Hệ Thức Viet và ứng dụng

BÀI TẬP ÔN 1. Cho phương trình: có một trong các nghiệm bằng 3. Tìm hệ số k và nghiệm còn lại. 2 2 8 0x x k+ + = 2. Biện luận số nghiệm của phương trình: 2 2( 1) 2( 1) 0mx m x m − − + − = theo m. 3. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a. 2 ( 1) 2( 3) 2 0a x a x+ − + + = HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG 1. HỆ THỨC VIET: Là một hệ thức liên quan giữa nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 và các hệ số của phương trình này. 2. CHỨNG MINH HỆ THỨC: Giả sử phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) (*) có biệt thức Δ ≥ 0, tức là phương trình (*) có nghiệm, ta gọi hai nghiệm đó là x 1 và x 2. Ta có: 1 2 2 2 b x a b x a  − + ∆ =    − − ∆  =   1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( 4 ) . 4 4 4 b b b b x x a a a b b b b b ac c x x a a a a  − + ∆ − − ∆ − − + = = =   ⇒  − ∆ + ∆ − ∆ − −  = = = =   Vậy: đây là hệ thức Viét 1 2 1 2 . b x x a c x x a −  + =     =   • Ví dụ áp dụng: (?2 ) và (?3 ) trong sách giáo khoa trang 51. →Nếu pt ax 2 + bx +c = 0 có một nghiệm x = 1 thì nghiệm còn lại là và a +b +c = 0 c x a = →Nếu pt ax 2 + bx +c = 0 có một nghiệm x = -1 thì nghiệm còn lại là và a –b + c = 0 c x a − = 3. ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT: * TÌM HAI SỐ KHI BiẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG: Giả sử ta có hai số x 1 , x 2 có tổng là S và tích là P. Vậy: 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 . ( ) x x S x S x Sx x P x Sx P x x P S x x P + = = −   ⇒ ⇒ − = ⇔ − + =   = − =   Từ đó ta thấy: nếu Δ = (-S) 2 - 4P = S 2 - 4P ≥ 0 thì pt trên có nghiệm và các nghiệm này chính là hai số cần tìm. Và đây chính là bất đẳng thức mà S và P phải thoã mãn để tìm hai số. Nên x 2 là nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P =0.Tương tự ta cũng có: .Vậy x 1 cũng là nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0 2 1 1 0x Sx P− + = Ví dụ: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là 7 và tích của chúng là 12. • XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM: Cho phương trình ax 2 +bx + c =0 ( a ≠ 0 ). Ta có các trường hợp sau: + Nếu ( Khi đó chắc chắn Δ > 0 vì a và c trái dấu ) thì phương trình có hai nghiệm trái dấu. Vậy P < 0 thì x 1 x 2 < 0 0 c P a = < + Nếu Δ > 0, P > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu + Nếu Δ > 0, P > 0, S > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dương + Nếu Δ > 0, P > 0, S < 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng âm Ví dụ áp dụng: Bài 1: Cho pt x 2 – 2(k-1)x + 2k - 5 = 0 a./ Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi k b./ Tìm k để pt có hai nghiệm cùng dấu, khi đó hai nghiệm mang dấu gì? c./ Tìm k để pt có tổng hai nghiệm bằng 6. Tìm hai nghiệm đó. Bài 2: Xác định k để pt x 2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thoã mãn: a./ b./ c./ 1 2 3 2 1x x + = 2 2 1 2 12x x− = 2 2 1 2 1x x+ = . + = HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG 1. HỆ THỨC VIET: Là một hệ thức liên quan giữa nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 và các hệ số của phương trình này. 2. CHỨNG MINH HỆ THỨC:. lại là và a +b +c = 0 c x a = →Nếu pt ax 2 + bx +c = 0 có một nghiệm x = -1 thì nghiệm còn lại là và a –b + c = 0 c x a − = 3. ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT: * TÌM HAI SỐ KHI BiẾT TỔNG VÀ TÍCH. =   ⇒  − ∆ + ∆ − ∆ − −  = = = =   Vậy: đây là hệ thức Viét 1 2 1 2 . b x x a c x x a −  + =     =   • Ví dụ áp dụng: (?2 ) và (?3 ) trong sách giáo khoa trang 51. →Nếu pt ax 2