Tài liệu Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp

Tai lieu, luan van1 of 102 Sở gdđt quảng bình TRƯờNG THPT Số Bố TRạCH - - SáNG KIếN KINH NGHIệM Đề TàI ứng dụng tích phân để giải toán tổ hợp Giáo viên thực hiện: Nguyễn Hữu Quyết Tổ: Toán Năm học: 2012-2013 B Trch, tháng năm 2013 khoa luan, tieu luan1 of 102 Tai lieu, luan van2kiến of 102 Sáng kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 2 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu ….2 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Nhị thức Newton Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 3 Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 3.1 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức 3.2 Giải tốn tổ hợp dựa vào tích phân cho trước 3.3 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức sau nhân thêm hàm số vắng 12 Bài tập đề nghị 14 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 16 Kết từ thực tiễn 16 Kết thực nghiệm 16 KẾT LUẬN 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 khoa luan, tieu luan2 of 102 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van3kiến of 102 Sáng kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong năm gần đây, toán Đại số tổ hợp thường xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng nhiều Trong nội dung có số tốn ứng dụng tích phân để giải Tuy nhiên, tích phân học chương trình lớp 12, cịn tổ hợp học chương trình lớp 11 Hệ thống tập sách giáo khoa sách tập ứng dụng tích phân để giải tốn tổ hợp khơng trình bày, học sinh khơng rèn luyện kỹ lớp Do đó, gặp tốn đề thi Đại học Cao đẳng, học sinh phần lớn không làm Nhằm giúp học sinh vận dụng tích phân để giải tốn tổ hợp, chuẩn bị tốt cho kỳ thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng tới, chọn đề tài “Ứng dụng tích phân để giải toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số Bố Trạch, Quảng Bình - Các tốn Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, cấu trúc đề thi tuyển vào Đại học Cao đẳng năm, phân tích kỹ đối tượng học sinh mà giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả tự đọc, tự tìm kiếm tài liệu học tập,…) Từ lựa chọn tập cụ thể giúp học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức để đưa lời giải cho tốn Do khn khổ sáng kiến, phần xin không nhắc lại kiến thức đại số tổ hợp tích phân kiến thức trình bày chi tiết sách giáo khoa trung học phổ thông, mà nhắc lại công thức khai triển nhị thức Newtơn trọng tập tổ hợp có sử dụng tích phân để giải khoa luan, tieu luan3 of 102 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van4kiến of 102 Sáng kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com NỘI DUNG Nhị thức Newton Cho n số nguyên dương, a b hai số thực n  a  b n  C0n a n  C1n a n 1b  Cn2 a n  2b   Cnn bn   Cnk a n  k b k k 0 Nhận xét: n - Trong khai triển  a  b  có n + số hạng n - Tổng số mũ số hạng khai triển  a  b  n - Các hệ số số hạng có tính chất đối xứng: Ckn  Cnn  k k  , k  n  a  b n  Cnn a n  Cnn 1a n 1b  C2n a n  2b   C0n b n - Nếu xếp theo lũy thừa giảm dần a số hạng tổng quát thứ k + n khai triển  a  b  Ckn a n  k b k Chú ý: n 1)  a  b   C0n a n  C1n a n 1b  Cn2 a n  2b  C3n a n 3b3   (1) n Cnn bn 2) 2n  Cn0  C1n  Cn2  C3n   Cnn 3)  C0n  C1n  Cn2  C3n   (1)n Cnn Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 1 1 Nếu tổng dãy tổ hợp, số hạng chứa phân số 1; ; ; ; ; ; n mẫu số xếp theo thứ tự tăng giảm theo quy luật