Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ TIẾN MƠ HÌNH XẠ ẢNH CỦA MẶT PHẲNG AFIN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TOÁN HỌC VINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ TIẾN MƠ HÌNH XẠ ẢNH CỦA MẶT PHẲNG AFIN VÀ ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG VINH - 2011 LỜI NĨI ĐẦU Trong chương trình cử nhân tốn học, làm quen với mơn học Hình học xạ ảnh bước đầu thấy mối liên hệ mật thiết hình học sơ cấp hình học xạ ảnh Trong hình học sơ cấp có tính chất xạ ảnh nhiều ẩn náu đằng sau tính chất khơng xạ ảnh Nếu ta phân biệt rõ ràng tính chất xạ ảnh với tính chất khơng xạ ảnh ta áp dụng hình xạ ảnh vào hình sơ cấp cách hiệu Ví dụ: Trong khái niệm hình trịn, hình elip, hình parabol hay hypebol mà ta gặp phổ thơng hay giải tích tính chất “là trịn”, “là elip”, “là parabol”, “là hypebol” khơng phải tính chất xạ ảnh tính chất “là đường bậc hai” tính chất xạ ảnh Hay khái niệm “đường thẳng vơ tận” tính chất “ở vơ tận” khơng phải tính chất xạ ảnh khái niệm “đường thẳng” khái niệm xạ ảnh đường thẳng đóng vai trị bình đẳng so với đường thẳng khác Hay khái niệm tọa độ Đêcac độ dài góc tham gia vào việc xác định tọa độ khái niệm khơng xạ ảnh khái niệm tỉ số kép mà ta dùng biểu diễn theo tọa độ Đêcac khái niệm xạ ảnh Hình học xạ ảnh nghèo nàn tính chất hình học túy (các tính chất liên quan đến số đo không xét đến, tính song song phẳng khơng có) tổng quát hình học khác Trong hình học xạ ảnh chủ yếu quan hệ liên thuộc Theo nghĩa định coi hình học sơ cấp hình học thước kẻ compass cịn hình học xạ ảnh hình học thước kẻ Hình học xạ ảnh cho ta nhìn tổng qt tốn hình học phẳng liên quan đến tính đồng quy, tính thẳng hàng Các định lý liên quan đến đường conic giúp nhìn lại tốn phổ thơng trung học cách hệ thống Nhờ giải sáng tạo toán sơ cấp Trong khóa luận tốt nghiệp này, chúng tơi trình bày cách hệ thống, chi tiết mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin đưa số toán mặt phẳng xạ ảnh toán sơ cấp Khóa luận chia làm ba mục chính: 1.Mặt phẳng xạ ảnh Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm ban đầu liên quan đến mặt phẳng xạ ảnh như: định nghĩa, mục tiêu toạ độ xạ ảnh… 2.Mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin Trong mục chúng tơi trình bày mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin 3.Ứng dụng mơ hình xạ ảnh Trong mục xuất phát từ định lý, toán xạ ảnh để đưa tốn hình sơ cấp Để hồn thành khóa luận này, ngồi cố gắng nỗ lực thân, tơi cịn nhận hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, góp ý chân thành bạn bè lời động viên quý báu gia đình, người thân Nhân dịp cho phép bày tỏ lịng biết ơn đến thầy tồn thể người Vinh, tháng năm 2011 Tác giả §1.Mặt phẳng xạ ảnh Ở mục này, chúng tơi trình bày kiến thức ban đầu liên quan đến mặt phẳng xạ ảnh như: định nghĩa, mục tiêu tọa độ xạ ảnh… để sử dụng khóa luận 1.1: Định nghĩa Giả sử V3 không