Đặc trưng của hàm lồi một biến qua bất đẳng thức hermiter hadamard

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI o0o VN DNG C TRNG CA HM LI MT BIN QUA BT NG THC HERMITE-HADAMARD Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc PGS TS T DUY PHNG H NI, 2016 Li cm n Sau mt thi gian nghiờn cu cựng vi s quan tõm ca cỏc thy giỏo cụ giỏo cựng cỏc bn hc viờn, lun ca tụi n ó c hon thnh Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n thy giỏo PGS.TS T Duy Phng ó tn tỡnh ch bo, hng dn tụi thi gian lm lun Tụi xin chõn thnh cm n s giỳp quý bỏu ca cỏc thy cụ khoa Toỏn, trng i hc S phm H Ni Tụi xin cm n s ng viờn giỳp ca gia ỡnh v bn bố ó dnh cho tụi quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun Tụi xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi Vn Dng Li cam oan Tụi xin cam oan rng s liu, kt qu ca nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi Vn Dng Mc lc Li M u Mt s c trng c bn ca hm li 1.1 Mt s c trng hỡnh hc ca hm li 1.2 Mt s c trng c bn ca hm li kh vi 1.3 Hm li khụng kh vi 7 11 14 c trng hm li qua bt ng thc Hermite-Hadamard 17 2.1 Bt ng thc Hermite-Hadamard 17 2.2 ng dng ca bt ng thc Hermite-Hadamard chng minh bt ng thc 23 2.3 c trng ca hm li qua toỏn t Steklov 27 2.3.1 c trng hm li qua bt ng thc Steklov 27 2.3.2 Toỏn t Steklov 29 2.4 Mt s c trng hm li khỏc 31 Bt ng thc Jensen-Petrovi c 39 3.1 Cỏc bt ng thc cho cỏc hm s hỡnh 39 3.2 Bt ng thc cho cỏc hm li 41 Kt lun 46 Li m u Lớ chn ti Gii tớch li ó v ang úng mt v trớ quan trng toỏn hc Gii tớch li liờn quan n rt nhiu ngnh ca toỏn hc nh gii tớch, gii tớch hm, gii tớch s, hỡnh hc, toỏn kinh t, ti u phi tuyn, Mt kt qu kinh in cho hm li l Bt ng thc Hermite-Hadamard (H-H Inequality), c phỏt biu nh lý di õy nh lý Nu f : R R l hm li trờn on [a; b] thỡ ta cú b f a+b ba f (t)dt f (a) + f (b) (1) a Trong [8], Fejer ó m rng bt ng thc (1) thnh bt ng thc (2), m sau ny c gi l bt ng thc Fejer nh lý Nu f : R R l li trờn on [a; b] v g : [a; b] R l mt hm khụng õm, kh tớch v i xng qua im x = a+b thỡ b f a+b b g(t)dt a b f (a) + f (b) f (t)g(t)dt a g(t)dt (2) a Khi g(x) = thỡ bt ng thc Fejer tr thnh bt ng thc HermiteHadamard Sau ú nhiu tỏc gi ó m rng cỏc bt ng thc Hermite-Hadamard v Fejer Xem, thớ d, cỏc cun sỏch chuyờn kho [3], [4], [5], [6] v cỏc bi bỏo khỏc Trong [5] ó phỏt biu v chng minh nh lý iu kin cn v mt hm liờn tc f : R R l li trờn [a, b] l Lun thc s x+h f (x) 2h f (t)dt vi mi a x h x + h b (3) xh Cú th chng minh c rng, bt ng thc (3) tng ng vi bt ng thc th nht bt ng thc Hermite-Hadamard (1) cho hm li liờn tc nhng cho ti cha bit l ngi u tiờn chng minh iu ny (xem [3], p.139) Nhn xột rng iu kin cn v mt hm l li qua bt ng thc Hermite-Hadamard khụng ũi hi tớnh kh vi, m ch ũi hi tớnh liờn tc ca hm ó cho Rt nhiu kt qu khỏc (m rng nh lớ 3) liờn quan n c trng hm li thụng qua bt ng thc Hermite-Hadamard hoc cỏc m rng ca bt ng thc ny Mc ớch chớnh ca Lun ny l trỡnh by tng quan v c trng hm li qua bt ng thc Hermite-Hadamard Mc ớch v nghiờn cu Nghiờn cu cỏc c trng ca hm li qua bt ng thc Hermite-Hadamard Nhim v nghiờn cu Trỡnh by chng minh cỏc c trng ca hm li qua bt ng thc dng Hermite-Hadamard i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Cỏc