CESS môđun:

2.2.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là CESS-môđun (complement in M

with essential socle is a direct summand of M) nếu mọi phần bù giao trong

M với đế cốt yếu là một hạng tử trực tiếp của M. Và sau đây là các ví dụ cụ thể về CESS-môđun:

2.2.2 Ví dụ. (1). Cho R-môđun M sao cho Soc M( ) =0. Khi đó, M là

CESS-môđun. Thật vậy, gọi môđun A là bù giao trong M sao cho ( ) e

Soc A ≤ A. Vì A M≤ nên Soc A( )≤Soc M( ) 0,= do đó Soc A( ) =0.

Vì Soc A( )≤e A nên A=0. Do đó, A là hạng tử trực tiếp của M. Vậy M là

CESS-môđun. W

(2). Mọi ¢ -môđun tự do đều là CESS-môđun. Thật vậy, giả sử M là ¢ -môđun tự do. Khi đó,

, , . i i i I M Z Z i I ∈ ≅⊕ ≅¢ ∈

Ta có Soc( ) 0,¢ = do đó Theo ví dụ (1) thì M là CESS-môđun. W

(3) Xét ¢ -môđun M =¢ 2 ⊕¤ . Khi đó M là CESS-môđun. Thật vậy, giả sử K là bù giao trong M với Soc(K)≤eK. Vì Soc M( ) =¢ 2là môđun con đơn của M nên ta có Soc(M)=Soc(K) và K là một môđun đều. Do đó K∩ =¤ 0, và vì thế K ≤⊕ M . Vậy M là CESS-môđun. W

(4) Cho p là số nguyên tố, xét ¢ -môđun

3 ( ) ( ). M p p = ¢ ⊕ ¢ ¢ ¢

Khi đó, M không là CESS-môđun. (Xem Ví dụ 2.2.4) W

Như vậy, chúng ta đã biết các khái niệm: CS-môđun, CESS-môđun,

CS-môđun yếu. Thế thì, chúng quan hệ với nhau như thế nào? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta xét mệnh đề sau:

2.2.3. Mệnh đề. Mọi CS-môđun là một CESS-môđun, mọi CESS-môđun là CS-môđun yếu.

Tiếp theo, cho M là CESS-môđun ta chứng minh M là CS-môđun yếu. Thật vậy, giả sử N là môđun con nửa đơn của M, suy ra N là tổng các môđun con đơn, do đó Soc N( ) = N. Mặt khác, N là phần bù giao trong M (với mọi môđun con luôn tồn tại phần bù giao). Khi đó, theo định nghĩa

CESS-môđun ta có N là hạng tử trực tiếp của M. Vậy M là CS-môđun yếuW

2.2.4. Nhận xét. Mỗi CESS-môđun với đế cốt yếu là CS-môđun.

Chứng minh. Giả sử M là CESS-môđun với Soc M( )≤e M. Ta chứng

minh M là CS-môđun. Thật vậy, giả sử A là bù giao trong M, ta chứng minh

A là một hạng tử trực tiếp của M. Vì M là CESS-môđun nên muốn chứng minh A là một hạng tử trực tiếp của M ta chỉ cần chứng minh Soc A( )≤e A.

Thật vậy, giả sử L là môđun con bất kì của A. Khi đó, xét ( ) 0 ( ( )) 0 ( ) ( ) 0 0 0, Soc A L A Soc M L A L Soc M A L L ∩ = ⇔ ∩ ∩ = ⇔ ∩ ∩ = ⇒ ∩ = ⇒ =

suy ra Soc A( )≤e A. Vậy M là CS-môđun. W

Như vậy, chúng ta đã biết được mối quan hệ của CS-môđun, CESS- môđun và CS-môđun yếu. Câu hỏi tự nhiên là chiều ngược lại của Mệnh đề 2.2.3 có luôn đúng không? Ví dụ sau đây nói rằng chiều ngược lại của Mệnh đề 2.2.3 nói chung là không đúng.

