �  f ( x)  g ( x) dx � Nếu đề chưa cho đường thẳng x = a, x = b ta phải giải PT f(x) – g(x) = 0, a nghiệm nhỏ nhất, b nghiệm lớn Với câu hỏi dạng gắn tiếp sau câu khảo sát vẽ đồ thị hàm số giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào đồ thị để giải dấu giá trị tuyệt đối tích phân Ví dụ áp dụng:  Ví dụ 1: Cho hàm số y  1 x  x  x  có đồ thị (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) đường thẳng y = 0, x = -1 x= Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 12  Hướng dẫn giải: �3 x S  x  3x  dx  1  Ví dụ 2: Cho hàm số y  26 (đvdt) 2x  có đồ thị (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) x 1 đường thẳng y  x  S  Đáp số: 35  3ln (đvdt) Dạng 5: Thể tích vật trịn xoay Bài tốn 1:Thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (D) giới hạn đường y =f(x) (C), y = (trục hoành Ox), đường thẳng x = a, x = b (a < b) xung b  f ( x)  dx (1) quanh Ox V   � a Bài toán 2: Thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (D) giới hạn đường y =f(x) (C), y = g(x) (C’), đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh b f ( x )  g ( x) dx (2) Ox V   � a Ví dụ áp dụng:  Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3 + x2 - x + có đồ thị (C) Tính thể tích vật trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y = 0, x = 0, x = đồ thị (C) xung quanh trục hoành  Hướng dẫn giải Thể tích vật trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y = 0, x = 0, x = đồ thị (C) xung quanh trục hoành : 1 V  �  x  x  x  1 dx   �  x  2x  x  3x  2x  1 dx  2 0 29 (đvtt) 105 *Chú ý : Ở câu b thể tích vật thể cần sử dụng công thức (1), nhiên khó câu khai triển biểu thức (x3 + x2 - x + 1)2 ta hướng dẫn học sinh sau (x3 + x2 – x + 1)2 = [(x3 + x2) - (x - 1)]2= (x3 + x2)2 - 2(x3 + x2).(x - 1) + (x - 1)2 = x6 + 2x5 - x4 + 3x2 - 2x + Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 13  Ví dụ 2: Cho hàm số y  x 1 có đồ thị (C) Tính thể tích vật trịn xoay thu quay x hình phẳng giới hạn đường xung y   Hướng dẫn giải x 1 hai trục Ox , Oy quanh trục hoành x Ta thấy đồ thị hàm số cho cắt Ox điểm có hồnh độ x = -1 Bài tốn trở thành tính thể tích vật trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y x 1 , y  0, x  1, x  xung quanh Ox Gọi V thể tích cần tìm x 1 2 0 � 4 � �0 �x  � � � � V  � dx    dx   1  dx  �x  4ln x   � � � � � �1   (3  ln 2) (đvtt) � � � x  x  x  ( x  1) x  � � � � � � � � 1 1 1 B.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Cho hàm số y =-x3 + 3x2 - 3x + 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi A giao điểm (C) trục tung Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) A Tìm diện tích hình phẳng giới hạn (C) (d) Bài 2: Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Một đường thẳng d qua gốc toạ độ O có hệ số góc m Biện luận số giao điểm (C) d theo m Khi d tiếp xúc với (C) điểm khác gốc toạ độ, tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) d Bài 3: Cho hàm số y = x(3 - x)2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục hoành đường thẳng x = 2, x = Một đường thẳng qua gốc toạ có hệ số góc k Với giá trị k d cắt (C) ba điểm phân biệt Bài 4: Cho hàm số y = x3 - mx + m – , m tham số khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình x3 - 3x – k + = Bài 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 3mx + 3m + Xác định m để hàm số có cực trị Giảng dạy tốn liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 14 Xác định m để (Cm) nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng Xác định m để trục hoành tiếp tuyến đường cong (Cm) Bài 6: Cho hàm số y = 2x2-x4 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 - 2x2 + m = Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hồnh Bài 7: Cho hàm số y = x4/2 – ax2+b Tìm a b để hàm số đạt cực trị -2 x = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số(C) với giá trị a b tìm câu a Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hoành Bài 8: Cho hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1, m tham số (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng.Tìm hồnh độ giao điểm Bài 9: Cho hàm số y  2x  x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) đường thẳng y  x 1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm (0; 2) tiếp xúc với đồ thị (C) Bài10: Cho hàm số y  (m  1)x  m  , m tham số mx Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2 Với giá trị m hàm số đồng biến khoảng xác định 3.Tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn (C) , trục Ox , Oy đường thẳng x = 4.Tính thể tích vật trịn xoay quay (D) xung quanh Ox Bài 11: (TN THPT 2009) Viết PTTT đồ thị hàm số y  2x  biết tiếp tuyến có hệ số góc x2 k = −5 Bài 12: (TN THPT 1983) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   1 x đường thẳng y = − x Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 15 Bài 13: (TN THPT 1984) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x)  m   mx  x4 (khi m =  1) với trục hoành Bài 14: (TN THPT 1985) Cho hàm số y  2x  x4 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) điểm M(3; −2) 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), (d) trục Oy Bài 15: (TN THPT 1988) Cho hàm số y  2x  2x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục hồnh đường thẳng x = −2 3) Chứng minh với k �0 đường thẳng y = kx cắt (C) hai điểm phân biệt Bài 16: (TN THPT 1992) Cho hàm số y = 3x2 − x3 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi A, B hai điểm thuộc (C), với xA nghiệm phương trình y’’ = 0, cịn x B = Viết phương trình tiếp tuyến (C) A B Tìm giao điểm D hai tiếp tuyến 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn cung AB (C) đoạn thẳng AD, BD Bài 17: (TN THPT 1993) Cho hàm số y = x3 − 6x2 + 9x 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết PTTT (C) điểm M thuộc (C), với xM nghiệm phương trình y”= 3)Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 6x2 + 9x − m = Bài 18: (TN THPT 1997−lần 1) Cho hàm số y = x3 − 3x + 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục hoành, trục tung đường thẳng x = −1 3) Một đường thẳng (d) qua I có hệ số góc k, điểm I thuộc (C) x I nghiệm phương trình y”= Biện luận theo k số giao điểm (C) (d) Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (C) đường thẳng (d) k = 1 4 Bài 19: (TN THPT 1997−lần 2) Cho hàm số y   x  2x  1) Khảo sát vẽ đồ thị (G) hàm số 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (G) trục Ox Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 16 3) Viết PTTT (G) điểm có hồnh độ x0 = Bài 20: (TN THPT 1998−lần 1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m − 2, với m tham số 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Gọi A giao điểm (C) Oy Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) A Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) (d) Bài 21: (TN THPT 1998−lần 2) Cho hàm số y = 2x 1) Khảo sát vẽ đồ thi (C) hàm số 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), Ox, đường thẳng x = −2, x = 3) Dựa vào đồ thị, biện luận theo k số điểm chung (C) đường thẳng y = k Bài 22: (TN THPT 2002) Tìm m để phương trình x  2x  m  có bốn nghiệm phân biệt Bài 23: (TN BTTHPT 2004) Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 4m3 (Cm), m tham số 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C1) hàm số m = 2) Viết PTTT (C1) điểm có hồnh độ x0 = 3) Xác định m để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C m) đối xứng với qua đường thẳng y = x Bài 24: (TN THPT 2004) Cho hàm số y  x  x 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến qua A(3; 0) 3) Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn (C) đường thẳng y = 0, x = 0, x = quay quanh trục Ox Bài 25: (TN THPT 2005) Cho hàm số y  2x  x 1 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Ox, Oy 3) Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến qua A(−1; 3) Bài 26: (TN BTTHPT 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C)y = x + 3x2 , trục hoành, đường thẳng x = −2, x = −1 Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 17 Bài 27: (TN