bt ng thc dng Hermite-Hadamard v ng dng c trng hm li Phm vi nghiờn cu : Cỏc ti liu, cỏc sỏch bỏo liờn quan c trng ca hm li qua bt ng thc Hermite-Hadamard Vn Dng K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s Phng phỏp nghiờn cu - Thu thp ti liu, cỏc sỏch bỏo v cỏc bt ng thc dng HermiteHadamard v c trng ca hm li qua bt ng thc Hermite-Hadamard - Tng hp, phõn tớch, h thng cỏc kin thc v c trng ca hm li qua bt ng thc Hermite-Hadamard D kin úng gúp ca lun C gng xõy dng lun thnh mt bn tng quan tt v c trng ca hm li qua bt ng thc Hermite-Hadamard Vn Dng K18 Toỏn Gii Tớch Chng Mt s c trng c bn ca hm li 1.1 Mt s c trng hỡnh hc ca hm li nh ngha 1.1.1 Tp X Rn c gi l li nu vi mi [0; 1] v x1 X , x2 X cú x := x1 + (1 )x2 X Ngha l, li X cha mi on thng ni hai im ca nú Cỏc hp di õy: domf := {x X|f (x) < } , epif := {(x, ) X ì R|f (x) } ln lt c gi l hu hiu v trờn th ca f Ngoi vi mi R, ta gi di mc ca hm f (vi mc ) l: C (f ; ) := {x X|f (x) } = {x X|(x, ) epif } Xột hm f : X R, ú X Rn l li nh ngha 1.1.2 Hm f : X R c gi l li nu epi f l li nh ngha 1.1.3 Hm f c gi l chớnh thng nu domf = v f (x) > vi mi x X Nu f va li va chớnh thng thỡ f c gi l hm li chớnh thng Ta cú cỏc b sau: B 1.1.1 Nu f li thỡ domf li B 1.1.2 Nu f li thỡ C(f, ) li vi mi R Chng minh Vi mi x, y C(f, ) ta cú (x, ), (y, ) epif Vỡ vy nu (0, 1) thỡ (x + (1 )y, ) = (x, ) + (1 )(y, ) epif , hay (x + (1 )y, ) epif T ú x + (1 )y C(f, ), nờn C(f, ) l li Lun thc s Nhn xột 1.1.1 iu ngc li khụng ỳng, tc l C(f, ) cú th li vi mi R nhng f cú th khụng li Vớ d 1.1.1 Xột hm f = x3 khụng phi l hm li vỡ epif khụng phi l li, nhng C(f, ) = x : x3 = {x : x } l li vi mi R Mnh 1.1.1 ( [2], trang 91) Cho f : X (, +] Lỳc ú f li nu v ch nu f (x + (1 )y) f (x) + (1 )f (y), x, y X, (0, 1) (1.1) Hỡnh 1: Minh bt ng thc (1.2) vi x = x + (1 )y Chng minh iu kin cn c chng minh tng t nh B 1.1.2 nu ý rng (x, f (x)), (y, f (y)) epif vi mi x, y domf chng minh iu kin ta ly (x, ), (y, ) epif v (0, 1) Lỳc ú f (x + (1 )y) f (x) + (1 )f (y) + (1 ), hay (x, ) + (1 )(y, ) = (x + (1 )y, + (1 )) epif Vy epif li hay f li theo nh ngha 1.1.2 m rng (1.2) ta gi mt hm f l li cht nu vi mi x, y domf , x = y v (0, 1) ta cú f (x + (1 )y) < f (x) + (1 )f (y) Mnh 1.1.2 (Bt ng thc Jensen) Cho f : X (, +] Hm f li v ch Vn Dng K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s m m m f i xi i f (xi ), m = 2, 3, , xi X , i 0, i=1 i=1 i=1 i = Chng minh iu kin l hin nhiờn theo mnh 1.1.1 Ta chng minh iu kin cn bng quy np Theo Mnh 1.1.1, ỳng vi m = Gi s mnh ỳng vi m = k Cho cỏc im x1 , x2 , , xk+1 X v cỏc k k+1 i , suy k+1 = i = t = s , , k+1 > cho i=1 i=1 p dng Bt ng thc Jensen cho m = ta c k+1 f f i xi i=1 k i xi + k+1 f (xk+1 ) i=1 Theo gi thit quy np, vỡ k + ããã + = =1 nờn f k i xi = f i=1 k x1 + ã ã ã + xk k f (x1 ) + ã ã ã + f (xk ) = f (x1 ) + ã ã ã + k f (xk ) Vy ta cú k+1 f i xi f i=1 k i xi + k+1 f (xk+1 ) i=1 f (x1 ) + + k f (xk ) + k+1 f (xk+1 ) hay k+1 f k+1 i xi i=1 i f (xi ) i=1 Vy khng nh ỳng vi m = k + Mnh 1.1.2 c chng minh Nhn xột 1.1.2 Tht lch s ca hm li bt u t rt sm, trc cú cỏc kt qu trờn li Nm 1889, Hoălder khng nh mt hm bin s thc f (x) cú o hm cp hai khụng õm thỡ tha Bt ng thc Jensen n