i) Giả sử S là một nửa dàn Khi đó, theo định nghĩa và ký hiệu như trên, ta có S là một cây nếu với mỗi e S ∈ thì ↓e là một chuỗi.
2.1.13. Mệnh đề Một nửa dà nS có tính chất thu hẹp iđêan nếu và chỉ nếu S là một cây và không chứa một (ω + −1)chuỗi nào Hơn nữa, đối với iđêan
tùy ý trong nửa dàn như vậy, tồn tại lũy đẳng f ∈End S( ) sao cho f S( )=I và
( )
f x ≤x với mọi x S∈ , trong đó ω là tự số của lực lượng đếm được.
Chứng minh. Giả sử nửa dàn S có tính chất thu hẹp iđêan. Khi đó, theo Định lý 2.1.10 thì S là một cây.
Giả sử S chứa (ω+ −1) chuỗi C={ /x ii < +ω 1}. Gọi I là iđêan sinh bởi \ { },
C xω nghĩa là I = ∈{x S x x/ ≤ i với i<ω}. Theo giả thiết, tồn tại một đồng cấu lũy đẳng f ∈End S( ) sao cho ( )f S =I. Thế thì tồn tại j<ω sao
cho f x( )ω ≤xj <xj+1. Vì f lũy đẳng và xj+1∈ f S( ) nên f x( j+1)=xj+1. Như
vậy f x( )ω < f x( j+1), mâu thuẫn với f là một đồng cấu nửa dàn thì f phải
bảo toàn thứ tự.
Đảo lại, giả sử S là một cây không chứa một (ω + −1) chuỗi nào và I là một iđêan của .S Lấy x tùy ý thuộc ,S suy ra ( ]x là một chuỗi (vì S là một
cây). Khi đó tập ( ]x ∩I có duy nhất một phần tử lớn nhất là '.x Thật vậy, nếu
x I∈ thì 'x = x; nếu x S I∈ \ và giả sử không tồn tại phần tử lớn nhất 'x của tập hợp ( ]x ∩I thì tập hợp ( ]x ∩ I chứa một ω–chuỗi, chuỗi này hợp với x sẽ cho ta một (ω + −1) chuỗi trong ,S mâu thuẫn với giả thiết. Do đó phần tử
'
Với mỗi x S∈ , ta đặt ( )f x =x' (với 'x được xác định như trên). Khi đó, hiển nhiên ta có :f S →S là ánh xạ, ( )f S =I và f2 = f. Ta chứng minh f là đồng cấu. Thật vậy, với x và y thuộc S thì ( )f x ≤ x và ( )f y ≤ y. Suy ra
( ) ( ) ( ].
f x f y ≤xy∈ xy
Vì I là iđêan của S nên ( ) ( )f x f y ∈I. Từ đó ( ) ( ) ( ]f x f y ∈ xy ∩I.
Mà ( )f xy là phần tử lớn nhất của ( ]xy ∩I nên ( ) ( )f x f y ≤ f xy( ). (2.5) Ta lại có ( ) f xy ≤ xy x≤ và ( )f xy ∈I, từ đó ( )f xy ≤ f x( ); Lý luận tương tự, ta có ( )f xy ≤ f y( ). Do đó ( )f xy ≤ f x f y( ) ( ). (2.6) Từ (2.5) và (2.6) ta suy ra ( )f xy = f x f y( ) ( ). Vậy f là đồng cấu.
2.1.14. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm và T là nửa nhóm chính quy saocho T là một ảnh đồng cấu của S Nếu S có tính chất thu hẹp iđêan thì . T