giảng dạy số phức ở trường phổ thông

SỞ GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ - SÁNG KIẾN ĐĂNG KÍ CẤP NGÀNH GIẢNG DẠY SỐ PHỨC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Tác giả SKKN: NGUYỄN VĂN XÁ Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Tổ Toán - Trường THPT Yên Phong số Bộ mơn (Chun ngành): Tốn N PHONG, THÁNG 12 NĂM 2014 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CƠ SỞ KHOA HỌC Chương 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 11 Chương 3: NHỮNG GIẢI PHÁP CỤ THỂ 12 Các phép toán tập số phức 12 Biểu diễn hình học số phức … 17 Giải phương trình tập số phức ………………… 20 Dạng lượng giác số phức 23 Chương 4: KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG 27 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH 31 MỞ ĐẦU MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN Xét tập số thực ℝ phương trình bậc có nghiệm, phương trình bậc hai có biệt thức ∆ ≥ có hai nghiệm (phân biệt trùng nhau), có phương trình bậc hai đơn giản, chẳng hạn x + = , lại vơ nghiệm Năm 1545 nhà tốn học G.Cardano (1501- 1576) người Italia giải vấn đề nghiệm phương trình x + = cách đưa vào kí hiệu phương trình này, dĩ nhiên −1 để biểu diễn nghiệm −1 ∉ ℝ Tiếp theo đó, ơng kí hiệu nghiệm phương trình x = −b ( b ∈ ℝ \ {0} ) b −1 nghiệm phương trình ( x − a )2 = −b2 ( a ∈ ℝ , b ∈ ℝ \ {0} ) a + b −1 Cardano gọi a + b −1 (a, b ∈ ℝ ) đại lượng ảo, để thể đại lượng khơng có thực, đại lượng giả tưởng Năm 1572, cơng trình có tên Bologne (Đại số), nhà toán học Italia R.Bombelli (1526-1573) định nghĩa phép toán số học đại lượng ảo Ông xem người sáng tạo nên lí thuyết số ảo, người thấy lợi ích việc đem số ảo vào tốn học cơng cụ hữu ích Nhà toán học Pháp D’Alembert (1717-1783) vào năm 1746 đưa dạng tổng quát số phức, đồng thời chấp nhận nguyên lí tồn n nghiệm phương trình đa thức bậc n Nhà tốn học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) đề xuất kí hiệu " " để bậc hai −1 gọi đơn vị ảo (imaginary unit number), đến năm 1801 nhà toán học Đức C.F.Gauss (1777-1855) dùng lại kí hiệu Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh người sử dụng thuật ngữ số phức để đại lượng ảo Tuy nhiên kí hiệu i = −1 gây nhiều tranh cãi nghi ngờ giới toán học Nhà bác học I.Newton (1643-1727) người Anh người không thừa nhận số ảo Đẳng thức đáng ngờ i = −1 phá vỡ quan hệ thứ tự quen thuộc ℝ Người có cơng lao biến số phức từ số giả tưởng với tính chất bí hiểm i = −1 thành số có thật nhà bác học Ireland W.R.Hamilton (1805-1865) Năm 1837, Hamilton xây dựng lí thuyết số phức cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề để từ số phức trở thành số quen thuộc với người làm toán số truyền thống Càng ngày người ta thấy số phức có vai trị vơ quan trọng tốn học khoa học - kĩ thuật Nhiều nhà toán học tiếng Euler, Gauss, G.F.B.Riemann (1826-1866), A.L.Cauchy (1789- 1857), K.T.W Weierstrass (1815-1897) nhiều nhà toán học khác kỉ XX có đóng góp to lớn cho phát triển lí thuyết số phức giải tích phức Giải tích phức, đặc biệt lí thuyết ánh xạ bảo giác, có nhiều ứng dụng khí Nó sử dụng lí thuyết số giải tích Ngày giải tích phức nghiên cứu nhiều với ứng dụng động lực phức fractal