2.2.5. Ví dụ. a) Cho p là số nguyên tố, xét ¢ -môđun

( ) .

M = ¢ p ⊕¤

¢

Tiếp theo, ví dụ sau đây chỉ ra rằng một CS-môđun yếu nhưng không là CESS- môđun.

b) Cho p là số nguyên tố, xét ¢ -môđun

3 ( ) ( ). M p p = ¢ ⊕ ¢ ¢ ¢

Khi đó, M là CS-môđun yếu nhưng không là CESS-môđun.

Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh M không là CESS-môđun. Thật vậy,

chú ý rằng M có đế cốt yếu và từ Ví dụ 2.1.5 (4) ta được M không là CS- môđun. Do đó, M không là CESS-môdun.

Mặt khác, từ Ví dụ 2.1.20 ta lại có M là CS-môđun yếu W

2.2.6. Bổ đề. Mỗi hạng tử trực tiếp của CESS-môđun cũng là CESS- môđun.

Chứng minh. Hiển nhiên theo định nghĩa. W

Trong Mệnh đề 2.2.3 nói rằng Mọi CS-môđun là một CESS-môđun,

mọi CESS-môđun là CS-môđun yếu. Tuy nhiên, ở Ví dụ 2.2.5 chỉ ra rằng

chiều ngược lại của Mệnh đề 2.2.3 nói chung là không đúng. Câu hỏi tự nhiên là phải thêm đều kiện gì thì xãy ra chiều ngược lại của Mệnh đề 2.2.3. Để trả lời câu hỏi này, chúng ta tìm hiểu Mệnh đề sau:

2.2.7. Mệnh đề. Cho M là UC-môđun với đế cốt yếu. Khi đó, các điều kiện sao là tương đương:

i) M là CS-môđun yếu; ii) M là CESS-môđun; iii) M là CS-môđun.

Chứng minh. (i)⇒(ii) Lấy A là môđun con của M sao cho A là bù giao

( ) e

Soc A ≤ A. Vì Soc(A) là nửa đơn nên theo (i) tồn tại môđun con N của M

sao cho Soc A( ) ≤e N ≤⊕ M. Do M là UC-môđun nên A N= (vì A tối đại trong M và N là đóng trong M), do đó A≤⊕ M. Vậy M là CESS-môđun. (ii) ⇒(iii) Lấy X ≤M, khi đó X sẽ là phần bù giao trong M (phần bù giao luôn tồn tại). Xét Soc(X), vì M là UC-môđun nên Soc X( ) ≤e X. Vậy M là

CS-môđun.

(iii) ⇒(i) Hiển nhiên theo định nghĩa. W

2.2.8. Mệnh đề. Cho M là R-môđun sao cho M Soc M là đơn. Khi đó M ( )

là CESS-môđun nếu và chỉ nếu M là CS-môđun.

Chứng minh. Giả sử M là CESS-môđun và K là phần bù giao trong M. Vì

( )

M

Soc M là đơn nên Soc(M) là môđun con tối đại của M. Do đó, hoặc

( )

K ≤Soc M hoặc K +Soc M( ) =M. Trong trường hợp đầu. từ M là

CESS- môđun, ta có K ≤⊕ M . Trong trường hợp sau, tồn tại một môđun con B của Soc(M) sao cho:

( ) ( ( )) .

Soc M = K ∩Soc M ⊕B

Khi đó, M = +K Soc M( )= ⊕K B. Vậy M là CS-môđun. W

2.2.9. Định nghĩa. Một R-môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện (P)

(satisfy condition (P))nếu cho bất kì môđun con N của M có tồn tại một hạng tử trực tiếp K của M sao cho Soc K( ) ≤ ≤N K.