đó, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Khi đó, ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với cận thích hợp Bước 2: Tính tích phân hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton vế khai triển Bước 3: Cho hai kết kết luận Chú ý: Khi hệ số tổ hợp có dạng b k  a k , ta chọn cận từ a đến b, tức b  f  x  dx a khoa luan, tieu luan4 of 102 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van5kiến of 102 Sáng kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Trước vào toán cụ thể, ta cần nhớ đẳng thức tích phân sau: b 1)  1  x  n b   dx   C0n  C1n x  Cn2 x   Cnn x n dx a a b b  1  x n 1   x2 x3 x n 1     C0n x  C1n   Cn2   Cnn  n    n     a a b 2)  1  x  n a b n dx   C0n  C1n x  C2n x    1 Cnn x n dx   a b b n 1   1  x  n 1   n n x x x   C n x  C n    Cn    1 Cn  n 1  n     a a  b 3)   x  1 n b   dx   C0n x n  C1n x n 1  Cn2 x n 2   Cnn dx a a b b   x  1n 1   x n 1  xn x n 1    C0n   C1n  Cn2   Cnn  n n 1  n    n   a a 4) b b a a n n n n n 1 n 2   x  1 dx  Cn x  Cn x  Cn x    1 Cn dx b b   x  1n 1   x n 1  xn x n 1 n   C0n   C1n  Cn2    1 Cnn  n n 1  n    n   a a n n Ta gọi hàm số y   x  1 y   x  1 hàm đa thức Các dạng tốn tổ hợp ứng dụng tích phân 3.1 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức Bài Cho n  * Tính tổng: S  C0n  22  1 23  2n 1  n Cn  Cn   Cn n 1 (ĐH Khối B-2003) Phân tích: Vế trái có chứa phân số, mẫu số xếp theo thứ tự tăng đơn vị, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích khoa luan, tieu luan5 of 102 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van6kiến of 102 Sáng kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com phân, cận số thay vào cho biến Vì số hạng cuối có hệ số nên ta biết cận từ đến tổng không đan dấu nên ta sử dụng  1  x  n 2n 1  n 1 dx Giải n Ta có 1  x   C0n  C1n x  C n2 x  C3n x   Cnn x n 2 n   Suy  1  x  dx   C0n  C1n x  Cn2 x  C3n x   Cnn x n dx 1 n 1 1 x   n 1 n 1  n 1 2 n 1 Vậy S  C0n  2  1    C0n x  C1n x  C2n x   Cnn x n 1  n 1  1  C0n 22  1 23  2n 1  n Cn  Cn   Cn  n 1 22  1 23  2n 1  n 3n 1  2n 1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 Bài Cho n  * Chứng minh rằng: C0n 1 2n 1  n  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 (ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000) Phân tích: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Tổng không đan dấu, ta sử dụng  1  x  n dx Giải n Xét 1  x   C0n  C1n x  C2n x  C3n x   Cnn x n n 1 1 1  x  n  x dx     n 1 0 2n 1   n 1   Cn  Cn x  Cn x 2 (1)   C3n x   Cnn x n dx khoa luan, tieu luan6 of 102 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van7kiến of 102 Sáng kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 1 1     C0n x  C1n x  Cn2 x   Cnn x n 1  n 1  0 1  C 0n  C1n  C 2n   C nn n 1 (2) 1 n 2n 1  Cn  Từ (1) (2) suy C0n  C1n  Cn2   n 1 n 1 Bài Cho n  * Chứng minh rằng: 1  n n 2C0n  C1n 22  Cn2 23    1 Cnn 2n 1    1   n 1 n 1 (ĐH Giao thơng Vận tải - 1996) Phân tích: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì 2n 1 số hạng cuối có hệ số nên ta biết cận từ đến tổng đan dấu nên ta sử n 1 dụng  1  x  n dx Giải n n Xét 1  x   C 0n  C1n x  C 2n x  C3n x    1 Cnn x n 2  1  x  n  1  x n 1   n   dx      1   n 1  n 1   0   Cn  C n x  C n x 2 n (3)   C3n x    1 Cnn x n dx 1 n    C0n x  C1n x  C2n x    1 Cnn x n 1  n 1  0 1 n  C0n  C1n 22  Cn2 23    1 Cnn 2n 1 n 1 (4) Từ (3) (4) suy 1  n n 2C0n  C1n 22  Cn2 23    1 Cnn 2n 1    1   n 1 n 