Thuyết tương đối rộng và việc giảng dạy cho sinh viên khoa lý như một chuyên đề đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Tp HỒ CHÍ MINH T T3 T3 THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG T VÀ VIỆC GIẢNG DẠY CHO SINH VIÊN KHOA LÝ NHƯ MỘT CHUYÊN ĐỀ T T T ĐỀ TÀI KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG T 2000 - 2001 T T TÁC GIẢ LÊ NAM TỔ VẬT LÝ – LÝ THUYẾT KHOA VẬT LÝ - ĐHSP T T T T GV: Lê Nam S1: ĐA TẠP – MANIFOLD Ta nói đa tạp n chiều ký hiệu M gồm tập điểm mà điểm xác định n tọa độ (x1, x2 ,xn) Các tọa độ thực biến thiên từ -∞→+∞ P P P P P P Tập hợp điểm cho ta đường cong mặt cong Ta nối tắt đường mặt Cũng giống không gian Euciide chiều, đường có bậc tự phụ thuộc vào tham số cho phương trình: xa = xa(u) ; a= l,2, n (1) P P P P Đôi để đánh số đường ta đưa thêm vào tham số thứ hai n khí xa xa (u,n) (2) P P P P Mặt m chiều đa tạp n chiều (m < n) có m bậc tự phụ thuộc vào m tham số cho phương trình: xa = xa(u1,u2, um) (3) P P P P P P P P P P Nếu m = n-l mặt gọi siêu mặt - Hypersurface xa = xa (u1,u2, un-1) P P P P P P P P P P a=l,2, n Từ ta đưa phương trình: f(x1,x2, ,xn) = P P P P P P Phương trình có tên phương trình liên kết §2 : MA TRẬN CHUYỂN TỌA ĐỘ Trong đa tạp n chiều ta có hệ tọa độ cũ x1x2, ,xn hệ tọa độ P 𝑥̅ 𝑛 P P P P P Ta có phương trình liên hệ cũ: để đơn giản ta viết Như biết phần giải tích, định thức Jacobi khơng tọa độ phụ thuộc tuyến tính Nếu độc lập tuyến tính với Jacobi khác không Trang GV: Lê Nam Định thức ma trận chuyển tọa độ ký hiệu T Hồn tồn tương tự ta có phép biến đổi ngược từ sang cũ T Ta nhận thấy nhân hai ma trận với cho ta ma trận đơn vị T Ví dụ khơng gian chiều ta có Chuyển sang khơng gian n chiều ta có : Ta qui định số lặp lại hai lần có nghĩa lấy tổng theo số Các số gọi số câm Còn số xuất hai vế gọi số tự Trang GV: Lê Nam §3 : TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN Khái niệm hiệp biến phản biến Xét vectơ X mặt phẳng với hai vectơ sở e , e hình vẽ R R R R Nếu hai trục tọa độ ta khơng vng góc nhau, ta có hai cách mơ tả vectơ X a Chiếu vng góc vectơ x lên hai trục ta x , x2 R R R b Chiếu vectơ X song song theo trục ta x1 ,x2 R R R Tóm lại biết x1 , x x1, x2 ta xác định vectơ X R R R R P P P P x1 , x2 : thành phần hiệp biến vectơ X R R R R x , x : thành phần phản biến vectơ X P P P P Trong trường hợp hai trục tọa độ vng góc ta thấy thành phần phản biến hiệp biến trùng Xét đa tạp n chiều Điểm P có tọa độ xa, cịn điểm Q có xa + dxa Vectơ dxa nối hai điểm với nhau: P P P P P P P P Trong hệ tọa độ x1, x2, , xn vectơ có thành phần tương ứng dxa P P P P P P P P P Tương tự ương hệ tọa độ thành phần tương ứng vectơ d𝑥 a P Ta có cơng thức liên hệ : (1) Bây ta định nghĩa: Vectơ phản biến hay tenxơ phản biến hạng tập hợp những, đại lượng Xa P hệ tọa độ (x1,x2, ,xn)=(xa) điểm P mà tuân theo quy luật: P P P P P P P P P (2) Trang