Tích phân perron

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Thị Mộng Thường TÍCH PHÂN PERRON Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin trân trọng gởi đến TS Lê Thị Thiên Hương lòng biết ơn chân thành sâu sắc Cơ động viên, giúp đỡ, bảo tận tình q trình hướng dẫn để tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Q thầy - khoa Tốn trường Đại học sư phạm TP HCM tận tình giảng dạy để tơi có kiến thức q báu làm hành trang cho q trình học tập nghiên cứu sau Tơi xin chân thành cảm ơn thầy thuộc phòng Quản lý khoa học sau đại học, trường Đại học sư phạm TP HCM tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập trường Cuối tơi xin gởi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi lời tri ân đến tất bạn bè tơi - người ln bên tơi, động viên giúp tơi vượt qua khó khăn q trình thực luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 0T T MỤC LỤC 0T T MỞ ĐẦU 0T T CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0T T 1.1 Khái niệm “hầu khắp nơi” T 0T Đạo hàm hàm số đơn điệu T 0T 1.3 Đạo hàm tích phân bất định T 0T 1.4 Vấn đề tìm lại ngun hàm T 0T 1.5 Các tính chất tích phân T 0T 1.6 Tích phân trừu tượng tổng qt hóa T T 1.7 Tập phạm trù thứ 16 T 0T CHƯƠNG ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON 18 0T T 2.1 Định nghĩa tích phân Perron 18 T 0T 2 Các tính chất tích phân Perron 20 T T CHƯƠNG XÂY DỰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH PERRON 26 0T T 3.1 Tích phân bất định Perron 26 T 0T 3.2 Tích phân hẹp Danjua 29 T 0T 3.3 Định lý G HACE 32 T 0T 3.4 Định lý P X ALECXANDROV – G LOMAN 41 T T CHƯƠNG SO SÁNH TÍCH PHÂN PERRON VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE 48 0T T KẾT LUẬN 53 0T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 0T 0T PHỤ LỤC 55 0T T MỞ ĐẦU Vào cuối kỷ XIX, người ta đưa ví dụ hàm số π = f ( x ) x= cos , f ( ) x ' có đạo hàm hữu hạn f '( x ) khắp nơi đoạn [ 0;1] hàm số f ( x ) lại khơng khả tích theo nghĩa Lebesgue Như phép tính tích phân theo định nghĩa Lebesgue khơng giải trọn vẹn tốn tìm ngun hàm hàm số theo đạo hàm Vào năm 1912, nhà tốn học Pháp A Danjua đưa q trình tích phân hóa tổng qt Lebesgue chứng tỏ q trình giải trọn vẹn tốn nêu Mặt khác, năm 1914 nhà tốn học Đức O Perron đưa định nghĩa tích phân khác, dựa ngun tắc khác với định nghĩa Danjua giải trọn vẹn tốn tìm ngun hàm hàm số từ đạo hàm hữu hạn Các cơng trình G Hace (1921), P.S.Alecxandrov (1924) G Loman (1925) chứng minh đồng tích phân Danjua Perron Như