nm 1893, Stolz chng minh nu f liờn tc trờn on [a, b] v tha Vn Dng K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s c nh vi tt c x, h v tt c hm f dng, liờn tc trờn (a, b) nh lý 2.4.3 (a) Cp (u, v) E * v ch mt cỏc iu kin sau õy c tha món: u+2 ; (i) u v v (ii) u v v 0; u log (iii) u v v ; log(1 + u) u+2 (iv) u v v ; u log (v) u v v log(1 + u) (b) Cp (u, v) E * v ch 3v u nh lý 2.4.4 (Rado, 1935, [5]), p 15 Gi s f l hm dng v liờn tc trờn (a, b) Khi y: Bt ng thc (2.16) tng ng vi tớnh li ca f v ch cp (u, v) tha cỏc iu kin sau: (i) 3v u = v (ii) Hoc l u hoc u < ; Bt ng thc ngc li (2.16) tng ng vi tớnh li ca f v ch cp (u, v) tha cỏc iu kin sau: (iii) 3v u = v (iv) Hoc l u hoc l u nh lý 2.4.5 (Vasic v Lackovic, 1974, 1976; Lupaás 1976, [6], p 143) Cho p, q l cỏc s dng v a1 a < b b1 Khi ú bt ng thc A+y f pa + qb p+q 2y f (t)dt pf (a) + qf (b) p+q (2.17) Ay ỳng vi A = (pa + qb)/(p + q), y > 0, v vi tt c hm s f li liờn tc f : [a1 , b1 ] R nu v ch nu y Vn Dng ba {p, q} p+q 33 (2.18) K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s Nhn xột 2.4.1 Nhn xột rng bt ng thc (2.17) cú th c coi nh mt s ci biờn ca nh ngha bt ng thc cho hm li Nhn xột 2.4.2 Vi p = q = v y = (b a)/2 (2.18) thỡ mt bt ng thc Hermite-Hadamard Bõy gi chỳng ta ch rng cỏc iu kin nh trờn, bt ng thc Hermite-Hadamard a n mt dng ci biờn khỏc ca (2.18): A+y f pa + qb p+q 2y pf (a) + qf (b) {f (A y) + f (A + y)} p+q f (t)dt Ay (2.19) u tiờn, gi s rng nu < y [(b a/)(p + q)]min {p, q}, ú xột hai trng hp (0 < p q v < q < p), cú th d dng kim tra rng a A y < A + y b, vy f c xỏc nh trờn [A y, A + y] Qua bt ng thc Hermite-Hadamard (2.1) vi a, b thay th cho A y, A + y , ta nhn c A+y f (A) 2y f (t)dt [f (A y) + f (A + y)] (2.20) Ay Theo nh ngha ca hm li, vi a x1 < x2 < x3 b ta cú x2 x1 x3 x2 f (x1 ) + f (x3 ) f (x2 ) x3 x1 x3 x1 t x1 = a v x3 = b, ta c f (A y) b (A y) Aya f (a) + f (b), ba ba b (A + y) A+ya f (a) + f (b) ba ba T (2.20)-(2.22), sau ú chỳng ta cú f (A + y) (2.21) (2.22) A+y f (A) 2y f (t)dt {f (A y) + f (A + y)} Ay Vn Dng bA Aa f (a) + f (b) ba ba 34 = pf (a) + qf (b) p+q K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s T ú ta chng minh c bt ng thc (2.17) chng minh mt s nh lý tip theo, ta a mt s b sau B 2.4.1 (Pecaric, Becsack, 1986, [6], p 47) Cho L tha tiờu chun L1, L2 trờn E khỏc rng, v gi s rng l mt hm li liờn tc trờn mt khong I R Nu A l mt hm tuyn tớnh dng vi A(1) = 1, ú vi mi g L cho (g) L ta cú A(g) I v (A(g)) A((g)) (2.23) Chng minh Cho I = [a, b] T a g(t) b vi mi t E ta thu c a A(g) b Vi > c nh tựy ý, tn ti cỏc s thc u, v R cho vi p = up0 + vp1 (pi (t) = ti vi i = 0, 1) ta cú (i)p v (ii) p(A(g)) (A(g)) (Nu a < A(g) < b hoc nu f cú o hm hu hn trờn [a, b], ta cú th thay (ii) bng p(A(g)) = (A(g)).) Bõy gi (i) cú ngha l p g g ; vy A( g) A(p g) = A(u ã + v ã g) = u + vA(g) = p(A(g)) = p(A(g)) (A(g)) Vỡ tựy ý, suy iu cn chng minh B 2.4.2 (Pecaric, Becsack, 1986 [6], p 98) Cho l li trờn I = [m, M ] ( < m < M < ); cho L tha cỏc iu kin L1, L2 v A l cỏc hm tuyn tớnh bo ton th t trờn L vi A(1) = Khi ú vúi mi g L cho (g) L (do vy m g(t) M vi tt c t E ), ta cú A((g)) {(M A(g))(m) + (A(g) m)(M )} /(M m) (2.24) Chng minh T nh ngha ca hm li ta