Tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội – Năm 2015 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CHƯƠNG NGUYÊN HÀM 1.1 Định nghĩa nguyên hàm 1.2 Các tính chất nguyên hàm 1.3 Bảng công thức nguyên hàm số hàm số 1.4 Một số phương pháp tính nguyên hàm 1.4.1 Phương pháp ghép vi phân thích hợp 1.4.2 Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ 1.4.3 Nguyên hàm theo phần 13 1.4.4 Nguyên hàm hàm số có thức 16 1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác 22 1.5 Bài tập tự luyện 34 CHƯƠNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG 35 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 35 2.2 Điều kiện khả tích 35 2.3 Tính chất tích phân xác định 35 2.4 Công thức Newton – Leipnitz 36 2.5 Ứng dụng 36 2.5.1 Tính tích phân xác định theo Newton – Leipnitz 36 2.5.2 Tính diện tích hình phẳng 39 2.5.3 Tính thể tích khối tròn xoay 50 2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng 55 2.6 Bài tập tự luyện 58 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN KHÁC 60 3.1 Tìm giới hạn tích phân 60 3.1.1 Đặt vấn đề 60 3.1.2 Một số ví dụ minh họa 60 3.2 Bất đẳng thức tích phân 63 3.2.1 Đánh giá theo hàm số cận tích phân 63 3.2.2 Bất đẳng thức cổ điển tích phân ứng dụng 66 3.2.3 Định lý giá trị trung bình 74 3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức 76 3.2.5 Tìm cực trị phương pháp tích phân 80 3.3 Tính tổng 84 3.3.1 Lý thuyết 84 3.3.2 Một số ví dụ minh họa 85 3.4 Bài tập tự luyện 88 KẾT LUẬN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa học, lời xin trân trọng cảm ơn đến thầy cô giáo công tác khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để có tảng kiến thức thực luận văn Tiếp theo xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Vũ Đỗ Long, người tận tình bảo giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để hoàn thành luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội tạo điều kiện tối đa để có thời gian học tập tốt hoàn thành khóa học Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015 Học viên Ngô Thị Sinh MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đổi Nói cách khác, người ta cho môn học " hình số." Toán học tảng cho tất ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói toán học, ngành khoa học Môn Toán chia thành nhiều phân môn nhỏ, có phân môn: Giải tích toán học gọi đơn giản Giải tích Giải tích ngành toán học nghiên cứu khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán giải tích "phép lấy giới hạn" Phần lớn người học lúng túng gặp khó khăn học Giải tích nói chung Nguyên hàm, Tích phân, toán thực tế cần dùng đến Tích phân nói riêng Tích phân có ứng dụng số toán tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng… Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học - Cao đẳng năm xuất toán liên quan đến tích phân Với mong muốn hệ thống lại kiến thức nguyên hàm, tích phân xác định ứng dụng lựa chọn đề tài “Tích phân ứng dụng” cho luận văn , cụ thể luận văn gồm chương: Chương 1: Nguyên hàm Trong chương nhắc đến khái niệm tính chất nguyên hàm, bảng nguyên hàm hàm số thường gặp số phương pháp tính nguyên hàm làm sở để tính tích