gian vectơ thực 3-chiều Ta kí hiệu [V3] tập hợp không gian vectơ chiều V3 Giả sử tập P khác rỗng có song ánh p: [V3]  P ta nói ba (P, p, V3) mặt phẳng xạ ảnh thực kí hiệu P2 Mỗi phần tử A  P2 gọi điểm    Nếu điểm M  P2, M = p(V1) ≠ x  V3; cho V1 = < x >,khi  ta gọi x vectơ đại diện cho điểm M (hai vectơ đại diện cho điểm cộng tuyến với nhau) 1.2: Mục tiêu tọa độ xạ ảnh  Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 hệ điểm {M1, M2, M3} gọi hệ    điểm độc lập hệ vectơ đại diện tương ứng chúng { x1 , x2 , x3 } độc lập tuyến tính  Hệ điểm{A1, A2, A3; E} gọi mục tiêu ứng với sở       đại diện { e1 , e2 , e3 } P2 nếu{A1, A2, A3} độc lập e = e1 + e2 +     e3 ≠ ( e vectơ đại diện E eI vectơ đại diện cho AI, I =1, 2, 3)     Giả sử {A1, A2, A3 ;E} mục tiêu ứng với sở { e1 , e2 , e3 }      M  P2 có x vectơ đại diện.Ta có biểu diễn x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 Khi ( x1, x , x3) gọi tọa độ điểm M mục tiêu cho kí hiệu M(x1, x 2, x3) 1.3: Đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh  Như ta biết (xem tài liệu [1]), tập hợp p([V2])  P,(V2  V3) gọi đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh kí hiệu P1   Giả sử đường thẳng  qua hai điểm phân biệt M1, M2  P2 điểm X(x1, x , x3)   Khi ta có : [X] = t1[M1] + t2[M2] , ( t12 + t22 ≠ 0) với [X], [M1], [M2] ma trận toạ độ cột điểm X, M1, M2 Từ ta có phương trình  : a1x1 + a2x2 + a3x3 = (a1, a2, a3 không đồng thời 0) Bộ số (a1, a2, a3) gọi tọa độ đường thẳng  mục tiêu chọn 1.4: Tỉ số kép P2  Tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng: Trong P2 với mục tiêu cho trước có bốn điểm phân biệt A, B, C, D thuộc đường thẳng Ta có: [C] = k1[A] + l1[B] , [D] = k2[A] + l2[B] với l2 ≠ tỉ số kép bốn điểm A, B, C, D kí hiệu [A, B, C, D] xác định bởi: [A, B, C, D] = l1 l2 : k1 k2 Nếu [A, B, C, D] = -1 ta nói A, B, C, D hàng điểm điều hòa (hay cặp C, D chia điều hòa cặp điểm A, B)  Tỉ số kép chùm bốn đường thẳng: Cho chùm bốn đường thẳng phân biệt , , ,  P2 Với mục tiêu cho trước, giả sử bốn đường thẳng , , ,  có ma trận tọa độ [], [], [], [] Ta có: [] = 1[] + 1[] , [] = 2[] + 2[] tỉ số kép chùm bốn đường thẳng xác định bởi: [, , , ] = 1 2 : 1 2 Nếu [, , , ] = -1 ta nói , , ,  lập thành chùm đường thẳng điều hòa (hay cặp ,  chia điều hòa cặp , )  Ta nhận thấy rằng, chùm bốn đường thẳng , , ,  bị cắt đường thẳng tương ứng bốn điểm A, B, C, D [, , , ] = [A, B, C, D] 1.5: Hình bốn cạnh toàn phần Khái niệm: Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 hình gồm bốn đường thẳng khơng có ba đường đồng quy gọi hình bốn cạnh toàn phần đường thẳng cạnh, giao điểm hai cạnh gọi đỉnh, hai đỉnh không nằm cạnh gọi hai đỉnh đối diện, đường thẳng nối hai đỉnh đối diện đường chéo 1.6: Các đường bậc hai P2 Như ta biết (xem tài liệu [1]), tập hợp S điểm X(x1, x , x3)  P2, thỏa mãn phương trình: a11x12 + a22x22 + a33x32 