cú (v) wv vu (u) + (M ), wu wu (u v w, u < w) Bõy gi cho u = m, u = g(t), v w = M , ta cú (g(t)) Vn Dng M g(t) g(t) m (m) + (M ), M m M m 35 t E (2.25) K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s Vỡ A tha A1: A(af +bg) = aA(f )+bA(g) vi f, g L, a, b R v A2: f L, f (t) trờn E A(f ) (A l bo ton th t ) v A(k) = k c nh vi tt c hng s k , ta thu c B 2.4.2 nh lý 2.4.6 (Pecaric, Becsack, 1986,[6] p 143) Cho f l mt hm liờn tc li khong I [m, M ], vi < m < M < Gi s rng g : E R tha m g(t) M vi tt c t E , g L; v f (g) L Cho A : L R l mt hm tuyn tớnh bo ton th t vi A(1) = 1, v cho p = pg v q = qg l cỏc s thc khụng õm (vi p + q > 0) vi A(g) = (pm + qM )/(p + q) (2.26) Khi ú f pm + qM p+q A(f (g)) pf (m) + qf (M ) p+q (2.27) Chng minh Vỡ m A(g) M Do ú tn ti p 0, q 0, (p + q) > tha (2.15) Bt ng thc u tiờn (2.27) chớnh l (2.23) bt ng thc th hai cng chớnh l (2.24) nh lý 2.4.7 Gi s rng L tha iu kin L1 -L3 c nh ngha trờn mt khụng rng E vi A l mt i s ca cỏc ca E , v L l mt mt lp tuyn tớnh ca cỏc hm thc g : E R nh sau: L1 : f, g L (af + bg) L vi tt c a, b R; L2 : L, nu f (t) = vi t E , ú f L; L3 : f L, E1 A f CE1 L, v f l mt hm liờn tc li trờn khong I , ú g, h L vi f (g), f (l) L Cho A, B l cỏc hm tuyn tớnh bo ton th t trờn L vi A(1) = B(1) = Nu A(h) = B(g), E1 A tha A(CE1 ) > v A(CE2 ) > vi E2 = E E1 , v nu A(hCE1 )/A(CE1 ) g(t) A(hCE2 )/A(CE2 ) vi mi t E Khi ú f (A(h)) B(f )(g) A(f (h)) (2.28) Chng minh Theo Bt ng thc Jensen ta cú f (A(hCEi ))/A(CEi ) A(f (h)CEi )/A(CEi ), i = 1, (2.29) p dng nh lý 2.4.2 cho hm tuyn tớnh bo ton th t B v hm s g vi m = A(hCE1 )/A(CE1 ), M = A(hCE2 )/A(CE2 ) vi p = A(CE1 ), q = A(CE2 ), Vn Dng 36 K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s ta cú p + q = A(CE1 ) + A(CE2 ) = A(CE ) = A(1) = v B(g) = A(h) = A(hCE1 ) + A(hCE2 ) = pm + qM p+q Do vy, theo (2.16) ta thu c f (A(h)) = f (B(g)) B(f (g)) A(hCE1 ) A(hCE2 ) A(CE1 )f + A(CE2 )f A(CE1 ) A(CE2 ) A(f (h)CE1 ) + A(f (h)CE2 ) (theo (2.29)) = A(f (h)) Vy (2.28) c chng minh Bt ng thc di õy l mt m rng ca nh lý 2.4.4 nh lý 2.4.8 (Wang, Wang,1982, [6], p 147) Cho f : [a, b] R l mt hm li, xi [a, b] v pi > 0(i = 0, 1, , n) Khi ú cỏc bt ng thc sau õy l ỳng: j n f n pi x i / i=0 n pi i=0 (j j )1 j=1 n f (x0 (1 t1 ) j n n1 n xj (1 tj+1 )t1 tj + xn t1 t2 tn ) + j=1 dti i=1 n n pj f (xj )/ j=0 pj (2.30) j=0 vi n (i + i )/2 = n pk / k=1 pk (2.31) k=i1 v i < i vi i = 1, , n (2.32) Chng minh (Pecaric, [6], p 148) Theo bt ng thc Jensen dng ri rc v tớch phõn, chỳng ta cú Vn Dng 37 K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s n n f pi x i / pi i=0 i=0 n (j j )1 =f j=1 n (x0 (1 t1 ) n n1 n xj (1 tj+1 )t1 tj + xn t1 tn + j=1 n (j j )1 dti i=1 j=1 n f (x0 (1 t1 ) n n1 n xj (1 tj+1 )t1 tj + xn t1 tn + j=1 n (j j )1 dti i=1 j=1 n (f (x0 )(1 t1 ) n n1 n f (xj )(1 tj+1 )t1 tj + f (xn )t1 tn + j=1 n = i=1 n pi f (xi )/ i=0 dti pi i=0 Chỳ ý 2.4.1 iu kin (1.30) cú th gim nh v mt tng quỏt húa ca nh lý 1.15 cú th c phỏt biu cho nhiu bin, xem [6], p 148 Kt la chng Chng trỡnh by c trng ca hm li qua bt ng thc HermiteHadamard v mt s m rng Vn Dng 38 K18 Toỏn Gii Tớch Chng Bt ng thc Jensen-Petrovi c Chng ny m rng bt ng thc Hermite-Hadamard cho hm