GV: Lê Nam Trong ma trận lấy giá trị điểm P (đạo hàm trước sau thay giá trị tương ứng P) Ví dụ : cho đường cong xa = xa(u) không thời gian bốn chiều (a= 0,1,2,3) P Vectơ dxa du , du , du P P vectơ tiếp tuyến đường cong Xa = T P dx0 dx1 dx2 dx3 du P , du P tạo thành tenxơ phản biến hạng dxa có bốn thành phần du Từ ta tổng quát hóa : Tenxơ phản biến hạng tập hợp đại lượng xab hệ tọa độ xa mà chúng tuân P P P P theo quy luật biến đổi sau Các đại lượng 𝑋 ab thành phần tenxơ hạng tọa độ 𝑋 a P T P P Ví dụ : ta có tenxơ phản biến Ya Za tất số hạng có dạng Ya Zb lập thành tenxơ hạng So sánh (4 ) với (3) ta thấy Ya Zb tenxơ hạng P P P P Hoàn toàn tương tự ta định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng (vectơ hiệp biến ) tập hợp đại lượng ký hiệu X a hệ tọa độ Xa mà chuyển tọa độ tuân theo quy luật: R T T Các R P P lập thành ma trận xác định điểm P Tương tự cho tenxơ hạng cao hơn: Trang GV: Lê Nam Ta định nghĩa tenxơ hỗn hợp hạng : ta ký hiệu tenxơ hạng p phân biến hạng q hiệp biến: Tenxơ hạng không vô hướng, ta hay ký hiệu chữ Φ Tại tenxơ lại nhà vật lý ý? Giả sử ta có tenxơ X ab Y ab hệ tọa độ (hệ quy chiếu) thỏa mãn tính chất: X ab = Y ab (8) Ta chuyển sang hệ tọa độ (hệ quy chiếu )bằng cách nhân vế với: R R R R R R R R Từ suy phương trình tenxơ (7) hệ tọa độ hệ tọa độ khác (8) Nói cách khác phương trình tenxơ khơng phụ thuộc vào hệ tọa độ (khơng phụ thuộc vào hệ quy chiếu) §4;ĐẠI SỐ TENXƠ l.Phép cộng Chỉ thực với tenxơ loại: Tenxơ đối xứng với hai số ta hốn vị số cho mà tenxơ không đổi = X ba X ab Nếu khơng gian ta n chiều tenxơ ỏ viết thành ma trận n x n.Do đối xứng nên ta có n.(n+l)/2 thành độc lập Khi X ab = - X ba tenxơ gọi phản đối xứng Suy ra: X aa = -X aa  xaa = Nghĩa thành phần nằm đường chéo khơng Do tenxơ phản đối xứng có n(n-l)/2 thành phần độc lập Với tenxơ đối xứng phản đối xứng ta biểu diễn dạng: R R R R R R R R R R R R R S:Symmêtric A:Antisymmêtric Trang GV: Lê Nam ❖ Chú ý: với tenxơ hạng ba không gian n chiều gồm nxnxn thành phần tất Phép nhân tenxơ T Tenxơ loại nhân với tenxơ cho ta Phép rút gọn tenxơ Cho tenxơ xa bcd Ta rút gọn tenxơ theo số a b P R P R Ví dụ: Cho tenxơ Xa bc ,nếu a=b Xa ac tenxơ hiệp biến hạng P R P R P R P R Theo định nghĩa: Bây cho a = b: T Nhắc lại định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng nhất: So sánh ta rút ra: §5 : TENXƠ MÊTRIC Ta chọn hệ tọa độ chuẩn 𝑥 T lân cận có dạng 𝑎 đa tạp n chiều cho tọa độ dài vô bé nối hai điểm T (1) Khi đa tạp có tên : khơng gian Euclid n chiều Ví dụ: xét tọa độ Descartes khơng gian chiều Trang GV: Lê Nam (2) có dạng giống (1) Vậy ta nói đa tạp chiều + hệ tọa độ Descartes tạo nên không gian Euclide chiều Bây từ (1) ta chuyển sang hệ tọa độ xa: Trong Vậy đa tạp với hệ tọa độ xa có ds2 = g ab dxadxb gọi không gian Riemann n chiều Các g ab gọi tenxơ mêtric hiệp biến gac gọi tenxơ mêtric phản biến P R