Khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ hai của lyapunốp

Trờng đại học vinh khoa toán ---------- o0o ---------- khảo sát tính ổn định bằng phơng pháp thứ hai của lyapunốp khóa luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán *********************** Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Tạ Quang Hải Ngời thực hiện: Sinh viên Phan Trọng Hùng Lớp 41E 1 - Toán 1 Vinh-2005 ***** Lời nói đầu Mục đích của khóa luận là trình bày lý thuyết ph ơng pháp thứ hai của Lyapunốp. Trên cơ sở các khái niệm, định nghĩa, định lý, hệ quả, nhận xét. Để từ đó sử dụng nó vào việc khảo sát tính ổn định nghiệm của hệ phờng trình vi phân tuyến tính. Nội dung khóa luận đợc trình bày một cách có hệ thống và tổ chức nh sau: Đ1.Một số khái niệm. I. Hệ rút gọn. II. Hàm xác định dấu. Đ2. Định lý thứ nhất của Lyapunốp. Đ3. Định lý thứ hai của Lyapunốp. Đ4. Định lý thứ ba của Lyapunốp. Đ5. Tính ổn định trong toàn cục. Đ6. Sự ổn định mũ. Khóa luận đợc thực hiện và hoàn thành tại Đại Học Vinh. Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến P.GS.TS. Tạ Quang Hải ngời đã đặt vấn đề và dẫn dắt, chỉ ra những sai sót cũng nh những góp ý chân thành giúp chúng tôi hoàn thành khóa luận này. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này. 2 Vinh tháng 4 năm2005 Tác giả Đ1.một số khái niệm I. Hệ rút gọn Giả sử cho hệ vi phân tuyến tính: )1.1(),,( ytY dt dy = trong đó },{, )1,0( GytaCY ty <<= , với G là tập mở của không gian n-chiều ơ-clít thực R n y . Khi đó với mỗi điểm ),( yt tồn tại và duy nhất nghiệm ),;( ytty = hệ (1.1) thõa mãn điều kiện ban đầu: .),;( yytty = Trong chơng này chúng ta chỉ giới hạn việc xét các nghiệm thực. Giả sử );(),( atttt ><= là nghiệm hệ ( 1.1) ( chuyển động không nhiễu ), đòi hỏi phải khảo sát tính ổn định của nó , đồng thời H là lân cận của nghiệm đó, sao cho: ),[))(( ttkhiGtU H trong đó }.)(,{))(( <<= HtytttU H Đặt )2.1()(tyx = nghĩa là x là độ lệch của nghiệm y từ nghiệm (t), bởi vì: )),(,()( ttYt = nên với x ta nhận đợc phơng trình vi phân )3.1(),,( ytY dt dy = trong đó ),())](,())(,([),( )1,0( ZCttYtxtYxtX tx += },,{ HxtaZ <<<= },,{ HxtaZ <<<= 3 khi đó, rõ ràng là, 0)0,( tX do vậy, hệ (1.3) có nghiệm tầm thờng 0 = x , trong không gian R n y . Tơng ứng với nghiệm đã cho )(t = ( xem hình 1). Ta gọi hệ(1.3) là hệ rút gọn theo Lyapunốp. Bởi vậy, việc khảo sát tính ổn định của nghiệm )(t = , trong không gian R n y dẫn đến việc khảo sát tính ổn định của nghiệm tầm th ờng 0 = x ( tại vị trí cân bằng ) trong không gian . R x n II. Hàm xác định dấu Xét hàm: ),(),( ZCxtVV tx = trong đó: }.,{ hxtaZ <<<= Ta đa vào các định nghĩa về các hàm xác định dấu và đổi dấu. Định nghĩa1. Hàm vô hớng liên tục thực ),( xtV đợc gọi là hàm đổi dấu ( dấu dơng hoặc dấu