Phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi fourier fourier cosine fourier sine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Minh Khoa Thái Nguyên – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nghiên cứu thực nghiệm đưa luận văn hoàn toàn trung thực, chưa cơng bố cơng trình Tác giả luận văn Nguyễn Văn Tuấn                                                                           LỜI CẢM ƠN Trong trình học cao học, nghiên cứu viết luận văn tốt nghiệp tác giả nhận nhiều ủng hộ Phòng Giáo dục - Đào tạo huyện Yên Lập – tỉnh Phú Thọ, lãnh đạo đồng nghiệp trường THCS Trung Sơn , giúp đỡ quý báu thầy cô giáo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tác giả nhận chia sẻ, động viên bạn đồng nghiệp người thân Trong trình thực luận văn thạc sĩ toán học, tác giả nhận hướng dẫn trực tiếp TS Nguyễn Minh Khoa chun mơn, thầy ln nhiệt tình, tận tâm bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức cung cấp nhiều tài liệu quý báu Thầy dẫn cho tác giả trình bày kiến thức thu qua học tập nghiên cứu cách có hệ thống luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tất người giúp đỡ động viên quý giá Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Tuấn   MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ……… ………………………………………………………… Lời cam đoan …………………………………………… …………………… Mục lục ………………………………………………………………… …… Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt ……………………………… … MỞ ĐẦU ………………………………………………………………… Lý chọn đề tài ……………………………………………………… 2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ………………………………………… Đối tượng nghiên cứu ………………………………………….……… Phương pháp nghiên cứu …………………………………….…………… NỘI DUNG Chương Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine … …8 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier ……………………………………………… 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier ……………………… .….8 1.1.2 Các tính chất phép biến đổi tích phân Fourier … … 1.2 Phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine ……………………….…… 17 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine …………….…… … 17 1.2.2 Các tính chất phép biến đổi Fourier cosine …… … 18 1.2.3 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine …………………… … 19 1.2.4 Các tính chất phép biến đổi Fourier sine ……………… 20 1.3 Áp dụng giải phương trình truyền nhiệt ……………………… ……… 22 1.3.1 Bài tốn phương trình truyền nhiệt …………………………… 22 1.3.2 Thuật toán giải cách sử dụng biến đổi Fourier ………… 22 Chương Phương trình tích phân kiểu đa chập phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ……………………… …… 25 2.1 Phương trình tích phân đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine …………………………………………………………… ……… 25 2.1.1 Đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine … … 25 2.1.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập ………………… … … 25 2.2 Phương trình tích phân đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine ……………………………………………… … 29 2.2.1 Đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine ………………………………………………………… …… 29 2.2.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập …………………… …… 29 2.3 Phương trình tích phân đa chập có hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier Fourier sine ………………….…… 31 2.3.1 Đa chập có hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier Fourier sine …………………………………………… 31 2.3.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập …………………… …… 32 KẾT LUẬN ………………………………………………….……… … 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………….