li di dng bt ng thc Jensen-Petrovic 3.1 Cỏc bt ng thc cho cỏc hm s hỡnh Cho x, p v q l khụng õm n-chiu Khi ú nh lý 3.1.1 n ( n pi x i ) qi )( i=1 n i=1 qi (xi ) (3.1) i=1 ỳng vi mi n, x, p v q cho xi [0, a] (i = 1, , n) v n x pi xi xj vi j = 1, , n v i=1 pi xi [0, a] (3.2) i=1 nu v ch nu : [0, a] R l mt hm gim Tng t, chiu ngc ca bt ng thc ỳng nu v ch nu l hm tng Chng minh (i) Khi gim, thỡ ( ni=1 ) (xj ) Ta c (3.1) (ii) Cho n = 2, x1 = x, x2 = h, p1 = p2 = 1, q1 = v q2 = p, bt ng thc (3.1) tr thnh (1 + p)(x + h) (x) + p(h) Vỡ p 0, ta cú (x + h) (x) Cỏc chng minh cho bt ng thc ngc l tng t Chỳ ý 3.1.1 Cho pi = (i = 1, , n) iu kin u tiờn (3.2) l tha Do vy ta cú th rỳt c bt ng thc Jensen t nh lý 3.1.1 Ta núi rng f (x)/(x x0 ) l mt hm gim (tng) nu 39 Lun thc s x1 < x2 , t (x) = x1 = x0 = x2 f (x1 ) f (x2 ) () x1 x0 x2 x0 f (x) v qi = pi xi vi i = 1, 2, , n T nh lý 3.1.1 ta cú x nh lý 3.1.2 ([6], p 24) Cho x v p l n-khụng õm cho (3.2) tha Nu f (x)/x l mt hm gim, ú n n f pi xi i=1 pi f (xi ) (3.3) i=1 Nu f (x)/x l mt hm tng , ú bt ng thc ngc (3.3) khụng i H qu 3.1.1 Nu cỏc iu kin ca nh lý 3.1.2 tha v x1 x2 xn > ( nu f c nh ngha ti 0), thỡ f (x1 x2 xn ) f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) (3.4) nh lý 3.1.3 (Vasic, Pecaric, [6], p 152) Cho p l mt n b s khụng õm v x l mt n-thc cho n (xi x0 ) n pk xk xi vi i = 1, , n pk xk = x0 k=1 (3.5) k=1 Nu (f (x) f (x0 ))/(x x0 ) l mt hm tng, thỡ n n pk f (xk ) Af n pk x k k=1 k=1 pk f (x0 ) +B (3.6) k=1 ỳng, õy n pk (xk x0 ) / A= n n k=1 n pk xk x0 , B = k=1 pk xk x0 pk xk / k=1 k=1 (3.7) Chng minh õy l mt h qu n gin ca mt kt lun ó c a n bng cỏch cho mt hai hoc m = x0 v M = n pi xi hoc m = i=1 pi xi i=1 v M = x0 Vn Dng 40 K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s nh lý 3.1.4 Cho f (x)/x l mt hm tng (a) Nu < x1 xn v nu tn ti m ( n) cho P P P m 1, P m+1 = P n = 0, k pi , P k = Pn Pk1 (k = 2, , n) v P = Pn thỡ (3.3) tn ti vi Pk = i=1 m ( n) cho P P P m 1, P m+1 = P n = 0, thỡ bt ng thc ngc li ca (3.3) cng ỳng, tc l n n pi f (xi ) f ( i=1 pi xi ) i=1 (b) Cho x1 xm xm+1 xn v f (0) = Khi ú bt ng thc (3.6) ỳng nu hoc l (i) tn ti mt j , j m + 1, cho P1 = = Pj+1 Pj Pm , P m+1 = P n = 0, hoc (ii) tn ti mt k , m k n, cho P m+1 P k 1, P k+1 = P n = P1 = = Pm = n n pi f (xi ) f Bt ng thc i=1 pi xi ỳng nu tn ti cỏc s nguyờn j i=1 v k , j m + 1, m k n, cho P1 = = Pj1 = 0, P m+1 P k 1, 3.2 Pj Pm 0, P m+1 = P n = Bt ng thc cho cỏc hm li nh lý 3.2.1 Cho f l mt hm li trờn [0, a) Nu cỏc iu kin ca nh lý 3.1.4 c tha món, ú: n n f pi xi i=1 n pi f (xi ) + i=1 pi f (0) (3.8) i=1 Chng minh Hm s f (x) f (0) tha cỏc iu kin ca nh lý 3.1.2 Vn Dng 41 K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s (a) Cho pi = (i = 1, n).Khi y (3.8) tr thnh Chỳ ý 3.2.1 n n f xi f (xi ) + (1 n)f (0) i=1 (3.9) i=1 Bt ng thc ny c gi l bt ng thc Pekovic cho cỏc hm li (Xem [6], p.154) (b) Vasivic ([6], trang 155) ó cho mt suy rng ca (3.8): n pk f (xk ) rf k=1 r n n r pk x k k=1 pk f (0), (3.10) k=1 vi xk [0, a) vi k = 1, , n v n pk xk [0, a) Vi cỏc iu kin l r k=1 pk (k = 1, , n) v n1 n2 pk x k = k=1 n pk xk = = k=n1 pk x k k=nr1 Vi pk = (k = 1, , n), chỳng ta thu c mt bt ng thc ca Marshall, Ola, Proschen, 1967 T ú ta cú mt trng hp c bit sau n n n |ak a|s k=1 s1 s n |ak a| , k=1 n ak , ak v s vi a = (1/n) k=1 Hn na, cỏc iu kin cú th thay bi xi r n pk xk vi i = 1, , n (3.11) k=1 B 3.2.1 Nu f : I R l mt hm li, x l mt n s thc n iu cho xi I (i = 1, , n) v p l n b thc cho Pk Pn (k = 1, , n), Pn > (3.12) c tha món, ú f Vn Dng Pn n pi xi i=1 Pn 42 n pi f (xi ) (3.13) i=1 K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s c nh Nu f l li ngt, ú bt ng thc (3.13) l ngt nu khụng thỡ x1 = x2 = = xn Chng minh Mt hm li f cú mt ng thuc giỏ vi mi c I , vớ d, vi mi z v c ta cú f (z) f (c) (z c) (3.14) c nh vi mt vi Tng t ta cú f (z)f (y) (zy) vi z y c v f (z)f (y) (zy) vi y z c, (3.15) m l hng s tha (3.15) Cho x v p tha iu kin ca B 3.2.1 Nu ta cho x = (1/Pn ) ni=1 pi xi , P j = Pn Pj1 (j = 2, , n), v Pi = Pn , ú vi x gim dn ta cú n Pn (x1 x) n (xj1 xj )P j 0; pi (x1 xi ) = i=1 j=2 v xn x x1 Chỳng ta cú th d dng ch rng trng hp x = x1 (hoc xn ) bt ng thc (3.13) tr thnh Do vy ta cn xem xột nht trng hp xn < x < x1 Tn ti m cho x {xm1 , xm }, v c = x T ú suy rng n n f pi x i pi f (xi ) Pn i=1 Pn i=1 m1 Pm Pi = ((xi xi+1 ) f (xi ) + f (xi+1 )) + ((xm x) f (xm ) + f (x)) Pn Pn i=1 P m+1 +(f (x) f (xm+1 ) (x xm+1 )) Pn n1 + (f (xi ) f (xi+1 (xi xi+1 )) i=m+1 P i+1 Pn (3.16) S dng (3.15) v (3.16) ta chng minh c (3.12) nh lý 3.2.2 Cho x1 xs xs+1 xn (s {0, 1, , n}), xi I (1 i n; I ) v p l b n s thc (a) Bt ng thc (3.8), vớ d, n n pi f (xi ) f i=1 Vn Dng n pi xi i=1 pi f (0) + (3.17) i=1 43 K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s tha vi mi hm li f : I R v ch Pk vi k s v P k vi s + k n (b) Cho n i=1 pi xi I Khi ú bt ng thc n n pi f (xi ) f i=1 (3.18) n pi xi i=1 pi f (0) + (3.19) i=1 tha vi mi hm li f : I R v ch tn ti mt m s cho Pi vi i < m, Pi vi m i s, v P i vi i s + 1, (3.20) hoc tn ti mt m s cho pi vi i s, P i vi s + i m, v P i vi i < m (3.21) Chng minh a) Gi s B 3.2.1 ỳng cho n + vi xi = xi va pi = pi (1 i n + 1) Bng phộp th xi = xi v pi = pi cho i m; xm+1 = pm+1 = Pm ; xi = xi1 v pi = pi1 cho m + i n + 1; Ta thu c iu cn chng minh b)Hn ch tng quan tng quỏt, ta cú th gi s rng Pn = Khi ú (3.18) tr thnh Pk Pn vi k s v P k Pn vi s + k n, ngha l Pk 0, P k1 vi k s v P k 0, Pk1 vi s + k n, ngha l Pk vi k n v P k vi k n, tc l (3.17) c tha Tng t , cho m s, (3.20) tr thnh Pi vi i < m, Pi Pn vi m i s v P i vi i s + 1, ngha l Pi vi i < m, P i1 vi m i s v P i vi i s + 1, ngha l Pi vi i < m v P i vi i > m Bng lý lun tng t cho m s (3.21) tr thnh Vn Dng 44 K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s Pi vi i s, P i Pn vi s + i m v P i vi i < m ngha l Pi vi i s, P i1 vi s + i m v P i vi i > m, ngha l Pi vi i < m v P i vi i > m Ta li c iu kin ca 3.3 Do ú ỏp dng nh lý 3.2.2, ta c b 3.2.1 v 3.2.2 c chng minh I Gi s rng I , v cho I = [a, b] v f : I R l mt hm li trờn [a, b], ú F (t) = f (t + (a + b/2)) l mt hm li trờn [(b a)/2, (b a)/2] Do vy trng hp ny Pn = 1, vỡ (3.17) (v (3.19)) ta cú n n pi ti ) () F( pi F (ti ), i=1 i=1 Ngha l n f pi i=1 a+b ti + n () p i f ti + i=1 a+b , hay n f n p i xi () i=1 pi f (xi ), i=1 ti ú chỳng ta cú th s dng ti = xi (a + b)/2 vi xi [a, b] v i n Ta thu c iu cn phi chng minh