P P P P R R P P P P R P Đôi ta định nghĩa sau : Ví dụ : Bề mặt đất không gian Rieneann chiều khoảng cách hai điểm (θ, φ) (θ + d θ, φ + d φ ) Suy I § : ĐẠO HÀM LIE Cho đại lượng vô hướng Φ Rõ ràng vô hướng Φ không thay đổi chuyển hệ tọa độ Nếu điểm không gian Riemann ứng với giá trị Φ ta trường vơ hướng hay trường tenxơ hạng không Tương tự tenxơ T ab xác định điểm vùng thuộc khơng gian Riemann kết ta có trường tenxơ hạng tương ứng Cho trường vectơ X Y, giao hoán tử Lie vectơ tác dụng lên hàm f định nghĩa sau : R R với f1 , f2 hai hàm bất kỳ; α,β = const thực, Lie giao hoán tử thỏa mãn: R R R R Trang GV: Lê Nam Từ ba biểu thức trên, ta thấy giao hốn tử Lie tốn tử tuyến tính toán tử giống phép vi phân Trong hệ trục toa độ xa ta định nghĩa vectơ X: Bây ta xét thành phần thứ a giao hoán tử Lie Từ ta định nghĩa đạm hàm Lie vectơ Y theo hướng vectơ X viết sau: Ta chấp nhận số tính chất sau: vô hướng * Đạo hàm Lie tenxơ theo hướng X đạo hàm riêng mà không cần sử dụng tenxơ mêtric (không cần sử dụng hệ thống liên thông) § : ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN Khái niệm dịch chuyển song song Trong không gian phẳng dịch chuyển song song vectơ có nghĩa di chuyển cho lúc vectơ song song vịi Nói cách khác, ta dịch chuyển cho độ lớn hướng khơng thay đổi Trong khơng gian cong Riemann dịch chuyển song song vectơ dọc theo C nghĩa địch chuyển cho góc tạo đường cong C ln khơng đổi Lúc thành phần vectơ thay đổi cho dù độ lớn khơng đổi Trang GV: Lê Nam Đạo hàm hiệp biến Xét trường vectơ phản biến Aa Tại điểm P ứng với tọa độ xa vectơ có giá trị Aa P P P P P Tại điểm Q ứng với toa độ xa+dxa vectơ có giá trị Aa + dAa Bây ta dịch chuyển song song vectơ Aa đến điểm Q Vectơ thay đổi lượng ký hiệu δAa Ta lập hiệu: P P P P P P P P P P P P Đại lượng δAa ta hồn tồn đặt bằng: Trong đó: hàm phụ thuộc vào hệ tọa độ ta chọn Có thể khơng khác khơng có tên hệ số liên thơng hay ký hiệu Christoffel loại hai Cịn dấu (-) hồn toàn quy ước ta Thay (2) vào (l): Mặt khác ta có Thay vào (3) Phần ngoặc gọi đạo hàm hiệp biến vectơ phản biến Aa P P (dấu chấm phẩy (;) có nghĩa đạo hàm hiệp biến) Ta xây dựng phép đạo hàm phản biến (xem Landau trang 310) Đạo hàm hiệp biến vectơ hiệp biến Như biết ta dịch chuyển song song vơ hướng đại lượng khơng thay đổi Nói cách khác tích vô hướng hai vectơ không thay đổi dịch chuyển song song Xét tích vơ hướng hai vectơ A a Bb Do không thay đổi dịch chuyển song song nên: R R P P Trang GV: Lê Nam PHỤ LỤC : THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP BÀI 1: KHƠNG_THỜI GIAN MINKOWSKI Khơng_thời gian Minkowski khơng gian phẳng chiều với metric phẳng có signature -2 Tọa độ Minkowski có dạng: (x4)=(x0,x1 ,x2 ,x3) = (t,x,y,z) (1) P P P P P P P P P P ta coi c=l Yếu tố độ dài Minkowski_Minkowski line element dS2 =dt2-dx2-dy2-dz2 P P P P P P P P P P (2) Chuyển dạng tenxơ: (3) Nếu ta sử dụng