1  khoa luan, tieu luan7 of 102 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van8kiến of 102 Sáng kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com * Bài Cho n   Chứng minh rằng: n 1 2 3 n n  n -1  + C n + C n + C n + + Cn= n+1 n+1 Phân tích: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số n nên ta nghĩ hàm số để n 1 hạng cuối có hệ số tính tích phân Bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k   k Cn = 1 Cn , cho ta k+1  k+1  1 n 1 Cn  tổng C1n +C n2 +C 3n + +C nn -  C1n + C n2 + C 3n + + n+1  2   n n Từ đó, ta sử dụng   1  x  dx Giải Cách 1: Xét số hạng tổng quát vế trái k k   k Cn =  1 Cn với k = 0, 1, 2,…,n k+1  k+1  Do đó, 1 2 3 n n C n + C n + C n + + C n = C1n +C 2n +C 3n + +C nn n+1   -  12 C 1 n + C n + C n + + n C n+1 n  n 2n+1 -1  n-1 +1 = = -  1+x  dx=2 n+1 n+1 n n n n Cách 2: Xét 1+x  =C 0n +C1n x+C 2n x2 +C 3n x3 + +C nn x n Lấy đạo hàm hai vế ta được: n 1+x  Ta có  nx 1+x  n-1 n-1 =C1n +2C 2n x+3C 3nx + +nC nn x n-1 1 0 n-1 n n-1 dx=   n 1+x-11+x  dx =n  1+x  - 1+x   dx      1+x n+1 1+x n   n-1 2n +1 (5) n n+1 n = n = -1 -1 =     n+1  n  n+1  n+1   C n +2C nx+3C nx 2 n n + +nC nn x n-1 dx= C1n + C 2n + C 3n + + Cn n+1  (6) khoa luan, tieu luan8 of 102 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van9kiến of 102 Sáng kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com n 1 2 3 n n  n -1  + Từ (5) (6) suy C n + C n + C n + + Cn= n+1 n+1 Bài Cho n  * Chứng minh rằng: 1 2n 1 22n  C2n  C2n  C2n   C2n  2n 2n  (ĐH khối A - 2007) Giải Xét khai triển 2 2n 2n x  C32n x   C2n x 1  x 2n  C02n  C12n x  C2n (7) 2 2n 2n x  C32n x3   C2n x 1  x 2n  C0n  C12n x  C2n (8) Trừ vế theo vế (7) (8) ta được: 2n 1 2n 1 x 1  x 2n  1  x 2n   C12n x  C32n x   C2n  2n 2n  x   1  x    Suy  1 2n 1  C12n x  C32n x   C2n 2n x 1  x 2n  1  x 2n dx    C2n x  C2n x 3  2n 1 2n 1 x dx   C2n 1  1  x 2n 1  1  x  2n 1  2n 1 2n  1      C2n x  C2n x   C2n x    2(2n  1) 2n  0  0 1 2n 1 22n   C2n  C2n  C2n   C2n  2n 2n  1 2n Nhận xét: Nếu phải tính tổng C 02n + C 2n + C 2n + + C 2n ta xét 2n+1 P x 1+x  = 2n 2n + 1-x  2n =C 02n +C 22n x2 + +C 2n 2n x Sau tính tích phân  P  x  dx Cịn phải tính tổng khoa luan, tieu luan9 of 102 1 C 2n + C 2n + C 2n + + C 2n 2n ta lại xét 2n+2 2n+1 Q  x  =x.P  x  =C 02n x+C 22n x + +C 2n 2n x Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van10 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến www.VNMATH.com Sau tính tích phân  Q  x  dx Ta gặp dạng phần Bài Cho n  * Chứng minh rằng: 2C02n 2 22n 1 2n C2n   C2n  C2n   2n  2n  Giải Xét 1  x  2n 2n  C02n  C12n x  C22n x  C32n x   C2n 2n x 1  1  x  2n 1  1  x  2n 1  22n 1   dx   n 1  2n   1 (9) 1  C2n  C2n x  C2n x 1 2n   C32n x   C2n 2n x  dx 1 3  2n 2n 1  x  C2n x   C2n x   C02n x  C12n x  C2n  2n    1 2 2n  2C02n  C22n  C2n   C2n 2n  (10) 2 22n 1 2n Từ (9) (10) suy 2C02n  C22n  C2n   C2n  2n  2n  3.2 Giải toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước Đối với dạng này, thơng thường câu có hai ý: ý thứ yêu cầu tính tích phân ý thứ hai chứng minh đẳng thức tổ hợp tính tổng Khi đó, ta linh hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau Bài Cho  n    a) Tính I   x  x  n dx 1 1 2 n 1  n b) Chứng minh rằng: Cn  Cn  Cn   Cn  3(n  1) 3(n  1) (ĐH Mở Hà Nội - 1999) Giải khoa luan, tieu luan10 of 102 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van11 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến a) Đặt