…… … … 35   DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT  L    x  R, x  0   tập hợp tất hàm f  f ( x) dx   L  xác định  0;  cho:     ,  x tập hợp tất hàm f xác định  x f ( x) dx   cho: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Hướng rẽ nhánh phát triển lý thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ 20 Gần trọn kỷ tích chập đơn phép biến đổi tích phân ngự trị Trong số phổ biến áp dụng nhiều tích chập phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Laplace, Kontorvich-Lebedev, Melin, Stieltjes,.…  4,7,8,13  Khoảng hai thập kỷ trở lại tích chập suy rộng xây dựng tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa, Yakubovich,… Với xuất tích chập suy rộng lớp phương trình tích phân giải nghiệm dạng đóng trở nên phong phú đẳng thức nhân tử hóa then chốt khơng có phép biến đổi tích phân mà có từ hai đến ba phép biến đổi tích phân Các trường hợp riêng tốn mở phương trình tích phân Toeplitz-Hankel 3,14,  f ( x)    k1( x  y)  k2 ( x  y) f ( y)dy  g ( x), x  , giải nhiều hơn, đa dạng Cũng vào năm 1997, sau đưa phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng, với ý tưởng mở rộng tổng quát hơn, mở rộng đến tối đại, Kakichev đưa khái niệm đa chập n+1 phép biến đổi tích phân K , K1, K2 , , Kn với hàm trọng  ( x ) n hàm f1 , f2 , , f n mà có đẳng thức nhân tử hóa cốt yếu sau 5 :   K *( f1, f , , f n )  ( y )   ( y)( K1 f1)( y)   (0.1) Từ ý tưởng khởi đầu Kakichev vòng 10 năm trở lại Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa số tác giả khác công bố số đa chập phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Hartley,… 9,15,16,17  Sự mở rộng tích chập, tích chập suy rộng sang đa chập bước phát triển không phạm vi lý thuyết phép biến đổi tích phân mà cịn mở rộng ứng dụng cho phương trình, hệ phương trình tích phân Chính mà tơi chọn hướng nghiên cứu luận văn phương trình tích phân kiểu đa chập phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine Các tích chập, đa chập biết dùng luận văn Tích chập hai hàm f , g  L( ) phép biến đổi tích phân Fourier 7,13 ( f * g )( x)  F 2   f ( x  y) g ( y)dy, x  (0.1)  Với đẳng thức nhân tử hóa: F ( f * g )( y)  ( Ff )( y)( Fg )( y), y  F (0.2) Tích chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine hai hàm f,g 7 ( f * g )( x)  Fc 2   f ( y)  g ( x  y )  g ( x  y)  dy, x  (0.3) Và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: Fc ( f * g )( y )  ( Fc f )( y ).( Fc g )( y ), y  (0.4) Fc Năm 1951 Sneddon xây dựng tích chập suy rộng đến tâm hai phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine cho hai hàm f , g  L1 ( ( f * g )( x)  2   f ( y)  g ( x  y )  g ( x  y)  dy,  )  7 x0 (0.5) y  (0.6) Thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs ( f * g )( y)  ( Fs f )( y).( Fc g )( y), Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sin 7 ( f * g )( x)  2   f ( y) s ign( y  x) g ( y  x )  g ( y  x)  dx, x  (0.7) Với đẳng thức nhân tử hóa: Fc ( f * g )( y)  ( Fs f )( y ).( Fs g )( y ), y  (0.8) Tích chập suy rộng với hàm trọng  ( x)  sinx hai hàm f,g phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine 11 1 ( f * g )( x)  2   f ( y)   g ( x  y  1)  g ( y  x  1)  g ( y  x 1)  g ( x  y  1) dy, x0 (0.9) 22   y  Fs f  ( y)   y f (0) 1.3 Áp dụng giải phương trình truyền nhiệt 1.3.1 Bài tốn phương trình truyền nhiệt Xét phương trình truyền nhiệt sau: u  2u ( x, t )  ( x, t ) t x (1.3.1) Ta tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện nhiệt độ ban đầu t 0 u( x,0)  u0 ( x) Và thỏa mãn điều kiện: (i)u, ux , uxx liên tục, khả tích R theo biến x với t  cố định (ii)T  0,   L1 ( R), ut ( x, t )   ( x), t 0, T  , x 1.3.2 Thuật toán giải cách sử dụng biến đổi Fourier Biến đổi Fourier vế trái (1.3.1) hàm biến x ( xem t tham số), dung tính chất (ii) để lấy đạo hàm dấu tích phân, ta có: 2   ut ( x, t )e i x   dx   t  2   i x u ( x , t ) e dx   ut ( , t )      Mặt