phân xác định trình bày chương Chương 2: Tích phân xác định ứng dụng Ở chương nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích tính chất tích phân xác định có tính chất quan trọng sử dụng công thức Newton – Leipnitz để tính tích phân xác định sau tìm nguyên hàm Đặc biệt chương thể ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng giới hạn đường tính thể tích vật tròn xoay quay hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy Chương 3: Các toán khác Chương đề cập đến ứng dụng tuyệt vời tích phân toán phức tạp tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức Mặc dù cố gắng tìm tòi vấn đề toán liên quan đến việc tính Tích phân ứng dụng nó, kiến thức vô tận nên luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý bảo thầy cô giáo để luận văn có giá trị khoa học cao Em xin chân thành cảm ơn! CHƯƠNG NGUYÊN HÀM 1.1 Định nghĩa nguyên hàm a Giả sử hàm y  f  x  liên tục khoảng  a;b  Khi hàm số y  F  x  gọi nguyên hàm hàm số y  f  x  F '  x   f  x  , x   a; b  b Nếu y  F  x  nguyên hàm hàm số y  f  x  tập hợp tất nguyên hàm hàm số y  f  x  tập I   F  x   c, c  R tập ký hiệu là: I   f  x  dx  F  x   c 1.2 Các tính chất nguyên hàm a Nếu y  f  x  hàm số có nguyên hàm   f  x  dx  '  f  x  ; d   f  x  dx   f  x  dx b Nếu F  x  có đạo hàm  d  F  x    F  x   c c Phép cộng Nếu f  x  g  x  có nguyên hàm  f  x  dx  g  x  dx    f  x   g  x   dx d Phép trừ Nếu f  x  g  x  có nguyên hàm  f  x  dx  g  x  dx    f  x   g  x  dx e Phép nhân với hẳng số khác  kf  x  dx  k  f  x  dx, k  f Công thức đổi biến số Cho y  f  u  u  g  x  Nếu  f  x  dx  F  x   c  f  g  x   g '  x  dx   f  u  du  F  u   c 1.3 Bảng công thức nguyên hàm số hàm số  0dx  C;  dx  x  c a a  1  ax  b  dx  a  1    ax  b   c,   1 ax  b m dx  ax  b dx  1 ax b e c a  sin  ax  b  dx  1 cos  ax  b   c a max b  c a ln m  tan  ax  b  dx  1 ln cos  ax  b   c a b   cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c  ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  c   1.4 dx a x dx a x  arcsin x  c  a  0 a 1 cot  ax  b   c a 1  sin  ax  b  dx   ln x  x  a  c dx a x  ln c x 2a a  x  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  ax  b dx  a ln ax  b  c e dx x  arctan  c  a   x a a  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c Một số phương pháp tính nguyên hàm 1.4.1 Phương pháp ghép vi phân thích hợp a Phương pháp Sử dụng biến đổi f '  x  dx  d  f  x   Ví dụ: d  ax  2bx  c  adx  d  ax  b  ;  ax  b  dx  sin x.dx  d  cos x  ; cos x.dx  d  sin x  b Một số ví dụ Ví dụ 1.1.1 ([1]) I dx d  x  3    ln x   c 2x  2x  Ví dụ 1.1.2 ([1]) I  x  3 dx  x  3x   d  x  3x  5 x  3x   ln x  x   c Ví dụ 1.1.3 ([1]) I   sin x.cos3 xdx   cos3 xd  cos x    cos x c Ví dụ 1.1.4 ([1]) I   cos x.sin xdx   sin xd  sin x   sin x c Ví dụ 1.1.5 I    ecos x  sin x  sin x.dx   ecos x sin x.dx   sin x.dx    ecos x d  cos x     cos x 1 dx  ecos x  x  sin x  c 2 Ví dụ 1.1.6 x  d  tan  dx dx dx x 2 I      ln tan  c x x x x x sin x 2sin cos tan cos tan 2 2 Ví dụ 1.1.7 I dx  cos x  dx   sin  x   2   dx x  x   2sin    cos      2 4   x   d  tan     dx x        ln tan     c x  x  x        2 4 tan    cos    tan    2 4 2 