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 = (trong aij không đồng thời aij = aji với i,j=1, 2, 3) S gọi đường bậc hai P2 Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp, đường bậc hai P2 có phương trình chuẩn tắc năm dạng sau: Đường Ôvan ảo : x12 + x22 +x32 = Đường conic: x12 + x22 - x32 = Cặp đường thẳng ảo: x12 + x22 = Cặp đường thẳng phân biệt: -x1 + x22 = Cặp đường thẳng trùng nhau: x12 = §2.Mơ hình xạ ảnh khơng gian afin Trong mục chúng tơi trình bày cách xây dựng mặt phẳng xạ ảnh từ mặt phẳng afin cho trước số thể mơ hình 2.1: Mơ hình xạ ảnh không gian afin Ta xét không gian xạ ảnh P2 với không gian vectơ thực V3 đường thẳng   P2.Ta đặt A2 =P2\  Trong P2 ta chọn mục tiêu{A1, A2, A3; E} cho{A1, A2}   Khi đó, đường thẳng  có phương trình x3 = X(x1, x , x3)  A2 x3 ≠ Ta đặt X1 = x1 x X2 = số (X1 , X2) gọi tọa độ không x3 x3 điểm X mục tiêu xạ ảnh cho ta viết X=(X1, X2) Khi có song ánh từ tập A2 vào R2 cách ta cho điểm thuộc A2 tương ứng với tọa độ không Gọi V2   khơng gian vectơ chiều trường số thực R với sở { a1 , a2 } ta xét ánh xạ:  : A2  A2  R   (X,Y)   (X,Y) = XY = v   v = (Y1 - X1, Y2 - X2) ánh xạ  thỏa mãn hai tiên đề không gian afin Thật vậy:  +) X  A2, X = (X1, X2) v = (v1, v2)  R2 Khi có điểm  Y(Y1, Y2) với Y1= X1+ v1 , Y2=X2 + v2 (X,Y) = v +)  X, Y, Z  A2 : X = (X1, X2), Y = (Y1, Y2), Ta có : Z = (Z1, Z2)   (X,Z) = XZ = (Z1 - X1, Z2 - X2) = (Z1 - Y1, Z2 - Y2) + (Y1 - X1 , Y2 - X2)   = YZ + XY = (Z, Y) + (Y, X) Ta gọi A2 mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin 2.2: Mục tiêu tọa độ afin A2 Ta xét mục tiêu xạ ảnh P2 gọi E1, E2 giao điểm đường thẳng A1A3, A2A3 với đường thẳng  Tọa độ không E1, E2 A3 là: E1 = (1, 0), E2 = (0, 1), A3 = (0, 0)     Ta đặt A3E1 = e1 A3E2 = e2 {A3; E1, E2} mục tiêu afin A2 (nó gọi mục tiêu afin sinh mục tiêu xạ ảnh{A1, A2, A3; E})    Khi đó, X  A2, X=(X1, X2) ta có : A3X = X1 e1 + X2 e2 Và ta nói (X1 , X2) tọa độ afin X mục tiêu afin{A3; E1, E2} sinh mục tiêu xạ ảnh{A1, A2, A3 ;E} 10 2.3:Đường thẳng trongA2  Giả sử d1 đường thẳng P2 khơng trùng với  Khi d1’= d1\  đường thẳng A2 Thật vậy, với mục tiêu xạ ảnh trên, giả sử đường thẳng d1 có phương trình: a1x1 + a2x2 + a3x3 = (1) Vì d1 đường thẳng không trùng với  nên X  d1, X=(x1, x 2,x3) x3 ≠ Ta chia hai vế (1) cho x3 tọa độ khơng X thỏa mãn phương trình: a1X1 + a2X2 + a3 = (2) Từ (2) suy d1’ đường thẳng A2  Ta gọi d1,d2 đường thẳng phân biệt P2 khác  , I = d1d2 A2 = P2\  gọi d1’,d2’ đường thẳng tương ứng với d1, d2 Ta có kết sau: Nếu I   d1’//d2’ Nếu I   d1’d2’ = I 2.4: Tỉ số kép A2 Trong không gian P2 lấy bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng Với A(a1, a2, 1), B( b1, b2, 1) tọa độ C D là: C( k1.a1 + l1.b1, k1.a2 + l1.b2, k1 + l1 ), D( k2.a1 + l2.b1, k2.a2 + l2.b2, k2 + l2 ) Trong P2 tỉ số kép bốn điểm A, B, C, D là: [ABCD] = l1 l2 : k1 k2 Trong A2= P2\  tọa độ bốn điểm là: A(a1, a2), B( b1, b2), C(c1, c2) D(d1, d2) Trong : cI = k1.aI+l1.bI k1+l1 dI = k2.aI+l2.bI k2+l2 (I = 1,2) 22 Định lý Xêva hình học sơ cấp phát biểu sau:  Định lý: Cho tam giác ABC, ba điểm E, F, G thuộc cạnh BC, CA, AB Khi ba đường thẳng AE, BF, CG đồng quy EB FC GA = -1 A EC FA GB Chứng minh: Ta chứng minh định lý G phương pháp đại số F +> Điều kiện cần:  ABC; O E BC, F CA, G AB; AE, BF, CG đồng quy B E C EB FC GA Chứng minh: = -1 EC FA GB Áp dụng định lý Mênêlauýt cho tam giác BEA với ba điểm O, G, C thẳng hàng tam giác CAE với ba điểm O, B, F thẳng hàng ta có: OE GA CB =1 (1) OA GB CE OA BE FC =1 OE BC FA Nhân hai vế (1) với (2) ta được: GA BE FC = GB EC FA  EB FC GA (2) = -1 EC FA GB +> Điều kiện đủ:  ABC; E BC, F CA, G AB; EB FC GA = -1 EC FA GB Chứng minh: AE, BF, CG đồng quy Gọi M = BFCG ta có AMBC giả sử AM//BC, áp dụng định lý Talet ta có: 23 FC FA GA = = BC (3) MA AM (4) GB BC Nhân hai vế (3) (4) ta có: FC GA BC AM = = -1 FA GB MA BC Thay (5) vào (1) ta có:  EB EC (5) = EB = EC  B = C Mâu thuẫn với B ≠ C nên AMBC = E BC Vậy ta có AE, BF, CG đồng quy điểm M Định lý chứng minh. NHẬN XÉT: Các định lý đưa vào nhiều tài liệu tham khảo toán dạng thừa nhận khơng chứng minh, ví dụ Nâng cao phát triển toán 8, NXB GD, 2008 hay Kiến thức nâng cao toán 8, NXB Hà Nội, 2004 Đôi lúc hai định lý tỏ thuận lợi áp dụng để chứng minh tính thẳng hàng đồng quy cho biết trước tỉ lệ Ngồi xây dựng định lý khác từ hai định lý ban đầu chọn  đường khác nằm toán A1A2, L1L2 … 3.1.3: Định lý Desargues thứ nhất: Trong mặt phẳng xạ ảnh P2cho sáu điểm phân biệt A, B, C, A’, B’, C’,trong khơng có ba điểm thẳng hàng Nếu đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy giao điểm cặp đường thẳng AB A’B’, BC B’C’, CA C’A’ thẳng hàng S B’ A C Q C’ P A’ B R 24 Cách chuyển 1:  Giả sử  đường thẳng qua S (AA’, BB’, CC’ đồng quy S) không qua sáu điểm A, B, C, A’, B’, C’ chọn A2 = P2\   Xét A2 đường thẳng AA’, BB’, CC’ đơi song song nên AA’B’B, AA’C’C hình thang Ta có định lý sau:  Định lý 1: Cho hình thang AA’CC’( AA’//CC’) đường thẳng a song song với cạnh đáy hình thang Giả sử B, B’ điểm a cho sáu điểm A, B, C, A’, B’, C’ khơng có ba điểm thẳng hàng Các cặp đường thẳng AB A’B’, BC B’C’, AC A’C’ cắt P, Q, R Khi P, Q, R thẳng hàng R A A’ P B’ Chứng minh: B Q C C’ Do AA’//BB’//CC’ nên theo định lý Talet ta có: RA AA’ = (1) RC CC’ QC CC’ = (2) QB BB’ PB BB’ = (3) PA AA’ Nhân hai vế (1), (2), (3) ta có: RA QC PB AA’ CC’ BB’ = RC QB PA CC’ BB’ AA’ = Áp dụng định lý Mênêlauýt cho  ABC P, Q, R thẳng hàng Định lý chứng minh. Cách chuyển 2:  Ta chọn AA’ làm đường thẳng  xét A2 = P2\AA’  Lúc A2 cặp đường thẳng B’R1 C’R2, BR1 RR1, BB’ CC’ song song với nên RR1PR2 hình bình hành 25 (R1 = A’B’CR, R2 = BPC’R) BB’CC’ hình thang nội tiếp hình bình hành Ta có định lý sau hình sơ cấp:  Định lý 2: Nếu hình thang BB’CC’(BB’//CC’) nội tiếp hình bình hành RR1PR2 điểm R, P giao điểm Q C’B’ CB thẳng hàng R1 B’ P C Q Chứng minh: B R C’ R2   Dùng phương pháp vectơ, chọn sở {QC, QC’} ta thu kết   CC’ sau: QR = -k QP với k = BB’ Do P, Q, R thẳng hàng  Cách chuyển 3:  Ta chọn  đường thẳng khơng qua điểm toán xét A2 = P2\   Trong A2 kiện toán giữ nguyên ta có phần thuận định lý Desargues mặt phẳng sơ cấp phát biểu sau:  Định lý: Cho  ABC,  A’B’C’ phân biệt đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy giao điểm cặp đường thẳng AB A’B’, BC B’C’, CA C’A’ thẳng hàng S B’ A Q P R C’ A’ B NHẬN XÉT: Các định lý số trường hợp đặc biệt định lý Desargues hình sơ cấp chuyển từ định lý gốc hình học 26 xạ ảnh Chúng áp dụng để chứng minh tốn liên quan đến tính thẳng hàng hệ điểm 3.1.4: Định lý Pascal: Hình lục giác nội tiếp đường cơnic giao điểm cặp cạnh đối diện nằm đường thẳng (đường thẳng gọi đường thẳng Pascal) A3 A1 A5 Q P R A2 A4 A6 Vì ta xem hình ngũ giác nội tiếp đường conic trường hợp đặc biệt hình lục giác nội tiếp đường conic có hai đỉnh trùng Lúc cạnh hình lục giác chứa hai đỉnh trùng xem tiếp tuyến với Conic điểm Tương tự với hình tứ giác, hình tam giác nội tiếp đường conic xem trường hợp đặc biệt định lý Pascal Từ ta có hệ sau: Hệ 1: Nếu ngũ giác ABCDE nội tiếp đường conic ba giao điểm cạnh AB với cạnh DE, cạnh BC với tiếp tuyến conic E, cạnh CD với cạnh AE thẳng hàng R D A P B C E Q Hệ 2: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp đường conic giao điểm cặp cạnh đối diện giao điểm tiếp tuyến cặp đỉnh đối diện bốn đỉnh thẳng hàng 27 O2 C D O3 O1 B A O4 Hệ 3: Nếu  ABC nội tiếp đường conic giao điểm cạnh với tiếp tuyến đỉnh đối diện ba điểm thẳng hàng B O2 C A O3 O1 Từ hệ định lý Pascal ta chuyển số toán sơ cấp sau: 28 Cách chuyển 1:  Ta chọn đường thẳng  tiếp tuyến qua điểm C conic ta xét A2 = P2\   Lúc A2,  giao với conic điểm C nên conic trở thành Parabol (P), ta có tốn sau:  Bài tốn 1: Từ hai điểm A, B phân biệt Parabol (P) kẻ đường thẳng a, b song song với phương tiệm cận (P) Tiếp tuyến A, B cắt b, a M, N Chứng minh ABMN hình bình hành a b Chứng minh: Giả sử (P) có phương trình: y2 = 2x Chọn phương tiệm cận (P) là:  v = (0, 1) Với A(xo, yo), B( x1, y1)  (P) phương trình đường thẳng a là: y = yo phương trình đường thẳng b là: y = y1 Các tiếp tuyến A, B (P) có phương trình: yoy = x + xo, y1y = x + x1 nên M = (yoy1 - xo, y1) N = ( yoy1 - x1, yo)   MN = (xo - x1, yo - y1) B A M N  Lại có AB = (xo - x1, yo - y1)   Vậy MN = AB nên ABMN hình bình hành. Cách chuyển 2:  Nếu ta chọn đường thẳng vô tận BC xét A2 = P2\BC  Lúc A2,  giao với conic hai điểm phân biệt B, C nên conic trở thành Hypebol Vì AO3BCO1O2 = O3 nên AO3 (hay tiếp tuyến A) song song với O1O2 ta có toán sau:  Bài toán 2: Từ điểm A nằm Hypebol (H) dựng đường thẳng song song với phương tiệm cận, tạo với hai đường tiệm cận hình bình hành Chứng minh đường chéo khơng chứa A hình bình hành song song với tiếp tuyến A (H) 29 O1 A