tọa độ khác không_thời gian Minkowski ta viết sau: T dS2 = g ab dxadxb P P R R P P (4) P P ví dụ tọa độ cầu: T Sau bình phương lên thay vào (4) ta được: (5) Các metric (6) T Từ ta tính được: T Trang 55 GV: Lê Nam Từ ta tính tenxơ Ricmann Ra bcd = T P R P R Kết phù hợp với định lý: T Ra bcd = => không gian phẳng T P R P R Hoặc không gian phẳng => Ra bcd = T P R P R BÀI : NÓN ÁNH SÁNG _ THE NULL CONE T T1 Trong khơng_thời gian Minkowski bình phương độ dài vectơ định nghĩa: T X2 = g T P P R T2 ab R X a X b = X a Xa P P P P T2 R R P (1) P T2 Vectơ gọi là: T Giống thời gian_time like T X2 > T3 P X2 < Giống không gian_space like T Giống ánh sáng_light like or null T P T3 P P (2) T3 X2 = T3 P P Hai vectơ trực giao tích trong_inner product chúng zero: T g ab XaYb=0 T T R R P P P P (3) T3 Từ (3) ta suy vectơ null trực giao với biết vectơ null vectơ có bình phương độ dài zero thành phẫn khác zero T T Trong tọa độ Minkowski: Vectơ Xa điểm P gọi null_vectơ thỏa mãn: T4 P P T4 (4) T (5) Tập hợp tất vectơ null điểm P không thời gian Minkowski tạo nên nón ánh sáng_null cone (nói cách khác : tập hợp vectơ thỏa mãn (5)) T Nón sáng với trục z ẩn (được giấu kín ) ta khơng có cách biểu diễn khơng thời gian bốn chiều hình vẽ T Trang 56 GV: Lê Nam Ý nghĩa vật lý: Vectơ time like nối kiện có quan hệ nhân qua với Ví dụ hạt m chuyển động TU T T2 T2 với vận tốc v thõa mãn: T2 T2 T2 T2 T2 T2 dS2 = (ct)2 - (dx2 + dy2 + cz2) > T P P P P P P P P P P (tốc độ ánh sáng x thời gian lớn quãng đường mà hạt thời T T T gian ) Vectơ space like nối kiện độc lập , nkơng có quan hệ nhân với nhau, T dS2 < T3 P P Khi hai kiện liên hệ với tín hiệu ánh sáng thì: T dS2 = (cdt)2 - (dx2 + dy2 + dz2) = (6) T P P P P P P P P P P Các kiện nằm nón ánh sáng_null cone T BÀI 3: THỜI GIAN RIÊNG T Từ hiệu ứng dãn nở thời gian ta có: T Trang 57 GV: Lê Nam coi c= => dτ = dS2 P P P BÀI 4: CÁC TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP T Ta phát biểu hai tiên đề Einstien dạng sau: T Tiên đề : Không gian thời gian biểu diễn không gian chiều với: T - g ab , khơng có điểm kỳ dị signature _2 T R R T6 - T Tiên đề : T - Thời gian riêng xác định từ d τ = g ab dxadxb - Hạt tự chuyển động dọc đường trắc địa time like T P T P R R P P P - Tia sáng (hạt photon) chuyển động dọc theo đường trắc địa null T BÀI 5: VECTƠ VẬN T ỐC BỐN CHIỀU T T7 T7 Xét vectơ bốn chiều: 𝑢 �⃗ = (γc, γv, γv̇ y , γvt ) T Do dt = γdτ nên: T Nếu ta coi c=l u a ua = c2 = T R R P P T8 P P T8 (1) (2) (3) u �⃗ : vectơ vận tốc bốn chiều :Four - velocity vcctor T �⃗ : vectơ vận tốc ba chiều vật v T Vectơ động lượng ba chiều : T T a định nghĩa vectơ động lượng bốn chiều : Four -momentum vector T T Trang 58 GV: Lê Nam (5) (6) Nếu ta coi c = thì: (7) Ta xét vật có động lượng p �⃗ với hệ quy chiếu đứng yên người quan sát chuyển động với T u �⃗ so với hệ Ta chứng minh lượng hạt so với người