4 2 4 Ví dụ 1.1.8 I dx dx tan x    tan x d tan x  tan x  c     cos x  cos x cos x  1.4.2 Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ a Các định nghĩa  Phân thức hữu tỉ biểu thức dạng P x với P  x  , Q  x  đa thức với Q  x hệ số thực  Phân thức thực phân thức hữu tỉ P x với deg P  x   deg Q  x  Q  x  Phân thức đơn giản dạng phân thức sau: A ; xa A x  a k Bx  C ; x  px  q ; Bx  C x  px  q  k   p  4q  0; k  N   Định lý tổng quát phân tích đa thức Mọi đa thức Q  x   với hệ số thực có cách phân tích thành nhân tử (không tính theo thứ tự xếp nhân tử) gồm nhị thức bậc tam thức bậc hai có biệt thức   , tức ta có n Q  x   A  x  a1   x  ak  nk x m1  p1 x  q1   x  ps x  qs  ms đó: A  0; a1 , , ak nghiệm thực phân biệt Q  x  ; pi , q i số thực thỏa mãn  i  pi2  4qi  0; deg Q  n1   nk   m1   ms  b Phương pháp tính  Nguyên hàm hàm phân thức bản: + I dx  ln x  a  c xa + I dx x  arctan  c  a   x a a a + I + I dx x  a k  1 k 1  k  x  a   Bx  C  x  px  q dx    c  k  1 B Bp  x  p    C   2   dx x  px  q p  4q   B d  x  px  q   Bp  dx +C   2  x  px  q  x  px  q  B Bp  dx  = ln x  px  q +  C   2   x  m 2  n2   = + Im   B Bp  xm  ln x  px  q +  C  +c  arctan 2 n n   Bx  C  x  px  q  m 2  m  N dx với   p  4q  Im   = B Bp  x  p    C   2   x  px  q  m B 1  m   x  px  q  Đặt J m   dx x Với t  x   px  q  m B d  x  px  q   Bp  dx dx    C   m 2  x  px  q    x  px  q  m  Bp  dx   C   2   x  px  q  m  m 1 = p  dx  2   p  4q  p   x     2    m dt t 4q  p p dt , ta tính J m   ; a= m 2 t  a2   a2  m theo cách sau đây: Cách ( Phương pháp lượng giác) ad ad cos  Đặt t  a tan   dt   J   m 1 m m  cos  a  a 1  tan        cos   Đến ta tính kĩ thuật tích phân hàm lượng giác Cách ( Phương pháp tích phân phần) Jm   Jm  dt t  a2   m t  a2  t dt  m  a t  a2  a  dt t  a2  m 1  a2  t dt t  a2  1 t dt J  J với J  m   t  a2 m a2 a2   Đặt u  t  du  dt v   tdt t  a2  m  m 1 t  a2  d t  a2      2  m  1  t  a m 1 Vậy thay vào ta có J m  2a  m  1  t  a 2  Nguyên hàm hàm phân thức n Q  x   A  x  a1   x  ak  nk x 2  m 1  2m  J m 1 a 2m  P  x với deg P  x   deg Q  x  Q  x m1  p1 x  q1   x  ps x  qs  ms m m d  A An11  Ank k  P  x   A11 1k           n nk  x  ak  Q  x   x  a1 x  a  x  a1     k     Bm11 x  Cm1s  B x  C11 Bms x  Cms     B1s x  C1s     11   m m  x  p1 x  q1  x  ps x  qs  x2  p1 x  q1    x2  ps x  qs  s   c Một số ví dụ Ví dụ 1.2.1 ([4]) I x  5x  dx x3  x2  2x Ta có Q  x   x  x  1 x   Giả sử P  x  x2  5x  A B C     , x Q  x  x  x  x x x 1 x   x  x   A  x  1 x    Bx  x    Cx  x  1 , x * Cách ( Phương pháp hệ số bất định) *  x  x    A  B  C  x   A  2B  C  x  A, x 2 A  A  /     A  B  C  5   B  2 A  B  C  C  /   Do I   5 dx   dx   dx  ln x  ln x   ln x   c 2x  x  2 2  x  1 Cách ( Phương pháp gán giá trị đặc biệt) Thay x  vào * suy ra: A   A  / Thay x  vào * suy ra: 3B  6  B  2 Thay x  2 vào * suy ra: 6C  15  C  / I 5 dx   dx   dx  ln x  ln x   ln x   c 2x  x  2 2  x  1 Ví dụ 1.2.2 ([4]) Tính I   x3  dx x  5x      Ta có Q  x    x  1 x  1 x   x   P  x x3  A B C D      , x Q  x x  5x  x  x  x  x   x   A  x    x  1  B  x  1  x    C  x    x  1  D  x  1  x   , x  * Thay x  vào * suy ra: 6 A   A  1 / Thay x  vào * suy ra: 12 B  10  B  / Thay x  1 vào * suy ra: 6C   C  1/ Thay x  2 vào * suy ra: 12 D  6  D  1/ 1 dx dx dx dx 1        ln x   ln x   x 1 x  x  x  2 1  ln x   ln x   c I  Ví dụ 1.2.3 ([4]) Tính I   3x  3x  dx x3  x  2 Ta có Q  x   x  3x    x  1  x   P  x  3x  3x  A B C     , x Q  x  x3  x   x  1 x  x  Giả sử  A  x    B  x  1 x    C  x  1  3x  3x  , x  * Thay x  vào * suy ra: A   A  Thay x  2 vào * suy ra: 9C   C  Thay x  vào * suy ra:  A  B  C  B  I  3x  3x  dx dx dx 3 dx  3  2    2ln x   ln x   c x  3x  x 1 x  x 1  x  1 Ví dụ 1.2.4 ([4]) Tính I   4x   x  x  3 dx 10 P  x Ta có  Q  x 4x  x  x  3  A B C D    , x x   x  1 x   x  2  x    A  C  x   7 A  B  5C  D  x  15 A  B  7C  D  x   9 A  B  3C  D  , x A  C  A   7 A  B  5C  D  B      15 A  B  7C  D  C  3  9 A  B  3C  D   D  I   3  dx       dx 2 x  x  x  x        x  x      4x  2  3ln x    c x 1 x 3  3ln x   Ví dụ 1.2.5 ([4]) Tính I   x  1 x  x2  dx Ta có Q  x   x  x    x  x  1 x  x  1 P  x x2  Ax  B Cx  D    , x Q  x x  x  x  x 1 x  x 1 Giả sử  x    Ax  B   x  x  1   Cx  D   x  x  1 , x  x    A  C  x    A  B  C  D  x   A  B  C  D  x  B  D, x A  C  A  C  A  C    A  B  C  D  C  D  1/       A  B  C  D  D  B   B  D   B  D   B  D  I  x  1 x  x 1 dx   1    dx   x  x 1 x  x 1   1 1     dx  dx    1 2x 1 2x 1  2     =    arctan  arctan 2   c 2 2  3 3  1  3 1  3    x     x              11 Ví dụ 1.2.6 ([4]) x  18 Tính I   Giả sử  x2  x  13 P  x Q  x  dx 2 x  18 x  x  13  Bx  C x  x  13  Dx  C , x x  x  13  x  18   Bx  C    Dx  E   x  x  13 , x *  x  18  Dx   6 D  E  x   B  13D  E  x   C  13E  , x D   B  12  6 D  E  C  8     B  13 D  E   D  C  13E  18  E  I  2x x =6  2  18  dx  x  13    x   dx x  x  13 12 x  8 dx x  x  13   2dx  x  x  13 dx  28 2  2   x  3     6 x 3 =  c1  28M  arctan  c2 x  x  13 dx Xét M    x       Đặt t  tan   dt  M  dt   dt t  4 dx  x  3 4  t  x  3 2d  ; t    tan   1  cos  cos  2d  1 1  cos 2  d     sin 2   c3  16 16   16 cos  6 17 x 3 x 3 I   arctan  sin arctan c x  x  13 16 32 t  4 cos  Ví dụ 1.2.7 ([4]) Tính I   Giả sử x  x  13  x    x  1 dx P  x x  x  13 A Bx  C Dx  E     , x Q  x   x    x  1 x   x  1  x  1 12  x  x  13  A  x  1   Bx  C  x     Dx  E  x    x  1 , x  x  x  13   A  D  x   2 D  E  x3   A  B  D  E  x   2 B  C  D  E  x   A  2C  E  , x A  D  A 1  2 D  E   B  3     A  B  D  E   C  4  2 B  C  D  E   D  1    A  2C  E  13  E  2 I  = x  x  13  x    x  1 dx   dx 3x  x2  dx   dx 2 x2 x  x    dx 2x dx 2x dx   dx  4   dx  2 2 2 x  2  x  1 x 1  x  1 x      c1  M   ln  x  1  arctan x   c2   ln x     x  1  2   Xét M   M  dx x  1 dx x  1 2 Đặt x  tan   dx  d  tan     d / cos   tan   1   cos  d   d cos  1  cos 2  d 2 1 1       sin 2   c3   arctan x  sin  arctan x    c3 2 2   Do  I = ln x    arctan x  2sin  arctan x   ln  x  1  c 2  x  1 1.4.3 Nguyên hàm theo phần a Công thức tính nguyên hàm phần Giả sử u  u  x  ; v  v  x  có đạo hàm liên tục miền D, ta có: d  uv   udv  vdu   d  uv    udv   vdu  uv   udv   vdu   udv  uv   vdu 13 Nhận dạng: Hàm số dấu nguyên hàm thường tích loại hàm số khác Ý nghĩa: Đưa nguyên hàm phức tạp nguyên hàm đơn giản (trong nhiều trường hợp việc sử dụng nguyên hàm phần khử bớt hàm số dấu