Ứng dụng quan trọng khác giải tích phức lí thuyết dây Ở Việt Nam, nhiều nhà khoa học có đóng góp quan trọng nghiên cứu giảng dạy giải tích phức Đối với chương trình tốn học phổ thơng, số phức đưa vào cuối lớp 12 Số phức khái niệm mới, việc làm quen, sử dụng ứng dụng số phức vào giải toán học sinh cịn gặp nhiều khó khăn Xuất phát từ việc tìm hiểu lịch sử phát triển lí thuyết số phức Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh giải tích phức, hiểu tầm quan trọng số phức toán học khoa học - kĩ thuật, xuất phát từ thực trạng dạy - học nội dung số phức thời gian qua Trường THPT Yên Phong số 2, để giúp thân em học sinh định hình tốt dạng tốn thường gặp số phức số ứng dụng sơ cấp số phức, đặc biệt dạng toán xuất gần đề thi TN THPT, thi ĐH-CĐ, thi HSG, đề thi thử địa phương, … mạnh dạn lựa chọn đề tài “Giảng dạy số phức trường phổ thông” Thông qua việc phân dạng số dạng toán thường gặp số phức, giáo viên có nhìn tồn diện sâu sắc chủ đề số phức chương trình tốn phổ thơng, chọn lựa phương án tốt cho giảng mình, giúp học sinh làm quen với số phức, rèn kĩ giải toán số phức ứng dụng số phức giải số toán sơ cấp đơn giản, phát triển tư logic cho học sinh, đồng thời nâng cao chất lượng học tập học sinh, tạo hứng thú học tập mơn tốn, phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh, góp phần đổi phương pháp nâng cao chất lượng dạy - học mơn tốn nói chung chủ đề số phức nói riêng ĐĨNG GĨP CỦA SÁNG KIẾN Góp phần nâng cao nhận thức kĩ cho người dạy người học nội dung số phức, làm rõ số tính chất số phức, phân số dạng toán thường gặp số phức, bước đầu tiếp cận số ứng dụng số phức giải toán đại số, lượng giác hình học Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh CHƯƠNG CƠ SỞ KHOA HỌC CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm số phức Một số phức biểu thức dạng z = a+bi, a b số thực số i thỏa mãn i2=-1, i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức Cách viết z = a+bi gọi dạng đại số số phức Tập hợp số phức kí hiệu ℂ Mỗi số thực a coi số phức với phần ảo 0, z = a + 0.i ∈ ℂ Do đó, xem ℝ tập ℂ Số phức có phần thực gọi số ảo (số ảo) Đơn vị ảo i số ảo, số = + 0i vừa số thực vừa số ảo Hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ℝ ) gọi nhau, viết z = z ' , a = a ', b = b ' Với a, b ∈ ℝ, số phức z = a + bi tương ứng với điểm M (a; b) mặt tọa độ Oxy Ta gọi M (a; b) biểu diễn hình học số phức z = a + bi Những số thực có biểu diễn hình học điểm thuộc trục Ox, số ảo có biểu diễn hình học điểm thuộc trục Oy Vì trục Ox cịn gọi trục thực, trục Oy gọi trục ảo Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng phức Ta để ý mặt phẳng Oxy M (a; b) OM = ( a; b ) Giả sử điểm M , N biểu diễn hình học số phức z z ' z = z ' OM = ON Giả sử số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) có biểu diễn hình học điểm Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh M (a; b) mặt phẳng Oxy M1 (a; −b), M (− a; −b) điểm đối xứng với M qua trục hoành qua gốc tọa độ Gọi z1, z2 số phức có biểu diễn hình học M1, M tương ứng Ta gọi z1 số phức liên hợp z , kí hiệu z , gọi z2 số đối số phức z , kí hiệu − z Như ( a + bi ) = a − bi − ( a + bi ) = (−a ) + (−b)i, với a, b ∈ ℝ Ta dễ dàng kiểm tra z = z −(− z ) = z Độ dài vectơ OM = ( a; b ) gọi môđun số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , kí hiệu z Như a + bi = a + b2 (a, b ∈ ℝ) Với z ∈ ℂ ta có z = z = − z ≥ 0, đẳng thức xảy z = 1.2 Một số phép toán ℂ 1.2.1 Phép cộng a) Tổng hai số phức Tổng hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ℝ ) số phức z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i Nếu hai số phức z , z ' có biểu diễn hình học điểm M , N mặt phẳng Oxy, điểm T biểu diễn hình học số phức z + z ' OM + ON = OT Phép tốn tìm tổng hai số phức gọi phép cộng số phức b) Tính chất phép cộng số phức Phép cộng số phức có tính chất sau đây, tương tự phép cộng số thực • Tính chất kết hợp ( z + z ') + z '' = z + ( z '+ z '') , ∀z, z ', z '' ∈ ℂ Nhờ đó, ta viết z + z '+ z '' để tổng ( z + z ') + z '' • Tính chất giao hốn z + z ' = z '+ z , ∀z ∈ ℂ • Cộng với (phần tử trung hòa phép cộng) z + = + z = z,∀z ∈ℂ Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh • Với z ∈ ℂ , số đối − z tồn nhất, z + (− z ) = • z + z ' ≤ z + z ' , ∀z , z ' ∈ ℂ • z + z ' = z + z ', ∀z , z ' ∈ ℂ 1.2.2 Phép trừ a) Hiệu hai số phức Hiệu hai số phức z z ' tổng z với − z ' , tức z − z ' = z + (− z ') Nếu z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ℝ ) z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i Nếu hai số phức z , z ' có biểu diễn hình học điểm M , N mặt phẳng Oxy, điểm H biểu diễn hình học số phức z − z ' OM − ON = OH Phép tốn tìm hiệu hai số phức gọi phép trừ số phức b) Tính chất phép trừ số phức Phép trừ số phức có tính chất sau đây, tương tự phép trừ số thực • z − ( z '+ z '') = ( z − z ') − z '', ∀z , z ', z '' ∈ ℂ • z − ( z '− z '' ) = ( z − z ') + z '', ∀z , z ', z '' ∈ ℂ • z − = z,0 − z =−z, z − z = 0,∀z ∈ℂ • z − z ' = z − z ', ∀z , z ' ∈ ℂ 1.2.3 Phép nhân a) Tích hai số phức Tích hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ℝ ) số phức zz ' = (aa '− bb ') + (ab '+ a ' b)i Phép tốn tìm tích hai số phức gọi phép nhân số phức b) Tính chất phép nhân số phức • Tính chất giao hốn zz ' = z ' z , ∀z , z ' ∈ℂ Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh • Tính chất kết hợp z ( z ' z '') = ( zz ') z '', ∀z , z ', z '' ∈ ℂ Để tích ( zz ') z '' ta viết zz ' z '' Với n số nguyên dương, với số phức z , để tích z.z z ta viết z n • Nhân với (phần tử đơn vị phép nhân) z.1 = 1.z = z , ∀z ∈ℂ • Tính chất phân phối z ( z '+ z '') = zz '+ zz '', z ( z '− z '') = zz '− zz '',∀z, z ', z '' ∈ℂ • zz ' = z z ', ∀z , z ' ∈ℂ Do z n = z n , ∀z ∈ ℂ, ∀n ∈ ℕ * • z = z.z , ∀z ∈ ℂ • zz ' = z z ' , ∀z , z ' ∈ ℂ Do z n = z , ∀z ∈ ℂ, ∀n ∈ ℕ * n • i n = 1,i n−3 = i, i n−2 = −1,i n−1 = −i,∀n ∈ ℕ * 1.2.4 Phép chia cho số phức khác Số nghịch đảo số phức z khác số z −1 = Thương z' phép chia số phức z ' cho số phức z ≠ tích z z ' với số phức nghịch đảo z , tức z z2 z' = z ' z −1 Như vậy, z ≠ z z' z'z z'z z' z'z −1 = , đặc biệt = z Nhận thấy = = , nên để tính z z z z zz z z' ta việc nhân tử số mẫu số với số phức liên hợp mẫu z z' z'  z' z' Dễ thấy, với z , z ' ∈ ℂ, z ≠ 0, ta có   = = z z z z 1.2.5 Căn bậc n số phức Số phức w gọi bậc n (n ∈ ℤ, n ≥ 2) số phức z wn = z Mỗi số phức z ≠ ln có n bậc n ( n ∈ ℤ , n ≥ ) n số phức Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 1.3 Phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai Az + Bz + C = (1) với hệ số A, B, C số thực phức, A ≠ , z biến số phức Đặt ∆ = B − AC Khi - Nếu ∆ ≠ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = −B ± δ , δ bậc hai ∆ 2A - Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép z1 = z2 = − B 2A Trong hai trường hợp ta có B  S = z + z = −  A  C P = z z =  A Người ta chứng minh phương trình bậc n An z n + + A1z + A0 = (2) (trong n số nguyên dương, n + hệ số A0 , A1, , An số phức, An ≠ ) có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt) Hơn nữa, z0 nghiệm phương trình (2) A0 , A1, , An số thực z0 nghiệm (2) 1.4 Dạng lượng giác số phức 1.4.1 Định nghĩa acgument số phức khác Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgument z 1.4.2 Dạng lượng giác số phức Xét số phức z = a + bi( a,b ∈ ℝ ) có mơđun z = r > ϕ acgumen Lúc z viết dạng z = r (cosϕ + isin ϕ ) Ta gọi dạng Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA MỘT SỐ PHỨC VD3 Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn a) z − = z + i b) 3z − z = c) z + + z − = 10 HD Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn số phức z = x + iy (x,y ∈ ℝ ) a) z −1 = z + i ⇔ (x −1) + yi = x + (1− y)i ⇔x2 − 2x +1+ y2 = x2 + y2 − 2y +1⇔y = x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − = z + i đường thẳng có phương trình y = x x y2 b) 3z − z = ⇔ 2x + 4yi = ⇔ 4x + 16y = 64 ⇔ + = 16 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 3z − z = elip (E) : x2 y2 + = 16 c) z + + z − = 10 ⇔ (x + 2)2 + y2 + (x − 2)2 + y2 = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 , F1(−2;0), F2 (2;0) Như tập hợp điểm M elip (E) có hai tiêu điểm F1(−2;0), F2 (2;0) trục lớn 10, x y2 (E) : + = 25 21 VD4 Cho số phức z thỏa mãn z − + i ≤ a) Chứng minh 2z − + i ≤ b) Tìm số phức z có mơđun lớn HD a) Gọi z = x + iy (x,y ∈ ℝ ) M(x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng Oxy, z − + i ≤ ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ nên M thuộc hình trịn (H1 ) tâm I1(1; −1), bán kính R1 = (kể biên) Xét hình 1 trịn (H ) tâm I ( ; − ), bán kính 2 R2 = (kể biên) Nhận thấy = R2 − R1 nên (H1 ) nằm bên (H ) Mà M thuộc (H1 ) 1 nên M thuộc (H ) , tức (x − )2 + (y + )2 ≤ suy 2 I1I = (2x − 1)2 + (2y + 1)2 ≤ 18 hay 2z − + i ≤ (đpcm) Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 17 b) Rõ ràng z = OM, với O(0;0) M(x;y) thuộc (H1 ) Gốc tọa độ O lại thuộc biên (H1 ) Do z = OM lớn M đối xứng với O qua I1(1; −1), tức M(2; −2) Vậy, số phức z thỏa mãn z − + i ≤ số phức z = − 2i có mơđun lớn (khi z = 2) VD5 Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z cho số z−2 π có acgumen z+2 HD Gọi z= x+ yi (x,y ∈ ℝ ) ta có z − ( x − ) + yi ( x − ) + yi  ( x + ) + yi  = = z + ( x + ) + yi ( x + 2) + y2 = Vì số phức x − + y + yi ( x + − x + ) ( x + 2) + y2 = x2 + y − 4y + i 2 2 x y x y − + − + ( ) ( ) z−2 π có acgumen nên ta có z+2 x2 + y2 − 4y π π  + i = r c os + isin 2   3  ( x − 2) + y2 ( x − 2) + y2 ( r > 0) r  x2 + y −  x − 2 + y2 = ) ( ⇔ 4y r  = ( x − 2) + y2  4y     Từ suy y>0 (1) = ⇔ x2 +  y −  =  x + y −4 3  3  ( 2) Từ (1) (2) ta có tập hợp điểm M phần đường trịn (2) nằm phía trục thực Ox Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 18 BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Tìm tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z thỏa mãn 1) z − i + = 2) z ≥ 2z + − i 3) z − i = (i + 1)z 4) 5) z+2 z−i = z + + 3i số ảo z −i 6) z = (1 + i ) w + w − ≤ 7) z = z −i 8) z + − 3i = z −4+i 9) z = z − + 4i 10) z − i + z + i = 11) z − i = (1 + i ) z Bài Cho số phức z thỏa mãn z −(3− 4i) = z − − i ≤ 21 b) Tìm giá trị lớn nhỏ z a) Chứng minh Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 19 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC Phương pháp Sử dụng phép toán tập số phức, phép biến đổi tương đương, điều kiện để hai số phức VD6 Giải phương trình (1 + i)2 (2 − i).z = i + + (1 + 2i).z 8+i (8 + i)(1 − 2i) HD PT ⇔ (1 + 2i)z = + i ⇔ z = ⇔z= ⇔ z = − 3i + 2i (1 + 2i)(1 − 2i) Vậy z = − 3i Phương pháp Giả sử số phức z cần tìm có dạng đại số z = x + iy (x,y ∈ ℝ ) , sau tìm x y VD7 Giải phương trình (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2 HD Giả sử z = x + iy (x,y ∈ ℝ ) z = x − iy Phương trình cho trở (2 − 3i)(x + iy) + (4 + i)(x − iy) = −(1 + 3i)2 6x + 4y − = x = −2 ⇔ (6x + 4y − 8) + i(−2x − 2y + 6) = ⇔  ⇔ − 2x − 2y + = y =   Vậy z = −2 + 5i thành Phương pháp Để giải phương trình dạng az + bz + c = (a ≠ 0) ta tính ∆ = b2 − 4ac, gọi δ bậc hai ∆, phương trình có nghiệm −b ± δ z1,2 = 2a − 10i − (1 − 2i)z VD8 Giải phương trình z = + z−5 HD Điều kiện z ≠ Ta biến đổi phương trình z − (5 + 2i)z + 10i = Khi ∆ = (−(5 + 2i))2 − 4.1.10i = 21 − 20i Một bậc hai + 2i + − 2i ∆ = 21 − 20i δ = − 2i (xem VD1b) Dẫn tới z = =5 + 2i − + 2i z = = 2i Đối chiếu với điều kiện z ≠ suy phương trình cho có nghiệm z = 2i Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 20 BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Giải phương trình 1)z + 2z + = 2) z = − 2.i 3) z + 3z − = 4) z3 + = 5) z − (1 + i)z + 3i + = 4z − − 7i 6) = z − 2i z−i 7) z + 2iz = −i Bài 1) Tìm số phức z thỏa mãn z.z = 25 z − − i = 10 2) Tìm số phức z thỏa mãn 3) Cho số phức z thỏa mãn z = z2 số ảo 5(z + i) = − i Tìm phần thực phần z +1 ảo số phức (2 − z)2013 4) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện z + − 2i = z + + 4i z − 2i số ảo z +i 5) Tìm tất số phức z biết z = z + z 6) Tìm số phức z biết z − ( + 3i ) z = − 9i 7) Tìm phần ảo số phức z biết z = ( + i ) (1 − 2i ) 8) Tìm số phức z thỏa mãn z = z2 số ảo 9) Tìm số phức z biết z − 5+i −1 = z  1+ i  10) Tìm phần thực phần ảo số phức z =   + i   Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 21 11) Tìm số phức z thỏa mãn z − i = + z − z acgumen − − 3i có z 2π 12) Tìm số phức z thỏa mãn z − i = ( z − 1) ( z + i ) số thực 13) Tìm phần thực, phần ảo số phức sau + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) 20 Bài Giải phương trình 1) z − ( − i ) z − ( − i ) z + 16 − 2i = 2) z − ( − 3i ) z + (1 − 2i ) z + 9i = 3) z − z + z − z − 16 = Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 22 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 1 VD9 Cho số phức z thỏa mãn z + = Tính P = z 2013 + 2013 z z π  π HD Từ z + = suy z = cos + i.sin  ±  z  3 2013π 2013π 2013π 2013π z 2013 = cos ± isin 2013 = cos ∓ isin 3 3 z 2013π Vậy P = cos = cos671π = −2 VD10 Chứng minh π a) cos + cos π b) cos − cos 3π 5π + cos = 7 2π 3π + cos = 7 π π 7 HD a) Đặt z = cos + i sin ⇒ z = cosπ + i sin π = −1 hay z + = Mặt khác 3π 5π       z10 + z8 + z + z + z + + cos = z + + z + + z +  = 7 2 z  2 z  2 z  2z5 Vì z + = nên z10 = − z z = − z , suy cos π + cos z10 + z + z + z + z + = z + z − z + z − z + z7 + = z − z + z − z − z − z +1+ z = + z = z5 z +1 π Do cos + cos 5 3π 5π z5 + cos = = 7 2z b) Xét phương trình x + = Dễ thấy nghiệm phương trình bậc số -1 Biểu diễn −1 dạng lượng giác −1 = cos π + i.sin π đặt x = r ( cos ϕ + i.sin ϕ ) ta có x7 + = ⇔ r7 ( cos7ϕ + i.sin7ϕ ) = cos π + i.sin π Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 23 nên r = x = cos π + 2kπ + i.sin π + 2kπ với k = 0,1, ,6 Theo định lí Vièt, phương trình x + = có tổng nghiệm nên tổng phần thực nghiệm Do 3π 5π 7π 9π 11π 13π + cos + cos + cos + cos + cos =0 7 7 7 3π 5π  π  ⇔  cos + cos + cos  −1 = 7   2π 3π π ⇔ cos − cos + cos = 7 cos π + cos VD11 Tính tổng ( a ≠ 2kπ ,k ∈ ℤ ) S1 = sin a + sin 2a + + sin na, S = cos a + cos2a + + cos na zn −1 HD Đặt z = cos a + isin a ta có S + iS1 = z + z + + z = z z −1 n Ta có z n − cos na + isin na − = z −1 cos a + isin a − na na na −2sin + 2i sin cos 2 = a a a −2sin + 2i sin cos 2 na  na na  sin  cos + isin   2  = a a a sin  cos + isin  2 2 na sin  cos ( n − 1) a + isin ( n − 1) a  = a  2  sin  Nên Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 24 S + iS1 = z zn −1 z −1 na cos ( n − 1) a + isin ( n − 1) a  = ( cos a + isin a ) a  2  sin  na sin  cos ( n + 1) a + isin ( n + 1) a  = a  2  sin  sin Mặt khác S + iS1 = [ cos a + cos2a + + cos na ] + i [sin a + sin 2a + + sin na ] Vậy S1 = sin na ( n + 1) a na ( n + 1) a sin sin cos 2 2 , S2 = a a sin sin 2 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 25 BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Chứng minh công thức sin 5ϕ = 16sin ϕ − 20sin ϕ + 5sin ϕ (1) , cos5ϕ = 16cos5 ϕ − 20cos ϕ + 5cos ϕ ( ) Bài Cho a, b, c số thực cho cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = Chứng minh cos 2a + cos 2b + cos 2c = sin 2a + sin 2b + sin 2c = 1 Bài 10 Cho số phức z thỏa mãn z + = Tính P = z 2014 + 2014 z z Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 26 CHƯƠNG KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG Sau rèn luyện hệ thống kiến thức trên, em học sinh hiểu rõ số tính chất phép toán số phức, giống nhau, điểm khác phép toán số phức với phép toán số thực, linh hoạt việc dùng kiến thức số phức để giải tốn, góp phần bồi dưỡng niềm đam mê, yêu thích môn toán cho hc sinh, lực t kỹ giải toán học sinh đợc nâng lờn, học sinh giỏi Häc sinh dƠ dµng tiÕp thu kiÕn thøc vµ cã k giải toán tơng tự, sở học sinh giải đợc toán tổng hợp Đối với kiểm tra em trình bày chặt chẽ logic, kết cao, với kết nh sau Năm Lớp Sĩ số học 2012 12A11 45 12A3 46 2013 2013 12A5 48 12A9 32 2014 Số học sinh đạt điểm xi 11 14 10 0 15 9 2 11 10 15 12 5 2 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 27 KẾT LUẬN Qua đề tài này, nhận thấy 1) Đây chủ đề học sinh, giáo viên nên có bước chuẩn