Bài toán điều khiển được hệ động lực

ì ì P ìẹ ĩ ì ì P ìẹ ĩ số ữớ ữợ ễ P ổ r tr tr tr tỹ ổ trũ ợ t ổ ụ r sỹ ú ù tỹ ữủ ỡ tổ t tr tr ữủ ró ỗ ố t ữớ t ỡ t ữủ ởt tổ ổ ữủ sỹ ữợ ú ù t t ụ Pt t ổ t tọ ỏ t ỡ s s t ỷ tr t tổ ố ợ ỳ t tổ ổ t ỡ ỏ s qỵ t ổ ợ rữớ ữ P t t tr t ỳ tự qỵ ụ ữ t tổ t õ ổ ỷ ỡ t t tợ ỳ ữớ ổ ộ trủ t tổ tr sốt q tr t tỹ tr trồ ỡ t ữớ t ử ỡ ử ởt số t tt tự ữỡ tr t ữủ ỡ t ữủ ỹ ữỡ tr t t ữỡ tr t t rớ r ữỡ tr õ tr tử rớ r t t t ữủ ỹ t õ ự q trồ tr ỵ tt t ữủ t tr tứ t t t tr ổ tt t ữủ ổ t ữỡ tr ỹ ổ t t ữủ ự ợ ữủ s ữợ t õ tố ữủ tr ố õ ởt t ỡ ởt tố ổ t ữỡ tr tr ố tố ữ tr t x0 , x1 ữủ trữợ t ữủ u(t) s ữợ t tố ữủ tứ tr t x0 s tr t x1 tr ởt tớ tũ ỵ ố õ tự q tố t t tứ tr t x0 t tớ t0 s tr t x1 t tớ t1 ỹ tố ữớ t t ữủ ữ ữủ t ữủ tứ ởt tr trữợ ữủ t ữủ ỹ ữủ ọ ữợ ỵ tữ t q q trồ tứ ỳ tr õ ự ởt số t ữủ t t ỡ ứ õ t ữủ ỹ ữủ ự t tr tr t ởt ữợ q trồ ỵ tt ữủ ỹ ữủ tr tr ữỡ ữỡ tr ỳ tự ỡ s ữỡ tr ữỡ tr t ữủ ởt số trủ ữỡ tr t ữủ ỹ ổ tọ ỏ t ỡ t tợ ụ Pt ữớ t t t tổ tr q tr t ổ tr trữớ ữ P ụ ữ t ổ ợ õ ũ ố rt ữ tr ổ t tr ọ ỳ t sõt ổ rt õ ữủ ỳ ỵ õ õ t ổ ởt số t tt R số tỹ C số ự RN ổ n X, Y, U ổ ổ ợ ||x|| Xk = X ì X ì ã ã ã ì X X ổ ủ X < x , x > tr x X t x l2 ổ (x1 , x2 , ã ã ã ) ợ s=0 |xs | < + Lp ([0, t]), Rm ổ t x(.) : [0, T ] R ợ ||x|| = m t p x(s) ds A tỷ ủ A I t tỷ ỗ t detA tự tr A rank A tr A A , AT tr A L(X, Y ) ổ tt t tỷ t t X Y M õ ỹ ữỡ M t M0 ỹ M t p ữỡ tự r ữỡ ú tổ tr ỳ tự ỡ s ữỡ tr sỷ ữỡ s ữỡ ỗ ữỡ tr t ữủ ởt số trủ ữỡ ữủ tứ t ữỡ tr ữỡ tr õ x = f (t, x(t), u(t)), t 0, tr õ x(t) Rn tỡ tr t u(t) Rm tỡ f tọ f (t, x, u) : R+ ì Rn ì Rm Rn sỷ u(t) tử tr [0, +) f (t, x, u) tọ tử t t st t x, u tự l1 , l2 > õ k0 F (k0 , i + 1)B(i)B (i)F (k0 , i + 1)D1 (k0 )x1 x(k0 ) = i=0 = D(k0 )D1 (k0 )x1 = x1 ứ õ s r r ợ tr s ữủ tứ tr t s tr t t x1 Rn õ õ t ữ ợ tử số tr tr ữủ ổ tở số ổ n ứ t ữủ t t r ụ õ ổ s s ự tọ õ t x1 (k + 1) x2 (k + 1) x (k + 1) õ = x1 (k) x2 (k) + 2x3 (k) + u1 (k) + 2u2 (k), = x1 (k) + x2 (k) 2x3 (k) u1 (k) 2u2 (k), = 2x1 (k) 2x2 (k) + 4x3 (k) + 2u1 (k) + 4u2 (k), 1 A= , B = 1 2 12 rank[B, AB, A2 B] = rank 12 12 24 , 36 72 36 72 = < 3, 72 144 õ ổ tọ tr ữủ t x0 = {x1 (0), x2 (0), x3 (0)} t t t ữủ x1 (1) x2 (1) x (1) t = x1 (0) x2 (0) + 2x3 (0) + u1 (0) + 2u2 (0), = x1 (0) + x2 (0) 2x3 (0) u1 (0) 2u2 (0), = 2x1 (0) 2x2 (0) + 4x3 (0) + 2u1 (0) + 4u2 (0), u1 (0) = x2 (0) x1 (0), u (0) = x3 (0), t t s r ữủ x1 = {0, 0, 0} ữủ tứ tr t t s tớ t õ ỵ rớ r ữủ t tỗ t số k0 s ImF (k0 , 0) ImC(k0 ) ự sỷ õ C = Rn tr õ Ck = [F (k, 0)]1 (Rk ) r trũ s õ ởt số k0 > s Ck0 = Rn , õ õ [F (k0 , 0)]1 Rk0 = Rn tứ õ s r ữủ tọ t t t s ữủ s k0 ữợ t rớ r x1 (k + 1) x2 (k + 1) x (k + 1) õ = x1 (k) + kx3 (k) + (k 2)u(k), = 2x1 (k) + k x2 (k), = x3 (k) + (2 k)u(k) k k , B(k) = , A(k) = k 0 2k C(3) = [B(2), A(2)B(1), A(2)A(1)B(0)] = 14 õ rankC(3) = < ổ tọ t õ rankF (2, 0) = rank[B(1), A(1)B(0)] = rank = tọ ứ õ ũ õ ổ ữỡ tr õ tr tử t ứ õ x(t) u(t) = Ax(t) + Bu(t), t 0, m n R , x(t) R , tr õ t ỗ t ữủ ữ s t ữủ R = t>0 Rt tr õ t Rt = eA(ts) Bu(s)ds, u(.) U x= C = t>0 Ct tr õ t Ct = x= eAs Bu(s)ds, u(.) U s t t t ữủ ợ tt t ỗ t ỵ sỷ t ỗ t t ữủ ữỡ i) rank[B, AB, , An1 B] = n ii) ổ tỗ t tỡ r tr A ự ợ tr r tỹ tr t õ ố ữỡ (B)+ ự sỷ õ ợ = Rn õ ổ õ s tữỡ ữỡ ợ i) r ii) t sỷ ự r tỗ t tỡ x0 (B)+ s x0 = A x0 = x0 , R s tỗ t V (0) R tr õ R t t ữủ tứ õ s r r ợ ộ x Rn s tỗ t ởt > s x R õ s t ữủ ởt tớ T > ởt ữủ u(.) U s T x= eA(T s) Bu(s)ds x0 (B)+ t õ < x0 , x >= < x, x > = T < x0 , eA(T s) Bu(s) > ds = T e(T s) < x0 , Bu(s) > ds 0 õ t ữủ < x0 , x > ợ x Rn r x0 = t ợ x0 = sỷ õ i), ii) s ự rữợ t t r r intR = t tứ s r t t ứ ổ õ tr x(t) = Ax + Bu, t 0, u(t) Rk = sp, x(t) Rn , k m n, õ tứ trũ r t s s ởt tớ T > õ t t t tử lT T lT u = eA(T s) Bu(s)ds, u U T t t ữủ R2.14 trũ ợ Rn t õ ImlT = Rn , s r lT (.) tr t t õ ụ t t tr ổ Rk = sp t ỗ õ tr rộ t t ữủ UT ụ s õ tr rộ ứ õ t s r intlT (U T ) = lT (UT ) = R t t ữủ ợ u(t) t õ intR = s r ự t tú ự t s ữ s K = conR = {x : x R, > 0}, õ s t t ữủ R R t ỗ õ K õ ỗ intK = r tr ữủ r eAt K K, t [0, T ] sỷ r / intR t t t ỗ t s r ữủ K = Rn rt tr tỹ {eAt }, t [0, T ] s t ữủ ởt tỡ {eAt } s x0 K + , eA t x0 = (t)x0 , (t) R, t [0, T ] t = t õ x0 K + , A x0 = (0)x0 , (0) R t x0 K + , x R t õ T < x0 , eA(T s) Bu(s)ds > 0, u(.) U ứ t s r < x0 , eA(T s) Bu > 0, u , s [0, T ] s = T t õ < x0 , Bu > 0, u , tự x0 (B)+ t ủ ợ t ữủ t ợ tt sỷ / intR s tự t s õ intR t Rn õ ỗ t t r t t ữủ R ụ õ ỗ ỡ ỳ intR tữỡ ữỡ ợ R = Rn GR i)ii) tr s ự ổ ỳ ố ợ t t t õ t t t t t tỷ Lt (.) t Lt (u) = eAs Bu(s)ds õ tt ự ỵ ú t ữủ t õ ỵ s ỵ ợ tt ỵ ữủ ổ ữỡ i), ii) tọ õ ỗ t s ữủ ổ t t t ữủ x1 = x1 + 3x2 + u, x = 2x + u, u 2 õ ,B = , A= (B) = {(x1 , x2 ) R2 : x1 = x2 } t rank[A/B] = (A ) = {1, 2} õ (B)+ = {(x1 , x2 ) R2 : x2 x1 , x2 R} tỡ r A ự ợ = {(x1 , x2 ) R2 : x2 = 0, x1 R}, ự ợ = {(x1 , x2 ) R2 : x1 = 0, x2 R} ữ tỡ r A ự ợ tr r tữỡ ự tr õ (B)+ ổ t t ữủ x1 = x1 + u2 , x = x x u , 2 ợ = {(x1 , x2 ) R2 : x1 0, x2 R} õ 0 ,B = , A= 1 (B) = {(x1 , x2 ) R2 : x1 R, x2 0} t rank[A/B] = (A ) = {1, 1} õ (B)+ = {(x1 , x2 ) R2 : x2 0, x1 = 0} tỡ r A ự ợ = {(x1 , x2 ) R2 : x2 = 0, x1 R}, ự ợ = {(x1 , x2 ) R2 : x1 = 1/2x2 } ữ ổ õ tỡ r A tr (B)+ õ ụ rớ r t rớ r õ ữ s x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), k Z+ , x(k) Rn , u(k) Rm , tr õ t trữợ tr Rn , ú ỵ r trữớ ủ ợ tr t u(k) t t t ữủ t ữủ s ữủ tữỡ ự k1 Rk = F (k, i + 1)B(i)u(i), u(i) , x= i=0 Ck = {x : F (k, 0)x Rk )} = {x : F (k, 0)x C(k)k } s r ữợ ởt số t t ỡ t t ữủ ữủ rớ r s r t ợ tr số t ữủ t ỵ t tr õ sỷ A(.), B(.) tr số t ỗ t ữủ ữỡ t õ ỗ i) k0 > : rank[B, AB, , Ak0 B] = n ii) ổ tỗ t tỡ r A ự ợ tr r ổ tr (B)+ ự sỷ õ ổ õ tr tự ợ u(k) Rk = sp s t W = sp ứ õ s r ợ u(k) W s s k ữợ ỳ k0 > õ õ t õ [B, AB, , Ak0 B](W k ) = Rn , ữủ tọ ự t sỷ ự r x0 = 0, A x0 = x0 , 0, x0 (B)+ ợ tũ ỵ x1 Rn s õ ởt > s x1 t ữủ tứ ởt õ tự s õ ởt (u(0), u(1), , u(k0 1)) s k0 x1 = F (k0 , i + 1)B(i)u(i) i=0 ổ ữợ tự tr ợ x0 t r x0 (B)+ , t õ k0 < x0 , x1 > = < x0 , F (k0 , i + 1)Bu(i) > i=0 k0 = < F (k0 , i + 1)x0 , Bu(i) > i=0 k0 k0 i1 < x0 , Bu(i) > = i=0 ứ õ s r x0 = x1 tũ ỵ tr Rn õ t ợ tt ổ x0 ữủ sỷ tọ t s ự ữỡ tỹ tứ s r intR = t K = conR õ intK = tr ữủ r AK K sỷ ự ổ tự / intR õ K = Rn õ õ t r t tr số A õ K t õ x0 K + : A x0 = x0 , ứ ữủ t ợ tt B K K + (B)+ ữỡ tỹ t õ t t ữủ ỵ t tr õ sỷ A(.), B(.) tr số t ỗ ữủ ữỡ t õ ỗ i) ImF (k0 , 0) ImC(k0 ), k0 > ii) ổ tỗ t tỡ r A ự ợ tr r ữỡ tr (B)+ ứ tr t t r ố ợ rớ r ữủ õ tr r ổ ữỡ s r t t ữủ tr õ 0 ,B = , A= = {(u1 , u2 ) R2 : u2 0, u1 R} õ (B)+ = {(x1 , x2 ) R2 : x1 0, x2 = 0}, (A) = {4, 2} tỡ r A ự ợ = {(x1 , x2 ) R2 : x2 = 2x1 } tỡ r A ự ợ = {(x1 , x2 ) R2 : x2 = 0, x1 R} ữ t t t tỡ r ừ A ự ợ = tr (B)+ ổ t t ữủ rớ r x1 (k + 1) = x2 (k + 1) = u (k) i 2x1 (k) + u2 (k) 2x1 (k) + 3x2 (k) u1 (k) õ 0 ,B = , (A) = {3, 2} A= õ (B)+ = {(x1 , x2 ) R2 : x1 0, x2 0} tỡ r ự ợ tr ữỡ = {(x1 , x2 ) R2 : 2x2 = 5x1 } ữ ổ õ tỡ r tr r ữỡ tr t tr tr (B)+ = > t ỳ ởt số t t ỡ ữỡ tr t ữủ ởt số ỡ P trồ t tr tự t ữủ ỹ ỗ t t ữủ t t tử rớ r õ ữủ tr tữỡ ố ự t ỡ ỳ tớ ỏ ũ õ ố ữ õ tr ọ ỳ t sõt ữủ ỳ ỵ õ õ qỵ t ổ ỳ ữớ q t ữủ t ỡ t t P P ỵ tt ỡ s ữỡ tr ụ Pt ổ ỵ tt t ố trt t t tr t tr t tt tr r rsr