Vn Dng 45 K18 Toỏn Gii Tớch Lun thc s Kt lun Gii tớch li núi chung v c trng ca hm li mt bin qua bt ng thc kiu Hermite-Hadmanard núi riờng l i tng nghiờn cu ca toỏn hc v lụi cun s quan tõm ca nhiu nh nghiờn cu Lun ó gii thiu, h thng húa, chng minh mt s c trng ca hm li mt bin qua bt ng thc Hermite-Hadamard Qua quỏ trỡnh lm lun tụi ó c bit n cỏc c trng ca hm li mt bin qua bt ng thc Hermite-Hadamard m t trc ti gi tụi cha bit Qua õy tụi thy kin thc ca mỡnh v bt ng thc HermiteHadamard cú rt nhiu ng dng toỏn ph thụng m tụi ang hc v ging dy c trng ca hm li mt bin qua bt ng thc Hermite-Hadamrd l lý thỳ v sõu rng, ũi hi thi gian v s tỡm tũi, sõu hn na Vn Dng 46 K18 Toỏn Gii Tớch Ti liu tham kho [1] Hong Th Qunh Liờn, Lun Cao hc, i hc Thỏi Nguyờn, 2016 [2] Hunh Th Phựng, C s gii tớch li, NXB Giỏo dc, 2012 [3] Pietro Cerone, Sever S Dragomir, Mathematical Inequalities: A perspective, 2011, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [4] Sever S Dragomir, Charles E M Pearce, Selected Topics on HermiteHadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University, 2000 [5] G H Hardy, J E Littlewood, G Polya, Inequalities, Cambridge University Press, Second Edition, 1988 Bn dch ting vit, Nguyn Khc Lõn, Nguyn Hu Ngh, Nguyn Duy Tin, Cỏc bt ng thc NXB i hc Quc gia H Ni, 2002 [6] J Pecaric, F Proschan and Y L Tong, Convex Functions,Partial Orderings and Statistical Applications, Academic Press, Inc., 1992 [7] Hoang Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, In Serie Nonconvex Optimization and Its Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1998 [8] L Fejer, Uber die Fourierreihen, II, Math Naturwiss, Anz Ungar Akad Wiss, 24 (1906), 369-390 (In Hungarian) [9] J Hadamard, Rộsolution dune question relative aux dộterminants, Bull des Sciences math (2), 17 (1893), 240-248 [10] Hermite,Sur deux limitesdune intộgrale dộfini, Mathesis, 3(1883) [11] J L W V Jensen, Sur les fonctions convexes et les inộgalitộs entre les valeurs moyennes, Acta Math., 30 (1906), 175-193 47 [...]... hợp bất đẳng thức này với (2.7), ta có v+y 1 f (v) ≤ 2y f (t)dt ≤ 1 1 {f (v − y) + f (v + y)} ≤ 2 2 b−v v−a f (a) + f (b) b−a b−a v−y = pf (a) + qf (b) p+q 2.3 2.3.1 Đặc trưng của hàm lồi qua toán tử Steklov Đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Steklov Chương 1 đã trình bày tương đối chi tiết các đặc trưng của hàm lồi qua đạo hàm bậc nhất và bậc hai Chương 1 cũng đã trình bày một số đặc trưng của hàm lồi. .. đến trong giải tích lồi Tuy nhiên, để bức tranh về đặc trưng của hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite- Hadamard trình bày trong Chương 2 hài hòa và cân đối hơn, chúng tôi đã trình bày các đặc trưng này trong Chương 1 Đỗ Văn Dũng 16 K18 Toán Giải Tích Chương 2 Đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite -Hadamard 2.1 Bất đẳng thức Hermite -Hadamard Định lý 2.1.1 Nếu f : R → R là hàm lồi trên đoạn [a, b]... minh 2.2 Ứng dụng của bất đẳng thức Hermite -Hadamard trong chứng minh bất đẳng thức Có thể sử dụng bất đẳng thức Hermite -Hadamard trong chứng minh bất đẳng thức như trong các ví dụ sau đây chỉ ra Như vậy, bất đẳng thức Hermite -Hadamard có thể được coi là một chuyên đề