liên tục (sequentially essential) hay s−cốt yếu (s−essential) nếu nó là mở
rộng cốt yếu với mọi đơn cấu s−trù mật, nghĩa là nếu :g B →C là một S−ánh xạ sao cho g fo là S−đơn cấu s−trù mật thì g cũng là S−đơn cấu
ii) Một S−tác động s−nội xạ B được gọi là s−bao nội xạ
(s−injective hull) của S−tác động A nếu tồn tại :h A→ B là S −đơn cấu
s−cốt yếu.
3.2.5. Bổ đề. Một S −đơn cấu f là s−cốt yếu nếu và chỉ nếu f là cốt yếu vàs−trù mật. s−trù mật.
Chứng minh. Giả sử S−đơn cấu :f A→ B là s−cốt yếu. Thế thì theo định nghĩa, f cũng là s−trù mật.
Giả sử :g B →C là một S−ánh xạ sao cho g fo là một S−đơn cấu. Khi đó ta có g f Ao : → g B( ) là một S−đơn cấu s−trù mật. Kết hợp với giả
thiết :f A→ B là s−cốt yếu, ta nhận được :g B → g B( ) là một đơn cấu
s−trù mật, và từ đó suy ra g là một đơn cấu. Như vậy f là cốt yếu.
Đảo lại, giả sử S−đơn cấu :f A→ B là cốt yếu và s−trù mật và giả sử
:
g B →C là một S−ánh xạ sao cho g fo là một S−đơn cấu s−trù mật.
Khi đó, vì f là cốt yếu nên g là S−đơn cấu. Mặt khác, vì g fo là S−đơn cấu s−trù mật nên
C = ∈{c C cS/ ⊆ g f Ao ( )} {= ∈c C cS/ ⊆g f A[ ( )]} {⊆ ∈c C cS/ ⊆g B( )}. Do đó g là S−đơn cấu s−trù mật.
Vậy f là S −đơn cấu s−cốt yếu.
3.2.6. Chú ý. Giả sử S là một nửa nhóm, A là một S−tác động và Γ là mộttập con của tập hợp ( ) \ ( ).C A λ A tập con của tập hợp ( ) \ ( ).C A λ A
Ký hiệu A∪Γ bởi ( ),A Γ chúng ta thấy rằng nó là một S −tác động với tác động được cho bởi γ =t at, đối với γ =( )as s S∈ và t S∈ . Cũng như vậy, với
a A∈ và t S∈ thì at đã được xác định như trong .A
Ta gọi một mở rộng B của một S−tác động A là một Γ −mở rộng
(Γ – extention) của A nếu tồn tại một đẳng cấu giữa B và ( ),A Γ đối với tập con Γ nào đó của tập hợp ( ) \ ( ),C A λ A mà nó ánh xạ A một cách đồng nhất.
3.2.7. Bổ đề. Giả sử S là một nửa nhóm. Một S −tác động B là một mở rộngcốt yếu của A nếu nó là một Γ −mở rộng của A. cốt yếu của A nếu nó là một Γ −mở rộng của A.
Chứng minh. Giả sử S−tác động B là một Γ −mở rộng của .A Khi đó tồn tại một đẳng cấu giữa B và ( ),A Γ đối với tập con Γ nào đó của tập hợp
( ) \ ( ),
C A λ A mà nó ánh xạ A một cách đồng nhất. Ta chứng minh B là mở
rộng cốt yếu của A. Thật vậy, giả sử C là một mở rộng của A và : ( )
g A Γ →C là một S −ánh xạ sao cho g A là một–một. Giả thiết rằng
( ) ( ')
g γ =g γ với γ =( )as s S∈ và ' ( ' )γ = a s s S∈ thuộc .Γ Thế thì với mỗi s S∈ ,
ta có
( )g as =g s( )γ =g( )γ s g= ( ')γ s g= ( ' )γ s = g a( ' ).s (3.7)
Vì g A là một–một, nên từ (3.7) ta có as =a's với mọi s S∈ , nghĩa là
'.
γ γ=
Chú ý rằng, với a A∈ và γ Γ∈ , ( )g a =g( )γ là không thể xảy ra. Đó là
vì trong trường hợp này, nếu áp dụng lập luận như trên thì ta nhận được
s
as a= với mọi s S∈ , nghĩa là γ =( )as s S∈ ∈λ( ),A mâu thuẫn. Do đó g là S−đơn cấu.
3.2.8. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm lũy đẳng. Thế thì với mỗi S −tácđộng A tập hợp , A( )Γ với Γ =C A( ) \ ( ),λ A là một S −tác động s−đầy đủ. động A tập hợp , A( )Γ với Γ =C A( ) \ ( ),λ A là một S −tác động s−đầy đủ.
Chứng minh. Lấy γ =( )as s S∈ là một dãy Cauchy trong ( )A Γ và giả sử dãy này không có giới hạn trong .A
Nếu as∈A với mọi s S∈ , thì ta có γ =t at, và do đó γ Γ∈ là một điểm giới hạn của γ =( )as s S∈ trong ( );A Γ
Nếu tồn tại t S∈ sao cho at∉A, suy ra at∈Γ, at =( )bs s S∈ , thế thì ta có
,
t t
a t b= ∈A và như vậy thì at=at t =a t bt = ∈t A, mâu thuẫn. Do đó trường
hợp này không xuất hiện.
3.2.9. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm lũy đẳng và A là một S −tác động.Thế thì A = * A( )Γ với Γ =C A( ) \ ( ),λ A là một s−bao nội xạ của A. Thế thì A = * A( )Γ với Γ =C A( ) \ ( ),λ A là một s−bao nội xạ của A.
Chứng minh. Rõ ràng ánh xạ bao hàm :h A→A( )Γ là một S−đơn cấu
s−trù mật. Hơn nữa, theo Bổ đề 3.2.7 thì h là cốt yếu, và bởi vậy, theo Bổ đề 3.2.5 thì h là s−cốt yếu. Theo Định lý 3.2.3 và Định lý 3.2.8 thì ta có
* ( )
A = A Γ là s−nội xạ.
Vậy A*= A( )Γ là một s−bao nội xạ của .A
3.2.10. Hệ quả. Cho S là nửa nhóm lũy đẳng và A là một S−tác động táchđược. Thế thì C A là một s( ) −bao nội xạ của A. được. Thế thì C A là một s( ) −bao nội xạ của A.
Chứng minh. Xin nhắc lại từ Nhận xét 3.1.10 rằng, nếu A tách được thì ( ),
A≅λ A nên rõ ràng trong trường hợp này, ( )A Γ đẳng cấu với ( ),C A
Từ đó, theo Định lý 3.2.9 thì ( )C A là s−bao nội xạ của .A
Đối với một số lớp nửa nhóm lũy đẳng S nào đó, tính nội xạ trùng với tính s−đầy đủ đối với các tác động với ít nhất một phần tử cố định, và từ đó trùng với tính s−nội xạ. Với các nửa nhóm S như vậy, theo Định lý 3.2.9 thì
*
A thực sự là bao nội xạ của A đối với một S−tác động A với một phần tử cố định. Hai lớp nửa nhóm như vậy được M. M. Ebrahimi giới thiệu trong “On the Bear criterion for acts over semigroups” trong tạp chí Comm. Alg., số