âm ) trong Z , nếu: 0),( xtV (hoặc 0),( xtV ) với .),( Zxt 4 =(t) x = 0 t 0 t 0 t 0 t 0 x Hình 1 y Định nghĩa 2. Hàm ),( xtV đợc gọi là xác định dơng trong Z nếu tồn tại hàm vô hớng: )()( hxCxW < sao cho: )4.1(00)(),( > xkhixWxtV .0)0()0,( == WtV Tơng tự hàm ),( xtV đợc gọi là xác định âm tại Z , nếu tồn tại )()( hxCxW < sao cho: 00)(),( < xkhixWxtV và .0)0()0,( == WtV Hàm xác định dơng hoặc âm gọi là hàm xác định dấu. Thay cho )(xW đôi lúc có thể lấy .),(inf)( xtVxW t = Nói cách khác )(xVV = là hàm xác định dấu, nếu 0)()1( xkhixV và ,0)0( = V trong đó đối với hàm đợc xác định dơng 0 = , còn đối với hàm xác định âm thì 1 = Thí dụ 1.2.1. Trong không gian thực 2 R hàm )5.1(,cos2 22 txyyxV += khi 1 < là xác định dơng, bởi vì : 0),())(1( 2),,( 22 22 >+ + yxWyx yxyxyxtV khi .00;0 22 ===>+ yxkhiVyx Khi 1 = hàm V chỉ nhận dấu dơng.Có thể minh họa một cách dễ dàng hàm đợc xác định dấu ),( xtV bằng hình học. 5 Giả sử ),( xtV là hàm xác định dơng sao cho ),(),( xWxtV trong đó 00),( > xkhiyxW và .0)0( = W Giả sử rằng mặt mức )0()( = CCxW trong không gian n xx , .,0 1 là họ các mặt phẳng khép kín liên tục, bao quanh gốc tọa độ 0 và mở rộng một cách đơn điệu khi tăng tham số C (hình 2). Lúc đó, rõ ràng là, mỗi một mặt mức .),( 1 CxtV = Với mọi giá trị của tham số t sẽ đợc sắp xếp phía trong bề mặt tơng ứng .)( 1 CxW = Đinh nghĩa 3. Ngời ta nói rằng hàm ),( xtV có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi ,0 x nếu với at > nào đó ta có .0),( t xtV Tại 0),[ xkhit tức là với mọi 0 > tồn tại 0)( >= sao cho: )6.1(),( < yxV khi <x và ).,[ tt Nhờ bất đẳng thức (1.6) ta kết luận rằng, hàm ),( xtV có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi 0 x trong nửa hình trụ nào đó , < tt ta thấy rằng nếu )(xV là hàm liên tục, không phụ thuộc vào thời gian t, và sao cho ,0)0( = V thì rõ ràng )(xV có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi 0 x . 6 Hình2 c 2 <c 1 0 w(x)=c 2 v(t,x)=c w(x)=c 1 ThÝ dô 1.2.2. Hµm (2.2) khi 1 < α cã giíi h¹n v« cïng bÐ bËc cao khi: ,0 22 →+= yxr hµm )], .([ 22 2 2 1 2 n xxxtSinV +++= kh«ng cã giíi h¹n v« cïng bÐ bËc cao khi ,0 . 22 2 2 1 →++= n xxxx mÆc dï hµm nµy cã giíi h¹n .00 →→ xkhiV 7 Định lý thứ nhất của lyapunốp Giả sử },,{),(),( )1,0( HxtaZZCxtX tx <<<= và )1.2(),,( xtX dt dx = là hệ rút gọn, tức là: .0)0,( tX Rõ ràng là hệ có nghiệm tầm thờng .0 = Ta đặt ),()0,( )1,1( ZCtVV tx ),},{( ZHhxtaZ <<<= Và )],(), .,,([),( 1 xtXxtXcolonxtXX n = hàm = + + = n j j j XVgrad t V xtX x V t V txV 1 . )2.2(),,(),(),( đợc gọi là đạo hàm theo thời gian t của hàm ),( xtV lấy theo hệ (2.1). Nếu )(txx = là nghiệm của hệ (2.1), thì ),( xtV là đạo hàm đủ theo thời gian t của hàm hợp )),(,( txtV nghĩa là )).