THPT 2006 − khơng phân ban) Tìm m để đường thẳng y = x + m − m qua trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 6x2 + 6x Bài 28: (TN THPT 2007 − lần − phân ban) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x 1 y giao điểm đồ thị với trục tung x2 Bài 29: (TN THPT 2008 − lần − phân ban) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 − 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x3 + 3x2 − = m Bài 30: (TN THPT 2008 − lần − phân ban) Viết phương trình tiếp tuyến (C) y  điểm có tung độ y = −2 3x  x 1 C KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 18 …………………………………………………………………………………………………… ………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… D Ý KIẾN ĐỀ XUẤT Để dạy đối tượng học sinh trung bình, yếu, kém, giáo viên cần kiên trì, lựa chọn lượng kiến thức phù hợp, phương pháp tiếp cận phù hợp, tập trung vào trọng tâm kiến thức, phần khác giới thiệu Tôi đồng ý với quan điểm cho đầu vào tuyển sinh trường ta mức thấp, học sinh bị hổng kiến thức nhiều, muốn bù đắp phần thiếu hụt từ lớp 10 giáo viên cần có kế hoạch phân loại học sinh, nắm bắt tình hình học tập học sinh, kịp thời phụ đạo cho học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh yếu, Công việc phụ đạo để lấp lỗ hổng kiến thức thực thời gian ngắn Giáo viên cần giúp học sinh xác định rõ mục đích học tập, hướng dẫn em phương pháp học lớp tự học nhà Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 19 Với đối tượng học sinh yếu, kém, đa số có ý thức tự học thấp, giáo viên cần thường xuyên kiểm tra, đôn đốc Chúng ta nên nghĩ rằng, lần học sinh bị điểm kém, họ cần lời động viên, cần dẫn để vượt qua khó khăn đó, lời phê bình, hay trách phạt Nhưng học sinh nghĩ việc bị điểm khơng may, việc bình thường, điều khơng ảnh hưởng đến họ thường xun để điều xảy ra, … giáo viên cần có xử lí nghiêm khắc, phải cho học sinh thấy điểm số họ phản ánh phần chất học tập họ Và họ bị đối xử khác từ phía người thân thể chất học tập khác ……………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… III KẾT THÚC Qua việc thực chuyên đề lớp 12A9 trường THPT Yên Phong số - Bắc Ninh năm học 2009 - 2010 lớp có lực học yếu khối, qua việc trao đổi với nhiều đồng nghiệp dạy ôn thi TN THPT, ôn lớp mà học sinh có lực học mơn tốn mức trung bình (hoặc yếu, kém) ngồi trường, qua tham khảo tài lệu, qua yêu cầu cụ thể kì thi TN THPT tơi nhận thấy việc giảng dạy cho học sinh trung bình, đặc biệt học sinh yếu, (nói riêng mơn tốn) để họ đạt yêu cầu tối thiểu giáo dục phổ thông, để họ đủ tự tin thi TN THPT vất vả Yêu cầu giáo viên dạy đối tượng phải có trách nhiệm cao, tỉ mỉ, kiên nhẫn biết chịu đựng cơng việc Bên cạnh phải hiểu tâm lí em, thơng cảm chia sẻ với em, kết hợp với phương pháp dạy phù hợp với tư em, giúp em có hứng thú, có nhu cầu học mơn tốn từ em tự giác học tập, có ý thức vươn lên Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 20 Trên quan điểm cá nhân vấn đề “Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình’’, chắn cịn nhiều thiếu sót, mong đồng chí đóng góp ý kiến để tơi giảng dạy có hiệu tốn tơi nêu trên, góp phần giúp em học sinh ôn tập tốt hơn, chuẩn bị tốt cho kì thi TN trung học phổ thơng Tơi vơ cảm tạ! Yên Phong, ngày 01 tháng năm 2010 NGUYỄN VĂN XÁ TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12 (cơ bản) 2.Sách tập giải tích 12 (cơ bản) Tài liệu chuẩn kiến thức, kĩ Tốn 12 Sách giáo viên giải tích 12 (cơ bản) Đề thi TN THPT năm Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 21 ... với số học sinh GV cần dẫn dắt học sinh bước Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình  Cần lưu ý học sinh, để viết PT tiếp tuyến đồ thị hàm số ta... em phương pháp học lớp tự học nhà Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 19 Với đối tượng học sinh yếu, kém, đa số có ý thức tự học thấp, giáo viên... đường thẳng y = − x Giảng dạy toán liên quan đến khảo sát hàm số thi TN THPT dành cho học sinh trung bình 15 Bài 13: (TN THPT 1984) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x)  m