quan sát p �⃗u �⃗ 6T T6 (10) T Ta nhớ lại phép biến đổi Lorent cho động lượng từ hệ đứng yên O sang O' chuyển động T T2 T4 T4 T4 T4 với vận tốc v dọc theo trục X : T3 T3 E' lượng hạt so với người quan sát chuyển động với vận tốc chiều u �⃗ (so với hệ quy T chiếu O’) **Chú ý : Nếu ta chọn Signature (-,+,+,+) kết ngược lại : T Trong trường hợp c=l (12) ,(13) không thay đổi Ta chứng minh tiếp công thức sau : Từ (9): P2 – E2 + p �⃗p �⃗ thay vào (12) T T T P P P P (14) Từ công thức P Nếu coi c = v = E **Với dịng chảy lý tưởng tenxơ _ động lượng có dạng : T chọn u a = (1,0,0,0) điều có nghĩa dòng chất lỏng đứng yên hệ tọa độ -Hệ tọa T T5 R R T5 độ chuyển động với hạt chất lỏng Trang 59 GV: Lê Nam Trong trường hợp áp suất _ có phân bố vật chất thì: Trang 60 GV: Lê Nam CÁC BÀI TẬP T Bài tập 1: Hãy chứng minh TU U * Ta chứng minh theo hai bước sau: T Đầu tiên ta viết ký hiệu Christoffel loại 1: T (1) T Bước hai ta đạo hàm hiệp biến g ac theo công thức học : R R (2) Hay ta viết : Bài tập : chứng minh T T T * Xét Đây tập khó _ ta làm bước sau: T1 Đạo hàm riêng T1 hai vế: Trang 61 GV: Lê Nam Nhân hai vế với T Áp dụng kết tập trước : Chuyển sang vế ý T (1) Bây sang bước hai ta đạo hàm hiệp biến gfc : T T2 P P (2) So sánh (1) (2) rút ra: **Chú ý : Ta sử dụng công thức: Bài tập 3: * Chứng minh đồng thức Ricci Ta viết lại Tenxơ Riemann dạng sau: đối xứng với số sau Tương tự ta có: (2) (3) Ta lấy (1) +(2)+ (3): (4) T Hay ta hạ số: Khi (4) Bài tập 4: Hãy chứng minh tenxơ Riemann đối xứng với hai cặp số: TU U R abcd = R cdab T R R R Trang 62 GV: Lê Nam C họn hệ tọa độ trắc địa điểm P xét Khi 𝜕 c g a b = hết nên các: T R M ặc dù đạo hàm bậc Nhân vế với g ae : N ếu ta đổi T R R đạo hàm bậc hai T R R (1) R a ⇄ c b ⇄ d: T7 (2) mặt cấu trúc giống y T a nhận thấy T T Tương tự: cặp có cấu trúc Ta suy vế phải (1) = vế phải (2) => R abcd = R cdab R R R B ài tập 5a : Chứng minh tenxơ Riemann phản đối xứng với hai số mới: TU U R abcd = - R abcd R R R * Xét Ta đổi cho c ⟷ d : vế phải có dạng: T Re bcd = -Re bdc Vậy: P PR R P R P Nhân hai vế với B ài tập 5b : Chứng minh tenxơ Riemann phản đối xứng với cặp số đầu : TU U R abcd = - R bacd R R R R Trang 63 T GV: Lê Nam * Áp dụng kết trước: đối xứng với hai cặp phản với hai số cuối: R0 T Rút ra: Hay áp dụng kết 5a ta có: R abcd = - R bacd R Bài tập : TU T T U R R Chứng minh đẳng thức Bi-anchi T1 * Xuất phát từ tenxơ Riemann T1 T2 T2 Xét hệ tọa độ trắc địa điểm P Khi đạo hàm bậc g ab =0 T3 đạo hàm bậc hai chưa Do T3 nên từ tới T3 R R T3 hết Do biểu thức tính tenxơ Riemann cịn hai số hạng đầu T T Ta đạo hàm hiệp biến tenxơ ý có phan đạo hàm riêng ≠ cịn phần sau zero hết có chứa Γa bc P R P RP (1) T Hốn vị vịng quanh số c → d → c →c T (2) T (3) Lấy (l)+(2) +(3) (4) T Ta viết lại (4) : T Nhân hai vế với: g af ta được: R R (5) Do R Bài tập 7: TU nên ta đưa g af vào dấu ∇ c U R R R Chứng