(,(),( txtV dt d txV = Giả sử (t,x) Z o và x( t, x) là nghiệm hệ (2.1), đợc xác định bởi điều kiện đầu: x(t; t,x ) = x. Khi đó: )3.2(,)],;(,([),( t xtxV dt d txV = = Chú ý rằng, nếu ,),( 1 _ CtxV từ công thức (2.3) không suy ra đợc (2.2). Giả sử ),(),( )1,1( ZCtxV tx nếu V(t,x) > 0 khi V(t,x) = c, thì các đờng cong tích phân x= x(t) 8 tại các điểm (t,x) của mặt V(t,x) = c sẽ chuyển từ hớng âm của mặt, đợc xác định bởi pháp tuyến -grad V, thành hớng dơng của nó đợc xác định bởi pháp tuyến +gradV (hình 3). Với 0),( . < xtV ta có hình vẽ ngợc lại. Mặt V(t,x) = c xác định nh trên đợc gọi là các mặt không có tiếp điểm đối với trờng các đờng cong tích phân của hệ (2.1) Nhận xét. Khái niệm đạo hàm theo hệ (2.1) có thể mở rộng hơn cụ thể là: )}.,()(,(,({ 1 lim),( 0 . xtVtxthXxhtV h xtV h ++= + Nh vậy nếu ),(),( )1,1( ZCxtV tx thì rõ ràng là, ta có công thức (2.2). Định lí 1. ( Định lý thứ nhất của Lyapunốp ). Nếu đối với hệ rút gọn (2.1) tồn tại hàm vô hớng dơng. ),(),( )1,1( ZZCxtV tx có đạo hàm theo thời gian ),( . xtV theo hệ thuộc dấu âm. Khi đó nghiệm tầm thờng = 0 ( a < t < ) của hệ này là ổn định theo Lyapunốp khi t + Chứng minh. Theo điều kiện định lý tồn tại hàm W(x) liên tục xác định dơng sao cho: V(t,x) W(x) > 0 khi x 0 (2.4) và V(t,0) = W(0) = 0. Trong không gian R n x ta xét hình cầu S : = x (2.5) nằm trong Z o , trong đó 0 < h <H. Vì hình cầu S là tập compắc và hàm W(x) là liên tục và dơng trên S nên theo định lý Vâystrat hàm này đạt đợc cận giới tại một điểm nào đó x * ọ S tức là: 9 -gradV +gradV (t,x) x(t) v=c Hình 3 inf W( x) = W(x * ) = > 0. (2.6) Giả sử t o ọ (a, ) là tùy ý, hàm V( t o ,x) liên tục theo x, lúc đó V( t o ,0) = 0. Do đó tồn tại lân cận x < < sao cho: 0 V(t o ,x) < khi x <. (2.7) Ta hãy xét nghiệm không tầm thờng bất kỳ x = x(t), (2.8) vớiđiều kiện đầu x < ( hình4). Chứng minh rằng quỹ đạo của nghiệm này nằm trong hình cầu S , khi đó: x < khi t o t < . (2.9) Thật vậy, khi t = t o ta có: )( tx < < . Giả sử bất đẳng thức (2.9) thõa mãn không phải với mọi t ọ [t o , ) tồn tại t 1 > t o là điểm ra của nghiệm x(t) khỏi S , nghĩa là )(tx < khi t o t < t 1 và )( 1 tx = . Ta sẽ nghiên cứu dáng điệu hàm v(t) = V(t,x(t)),dọc theo nghiệm x(t). Bởi vì theo điều kiện của định lí ta có: ,0)( . = dt dV tv nên hàm v(t) không tăng. Do vậy theo công thức (2.7) và (2.6), ta có > V( t o , x(t o ) ) V( t 1 , x(t 1 ) ) W( x(t 1 ) ) . Điều này vô lý bởi vậy nghiệm x(t) với t ọ [t o , ) sẽ chỉ ở phía trong hình cầu S và, vì < H, nghiệm này đợc xác định với t o t < (đợc tiếp tục vô hạn ở phía phải ), đồng thời )(tx < khi t o t < , nếu chỉ có < )( tx điều đó chứng tỏ rằng (theo định nghĩa) nghiệm tầm thờng = 0 ổn định theo Lyapunốp khi t . định lí đợc chứng minh. Hệ quả. Nếu đối với hệ tuyến tính thuần nhất 10 Hình 4 0 x(t o ) x(t 1 ) S x n x 1