Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không gian b

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VIỆT THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VIỆT THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Nguyễn Bường GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác NCS Dương Việt Thơng LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo, GS TS Nguyễn Bường GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Các Thầy truyền thụ kiến thức, bước định hướng nghiên cứu, giúp tác giả tiếp cận vấn đề cách tự nhiên để từ chủ động, tự tin suốt trình học tập nghiên cứu Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo ân cần thầy Nguyễn Bường thầy Phạm Kỳ Anh giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến PGS TSKH Đỗ Hồng Tân dẫn tận tình ý kiến đóng góp q báu Thầy dành cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Thị Thanh Hà, TS Lê Anh Dũng, TS Nguyễn Văn Khiêm TS Nguyễn Thế Vinh động viên góp nhiều ý kiến quý báu suốt thời gian tác giả tham gia Seminar "Một số vấn đề lý thuyết KKM lý thuyết điểm bất động" Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức Tác giả xin chân thành cảm ơn phản biện độc lập nhận xét quý báu, nhờ mà thảo lần có cải thiện đáng kể Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học tồn thể thầy giáo, giáo, cán nhân viên Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt thời gian tác giả hồn thành luận án Tác giả xin bày tỏ biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh tế Quốc dân, Thầy Cô Bộ mơn Tốn bản, Khoa Tốn Kinh tế tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập, nghiên cứu giảng dạy Nhà trường Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè người thân, người động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17 1.1 Giới thiệu hình học khơng gian Banach 17 1.2 Ánh xạ không giãn 21 1.3 Tốc độ hội tụ số phương pháp lặp 27 1.4 Kết luận 37 Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN 38 2.1 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 38 2.2 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt 47 2.3 Kết luận 54 Chương PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT 56 3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 56 3.2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67 3.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số 74 3.4 Kết luận 82 KẾT LUẬN CHUNG 84 Kết đạt 84 Kiến nghị số hướng nghiên cứu 84 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R tập số thực N tập số tự nhiên ⇀ hội tụ yếu w∗ ⇀ hội tụ * yếu F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ωw (xn ) tập điểm tụ yếu dãy xn F (T (t)) t≥0 tập điểm bất động chung họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} lim = lim sup giới hạn lim = lim inf giới hạn PC (x) hình chiếu x lên tập C X không gian Banach X∗ không gian liên hợp không gian X 2X tập hợp tất tập X 2X ∗ tập hợp tất tập X ∗ δ(ǫ) môđun lồi không gian Banach J ánh xạ đối ngẫu không gian X Jλ = (I + λA)−1 Aλ = (I − Jλ ) λ , giải thức toán tử A xấp xỉ Yosida giá trị cặp đối ngẫu tích vơ hướng MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động L E J Brouwer khởi xướng năm 1912 đến 100 năm tuổi Đó chương quan trọng Giải tích phi tuyến, sâu sắc lý thuyết, phong phú ứng dụng, gắn liền với tên tuổi nhà Toán học lớn như: E Picard, L E J Brouwer, S Banach, J Schauder, S Kakutani, A N Tikhonov, Ky Fan, F E Browder, Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ không giãn chủ đề quan tâm rộng rãi giải tích phi tuyến Điều kết nối lý thuyết hình học khơng gian Banach với liên quan lý thuyết toán tử đơn điệu toán tử tăng trưởng Như ta biết ký hiệu X ∗ không gian đối ngẫu khơng gian Banach X, tốn tử đa trị A : X → 2X với miền xác định D(A) gọi đơn điệu ∗ x∗ − y ∗ , x − y ≥ ∀x, y ∈ D(A) x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) Toán tử đa trị A : X → 2X gọi toán tử đơn điệu cực đại A ∗ toán tử đơn điệu X cho với x ∈ X x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn x∗ − y ∗ , x − y ≥ ∀y ∈ D(A) y ∗ ∈ A(y) x∗ ∈ A(x) Tốn tử đa trị A : X → 2X gọi toán tử tăng trưởng ∀x, y ∈ D(A) x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho x∗ − y ∗ , j(x − y) ≥ Một kiện liên quan toán tử đơn điệu toán tử tăng trưởng chúng trùng không gian Hilbert Các tính chất tốn tử đơn điệu toán tử tăng trưởng quan trọng lĩnh vực giải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi Điều đặc biệt vi phân hàm lồi toán tử đơn điệu Nhắc lại rằng, không gian Banach X cho hàm f : X → (−∞, +∞], vi phân f toán tử đa trị ∂f : X → 2X xác định ∗ ∂f (x) := {j ∈ X ∗ : f (y) − f (x) ≥ y − x, j ∀y ∈ X} ∀x ∈ X Nếu f nửa liên tục lồi thường khơng gian Banach thực phản xạ ∂f đơn điệu cực đại [28] Dễ thấy ∈ ∂f (x) x=argmin{f (y) : y ∈ X} Như vấn đề tìm cực tiểu hàm lồi dẫn đến tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu Mối quan hệ toán tử đơn điệu ánh xạ không giãn dựa kiện sau: T ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert A := I − T toán tử đơn điệu tập điểm bất động ánh xạ không giãn T trùng với tập không điểm toán tử đơn điệu H Brezis, M G Crandall A Pazy đưa khái niệm giải thức tốn tử đơn điệu khơng gian Banach [17] Họ thiết lập tính chất giải thức đặc biệt điểm bất động giải thức liên quan đến khơng điểm tốn tử đơn điệu Trong không gian Banach X cho A : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại Khi giải thức Jλ tốn tử A ánh xạ đơn trị xác định theo công thức Jλ = (I + λA)−1 , ∀λ > Chúng ta biết A−1 = F (Jλ ) Hơn nữa, Jλ ánh xạ không giãn Suy vấn đề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Jλ Giữa lớp ánh xạ khơng giãn tốn tử tăng trưởng lớp ánh xạ giả co Ánh xạ T : X → X không gian Banach X gọi ánh xạ giả co ∀x, y ∈ X tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y ... tốn tìm điểm b? ??t động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ta biết tập điểm b? ??t động ánh xạ không giãn không gian Banach lồi tập hợp lồi Vì điểm b? ??t động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian. .. điểm b? ??t động chung họ ánh xạ không giãn phát triển không ngừng Cho đến có nhiều kết nghiên cứu phương pháp tìm điểm b? ??t động chung cho họ ánh xạ không giãn điểm b? ??t động chung cho họ ánh xạ khác... dụng Một phương pháp xấp xỉ tìm điểm b? ??t động chung cho họ ánh xạ không giãn gần quan tâm phương pháp lặp ẩn Phương pháp F E Browder đề xuất năm 1967 [18] cho ánh xạ không giãn không gian Hilbert