(S– system A) gồm một tập hợp A cùng với một ánh xạ :λ A S× → A thỏa
mãn điều kiện:
( , )a st [ ( , ), ]a s t
λ =λ λ với mọi a A∈ và ,s t S∈ ; (3.1) Ánh xạ :λ A S× → A được gọi là tác động (action) của S trên A (hay còn gọi là S−tác động trên A). Ta thường dùng ký hiệu as để chỉ phần tử
( , ),a s
λ trong đó a A∈ và s S∈ . Với ký hiệu này thì (3.1) được viết như sau ( ) ( )
a st = as t với mọi a A∈ và ,s t S∈ ;
Nếu S là một vị nhóm với đơn vị là ,e chúng ta bổ sung thêm điều kiện ,
ae a= ∀ ∈a A;
ii) Một S−tác động A được gọi là tách được (separated), nếu
, ; ; ; : ;
a b A a b s S s e as bs
∀ ∈ ≠ ∃ ∈ ≠ ≠
iii) Một cấu xạ :f A→ B giữa hai S−tác động A và B được gọi là một S−ánh xạ (S−map), nếu
, : ( ) ( ) ;
a A s S f as f a s
∀ ∈ ∀ ∈ =
Nhận xét. Vì idA (ánh xạ đồng nhất của A) và hợp thành của hai S−ánh xạ là những S−ánh xạ, nên ta có phạm trù Act S− của tất cả S−tác động và các S−ánh xạ giữa chúng.
iv) Một S−tác động B được gọi là một mở rộng của S−tác động A
Trong trường hợp này, các S−đơn cấu thực chất là các S−ánh xạ một – một, nên ta có thể xem A như một tác động con của .B
Giả sử B là một mở rộng của S−tác động A với S−đơn cấu
: .
h A → B Khi đó B được gọi là mở rộng cốt yếu của A nếu với mọi
S−ánh xạ :g B →C sao cho g ho là S −đơn cấu thì g cũng là S−đơn cấu. Mở rộng cốt yếu B của A được gọi là mở rộng cốt yếu thực sự nếu
A B≠ (xem A như một S−tác động con của );B