O2 Một số toán khác chuyển từ hệ 2: Cách chuyển 1:  Ta chọn đường thẳng AC làm đường thẳng vô tận xét A2 = P2\AC  Trong A2 conic trở thành Hypebol với hai đường tiệm cận OM ON, O tâm (H) Các đường thẳng DO3, BO4 song song OM DO4, BO3 song song ON O, O3 , O4 thẳng hàng Ta có tốn sau:  Bài tốn 1: Cho hai điểm B, D  (H) Qua B, D dựng đường thẳng song song với đường tiệm cận, chúng cắt O3, O4 Khi O3O4 qua tâm O (H) B O O4 O3 D Bằng cách làm tương tự chọn BC làm đường thẳng vơ tận ta có tốn sau: Bài toán 2: Cho Hypebol (H) A, D hai điểm phân biệt (H) Chứng minh giao điểm O2, O1 tương ứng tiếp tuyến D A với đường tiệm cận nằm đường thẳng song song với đường thẳng AD 30 O2 A D O1 NHẬN XÉT: Định lý Pascal định lý quan trọng hình xạ ảnh nói đường conic Vì vậy, từ định lý hệ ta chọn đường  đường không giao với conic, tiếp xúc với conic hay cắt conic hai điểm phân biệt ta có tương ứng tốn elip, parabol hay hypebol hình sơ cấp Điều thể rõ vai trị làm gốc tốn xạ ảnh Trên chúng tơi lấy ví dụ thể ứng dụng xuất phát từ hệ 2, 3.2: Xây dựng toán sơ cấp từ toán xạ ảnh phẳng Bài toán xạ ảnh: Trong P2 cho tứ giác ABMN nội tiếp conic S Hai tiếp tuyến A, B cắt O Gọi Q, P, E giao điểm AM với BN, AN với BM AB với MN Chứng minh Q, O, P thẳng hàng E P M B Q N A Chứng minh: Áp dụng hệ định lý Pascal ta có kết  Cách chuyển 1: O 31  Gọi  đường thẳng qua điểm E tốn ta xét mơ hình A2 = P2\   Khi A2 ta có AB//MN conic S trở thành Elip (E) nên có tốn sau hình sơ cấp  Bài tốn 1: Cho Elip (E) ngoại tiếp hình thang ABMN, AB//MN, gọi Q giao điểm BN AM, O giao điểm hai tiếp tuyến A B P giao điểm hai đường chéo AN BM hình thang ABMN Chứng minh P, Q, O thẳng hàng P M B Q N A O Cách chuyển 2:  Chọn  tiếp tuyến N conic xét A2 = P2\   Trong A2, conic trở thành parabol NA, NB hai đường thẳng song song với phương tiệm cận Ta có NABM = P, NBAM = Q Vậy nên toán tương ứng hình sơ cấp là:  Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, M phân biệt nằm parabol (P) Từ A, B kẻ đường thẳng a, b song song với phương tiệm cận (P) Gọi P, Q giao điểm cặp cạnh a với BM, b với AM M P O giao tiếp tuyến với (P) A, B A B Chứng minh O, P, Q thẳng hàng O b a Q Cách chuyển 3:  Chọn  đường thẳng qua A B xét A2 = P2\ AB 32  Trong A2 ta có Hypebol với hai tiệm cận OA, OB ta có MQ//NP, MP//NQ hay MNPQ hình bình hành Gọi I tâm hình bình hành, ta có tốn sau hình sơ cấp  Bài tốn 3: Cho Hypebol (H), gọi O giao điểm hai tiệm cận; M, N hai điểm thuộc nhánh (H) I trung điểm MN, IO lấy điểm Q Chứng minh P đỉnh hình bình hành QNPM nhận I làm tâm P thuộc QO M O Q I P N Bài toán xạ ảnh: Chứng minh hình bốn cạnh tồn phần, hai đường chéo qua điểm chéo chia điều hịa hai đường thẳng nối hai điểm chéo với hai đỉnh nằm đường chéo thứ ba L I C D K M J A Chứng minh[ xem tài liệu 1] B 33 Cách chuyển 1:  Chọn BL làm đường thẳng  xét A2 = P2\BL  Trong A2 AK//JD, AJ//DK [MCJK] = [JKM] = -1, [MLAD] = [ADM] = -1 nên ta có toán sau:  Bài toán 1: Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo giao trung điểm đường.