nguyên hàm cuối lại loại hàm số dấu nguyên hàm) Chú ý: Cần chọn u, dv cho du đơn giản dễ tính v đồng thời nguyên hàm  vdu đơn giản nguyên hàm  udv b Các dạng nguyên hàm phần cách chọn u, dv Nguyên hàm u dv  P  x  sin  ax  b  dx P x sin  ax  b  dx  P  x  cos  ax  b  dx P x cos  ax  b  dx ax  b P x m ax  b dx  P  x  log  ax  b  dx log m  ax  b  P  x  dx  P  x  arc sin  ax  b  dx arcsin  ax  b  P  x  dx  P  x  arccos  ax  b  dx arccos  ax  b  P  x  dx  P  x  arctan  ax  b  dx arctan  ax  b  P  x  dx  P  x  arccot  ax  b  dx arccot  ax  b  P  x  dx sin  log a x  dx sin  log a x  x k dx  x cos  log x  dx cos  log a x  x k dx  P  x  m dx m x k k a m ax  b sin  x    dx m ax b sin  x    dx m ax  b cos  x    dx m ax b cos  x    dx Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1.3.1 ([1]) Tính A1   x3cosxdx u  x3 du  x dx Cách làm chậm: Đặt  Khi ta có   dv  coxdx v  sin x 14 u  x du  xdx A1  x3 s inx  3 x sin xdx Đặt  Khi ta có   dv  s inxdx v   cos x u  x  du  dx  A1  x3 s inx    x cos x   x cos xdx  Đặt   dv  cos xdx v  sin x   A1  x3 s inx+3x cos x  x sin x   sin xdx  x3 s inx+3x cos x   x sin x  cos x   c Cách làm nhanh: Biến đổi dạng  P  x  L  x  dx   udv A1   x 3cosxdx   x3 d  s inx   x s inx   sin xd  x3   x3 s inx  3 x sin xdx  x3 s inx  3 x d  cos x   x s inx   x cos x   cos xd  x    x s inx  x cos x   x cos xdx x3 s inx  x cos x   xd  s inx    = x3 s inx  x cos x  x sin x   sin xdx  x3 s inx+3 x cos x   x sin x  cos x   c Ví dụ 1.3.2 ([3]) Tính A2   x3e5 x 1dx Ta có A2   x 3e5 x 1dx  x d  e5 x 1    x3 e5 x 1   e5 x 1d  x     5 1    x 3e5 x 1  3 x e5 x 1dx    x3 e5 x 1   x d  e5 x 1     5   x 1  x 1 xe  x e   e5 x 1d  x    x 3e5 x 1  x 2e5 x 1   xe5 x 1dx  5 25  25 25 x 1 x 1 xe  xe  xd  e5 x 1  25 125  6 x 1  x3e5 x 1  x 2e5 x 1  xe5 x 1  e c 25 125 625  Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n ta phải n lần sử dụng tích phân phần Ví dụ 1.3.3 ([1]) Tính A3   x sin xdx Đặt t  x  t  x  2tdt  dx A3   x sin xdx  2  t d  cos t   2t cos t   cos td  t   2t cos t   t d  sin t  Ta có 15  t d  sin t   6t sin t   sin td  t   6t sin t  12 t sin tdt 6t sin t  12  td  cos t   6t sin t  12t cos t  12  cos tdt 6t sin t  12t cos t  12sin t  c  A3  2t cos t  6t sin t  12t cos t  12sin t  c  2  x  cos x  6t sin x  12t cos x  12sin x  c Ví dụ 1.3.4 ([1]) Tính A4   x cos xdx A4   x cos xdx  x2 x  cos x dx   x cos xdx   2 2  x2 x2 1   xd  sin x    x sin x   sin xdx 4 4  x2 1  x sin x  cos x  c 4 Ví dụ 1.3.5 ([3]) Tính A5   x sinx cos xdx A5   x sinx cos xdx    x cos3 x xd cos x     cos3 xdx   3 3 x cos x x cos x  sin x    1  sin x  d  sin x      s inx  c 3 3  1.4.4 Nguyên hàm hàm số có thức p a Nguyên hàm dạng I   x m  a  bx n  dx với m, n, p hữu tỉ  Nếu p  Z gọi k mẫu số chung nhỏ phân số tối giản biểu thị m, n Khi đặt x  t k  Nếu m 1  Z gọi s mẫu số p đặt a  bx n  t s n  Nếu a  bx n m 1  p  Z gọi s mẫu số p đặt  ts n n x 16 [...]