Perron đưa dạng định nghĩa tích phân Danjua, ngày tích phân gọi tích phân Danjua - Perron Vào năm 1916, A.Danjua nhà tốn học Nga A.I.Khintrin đưa định nghĩa tích phân tổng qt hơn, hồn tồn độc lập với Định nghĩa cho phép tìm ngun hàm khơng từ đạo hàm thơng thường mà từ đạo hàm xấp xỉ (hay đạo hàm tiệm cận) Số A gọi đạo hàm xấp xỉ hàm số f ( x ) điểm x0 tồn tập hợp E nhận x0 làm điểm trù mật cho với x∈ E x → x0 ta có lim x→ x0 f ( x ) − f ( x0 ) =A x − x0 Tích phân tổng qt thường gọi tích phân Danjua - Khintrin, hay tích phân Danjua “ rộng”, để phân biệt tích phân Danjua - Perron gọi tích phân Danjua “hẹp” Chúng ta nghiên cứu lý thuyết tích phân Danjua – Perron Còn tích phân Danjua – Khintrin ta đưa định nghĩa Bạn đọc quan tâm xem tài liệu “Lý thuyết tích phân” S.Sacs, 1949 Luận văn chia thành chương phụ lục Nội dung chủ yếu luận văn tìm hiểu định nghĩa tính chất tích phân Perron, xây dựng tích phân bất định Perron thơng qua lý thuyết tích phân Danjua, định lý G.Hace, định lý P X Alecxandrov- G Loman so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue Chương trình bày kiến thức chuẩn bị gồm khái niệm định lý sử dụng chương sau Chương nêu định nghĩa chứng minh tính chất tích phân Perron Đây kết quan trọng luận văn Chương xây dựng khái niệm tích phân bất định Perron chứng minh tính chất Chương dành cho việc so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue Trong luận văn có phần phụ lục trình bày khái niệm tích phân Danjua “rộng”, nhằm phân biệt với tích phân Danjua “hẹp” CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm “hầu khắp nơi” Cho khơng gian độ đo ( X , M , µ ) a/ Giả sử E tập hợp thuộc M P tính chất mà x ∈ E thỏa mãn khơng thỏa mãn Ta nói P xảy hầu khắp nơi E tập hợp {x∈ E , x không thỏa mãn P} chứa tập thuộc M, có độ đo khơng ( ) ( ) b/ Ta nói hai hàm số f , g : X → R tương đương (kí hiệu f : g ) f x = g x { } hầu khắp nơi, nghĩa tập hợp x ∈ X : f ( x ) ≠ g ( x ) chứa tập có độ đo khơng Đạo hàm hàm số đơn điệu ( ) Bổ đề 1.1 Cho A tập nằm khoảng a , b , J lớp khoảng cho = ∆ điểm x ∈ A mút trái khoảng ( x, x + h ) ∈ J x Khi tồn số hữu hạn khoảng rời ∆1 , ∆ , , ∆ s ∈ J phủ lên tập A’ A, với độ đo ngồi µ * ( A ' ) > µ * ( A ) − ε , ε số dương tùy ý cho trước Bổ đề 1.2 Giả thiết thêm với số η > nhỏ tùy ý, điểm x ∈ A có khoảng ( x , x + hx ) ∈ J với hx < η Khi ấy, cho trước tập mở G ⊃ A , ta chọn khoảng ∆1 , ∆ , , ∆ s bổ đề 1.1 cho chúng nằm trọn tập G ( ) Định lý 1.3 Một hàm số F x đơn điệu đoạn  a, b  