t   x  www.VNMATH.com dt  x 2dx Đổi cận x   t  ; x   t  2 n  t n 1  2n 1  Khi đó, I   t dx     31  n  1 3(n  1) (11) 1   b) Xét I   x C0n  C1n x  Cn2 x  C3n x   Cnn x 3n dx     C0n x  C1n x  C3n x8  C5n x11   Cnn x3n  dx 1 1 1    C0n x  C1n x  C2n x   Cnn x 3n 3  3n  3 0 1 1  C 0n  C1n  C 2n   C nn 3(n  1) (12) 1 1 2n 1  Từ (11) (12) suy C0n  C1n  Cn2   Cnn  3(n  1) 3(n  1) Bài Cho n  * a) Tính tích phân  x 1 -x  n dx n  -1 C n = 1 1 b) Chứng minh rằng: C n - C n + C n - C n + + n 2(n+1) 2(n+1) (ĐH Luật, ĐH Bách Khoa Hà Nội - 1997) Giải a) Đặt t   x   dt  xdx Đổi cận x   t  ; x   t  1 n  t n 1  Khi đó, I    t dx     21  n  1 2(n  1) (13)  n  b) Xét I   x C0n  C1n x  Cn2 x  C3n x    1 Cnn x 2n dx khoa luan, tieu luan11 of 102 10 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van12 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến www.VNMATH.com   n   C0n x  C1n x  Cn2 x  C3n x    1 Cnn x 2n 1 dx 1 1 1    C0n x  C1n x  C1n x   C1n x 2n 2  2n  2 0 1 1 n  C0n  C1n  C n2    1 C nn 2(n  1) (14) n  -1 C n = 1 1 Từ (13) (14) suy C n - C n + C n - C n + + n 2(n+1) 2(n+1) Bài Cho n  *  a) Tính tích phân I n =  1-x  n dx n 1  -1 C n =  2n !! b) Chứng minh rằng: 1- C1n + C 2n - C 3n + + 2n+1 n  2n+1!! Giải  u   x a) Đặt  dv  dx   n  du  2nx  x   v=x   n 1 dx Khi đó,  In   x  x    n 1  2    2nx  x 0  n 1 1 n 1  2n    x dx-  1-x  x  0  2n  I n 1  I n    Do đó, In I n 1 Suy I n  In I n 1     dx  n 1  dx   2n 2n   2n !! I n 1 I 2n  n  1   In  I 2n  2n   2n  1!!  2n !! I   2n !!  2n  1!!  2n  1!! (15) khoa luan, tieu luan12 of 102 11 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van13 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến   b) Xét I=  1-x n www.VNMATH.com  n  dx   C0n  C1n x  Cn2 x  C3n x    1 Cnn x 2n dx 0 1 1 n     C 0n x  C1n x  C 2n x  C 3n x    1 C nn x 2n 1  2n   0 n  -1 C n 1  1- C1n + C n2 - C3n + + n 2n+1 (16) n  -1 C n =  2n !! 1 Từ (15) (16) suy 1- C1n + C 2n - C 3n + + n 2n+1  2n+1!! 3.3 Tính tích phân hàm đa thức sau nhân thêm hàm số vắng Khi toán cho mà số hạng tổng quát k k Cn mà Cn ta k+1 k+2 phải nhân thêm x vào hàm đa thức trước tính tích phân, cịn k Cn ta phải nhân thêm x2 vào hàm đa thức trước tính tích phân,… k+3 Bài Cho n  * Chứng minh rằng: 1 1 n2n 1  n Cn  Cn  Cn   Cn  n2  n  1 n   Phân tích: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối có hệ số k Cn ta phải nhân thêm x vào hàm số trước k+2 n tính tích phân Khi đó, ta sử dụng  x 1  x  dx Giải  n Xét x 1  x   x C0n  C1n x  C2n x  C3n x   Cnn x n  x 1  x  n dx   1  x  n 1  n dx   1  x  dx  1  x n  1  x n 1      n2 n 1   0 khoa luan, tieu luan13 of 102 12 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van14 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến   x 1  x  n n 2 www.VNMATH.com n 1 n 1 1 1 n2    n2 n 1  n  1 n   17    dx   x C0n  C1n x  Cn2 x  C3n x3   Cnn x n dx 0     C0n x  C1n x  Cn2 x  C3n x   Cnn x n 1 dx 1 1 1    C0n x  C1n x  C2n x   Cnn x n   n2 2 0 1 1  C0n  C1n  Cn2   Cnn n2 Từ (17) (18) suy (18) 1 1 n2n 1  Cn  Cn  Cn   Cnn  n2  n  1 n   Bài Cho n  * Chứng minh rằng: 1 1 n Cn  Cn  Cn    1 Cnn  n2  n  1 n   Phân tích: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối có hệ số k Cn ta phải nhân thêm x vào hàm số trước k+2 n tính tích phân Vì tổng đan dấu nên ta sử dụng  x 1  x  dx Giải n  n Xét x 1  x   x C0n  C1n x  Cn2 x  C3n x    1 Cnn x n  Đặt u   x  du  dx Đổi cận x   u  ; x   u  Khi đó,  x 1  