... Phân thức đơn giản là 1 trong 4 dạng phân thức sau: A ; xa A x  a k Bx  C ; x  px  q ; Bx  C 2 x 2  px  q  k   p 2  4q  0; k  N   Định lý tổng quát về phân tích đa thức Mọi đa thức Q  x   0 với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai... kĩ thuật tích phân hàm lượng giác Cách 2 ( Phương pháp tích phân từng phần) Jm   Jm  dt t 2  a2   m 1 t 2  a2  t 2 1 dt  2 m 2  a t 2  a2  a  dt t 2  a2  m 1  1 a2  t 2 dt t 2  a2  1 1 t 2 dt J  J với J  m  1  t 2  a2 m a2 a2   Đặt u  t  du  dt và v   tdt t 2  a2  m  m 1 2 1 1 t  a2  d t 2  a2      2 2  m  1  t 2  a 2 m 1 Vậy thay vào ta có... x 3  2  A  x 2  4   x  1  B  x 2  1  x  2   C  x 2  4   x  1  D  x 2  1  x  2  , x  * Thay x  1 vào * suy ra: 6 A  3  A  1 / 2 Thay x  2 vào * suy ra: 12 B  10  B  5 / 6 Thay x  1 vào * suy ra: 6C  1  C  1/ 6 Thay x  2 vào * suy ra: 12 D  6  D  1/ 2 1 dx 5 dx 1 dx 1 dx 1 5        ln x  1  ln x  2  2 x 1 6 x  2 6 x  1 2 x ...  vdu 13 Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm thường là tích 2 loại hàm số khác nhau Ý nghĩa: Đưa 1 nguyên hàm phức tạp về nguyên hàm đơn giản hơn (trong nhiều trường hợp việc sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu nguyên hàm và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu nguyên hàm) Chú ý: Cần chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời nguyên hàm  vdu đơn giản hơn... A B C     , x Q  x  x3  3 x  2  x  1 2 x  1 x  2 Giả sử 2  A  x  2   B  x  1 x  2   C  x  1  3x 2  3x  3 , x  * Thay x  1 vào * suy ra: 3 A  9  A  3 Thay x  2 vào * suy ra: 9C  9  C  1 Thay x  0 vào * suy ra: 3  2 A  2 B  C  B  2 I  3x 2  3x  3 dx dx dx 3 dx  3  2    2ln x  1  ln x  2  c 2 3 x  3x  2 x 1 x  2 x 1  x  1... đó I   3 2 5 3 5 dx   dx   dx  ln x  2 ln x  1  ln x  2  c 2x 2  x  2 2 2  x  1 Cách 2 ( Phương pháp gán các giá trị đặc biệt) Thay x  0 vào * suy ra: 2 A  3  A  3 / 2 Thay x  1 vào * suy ra: 3B  6  B  2 Thay x  2 vào * suy ra: 6C  15  C  5 / 2 I 3 2 5 3 5 dx   dx   dx  ln x  2 ln x  1  ln x  2  c 2x 2  x  2 2 2  x  1 Ví dụ 1.2.2 ([4]) Tính I ... 5 25  25 25 1 3 5 x 1 3 2 5 x 1 6 xe  xe  xd  e5 x 1  5 25 125  1 3 6 6 5 x 1  x3e5 x 1  x 2e5 x 1  xe5 x 1  e c 5 25 125 625  Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải n lần sử dụng tích phân từng phần Ví dụ 1.3.3 ([1]) Tính A3   x sin xdx Đặt t  x  t 2  x  2tdt  dx A3   x sin xdx  2  t 3 d  cos t   2t 3 cos t  2  cos td  t 3   2t 3 cos t  6  t 2 d  sin t... Nguyên hàm dạng I   x m  a  bx n  dx với m, n, p hữu tỉ  Nếu p  Z thì gọi k là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi m, n Khi đó đặt x  t k  Nếu m 1  Z thì gọi s là mẫu số của p và đặt a  bx n  t s n  Nếu a  bx n m 1  p  Z thì gọi s là mẫu số của p và đặt  ts n n x 16 ... A  x  a1  1  x  ak  nk x 2 m1  p1 x  q1   x 2  ps x  qs  ms trong đó: A  0; a1 , , ak là các nghiệm thực phân biệt của Q  x  ; pi , q i là các số thực thỏa mãn  i  pi2  4qi  0; deg Q  n1   nk  2  m1   ms  b Phương pháp tính  Nguyên hàm các hàm phân thức cơ bản: + I dx  ln x  a  c xa + I dx 1 x  arctan  c  a  0  2 x a a a + I + I 2 dx x  a k ... 1 t  a2  d t 2  a2      2 2  m  1  t 2  a 2 m 1 Vậy thay vào ta có J m  1 2a  m  1  t  a 2 2  Nguyên hàm hàm phân thức n Q  x   A  x  a1  1  x  ak  nk x 2 2  m 1  1 2m  3 J m 1 a 2 2m  2 P  x với deg P  x   deg Q  x  và Q  x m1  p1 x  q1   x 2  ps x  qs  8 ms thì m 2 m 2 d  A An11  Ank k  P  x   A11 1k           n nk