có đạo hàm hầu khắp nơi đoạn Định lý 1.4 Nếu f ( x ) hàm tăng xác định  a, b  đạo hàm f ' ( x ) hàm b đo ∫ f ' ( x ) dx ≤ f ( b ) − f ( a ) nên a f ' ( x ) khả tích 1.3 Đạo hàm tích phân bất định ( ) Bổ đề 1.5 Nếu F x khơng giảm (trên  a, b  ) F ' ( x ) khả tích b ∫ F ' ( x ) dx ≤ F ( b ) − F ( a ) a ( ) Bổ đề 1.6 Nếu g x khả tích với x đoạn  a, b  ta có x ∫ g ( t ) dt = a g ( x ) = hầu khắp nơi x Định lý 1.7 Đạo hàm F ' ( x ) tích phân bất định F ( x ) = ∫ f ( t ) dt , hàm số khả a ( ) ( ) tích f x , f x hầu khắp nơi 1.4 Vấn đề tìm lại ngun hàm Bổ đề 1.8 Nếu hàm số F ( x ) liên tục tuyệt đối có đạo hàm F ' ( x ) = hầu khắp nơi F ( x ) phải số Định lý 1.9 Nếu F ( x ) hàm số liên tục tuyệt đối đạo hàm F ' ( x ) khả tích x ta có F= ( x ) F ( a ) + ∫ F ' ( t ) dt a 1.5 Các tính chất tích phân 1.5.1 Tính σ - cộng tính liên tục tuyệt đối tích phân Định lý 1.10 Nếu {gn } dãy hàm số đo khơng âm tập hợp A ∫ ∞ ∞ ∑ gn d µ = ∑ ∫ gn d µ = n A A n 1= ∞ Định lý 1.11 Giả sử A = U An , An tập hợp đo đơi rời n =1 a/ Nếu tồn ∫ A f d µ ∞ ∫ f dµ = ∑ ∫ f dµ A n =1 A n (1.1) b/ Nếu f khả tích A ∞ ∑∫ f dµ < ∞ (1.2) n =1 A n Do chuỗi vế phải (1.1) hội tụ tuyệt đối Đảo lại có (1.2) f khả tích A có (1.1) Định nghĩa 1.12 Giả sử ( X , M , µ ) khơng gian độ đo λ : M → R hàm số σ - cộng tính Ta nói hàm λ liên tục tuyệt độ đo µ λ ( A ) = với tập hợp A có độ đo µ ( A ) = Giả sử f hàm số khả tích khơng gian X Từ định lý 1.8 suy hàm λ : M → R , xác định bởi: λ ( A) = ∫ f dµ (1.3) A hàm σ - cộng tính Nếu µ ( A ) = λ ( A ) = Vậy λ liên tục tuyệt đối độ đo µ Dễ dàng chứng minh tập hợp X0 = {x ∈ X : f ( x ) ≠ 0} có độ đo σ - hữu hạn, tức X0 ∞ X n ) < ∞ , n 1, 2, U Xn , µ ( = n =1 Hiển nhiên A∈ M A ∩ X0 = ∅ λ ( A ) = Định lý 1.13 (Radon – Nikodym) Giả sử ( X , M , µ ) khơng gian độ đo λ : M → R hàm σ - cộng tính , liên tục tuyệt đối độ đo µ λ ( A ) = với tập hợp A thuộc M nằm ngồi tập hợp X0 thuộc M, có độ đo σ - hữu hạn Khi tồn hàm số f đo X cho λ ( A ) = ∫ f d µ , với A∈ M A Nếu λ ≥ f ≥ Định lý 1.14 Giả sử f hàm số khả tích tập hợp A Khi với số dương ε , tồn số dương δ cho với tập hợp đo E ⊂ A µ ( E ) < δ ∫ f dµ < ε E 1.5.2 Tính bảo tồn thứ tự Định lý 1.15 Nếu f ≤ g A tích phân ∫ f dµ , ∫ g dµ A tồn ∫ f dµ ≤ ∫ g dµ A A A 1.5.3 Tính tuyến tính Định lý 1.16 Các đẳng thức sau vế phải có nghĩa i) ∫ c f dµ (= c A ∫ f dµ (c ∈ R) A ( ii ) ∫ ( f + g ) d µ = ∫ f d µ A + A ∫ g dµ A 1.5.4 Tính khả tích Định lý 1.17 Các khẳng định sau (i) Nếu ∫ f dµ có nghĩa A ∫ f dµ A ≤ ∫f dµ , A (ii) f khả tích A f khả tích A, (iii) Nếu f ≤ g h.k.n A g khả tích A f khả tích A, (iv) Nếu f, g khả tích A f ± g khả tích A Hơn f khả tích g bị chặn A f g khả tích A 1.6 Tích phân trừu tượng tổng qt hóa Trong mục ta xét số khái niệm chung sử dụng mục sau trình bày lý thuyết tích phân Danjua Ta biết loạt tích phân: R (Riemann), L (Lebesgue), P (Perron) Các tích phân có số tính chất chung, ta đưa tính chất vào sơ đồ chung Giả sử đoạn thẳng  a, b  , a ≤ b , tương ứng với lớp T ([ a , b ]) khơng rỗng gồm hàm số xác định đoạn  a, b  Họ lớp gọi họ với c ∈ [ a, b ] có T= ([ a, b]) T ([ a, c]) ∩ T ([c, b]) (Điều kiện hiểu sau: Hàm số f ( x ) xác định [ a, b ] chứa lớp T ([ a, b ]) hai hàm số thu từ f ( x ) xét đoạn [ a, c ] , [c, b ] , chứa lớp T ([ a, c ]) , T ([ c, b ]) tương ứng ) Giả sử M = {T ( [ a, b ])} họ lớp lớp T ([ a, b ]) có phiếm hàm T ( f ) cho tương ứng hàm số f ∈ T ([ a, b ]) với số xác định Phiếm hàm gọi b a tích phân với f ∈ T ([ a, b ]) c∈ [ a, b ] có b c b a a c T= ( f ) T ( f )+ T ( f ) (1.4) Và (với x∈ [ a, b ] ) x c x →c a a lim T ( f ) = T ( f ) (1.5) Nói cách khác, tích phân hàm đoạn thẳng cộng tính liên tục Đặc biệt, f ∈ T ([ a, a ]) T= ( f ) T ( f ) + T ( f ) nghĩa T ( f ) = a a a a a a a a Tất hàm số chứa lớp T ([ a, b ]) gọi hàm T – khả tích [ a, b ] Từ điều kiện họ lớp T ([ a, b ]) suy hàm số T – khả tích [ a, b ] T – khả tích đoạn [ p, q ] chứa  a, b  đặc biệt, T-khả tích điểm c∈ [ a, b ] Bây ta xét số tính chất tích phân vừa định nghĩa Giả sử hàm số f ( x ) xác định  a, b  c∈ [ a, b ] Nếu với δ > hàm số f ( x ) khơng T – khả tích đoạn [ c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b ] điểm c gọi điểm T – bất thường hàm số f ( x ) Tập hợp tất điểm T – bất thường f ( x ) kí hiệu ST ( f ; [ a, b ]) , ST ([ a, b ]) , ST ( f ) , đơn giản ST Hiển nhiên f T – khả tích  a, b  ST ([ a, b ]) = Bổ đề sau chứng tỏ điều ngược lại Bổ đề 1.18 Nếu f ( x ) xác định  a, b  khơng thuộc T ([ a, b ]) ST ( f ; [ a, b ]) ≠ Chứng minh Đặt d = a+b Khi f(x) khơng T – khả tích hai đoạn [ a, d ] , [ d , b ] mà ta kí hiệu lại [ a1 , b1 ] Đặt d1 = a1 + b1 gọi [ a2 , d ] hai đoạn [ a1 , d1 ] , [ d1 , b ] cho f ( x ) khơng T – khả tích [ a1 , d1 ] Tiếp tục q trình ta thu dãy đoạn thẳng lồng vào nhau: [ a, b ] ⊃ [ a1 , b1 ] ⊃ [ a2 , b2 ] ⊃ cho f ( x ) khơng T – khả tích đoạn Giả sử c điểm chung tất đoạn [ an , bn ] Nếu δ > với n đủ lớn ta có [ an , bn ] ⊂ [c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b] Từ suy f ∉ T ([ c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b ]) điểm c điểm T – bất thường Bổ đề 1.19 Tập hợp ST = ST ( f ; [ a, b ]) tập đóng Chứng minh Giả sử cn ∈ ST cn → c Lấy δ > Nếu n đủ lớn cn − c < δ nên δ δ  cn − , cn +  ∩ [ a , b ] ⊂ [ c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b ] Vì f ( x ) khơng T – khả tích đoạn thẳng vế trái bao hàm nên f ( x ) khơng T – khả tích đoạn thẳng vế phải Do δ tùy ý nên c∈ ST , điều phải chứng minh Dưới ta xét trường hợp ST khơng lấp đầy đoạn [ a, b ] Khi phần bù [ a, b ] \ ST gồm hữu hạn đếm khoảng khơng giao đơi Thật vậy, ST = ∅ [ a, b ] \ ST = [ a, b ] Nếu ST ≠ ∅ [ p, q ] đoạn nhỏ chứa ST [ a, b] \ ST =∪ [ a, p ] {[ p, q ] \ ST } ∪ [ q, b] Để ý [ p, q ] \ ST tập rỗng, hợp khoảng khơng giao đơi (khi p = a [ a, p ) = ∅ ) Trong phần bù ST có khoảng khơng phải khoảng mở, xét cách chặt chẽ phức tạp nên ta kí hiệu khoảng ( an , bn ) , thực tế chúng ( an , bn ] [ an , bn ) chí [ an , bn ] (nếu ST = ∅ ) Giả sử ta có hai tích phân T1 T2 Nếu hàm số T1 - khả tích hàm T2 - khả tích giá trị hai tích phân ta nói tích phân T2 tổng qt T1 Bây ta chứng minh rằng: Từ tích phân T (mà định nghĩa ta đưa họ M gồm lớp hàm T – khả tích T ([ a, b ]) ) xây dựng tích phân T* khác tổng qt Muốn trước hết ta xây dựng họ gồm lớp hàm khả tích ứng với tích phân Ta quy ước đưa hàm số f(x) xác định [ a, b ] vào lớp T* [ a, b ] ba điều kiện sau thỏa mãn: 1) Tập hợp ST = ST ( f ;[ a, b ]) khơng trù mật khắp nơi [ a, b ] hàm số f ( x ) khả tích theo nghĩa Lebesgue tập hợp (Điều kiện ln thỏa mãn m ST = thỏa mãn ST = ∅ ) 2) Nếu {[ an , bn ]} dãy khoảng phần bù ST với n tồn giới hạn hữu β hạn I n lim T ( f ) = α ( an < α < β < bn , α → an , β → bn ) β 3) Nếu Wn sup T ( f ) ( an < α < β < bn ) = α ∑W n < +∞ n (Điều kiện đảm bảo số Wn hữu hạn) Ta chứng minh họ T* [ a, b ] họ Giả sử f ( x ) ∈ T [ a, b ] Khi ST ( f ; [ a, b ]) = ∅ hợp ∪ [ an , bn ] đưa số hạng [ a, b ] Do điều kiện 1) thỏa mãn β b α a Điều kiện 2) thỏa mãn theo(2) ta có lim T ( f ) = T ( f ) a < α < β < b, α → a , β → b Cuối điều kiện 3) thỏa mãn f ( x ) có số hữu hạn W Vậy T ([ a, b ]) ⊂ T* ([ a, b ]) tất lớp T* ([ a, b ]) khác rỗng Tiếp theo ta giả sử f ( x ) ∈ T* ([ a, b ]) a < c < b (Trường hợp c = a c = b hiển nhiên f ( x ) xác định x0 f ( x ) chứa lớp T* ([ x0 , x0 ]) cho dù f ( x ) có T- khả tích x0 hay khơng) Xét tập hợp ST ( f ; [ a, c ]) Dễ thấy tập hợp tập ST ( f ; [ a, b ]) , khơng trù mật khắp nơi [ a, c ] hàm số