v) Băng S được gọi là phản–chuỗi (anti–chain) nếu S là một băng chữ nhật thỏa mãn điều kiện
2.2.8.Một sự giải thích theo Lý thuyết tổ hợp
Ta trình bày đặc trưng của nửa nhóm lũy đẳng có tính chất thu hẹp iđêan theo Lý thuyết tổ hợp.
Đối với một cây ,Y cây được dán nhãn T là một cây trong đó mỗi x T∈
được gán một phần tử ( )l x thuộc Y theo cách sau: đối với phần tử x thuộc T,
ta có : ( ]l x →( ( )]l x là một song ánh bảo toàn thứ tự từ chuỗi ( ]x trong T
thành chuỗi ( ( )]l x trong .Y Bằng cách minh họa này, ta nói rằng sự dán nhãn
liên kết với .Y
Một rừng được dán nhãn là một tập hợp các cây được dán nhãn mà mỗi cây đều liên kết với .Y
Đối với B=[ ,Y Sα], Sα là một băng chữ nhật với mỗi α ∈Y. Theo Howie [10, Định lý 1.3.1], một băng tùy ý S có thể biểu diễn được dưới dạng
L R× , trong đó L là nửa nhóm zero trái và R là nửa nhóm zero phải. Hơn nữa, từ Mệnh đề 4.4.2 của Howie [10], suy ra với các băng chữ nhật S và 'S , nếu :f S →S' là một đồng cấu, thế thì tồn tại các đồng cấu :g L→ L' và
: '
h R→ R sao cho (( , )) ( ( ), ( ))f x y = g x h y với tất cả các ( , )x y ∈ ×L R. Đảo
lại, nếu :g L→ L' và :h R → R' là các đồng cấu thì (( , )) ( ( ), ( ))f x y = g x h y
Giả sử B=[ ,Y Sα], Sα là một băng với tính chất thu hẹp iđêan. Theo
Định lý 2.2.7, Y là một cây không chứa (ω + −1) chuỗi nào. Hơn nữa, vì B
chuẩn tắc nên đối với ,α β ∈Y và β α≤ , ϕβα :Lα ×Rα →Lβ ×Rβ là một đồng cấu mà đối với nó tồn tại các đồng cấu gαβ :Lα → Lβ , hαβ :Rα → Rβ sao cho ϕβα(( , )) (x y = g x h yαβ( ), βα( )). Giả sử L=∪• (Lα /α∈Y). Đối với ,x y L∈ ,
đặt y≤L x nếu và chỉ nếu x L y L∈ α, ∈ β mà y g x= αβ( ), thế thì “≤L“ xác định một quan hệ thứ tự trên .L Dễ thấy các thành phần thứ tự của ( ,L ≤L) là các cây mà đối với chúng sự dán nhãn ( )l x =α nếu và chỉ nếu x L∈ α và liên kết với .Y Nghĩa là ( ,L ≤L) là một rừng được dán nhãn liên kết với .Y
Vì một cây tùy ý không có (ω + −1) chuỗi nào nhất định là nửa dàn và tất
cả các ánh xạ từ một nửa nhóm zero trái hay nửa nhóm zero phải là các đồng cấu, nên một cặp rừng được dán nhãn tùy ý liên kết với một cây không chứa
(ω + −1) chuỗi nào xác định duy nhất một băng với tính chất thu hẹp iđêan.
CHƯƠNG 3