minh đường trắc địa khơng gian Riemman cho phương trình: Trang 64 GV: Lê Nam * Xuất phát từ nguyên lý tác dụng tối thiểu : T T Trong học hệ chuyển động từ P đến Q cho biến phân hàm tác dụng T Trong hình học : đường cong nối hai điểm P Q ngắn biến phân hàm tác dụng T Chọn hàm L có đặc trứng độ dài dS2 = g ab dxadxb T1 Với hàm tác dụng : T P P T1 R R0 T1 P P P phương pháp biến phân ta nhận phương trình lagrang – Euler: T Với (do có cấu trúc nên ta viết ) Thế vào phương trình (*) ta : hay Trang 65 GV: Lê Nam Nhân vế phương trình với gdc ta được: P P Nếu đặt d = a , a = b ,b = c ta T hay : phương trình đường trắc địa: Bài tập 8: Từ phương trình đường trắc địa: TU U (1) dẫn dạng * Nhân hai vế (1) với g da R R (2) Xét riêng : theo quy luật ta viết: (3) Xét riêng: (4) Thay (3) và(4) vào (2): Trang 66 GV: Lê Nam Bài 9: Xét họ đường trắc địa theo thông số Affine λ đánh số n TU U T T xa = xa (λ, n) P P P P Hãy chứng minh với vectơ đơn vị n �⃗ v �⃗ thì: ∇ Un �⃗ = ∇ Nu �⃗ R * Ta thường viết: R Xét: (1) Ta ý quy tắc sau: (2) (3) Ta rút vế phải (2) = vế phải (3) T Thay kết vừa tính vào (1) : T (4) T Bây ta nhắc lại đạo hàm Lie : Áp dụng với T (5) Trang 67 GV: Lê Nam Mặt khác đạo hàm Lie ,ta thay đạo hàm riêng đạo hàm hiệp biến nên biểu thức (5) có dạng : (theo định nghĩa đạo hàm tuyệt đối) T T Ta chứng minh hai ý : Thay đạo hàm riêng đạo hàm tuyệt đối * Nhớ lại định nghĩa đạo hàm tuyệt đối: T Trang 68 Tài liệu tham khảo T Chandrasekhar S T T2 The Mathematical Theory of Black holes T Oxford University press - printing 1998 T Hughston L P and Tod K Introduction To General Relativity T Cambridge University press - printing 1999 T Lawden D.P Introduction To Tensor Caculus , Relativity And Cosmology T T Wiley - New York - printing 1982 T Misner C - Thorne K - Wheeler J Gravitation T Freeman - San Francisco - printing 1999 T Schutz B.F Fist couse in general relativity T T Cambridge University press - printing 1999 T Wasserman R.H Tensors and Manifolds with Applications to Mechanics and Relativity T T Oxford University press - printing 1992 T Hawking S W Brief History of time T Bantam press London - printing 1988 T Lim Yung Kuo ( edited ) Problems and Solution on solid State physics and Relativity T T World Scientific - printing 1995 T ... Ta xây dựng thuyết tương đối rộng dựa giúp đỡ thuyết tương đối hẹp T thuyết hấp dẫn Newton.vì trường hợp giới hạn riêng thuyết tương đối rộng trở T5 T5 thuyết hấp dẫn Newton T5 Xét trường hấp... TRÌNH EINSTEIN §1 CÁC NGUYÊN LÝ TRONG THUYẾT TƯƠNG ĐỐi RỘNG • Nguyên lý Mạch : Sự phân bố vật chất xác định tính chất hình học khơng gian quanh Nói cách khác, vật chất nói cho khơng gian biết phải... tính có trường trường hấp dẫn Nếu thang máy quay, ta ln thay trường hấp dẫn tương đương có chất tính đến lực ly tâm lực Coriolis Chú ý: Không thể áp dụng ngun lý cho tồn khơng gian vơ trường hấp