x  n 1  u n 1 u n   dx   1  u  u dx     n  n    0 n  1   n  n   n  1 n   19  khoa luan, tieu luan14 of 102 13 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van15 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến  x 1  x  n www.VNMATH.com   n dx   x C0n  C1n x  C2n x  C3n x    1 Cnn x n dx 0   n   C0n x  C1n x  C2n x  C3n x    1 Cnn x n 1 dx 1 n 1    C0n x  C1n x  C2n x    1 Cnn x n   n2 2 0 1 n  C0n  C1n  Cn2    1 Cnn n2 (20) 1 n Từ (19) (20) suy C0n  C1n  Cn2    1 Cnn  n 1  n  1 n   Bài tập đề nghị Bài Cho n  * Chứng minh rằng: 1 n C0n  C1n  Cn2    1 Cnn  n 1 n 1 HD: Vì tổng đan dấu hệ số gắn với Cnn nên sử dụng n 1  1  x  n dx Bài Cho n  * Chứng minh rằng: n  1 1 n C0n  C1n  C2n    1 Cnn  n 1 n n 1 n 1 HD: Vì tổng đan dấu hệ số gắn với C0n nên sử dụng n 1   x  1 n dx Bài Cho n  * Chứng minh rằng: 1 3n 1  2C0n  C1n 22  C2n 23   n Cnn 2n 1  n 1 n 1 (ĐH Đà Nẵng - 2001) HD: Sử dụng  1  x  n dx 1 1 Cnn Bài Tính tổng: S  C0n  C1n  C2n   n3 khoa luan, tieu luan15 of 102 14 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van16 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến www.VNMATH.com n HD: Sử dụng  x 1  x  dx Bài Chứng minh rằng: a) 1+e n+1 + n+1 k 2n+1 n k k 1  k+1 Cn  n+1 +  k+1 Cn e k=0 k=0 n n k 22n+2  3n+1 k C  C    n k 1 n  n+1 2n 1 k=0 k+1 k=0  k+1 n b) Bài Đặt Sn   1 1     Chứng minh rằng: n 1 n 1 n a) Sn  C1n  C2n  C3n  C4n    1 Cn n b) Sn  C1nSn 1  Cn2Sn  Bài Tính tổng S  1.C0n A11     1 2.C1n A12  3.Cn2 A13 n Cnn 1S1   1n 1 n n  1 Cnn  , biết C0  C1  C2  211   A1n 1 n n n 1 1  HD: Phân tích S  C0n  C1n  Cn2  C3n   Cnn   C1n  Cn2   Cnn  n 1  2   khoa luan, tieu luan16 of 102 15 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van17 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến www.VNMATH.com THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Kết từ thực tiễn Trước dạy thực nghiệm, tiến hành khảo sát ba lớp mà đảm nhiệm Qua kết khảo sát, thấy phần lớn học sinh không làm tốn nêu Học sinh khơng làm tất nhiên lý sau: + Hệ thống tập sách giáo khoa sách tập ứng dụng tích phân để giải tốn tổ hợp khơng trình bày + Các kiến thức Đại số tổ hợp chương trình lớp 11, học sinh quên + Học sinh chưa định hình cách giải Tuy nhiên, trước bắt đầu dạy thực nghiệm, yêu cầu học sinh ôn tập lại kiến thức Đại số tổ hợp Trong giảng dạy, hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách nhận biết toán tổ hợp vận dụng tích phân, phân tích yếu tố có tốn để từ đưa hàm lấy tích phân, cận tích phân thay số tương ứng để đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh u cầu học sinh giải số tốn có sử dụng tích phân để giải em thận trọng tìm hàm lấy tích phân trình bày lời cho tốn đặt Kết thực nghiệm Sáng kiến áp dụng năm học 2012-2013 Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Thực nghiệm sư phạm tiến hành lớp 12A1, 12A2, 12A3, trường THPT số Bố Trạch, Quảng Bình + Lớp 12A1 ( 46 học sinh), 12A2( 44 học sinh), áp dụng sáng kiến + Lớp 12A3 ( 46 học sinh) không áp dụng sáng kiến Sau dạy thực nghiệm cho lớp 12A1, 12A2, cịn khơng dạy thực nghiệm lớp 12A3, tơi cho lớp làm kiểm tra Với kết sau: khoa luan, tieu luan17 of 102 16 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van18 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến Xếp loại www.VNMATH.com Giỏi Khá Tb Yếu Kém 12A1 10,9% 26,1% 34,8% 15,2% 13,0% 12A2 9,1% 22,7% 36,4% 18,2% 13,6% 12A3 0% 0% 13,6% 25,0% 61,4% Đối tượng Vì nêu