BÀI TẬP ÔN1.. Cho phương trình: có một trong các nghiệm bằng 3.. Tìm hệ số k và nghiệm còn lại.. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a... HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG
Trang 1BÀI TẬP ÔN
1 Cho phương trình: có một
trong các nghiệm bằng 3 Tìm hệ số k và nghiệm còn lại
2
2 x + 8 x k + = 0
2 Biện luận số nghiệm của phương trình:
mx − m − x + m − =
theo m
3 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a
2 ( a + 1) x − 2( a + 3) x + = 2 0
Trang 2HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG
1 HỆ THỨC VIET: Là một hệ thức liên quan
giữa nghiệm của phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 và các hệ số của phương trình
này.
2 CHỨNG MINH HỆ THỨC: Giả sử phương trình
bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*) có biệt thức
Δ ≥ 0, tức là phương trình (*) có nghiệm, ta gọi hai
nghiệm đó là x1 và x2 Ta có:
1
2
2 2
b x
a b x
a
=
− − ∆
=
1 2
2
2 2 ( )( ) ( 4 )
4 4 4
x x
x x
− + ∆ − − ∆ − −
⇒
− ∆ + ∆ − ∆ − −
Trang 3Vậy:
đây là hệ thức Viét
1. 2
b
a c
x x
a
−
+ =
•Ví dụ áp dụng: (?2 ) và (?3 ) trong sách giáo khoa trang 51.
→Nếu pt ax2 + bx +c = 0 có một nghiệm x = 1 thì nghiệm còn lại
là và c a +b +c = 0
x
a
=
→Nếu pt ax2 + bx +c = 0 có một nghiệm x = -1 thì nghiệm còn lại
là và c a –b + c = 0
x
a
−
=
Trang 43 ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT:
* TÌM HAI SỐ KHI BiẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG:
Giả sử ta có hai số x1, x2 có tổng là S và tích là P Vậy:
0
Từ đó ta thấy: nếu Δ = (-S)2 - 4P = S2 - 4P ≥ 0 thì pt trên có
nghiệm và các nghiệm này chính là hai số cần tìm Và đây chính
là bất đẳng thức mà S và P phải thoã mãn để tìm hai số
Nên x2 là nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P =0.Tương tự ta cũng có: Vậy x1 cũng là nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0
2
x − Sx + = P
Ví dụ: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là 7 và tích của
chúng là 12
Trang 5• XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM:
Cho phương trình ax2 +bx + c =0 ( a ≠ 0 ) Ta có các trường hợp sau:
+ Nếu ( Khi đó chắc chắn Δ > 0 vì a và c trái dấu ) thì phương trình có hai nghiệm trái dấu Vậy P < 0 thì x 1 x 2 < 0
0
c P
a
= <
+ Nếu Δ > 0, P > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu
+ Nếu Δ > 0, P > 0, S > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dương
+ Nếu Δ > 0, P > 0, S < 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng âm
Ví dụ áp dụng: Bài 1: Cho pt x 2 – 2(k-1)x + 2k - 5 = 0
a./ Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi k
b./ Tìm k để pt có hai nghiệm cùng dấu, khi đó hai nghiệm
Trang 6mang dấu gì?
c./ Tìm k để pt có tổng hai nghiệm bằng 6 Tìm hai nghiệm đó.
Bài 2 : Xác định k để pt x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2
thoã mãn:
a./ b./ c./ 3x1 + 2x2 =1 x12 − x22 = 12 x12 + x22 = 1