khác: sử dụng (i) tính chất phép biến đổi Fourier ta có:   uxx  x, t   (i ) u( , t )   u( , t ) ^ 2 (1.3.2) 23 Như vậy, biến đổi Fourier hai vế (1.3.2) cho ta phương trình vi phân theo biến t ( tham số) sau:   ut (, t )   u(, t ) (1.3.3) Điều kiện ban đầu phương trình vi phân (1.3.3) có cách biến đổi Fourier hai vế u( x,0)  u0 ( x) Giải phương trình tuyến tính cấp 1, ta nghiệm (1.3.3) là:  u ( , t )  e   2t  u0 ( , t ) Mặt khác ta có:  x  e 4t  2t  e  t     ^ Và sử dụng tính chất tích chập Fourier, ta có:  x u ( , t )   e 4t  2t   ^    x  t  u0 ( , t )   e  u0  F   2  2t    ^  x2 e 4t x   t   e  u0  F  t    ^ Vậy: u ( x, t )  t  u0 ( x) F = t   e 4t u0 ( x   )dx   24 CHƯƠNG Phương trình tích phân kiểu đa chập phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 2.1 Phương trình tích phân đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine 2.1.1 Đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine Định nghĩa 2.1.1 Đa chập phép biến đổi Fourier cosine hàm f, g h xác định bởi: *( f , g , h)( x)  Fc 2    f (u) g (v) h( x  u  v)  h( x  u  v ) 0 h( x  u  v )  h( x  u  v )dudv, x  Định lý 2.1.2: Cho f,g h hàm thuộc L( (2.1.1)  ) , đa chập phép biến đổi Fourier cosine (2.1.1) hàm f, g, h thuộc L(  ) có đẳng thức nhân tử hóa sau:   Fc  *( f , g , h)   y    Fc f   y   Fc g   y   Fc h   y   Fc  Định lý chứng minh báo 17 2.1.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập a) Xét phương trình tích phân f ( x )   2      (u) (v)  f ( x  u  v)  f ( x  u  v ) 0 y  (2.1.2) 25  f ( x  u  v )  f ( x  u  v ) dudv  h( x)  x>0 số phức; , h hàm biết thuộc L( (2.1.3)  ) ; f ẩn hàm Định lý 2.1.3 Với điều kiện   ( Fc )( y)(Fc )( y )  0, y  phuuwong trình (2.1.3) có nghiệm L(  bởi:   f  h h *   Fc  Ở  L(  Fc  ( y)  c ) xác định bởi:  Fc ( *  )( y) Fc   Fc ( *  )( y) Fc Chứng minh Ta viết lại phương trình (2.1.3) dạng   f ( x)    *( , , f )( x)   h( x)  Fc  Do định lý 2.1.2 ta có: (Fc f )( y)  (Fc)( y).( Fc )( y).( Fc f )( y)  (Fch)( y) Vì   ( Fc )( y)( Fc )( y)  nên ( Fc f )( y)  ( Fc h)( y) Do đó: 1   ( Fc )( y)( Fc )( y)  ) xác đinh 26   ( Fc )( y)( Fc )( y)  ( Fc f )( y)  ( Fc h)( y) 1      ( Fc )( y)( Fc )( y)     Fc ( *  )( y)   Fc  ( Fc h)( y) 1      Fc ( F*  )( y)  c   Theo định lý Wiexner – Levi 1 tồn hàm  L(  ) cho:    F (  *  )( y ) c   Fc ( Fc )( y)      F (  *  )( y )   c Fc   Điều dẫn tới: ( Fc f )( y)  ( Fc h)( y) 1  ( Fc )( y )  ( Fc h)( y)  Fc (h * )( y) Fc Vì vậy: f  h  (h F* ) c Dễ thấy f  L(  ) Ta chứng minh xong định lý b) Xét phương trình tích phân:  f ( x)  2      (u) (v)  f ( x  u  v)  f ( x  u  v )  f ( x  u  v )  0 27   f ( x  u  v )dudv  2 Ở    (u)  f ( x  u )  f ( x  u ) du  h( x), x  (2.1.4) 1, 2 số phức;  , , , h hàm biết thuộc L(  ) ; f ẩn hàm Định lý 2.1.4 Với điều kiện  1 ( Fc )( y)( Fc )( y)  2 ( Fc )( y)  phương trình (2.1.4) có nghiệm L( ( Fc )( y)   ) xác định bởi: 1 ( Fc )( y)( Fc )( y )  2 ( Fc )( y )  1 ( Fc )( y)( Fc )( y )  2 ( Fc )( y ) Chứng minh Ta viết lại phương trình (2.1.4) dạng:   f ( x)  1  *( , , f )( x)   2 ( * f )( x)  h( x) Fc  Fc  Áp dụng 1 (4.2) ta có: (Fc f )( y)  1(Fc )( y)(Fc )( y)(Fc f )( y)  2 (Fc )( y).(Fc f )( y)  (Fch)( y) Vì  1 ( Fc )( y)( Fc )( y)  2 ( Fc )( y)  nên:   ( F  )( y)( Fc )( y)  2 (Fc )( y)  ( Fc f )( y)  ( Fc h)( y) 1  c    1 ( Fc )( y)( Fc )( y)  2 ( Fc )( y)  Theo định lý Wiener-levi 1 tồn hàm ( Fc )( y)   L( 1 ( Fc )( y)( Fc )( y)  2 ( Fc )( y)  1 ( Fc )( y)( Fc )( y)  2 ( Fc )( y) Điều dẫn tới: ( Fc f )( y)  ( Fc h)( y)  Fc (h F* )( y) c  ) cho: 28 Vì vậy: f  h  (h F* ) c Dễ thấy : f  L(  ) Ta chứng minh xong định lý 2.2 Phương trình tích phân đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourie sine 2.2.1 Đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Định nghĩa 2.2.1 Đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine hàm f,g,h xác định sau: * ( f , g , h)( x)  Fc , Fs 2    f (u) g (v) h( x  u  v ) 0 h( x  u  v )  h( x  u  v )  h( x  u  v)dudv, x  Định lý 2.2.1 Cho f,g,h hàm thuộc L(  (2.2.1) ) , đa chập (2.2.1) phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine hàm f,g,h thuộc L(  ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau:   Fc  * ( f , g , h)  ( y)  ( Fs f )( y)( Fs g )( y)( Fc h)( y), y   Fc , Fs  Định lý chứng minh báo 16 2.2.