nên đa số em lớp 12A3 làm không được, tính tích phân Bài Cịn lớp 12A1, 12A2, em trang bị kiến thức phương pháp giải vấn đề nên phần lớn em biết cách làm Do đó, kết kiểm tra cho ta khác biệt lớp dạy thực nghiệm lớp không dạy thực nghiệm Đề kiểm tra khảo sát 45 phút SỞ GDĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM TRƯỜNG THPT SỐ BỐ TRẠCH Thời gian làm bài: 45 phút Họ tên:………………………………………………………………………….Lớp: 12A… Bài (2,0 điểm) Chứng minh rằng: 22013 2012 C02013  C2013  C2013   C2013  2013 2014 Bài (2,0 điểm) Tính tổng: S  1 n1 C0n  C1n  C2n    1 Cnn n3 n2 n 1 Bài (4,0 điểm) Cho n  * a) Tính tích phân  x 1 + x  n dx 1 1 1n n+1 -1 n C + C + C + C + + C = b) Chứng minh rằng: n n n n n 2(n+1) 2(n+1) n   Bài (2,0 điểm) Tìm hệ số chứa x khai triển  x   , biết n số x  nguyên dương thỏa mãn 2C0n 2 23 2n 1 n 6560  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 khoa luan, tieu luan18 of 102 17 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van19 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến www.VNMATH.com Hướng dẫn:  1  x  Bài Sử dụng 2013 dx 1 n Bài Sử dụng  x  x  1 dx Bài a) Đặt u   x n b) Từ câu a), ta khai triển x 1 + x  tính tích phân hai vế Ta rút gọn sử dụng 2 Bài Sử dụng  1  x  n  1  x  n dx dx Kết quả: Hệ số cần tìm 21 khoa luan, tieu luan19 of 102 18 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van20 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến www.VNMATH.com KẾT LUẬN Trong đề thi Đại học Cao đẳng có nhiều dạng tốn mà chương trình sách giáo khoa khơng giới thiệu, sở kinh nghiệm thân trình dạy học lớp 12, tơi mạnh dạng đưa số tập Đại số tổ hợp có ứng dụng tích phân để giới thiệu cho em lớp hy vọng vấn đề năm học học sinh biết đến lớp nội dung chương trình học Do hạn chế thời gian kinh nghiệm giảng dạy nghiên cứu, sáng kiến khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý, bổ sung q thầy bạn để sáng kiến tơi hồn thiện khoa luan, tieu luan20 of 102 19 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Tai lieu, luan van21 of kinh 102 nghiệm 2012-2013 Sáng kiến www.VNMATH.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất giáo dục 2009 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Đại số Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất giáo dục 2009 Phạm Trọng Thư, Tuyển chọn 36 đề thử sức Đại học mơn Tốn, Nhà xuất Đại học Sư phạm 2012 Nguyễn Đức Hồng, Giới thiệu nhanh đề thi tốn học, Tốn, Nhà xuất Đại học Sư phạm 2010 Võ Thanh Văn (chủ biên), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm, tích phân giải toán THPT, Nhà xuất Đại học Sư phạm 2009 Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất tri thức 2006 - HẾT - khoa luan, tieu luan21 of 102 20 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết ... phương pháp tích phân 3 Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 3.1 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức 3.2 Giải tốn tổ hợp dựa vào tích phân cho trước 3.3 Tính tích phân dựa... Đại số tổ hợp Trong giảng dạy, hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách nhận biết toán tổ hợp vận dụng tích phân, phân tích yếu tố có tốn để từ đưa hàm lấy tích phân, cận tích phân thay số tương ứng để đến... Nhằm giúp học sinh vận dụng tích phân để giải tốn tổ hợp, chuẩn bị tốt cho kỳ thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng tới, chọn đề tài ? ?Ứng dụng tích phân để giải toán tổ hợp? ?? làm sáng kiến kinh