2.2.10. Ví dụ. (1) Xem ¢ như là ¢ -môđun. Khi đó, ¢ là môđun thỏa mãn điều kiện (P).

(2) Cho ¢ -môđun M =(¢ 2 )⊕¤

¢ . Khi đó M không thỏa mãn điều kiện (P). Thật vậy, trước hết ta thấy M có chiều đều bằng 2 và nó cũng được biết rằng M không là một CS-môđun (xem [7]). Giả sử ngược lại, M

thỏa mãn điều kiện (P). Cho K ≤c M, khi đó tồn tại một hạng tử trực tiếp

L của M sao cho Soc L( )≤ ≤K L. Nếu L=M thì K là một hạng tử trực tiếp của M. Nếu L≠M, thì L có chiều đều bằng 1 và K ≤e L. Do đó, K=L và

.

K ≤⊕ M Khi đó, M là CS-môđun, nhưng đây là một mâu thuẫn. W

Từ Ví dụ 2.2.10, ta thấy M có chiều đều bằng 2 và M không thỏa mãn điều kiện (P). Tuy nhiên, ở Ví dụ 2.2.2 chỉ ra rằng M là CESS-môđun. Bây giờ ta chứng minh một kết quả tổng quát hơn bởi Mệnh đề sau:

2.2.11. Mệnh đề. Cho M là R- môđun với udim(M) =2 sao cho Soc(M) là một hạng tử trực tiếp khác không của M và M không là CS-môđun. Khi đó:

i) M không thỏa mãn điều kiện (P).

ii) M là CESS-môđun.

Chứng minh. i) Theo giả thiết M =Soc M( )⊕T, trong đó T là một môđun

con khác không của M. Giả sử ngược lại, M thỏa mãn điều kiện (P). Lấy K

là bù giao trong M nhưng không là hạng tử trực tiếp của M. Khi đó, tồn tại các môđun con L,L1 của M sao cho:

1

( )

Soc M ≤⊕ K L≤ ≤⊕ M = ⊕L L .

Bây giờ, chúng ta xét hai trường hợp sau:

• Trường hợp 1. L=M. ở đây Soc M( )≤ ≤K M và

( ) .

Soc M ≠K Từ K ∩ ≠T 0, ta có Soc M( )⊕(K ∩T)≤K. Vì

• Trường hợp 2. L M≠ . Ở đây L là môđun đều, từ K L≤ và ,

c

K ≤ M kéo theo K=L một hạng tử. Điều này là mâu thuẫn, cho thấy rằng M không thỏa mãn điều kiện (P).

ii) K là một bù giao trong M với Soc K( )≤e K. Từ Soc M( )≤⊕ M , ta có ( )

Soc K ≤⊕ M và vì thế K Soc K= ( )≤⊕ M. W

2.2.12. Định lí. Cho M là UC-môđun. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:

i) M thỏa mãn điều kiện (P);

ii) M là CESS-môđun;

iii) M là CS-môđun yếu.

Chứng minh. (i)⇒(ii) Cho K ≤c M với Soc K( )≤e K . Theo (i) thì tồn tại

một hạng tử trực tiếp L của M sao cho Soc L( )≤ ≤K L. Khi đó, theo [8, Proposition 10] ta có M =M1⊕M2 với Soc M( 1)≤e M2, M1 là CS-môđun và Soc M( )2 =0. Từ đây Soc K( )=Soc L( )≤M1. Từ M1 là

CS-môđun, ta có thể tìm một hạng tử trực tiếp U của M sao cho ( ) e .

Soc K ≤ U Khi đó, M là UC-môđun, chúng ta có K=U và K ≤⊕ M. Vậy

M là CESS-môđun.

(ii)⇒(i) Theo [9, Corollary 1.6], ta cóM M= 1⊕ M2, với M1 là CS-môđun,

1 1

( ) e

Soc M ≤ M và Soc M( 2) =0. Cho K là một bù giao trong M, ta xét

hai trường hợp sau:

• Trường hợp 1. Soc K( ) =0. Từ Soc M( ) =Soc M( )1 ≤e M1, ta có

2 0.

K ∩M ≠ Hơn nửa, K ∩M2 ≤e M2 theo Mệnh đề 2.2.7.(ii). Khi đó, tồn tại V ≤M2 sao cho V ⊕(K ∩M2)≤e M2. Khi đó,

1 ( ) 0 và (M1 ) 0.