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập Xét phương trình tích phân: (2.2.2) 29  f ( x)  2      (u) (v)  f ( x  u  v ) 0  f ( x  u  v )  f ( x  u  v )  f ( x  u  v)dudv  h( x), x  , h hàm L(  (2.2.3) ) ;  số phức; f ẩn hàm Định lý 2.2.2 Với điều   (Fs )( y)(Fs )( y )  phương trình (2.2.3) có nghiệm xác định bởi: f  h  (h F* )  L( c cho: ( Fc )( y)   Fc ( * )( y)   Fc ( * )( y) Chứng minh Ta viết lại phương trình (2.2.3) dạng:   f ( x)    * ( f , g , h)( x)   h( x)  Fc , Fs  Do định lý 2.2.1 ta có: (Fc f )( y)  ( Fs)( y)( Fs )( y)( Fc f )( y)  ( Fc h)( y) Vì  ( Fs )( y)( Fs )( y)  nên: ( Fc f )( y)  ( Fc h)( y)  ( Fc h)( y) 1   ( Fs )( y)( Fs )( y) 1   Fc ( * )( y)  )  L(  ) 30   Fc ( * )( y)    ( Fc h)( y) 1     Fc ( *2 )( y)  Theo định lý Wiener-Levi 1 tồn hàm  L( ( Fc )( y)   ):  Fc ( * )( y)   Fc ( * )( y) Điều dẫn tới: ( Fc )( y)  ( Fc h)( y) 1  ( Fc )( y)  ( Fc h)( y)  Fc (h * )( y) Fc Vì f  h  (h F* ) c Dễ thấy f  L(  ) Định lý chứng minh 2.3 Phương trình tích phân đa chập có hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier Fourier sine 2.3.1 Đa chập có hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier Fourier sine y Định nghĩa 2.3.1 Đa chập với hàm trọng  ( y)  e phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier Fourier sine hàm f,g h xác định bởi: * ( f , g , h)( x)  Fs , F , Fc        0   iu f (u) g (v)h( y)   2 (1  iu )  ( x  v  y )  31   iu  iu  iu    dudvdy, x  (1  iu)2  ( x  v  y)2 (1  iu)2  ( x  v  y)2 (1  iu)2  ( x  v  y)2 (2.3.1) Định lý 2.3.2 Giả sử f  L(  x , ), g , h  L( hàm trọng  ) đa chập với  ( y)  e y phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier Fourier sine hàm f,g,h thuộc L(  ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau:    Fc  * ( f , g , h)  ( y)  e y ( Fc f )( y)( Fg )( y)( Fs h)( y ), y   Fc , F , Fs  (2.3.2) Định lý chứng minh báo 18 2.3.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập Xét phương trình tích phân: f ( x)      2 2      (u) (v) g ( y)  (1  iu)  0  iu   ( x  v  y)2  iu  iu  iu   2 2 (1  iu)  ( x  v  y) (1  iu)  ( x  v  y) (1  iu)  ( x  v  y)2 Ở  số phức,    L(  x2 , ); h  L(  ); f  ( * g )( x); , g  L(   dudvdy  h( x), x  ) ẩn hàm y Định lý 2.3.3 Với điều kiện  e ( F )( y)  phương trình (2.3.3) có nghiệm L(  ) xác định bởi: f  h  (h * ) F c Ở  L(  ) xác định bởi: 32 e y ( F )( y) ( Fc )( y)   e y ( F )( y) Chứng minh Ta viết lại phương trình (2.3.3) dạng:    f ( x)    * ( , , g )( x)   h( x), x   Fc , F , Fs  Sử dụng định lý (2.3.2) ta có: ( Fc f )( y)  e y ( F )( y)( Fs )( y)( Fs g )( y)  ( Fc h)( y), y   ( Fc f )( y)  e y ( F )( y) Fc ( * g )( y)  ( Fc h)( y), y   ( Fc f )( y)  e y ( F )( y)( Fc f )( y )  ( Fc h)( y ), y   ( Fc f )( y) 1   e y ( F )( y )  ( Fc h)( y), y   e y ( F )( y)   ( Fc f )( y)  ( Fc h)( y) 1   y   e ( F )( y)  Áp dụng định lý Wierner-Levi 1 ta có: e y ( F )( y)   L(  ) : ( Fc )( y)   e y ( F )( y) Do phương trình tương đương với: ( Fc f )( y)  ( Fc h)( y)  Fc (h * )( y) Fc Từ ta nhận nghiệm: 33 f  h  (h * ) Fc Dễ thấy f  L(  ) Ta chứng minh xong định lý 34 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu phương trình tích phân kiểu đa