(Tính chất hình bình hành) D K M J A Cách chuyển 2:  Chọn  đường thẳng qua L không qua điểm cịn lại tốn ta xét A2 = P2\   Trong A2 AD//BI ta có tốn sau:  Bài tốn 2: Chứng minh hình thang trung điểm hai cạnh đáy chia điều hòa cặp giao điểm hai đường chéo giao điểm hai cạnh bên J A M D K B I C NHẬN XÉT: Các toán mục 3.2 số tính chất ta gặp hình học phẳng 34 KẾT LUẬN Trong khóa luận chúng tơi trình bày nội dung sau: - Xây dựng mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin A2 (mục 2.1) - Trình bày số thể mơ hình A2 (mục 2.2 đến 2.6) - Trình bày bước chuyển tốn P2 sang A2 (mục 3) - Trình bày số định lý A2 chuyển từ P2 (mục 3.1) - Trình bày số tốn A2 chuyển từ P2 (mục 3.2) Trong thời gian tới tiếp tục thể mơ hình xạ ảnh khơng gian Ơclit 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (1999), hình học xạ ảnh, NXB GD [2] Đặng Thị Thùy Dung (2006), mối liên hệ toán mặt phẳng xạ ảnh mặt phẳng afin, khóa luận tốt nghiệp [3] Phạm Bình Đơ (2003), tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học sư phạm [4] Nguyễn Mộng Hy (2003), tập hình học cao cấp, NXB GD [5] Lê Thị Quỳnh Phương (2002), mối quan hệ hình học afin hình học xạ ảnh, khóa luận tốt nghiệp [6] Nguyễn Hữu Quang, Trương Đức Hinh (2000), tập hình học xạ ảnh, ĐH Vinh [7] Nguyễn Cảnh Tồn (1979), hình học cao cấp, NXB GD 36 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu §1 Mặt phẳng xạ ảnh 1.1:Định nghĩa 1.2: Mục tiêu tọa độ xạ ảnh 1.3: Đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh 1.4: Tỉ số kép P2 1.5: Hình bốn cạnh toàn phần 1.6: Các đường bậc hai P2 §2 Mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin 2.1: Xây dựng mơ hình 2.2: Mục tiêu, tọa độ afin A2 2.3: Đường thẳng A2 2.4: Tỉ số kép A2 2.5: Các đường conic A2 §3.Ứng dụng mơ hình xạ ảnh để xây dựng tốn sơ cấp 11 3.1: Từ định lý hình học xạ ảnh 12 3.1.1: Định lý Papuýt 12 3.1.2: Định lý Mênêlauýt định lý Xêva 17 3.1.3: Định lý Desargues 21 3.1.4: Định lý Pascal 24 3.2: Xây dựng toán sơ cấp từ toán xạ ảnh phẳng 29 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 ... đến mặt phẳng xạ ảnh như: định nghĩa, mục tiêu toạ độ xạ ảnh? ?? 2.Mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin Trong mục chúng tơi trình bày mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin 3 .Ứng dụng mơ hình xạ ảnh Trong mục xuất... §2.Mơ hình xạ ảnh không gian afin Trong mục trình bày cách xây dựng mặt phẳng xạ ảnh từ mặt phẳng afin cho trước số thể mơ hình 2.1: Mơ hình xạ ảnh không gian afin Ta xét không gian xạ ảnh P2... mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin đưa số toán mặt phẳng xạ ảnh toán sơ cấp Khóa luận chia làm ba mục chính: 1 .Mặt phẳng xạ ảnh Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm ban đầu liên quan đến mặt phẳng