M ∩ V ⊕K = ⊕V ∩ =K Điều đó kéo theo rằng

1 ( 2) 0

M ∩ K M+ = và vì thế K M≤ 2.

• Trường hợp 2. Soc K( )≠0. Soc K( ) (= Soc M( 1))∩ ≤ ∩K K M1.

Theo Mệnh đề 2.2.7.(ii), ta có K M∩ 1≤c M1. Từ M1là CS-môđun ta

được K ∩M1≤⊕ M1, trong đó M1 =(K ∩M1)⊕L với L là môđun con của M1. Đặt T = ∩K (L⊕M2) ta có K =(K ∩M1)⊕T. Khi đó, T là bù giao trong M và Soc T( ) =0. Như Trường hợp 1, chúng ta chứng minh rằng T được chứa trong M2. Như vậy

1 2

( )

K ≤ K ∩M ⊕M ≤⊕ M với Soc K(( ∩M1)⊕ M2)≤ K. Hay M thỏa mãn điều kiện (P).

(ii)⇒(iii). Suy ra từ Mệnh đề 2.2.3.

(iii)⇒(ii). Cho K là một bù giao trong M với Soc K( )≤e K . Khi đó, tồn tại một hạng tử trực tiếp L của M sao cho Soc K( )≤e L theo (iii). Từ M là

UC- môđun suy ra K=L, một hạng tử trực tiếp như yêu cầu. W

KẾT LUẬN

Nội dung chính của luận văn là trình bày có hệ thống một số nội dung dựa vào bài báo của C. Celik (1998), [2]. Cụ thể chúng tôi hoàn thành những công việc sau:

Trình bày có hệ thống một số kết quả và chứng minh chi tiết một số tính chất của CS-môđun và CESS-môđun cũng như đưa ra các ví dụ minh họa các khái niệm trên (Ví dụ 2.1.5, Ví dụ 2.2.2). Đặc biệt, để hiểu thêm về

CS-môđun và CESS-môđun, chúng tôi còn trình bày các khái niệm về

UC-môđun, CS-môđun yếu, môđun thỏa mãn điều kiện (P) và chứng minh chi tiết Mệnh đề 2.2.3; Nhận xét 2.2.4; Ví dụ 2.2.5; Mệnh đề 2.2.7 nói về mối liên hệ giữa các lớp môđun nói trên mà trong tài liệu không chứng minh hoặc chứng minh chưa chi tiết.

Luận văn chắc chắn còn có những vấn đề tồn tại, kính mong được sự góp ý chỉ bảo tận tình của quý Thầy giáo, Cô giáo và các bạn.

IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT

[1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết

môđun và vành, NXB Giáo dục.

TIẾNG ANH

[2] C. Celik (1998), CESS-modules, Tr. J. of Mathematics, 22, 69-75 [3]

C. Celik, A. Harmanc and P. F. Smith (1995), A generalization of CS-

modules, Comm. Algebra, 23, 5445-5460.

[4] N. V. Dung, D. V. Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer (1994),

Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313,

Longman, Harlow, UK.

[5] Harmanci. A. and Smith. P. F. (1993), Finite direct sums of CS-

modules, Houston J. Math., 19, 523-532

[6]

S. H. Mohamed and B. J. Muller (1990), Continuous and Discrete

Modules, London Math. Soc. Lecture Notes Series147, Cambridge

Univ. Press, Cambridge.

[7]

Smith. P. F., Modules for which ever submodule has a unique closure,

in Ring Theory (Editors, S. K. Jain, S. T. Rizvi (1993), World

Scienti c, Singapore), 303-313.fi [8]

Al-Khazzi. I. and Smith. P. F. (1991), Modules with chain conditions

on superfluous modules, Comm. Alg., 19(8), 2331-2351.

[9]

Smith. P. F. (1990), CS-modues and Weak CS-modules, Non-