bổ sung cho chương trình ôn tập và chuẩn bị thi Olympic sinh viên Ví dụ 2.2.1 (Hermite, 1883, xem [5], p 138) 1 Xét hàm số f (x) = ,... (x1 ) + f (x2 ) x2 − x1 x2 − x1 Vậy f là hàm lồi trên I ⇔ Hệ quả 1.2.1 Hàm khả vi f (t) trên tập mở (a, b) là hàm lồi nếu đạo hàm của nó là một hàm không giảm trên (a, b) Hàm f (t) khả vi hai lần trên tập mở (a, b) hàm lồi nếu và chỉ nếu đạo hàm cấp hai của nó không âm trên toàn khoảng (a, b) Định lý 1.2.1 Hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊆ Rn , f : X → R là hàm lồi ∂ 2f (x1 , , x2 ) nếu và chỉ nếu ma... 1.1.3, epif là tập nón lồi 1.2 Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi Trong trường hợp hàm khả vi, ta có một số đặc trưng cơ bản dưới đây Đỗ Văn Dũng 11 K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ Bổ đề 1.2.1 Giả sử hàm f xác định trên một tập lồi mở X ⊆ Rn Nếu f là hàm lồi trên X và khả vi tại x0 , thì với x ∈ X , ta có f (x) − f (x0 ) ≥ f (x0 )(x − x0 ) (1.2) Ngược lại, nếu f là một hàm khả vi trên X và... trưng của hàm lồi không khả vi Chương 2 sẽ trình bày một số đặc trưng của hàm lồi qua bất đẳng thức dạng Hermite -Hadamard, dựa trên toán tử Steklov Đặc trưng này không đòi hỏi f là hàm khả vi, mà chỉ đòi hỏi f là hàm liên tục Đỗ Văn Dũng 27 K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ Định lý 2.3.1 ([5], p 98) Điều kiện cần và đủ để một hàm số liên tục f (x) là lồi trong khoảng (a, b) là x+h 1 f (x) ≤ 2h f (t)dt... (x) + f (y) ≤ (gọi là hàm lồi trung điểm) thì f có các đạo hàm 2 2 trái, phải tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b) Năm 1905, Jensen cũng chứng minh được bất đẳng thức Jensen với các hệ số hữu tỉ, cho hàm lồi trung điểm Từ đây hàm lồi bắt đầu được chú ý và ngày càng nhiều những bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi được thiết lập, có những ứng dụng thiết thực trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như giải... đó hàm g(x) đạt được giá trị cực đại trên đoạn [y, d] Suy ra, g+ (x1 ) ≤ 0 với mọi x ∈ [c, d], như đã được chứng minh ở trên Ngoài ra, nếu f là hàm không khả vi, thì có thể sử dụng các khái niệm đạo hàm suy rộng (đạo hàm Dini, dưới vi phân Jacobian suy rộng, đối đạo hàm Mordulkhovich, ) để đặc trưng hàm lồi (Xem [2]) Kết luận chương Chương 1 đã trình bày các đặc trưng cơ bản của hàm lồi các đặc trưng. .. của hàm lồi Định lý 2.3.4 ([6], p 140) Cho I = [a, b] Khi đó hàm f ∈ C(I) là lồi khi và chỉ khi với mọi H ∈ [0, (b − a/2)] và x sao cho [x − h, x + h] ∈ I và với mọi h ∈ (0, H) bất đẳng thức SH (f, x) ≥ Sh (f, x) (2.13) cố định Đỗ Văn Dũng 30 K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ Nhận xét 2.3.3 Định lý 2.3.4 liên quan tới bất đẳng thức đầu tiên trong (2.1) Chú ý rằng bất đẳng thức thứ nhất mạnh hơn bất. .. Khi đó bất đẳng thức A+y f pa + qb p+q ≤ 1 2y f (t)dt ≤ pf (a) + qf (b) p+q (2.17) A−y đúng với A = (pa + qb)/(p + q), y > 0, và với tất cả hàm số f lồi liên tục f : [a1 , b1 ] → R nếu và chỉ nếu y≤ Đỗ Văn Dũng b−a min {p, q} p+q 33 (2.18) K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ Nhận xét 2.4.1 Nhận xét rằng bất đẳng thức (2.17) có thể được coi như một sự cải biên của định nghĩa bất đẳng thức cho hàm lồi Nhận