chập dựa đa chập xây dựng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine Lớp phương trình tích phân giải nghiên cứu dạng đóng nhờ mở rộng phong phú Các trường hợp phương trình ToeplifzHakel nhờ giải Từ ta áp dụng việc giải phương trình tích phân kiểu đa chập 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 N.I.Achiezer, Lectures on Approximation theory, Science Publishing house, Moscow, 1965, pp.157-162 2 Bateman, H.and Erdelyi, A., Tables of Integral Transforms Vol.1, mcgrawHill Book Co., New York, 1954 3 H.H Kagawa and Kabbalah, integral Equations via Embedding Methods Applied Math – emetics and Compatation, No.6.Addison – Weslay Publishding Co Reading, mas-London-Amsterdam, 1974 4 Kakichev, V.A., On the convolution for integral transforms (in Russian) Izv ANBSSR, Ser Fiz Mat 1967, N.2, p 48-57.,(in Russian) 5 V.A.Kakichev, Polyconvolution, Taganrog, TPTU, 1997, 54p(in Russian) 6 Nguyen Minh Khoa On the generalized convolution for the Fourier cosine, Fourier and Fourier sine transforms Proceedings of the 20th Scientific Conference, Hanoi University of Technology(2006), 122-125 7 I.N.Sneddon fourier transform, MC Gray Hill, NewYork, 1951 8 Srivastava, H.M., Tuan, V.K., A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral euations (1995) Arch Mathematik, Vol 64, No.2, 144-149, 1995 9 Nguyen Xuan Thao, On the polyconvolution for integral transforms Vestn NovGU Ser Estestv I Tehn Nauki – N.10.-pp 104-110, 1999 (in Russian) 10 Nguyen Xuan Thao, Kakichev V.A and Vu Kim Tuan, On the generalized convolution for Fourier cosine and sine transfrorms East-West J.Math, -V.1 – N.1 –pp 85-90, 1998 36 11 Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa, On the generalized convolution with a weigth-function for the Fourier cosine and sine transforms Fractional Calculus Applied Analysis.-V.7.-N.3.-pp.323-337, 2004 12 Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa, On the generalized convolution with a weigth-function for the Fourier sine and cosine transforms Integral trans Special Func.-V.17.-N.9.-pp.673-685, 2006 13 H.M Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integral, Clarendon Press, Oxford, UK, 2nd edition, 1967 14 J.N Tsitsiklis and B.C.Levy, ”Integral Equations and Ressolvents of Toeplitz plus Hankel Kernels”, Technical Report LIDS-P-1170, Laboratory for Information and Decision Systems, M.I.T., December 1981 15 Nguyen Xuan Thao and Nguyen Duc Hau On the polyconvolution for the Fourier sine integral tramsforms, Funcition Spaces in complex and C lifford analysis, Nntional university publishers Hanoi (2008) 16 Nguyen Xuan Thao and Nguyen Duc Hau On the polyconvolution for the Fourier cosine and Fourier sine transforms Acta Nathematica Vcetnominica Vol33, No2, 2008, 107-122 17 Nguyen Minh Khoa On the convolutions of Fourier – type tramsforms, Act Mathematica, Vol36, No2, 283-298(2011) 18 Nguyen Minh Khoa and Trinh Tuan, On the polyconvolution with a weight fimction for Fourier cosine, Fourier and Fourier sine transforms, Advances in Nonlinear Variational Tnequalities Vol 14(2011) No1, 30 ... Phương trình tích phân kiểu đa chập phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 2.1 Phương trình tích phân đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine 2.1.1 Đa chập phép biến. .. 2.2 Phương trình tích phân đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourie sine 2.2.1 Đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Định nghĩa 2.2.1 Đa chập phép biến đổi tích. .. Chương Phương trình tích phân kiểu đa chập phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ……………………… …… 25 2.1 Phương trình tích phân đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine