Hệ thức viét và ứng dụng

-Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn , các hệ số của phương trình và dùng chúng để biến đổi và giải phương trình nhờ cách đó mà nó thúc đẩy Đại số phát triển mạnh.. - Ông là

Trang 2

1 ;

2

b x

a

− + ∆

2

b x

a

− − ∆

=

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình trong trường hợp  > 0 ?

Khi  > 0: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

có hai nghiệm phân biệt:

Với  = b2 – 4ac Đáp án:

Trang 3

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm:

Hãy tính a) x1 + x2

b) x1.x2

2

b x

a

− + ∆

2

b x

a

− − ∆

=

= + x

x1 2

a 2

b− ∆

− +

a 2

b

b + ∆ − − ∆

−

=

a 2

b 2

−

=

a

b

−

=

x

x1 2 2 a

b+ ∆

−

a 2

b − − ∆

2

2 2

a 4

) (

) b

a 4

b −∆

a 4

ac 4 b

=

a

c

=

a 2

b + ∆

−

Đáp án:

Trang 4

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

* Định lí VI-ÉT:

Trang 5

Phrăng–xoa Vi-ét (sinh 1540 - mất 1603) tại Pháp

-Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn , các hệ số của phương trình và dùng chúng để biến đổi và giải phương trình nhờ cách đó mà nó thúc đẩy Đại số phát triển mạnh

- Ông là người phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của

phương trình

- Ông là người nổi tiếng trong giải mật mã

- Ông còn là một luật sư, một chính trị gia nổi tiếng

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

Trang 6

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

Δ =

x1+ x2 =

x1 x2 =

Δ =

x1+ x2 =

x1 x2 =

Bµi tËp 25(Sgk/52): Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2

là hai nghiệm (nếu có) Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (…)

a, 2x2 - 17x + 1 = 0

(-17)2 – 4.2.1 = 281 > 0

1 2

17 2

c, 8x2 - x + 1 = 0

(-1)2 – 4.8.1= -31 < 0

Kh«ng cã gi¸ trÞ Kh«ng cã gi¸ trÞ

Trang 7

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thỡ:

1 HỆ THỨC VI-ẫT:

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

* Định lớ VI-ẫT:

*T.Quỏt 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cú: a + b + c = 0 thỡ

PT cú một nghiệm x1 = 1 , cũn nghiệm kia là

Cho PT: 2x2 - 5x + 3 = 0

a, Xỏc định cỏc hệ số a, b, c rồi

tớnh a + b + c

b, Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm

của phương trỡnh

c, Dựng định lớ Vi-ột để tỡm x2

? 2 – SGK:

Ta có a =

a + b + c =

2 + (-5) + 3 = 0 Thay x1= 1 vào VT của PT ta có:

VT = 2.12 - 5.1 + 3 = 0 Vậy x1= 1 là một nghiệm của PT

Theo định lý Vi-ét thỡ:

x x

a

=

Mà x1= 1

a, b,

c,

2

3 a

c

x2 = =

⇒

a

c

x2 =

= VP

; b = ; c =

Trang 8

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thỡ:

1 HỆ THỨC VI-ẫT:

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

* Định lớ VI-ẫT:

*T.Quỏt 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cú: a + b + c = 0 thỡ

PT cú một nghiệm x1 = 1, cũn nghiệm kia là

Cho PT: 3x2 + 7x + 4 = 0

a, Chỉ rừ cỏc hệ số a, b, c rồi tớnh

a - b + c

b, Chứng tỏ x1 = -1 là một nghiệm

của phương trỡnh

c, Tỡm x2

? 3 – SGK:

Ta có a = ; b = ; c =

a - b + c =

3 - 7 + 4 = 0 Thay x1= -1 vào VT của PT ta có:

VT = 3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 0 = VP Vậy x1= -1 là một nghiệm của PT

Theo định lý Vi-ét thỡ:

x x

a

=

Mà x1= -1

a, b,

c,

3

4 a

c

x2

−

=

−

=

⇒

a c

x2 =

Trang 9

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 =

*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 = −

? 4 – SGK: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) -5x2 + 3x + 2 = 0 b) 2004x2 + 2005x +1 = 0

Có a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0

Vậy x1 = 1;

5

2

−

Có a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0

Vậy x1 = -1;

2004

1

−

Trang 10

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

a

c

x2 =

a c

x2 = −

Trang 11

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

a

c

x2 =

a

c

x2 = −

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Bài toán: Tìm hai số biết

tổng của chúng bằng S và

tích của chúng bằng P.

Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là (S - x).

Tích hai số bằng P nên: x(S – x) = P

 x2 – Sx + P = 0 (1) Nếu  = S2 – 4P ≥ 0 thì PT (1) có nghiệm Các nghiệm này chính là các

Trang 12

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

a

c

x2 =

a

c

x2 = −

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0

Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180

x1 = 15 ; x2 = 12.

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.

 = (-27)2 - 4.1.180 = 9

Trang 13

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

a

c

x2 =

a

c

x2 = −

? 5 – SGK: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5

Hai số cần tìm là nghiệm của PT: x2 – x + 5 = 0.

 = (-1)2 – 4.1.5 = - 19 < 0

Trang 14

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

a

c

x2 =

a

c

x2 = −

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của PT x2 – 5x + 6 = 0

Giải: Vì 2 + 3 = 5; 2.3 = 6

nên x1 = 2, x2 =3 là hai nghiệm của PT đã cho

Trang 15

Hướng dẫn về nhà

- Học thuộc định lớ Vi-ột và cỏch tỡm hai số biết tổng và tớch của chỳng.

- Nắm vững cỏch nhẩm nghiệm trong cỏc trường hợp đặc biệt: a + b + c = 0 và a – b + c = 0.

- Bài tập về nhà: 25, 26, 27, 28 trang 52; 53 – SGK.

Trang 16

Cảm ơn các thầy cô đã đến dự tiết học !

Chúc các em tiến bộ hơn trong học tập !

Trang 17

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

a

c

x2 =

a

c

x2 = −

Trang 18

Ti T Ế 57:

ĐẠI SỐ 9

a

b x

x1+ 2 = −

a

c x

x1. 2 =

a

c

x2 =

a

c

x2 = −

Bài tập 27 – SGK:

a, x2 – 7x + 12 = 0

b, x2 + 7x + 12 = 0

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,02 MB