bị tốt kiến thức, phương pháp tâm cho riêng mình, hướng dẫn học sinh tiếp cận với kiến thức cách tự nhiên, nhẹ nhàng 2) Các kiến thức lựa chọn để cung cấp cho học sinh cần giáo viên cân nhắc kĩ lưỡng, vào nội dung chương trình, chuẩn kiến thức - kĩ năng, vào phạm vi đề thi ĐH - CĐ thi HSG, vào đối tng hc sinh Giáo viên nờn hớng dẫn học sinh giải toán cách phân loại dạng toán số phức ứng dụng, t ú học sinh nâng cao đợc khả t tính sáng tạo giải toán, đồng thời làm cho học sinh hiểu rõ đợc vai trò ý nghĩa phơng ph¸p Khơng nên lựa chọn vấn đề q khó gặp, gây tải cho học sinh, không nên đề cập tới vấn đề đơn giản để tránh nhàm chán tránh thái độ chủ quan học sinh 3) Giáo viên nên hướng dẫn khích lệ học sinh phương pháp tự học, tự đọc tài liệu tham khảo, tạo cho học sinh nhận thức rõ động lực học tập mình, nâng cao tự giác, sáng tạo học tập, có việc học tập có nhiều tiến Hiện nay, sách tham khảo chủ đề nhiều, giáo viên tạo phong trào tự học, tự đọc tài liệu tham khảo học sinh việc giảng dạy vừa đỡ vất vả hơn, lại vừa mang lại hiệu cao 4) Ngay từ lớp 10, giáo viên nên hình thành cho học sinh phương pháp áp dụng kiến thức tập hợp, tập hợp số để giải toán, từ hình thành cho học sinh hiểu biết sâu hệ thông số, giúp Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 28 cho học sinh lĩnh hội kiến thức số phức cách hệ thống, chủ động tự nhiên Tôi chân thành cảm ơn giúp đỡ BGH, đồng nghiệp em học sinh suốt q trình tơi giảng dạy trường q trình hồn thiện đề tài Tác giả NGUYỄN VĂN XÁ Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban bản, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [2] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban KHTN, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [3] Bộ Giáo dục Đào tạo, Tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ năng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [4] Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Đổi phương pháp dạy học ví dụ minh họa, Tốn 10, 11, 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [5] Trần Thành Minh, Trần Đức Huyên, Nguyễn Văn Minh, Giải tốn Ngun hàm - Tích phân Số phức 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 1999 [6] Võ Anh Dũng (chủ biên), Giải tốn Ngun hàm - Tích phân Số phức 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011 [7] Đề thi TN THPT, ĐH-CĐ thi HSG năm [8] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục Việt Nam [9] Tài liệu internet Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 30 NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số – Bắc Ninh 31 ... hiệu ℂ Mỗi số thực a coi số phức với phần ảo 0, z = a + 0.i ∈ ℂ Do đó, xem ℝ tập ℂ Số phức có phần thực gọi số ảo (số ảo) Đơn vị ảo i số ảo, số = + 0i vừa số thực vừa số ảo Hai số phức z = a... số phức số ứng dụng sơ cấp số phức, đặc biệt dạng toán xuất gần đề thi TN THPT, thi ĐH-CĐ, thi HSG, đề thi thử địa phương, … mạnh dạn lựa chọn đề tài ? ?Giảng dạy số phức trường phổ thông? ?? Thông. .. n−1 = −i,∀n ∈ ℕ * 1.2.4 Phép chia cho số phức khác Số nghịch đảo số phức z khác số z −1 = Thương z' phép chia số phức z ' cho số phức z ≠ tích z z ' với số phức nghịch đảo z , tức z z2 z' = z '