f ( x ) khả tích theo nghĩa Lebesgue [ a, c ] Do [ a, c ] hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện 1) Giả sử [ a, c ] \ ST ( f , [ a, c ]) = ∪ ( an , bn ) n Nếu c∈ ST ( f ; [ a, c ]) khoảng ( an , bn ) phần bù tồn tập hợp ST ( f ; [ a, b ]) đến [ a, b ] Nếu c∉ ST ( f ; [ a, c ]) c khơng thuộc khoảng ( an , bn ) trừ khoảng có dạng ( an , c  (Nếu ST ( f ; [ a, c ]) = ∅ khoảng ( an , c  [ a, c ] 0 Từ suy f ( x ) thỏa mãn điều kiện 2), điều kiện 3) [ a, c ] Vậy f ( x ) ∈ T* ([ a, c ]) Chứng minh tương tự ta có f ∈ T* ([ c, b ]) Vậy T* ([ a, b ]) ⊂ T* ([ a, c ]) ∩ T* ([ c, b ]) Bao hàm ngược lại chứng minh cách lập luận tương tự Vậy họ lớp T* ([ a, b ]) Bây với hàm số f ∈ T* ([ a, b ]) ta định nghĩa giá trị phiếm hàm T * ( f ) cơng b a b thức T * = (f) a ∑ I + ( L ) ∫ f ( x ) dx n n (1.6) ST ( f ) Định nghĩa hồn tồn xác định I n ≤ Wn nên chuỗi ∑I n hội tụ tuyệt đối n Để ý với hàm số T – khả tích f ( x ) (trên ta f ∈ T* ([ a, b ]) ) ta có b b a a T * ( f ) = T ( f ) vế phải (1.6) tích phân Lebesgue 0, chuỗi ∑I n b số hạng T ( f ) a Một trường hợp đơn giản khác có a b điểm T – kì dị [ a, b ] b β a α = T * ( f ) lim T ( f ) ( a < α < β < b , α → a , β → b ) b Khi từ (1.6) suy ra= T *( f ) a bn ∑ T ( f ) + ( L ) ∫ f ( x ) dx n an * ST ( f ) n có b Ta chứng minh phiếm hàm T * ( f ) mà ta vừa định nghĩa tích phân theo định nghĩa a đưa đầu mục này, nghĩa cộng tính liên tục hàm đoạn thẳng [ a, b ] Giả sử f ∈ T* ([ a, b ]) a < c < b Rõ ràng ta có S= ST ( f ; [ a, c ]) + ST ( f ; [ c, b ]) , T ( f ; [ a, b ]) tập hợp vế phải khơng giao nhau, có điểm chung Từ suy ( L= ) ∫ f ( x ) dx ( L ) ∫ ST ([ a , b ] ) ST ([ a , c ] ) f ( x ) dx + ( L ) ∫ ST ([ c , b ] ) f ( x ) dx (1.7) hai tích phân vế phải tồn hữu hạn Tiếp theo ta giả sử [ a, b] \ ST ( f , [ a, b]) = ∑ ( an , bn ) n Đối với điểm c có ba khả xảy ra: • c thuộc hai tập hợp ST ([ a, c ]) , ST ([ c, b ]) • c khơng thuộc hai tập hợp • c thuộc hai tập hợp khơng thuộc tập lại Trong ba trường hợp cách lập luận tương tự, ta xét trường hợp Trong trường hợp tập hợp khoảng ( an , bn ) chia thành hai tập rời nhau, tập gồm khoảng nằm bên trái bên phải điểm c Khi ta có ∑ = In [ a , b] b c b a a c Từ kết hợp với (1.7) suy T= T *( f ) + T * ( f ) *( f ) ∑I [a , c] n + ∑I [c , b] n (1.8) (Ở ta giả sử a < c < b , trường hợp a = c c = b (1.8) hiển nhiên a theo cách định nghĩa T *( f ) T * ( f ) = ) c Vậy phiếm hàm T* hàm cộng tính đoạn thẳng Bây ta chứng minh với f ∈ T *([ a, b ]) , x∈ [ a, b ] , c ∈ [ a, b ] x → c x c a a lim T * ( f ) = T * ( f ) Để xác định ta giả sử x < c Khi ta xem c = b Đối với điểm b ta có ba khả xảy ra: (1.9) • b khơng thuộc tập hợp ST ( f ; [ a, b ]) • b điểm lập tập hợp • b điểm giới hạn tập hợp Trong hai trường hợp đầu lập luận hiển nhiên Thật vậy, b ∉ ST ( f ; [ a, b ]) hàm số f ( x ) b b p p T – khả tích đoạn thẳng [ p, b ] với p đủ gần b Đối với p ta có T *( f ) = T ( f ) b x p p Khi T * ( f ) = lim T ( f ) (1.10) f < x < b , x → b x x b x p p p p Vì T ( f ) = T * ( f ) nên thay cho (1.10) ta viết T * ( f ) = lim T * ( f ) b x b x để ý T * ( f ) − T * ( f ) = T * ( f ) = T * ( f ) a a p p Nếu b điểm lập tập hợp ST ( f ; [ a, b ]) với p đủ gần b, ta có b điểm T – kì dị đoạn [ p, b ] Theo định nghĩa T* ( f ) ta lại có (1.10) việc chứng minh tiếp tục trường hợp Cuối ta xét trường hợp b điểm giới hạn tập hợp ST ( f ; [ a, b ]) Trong trường hợp b khơng thể đầu mút phải khoảng ( an , bn ) phần bù ST ( f ; [ a, b ]) , mà số lượng khoảng vơ hạn Do với ε > ta chọn N cho ∑W n> N (1.11) Sự tồn N suy từ điều kiện 3) mà hàm số f ( x ) thỏa mãn Ta lại chọn δ > cho từ bất đẳng thức b − δ < x < b ta có ( L) ∫ ST ([ x , b ] ) f ( t ) dt < ε (1.12) Gọi β điểm bên phải số điểm b − δ , b1 , b2 , , bN giả sử x > β Nếu x ∈ ST ( [ x, b ]) theo định nghĩa T* ( f ) ta có n N nên ∑ n∈M In ≤ ∑W n∈M n < ε (1.14) Nếu x ∉ ST ( [ x, b ]) tồn m cho am ≤ x < bm Rõ ràng ta có m > N Do thay cho (10) ta có b bm x x T *( f ) = T *( f ) + bm ∑ I + ( L) ∫ n∈M n f ( t ) dt (1.15) ST ([ x , b ] ) bm y Mà = T * ( f ) lim T ( f ) ( x < y < bm , y → bm ) nên T * ( f ) ≤ Wm < ε x x x b x b Từ (1.12), (1.14), với x > β , ta có T * ( f ) − T * ( f ) = T * ( f ) < 3ε a a x Như trường hợp ta có (1.9), suy T* ( f ) tích phân tích phân tổng qt T ( f ) 1.7 Tập phạm trù thứ Định nghĩa 1.20 Giả sử A B hai tập hợp điểm A ⊂ B 1/ Nếu khoảng chứa điểm B chứa điểm thuộc B khơng nằm bao đóng A A ta nói A khơng đâu trù mật tập hợp B 2/ Nếu A biểu diễn thành hợp đếm tập hợp khơng đâu trù mật B ta nói A tập phạm trù thứ tập B Định lý 1.21 Mọi tập đóng khác rỗng F khơng phải tập phạm trù thứ Chứng minh Giả sử ngược lại, F biểu diễn dạng F = A1 + A2 + A3 + , tập Ak khơng đâu trù mật tập F Khi tồn điểm x1 ∈ F khơng điểm thuộc bao đóng A1 A1 Do tồn đoạn [ x1 − δ1 , x1 + δ1 ] khơng chứa điểm A1 , ta coi δ1 < Trong khoảng ( x1 − δ1 , x1 + δ1 ) tồn điểm x2 ∈ F khơng chứa A2 , tức lại tồn đoạn [ x2 − δ , x2 + δ ] khơng chứa điểm A2 Ta coi δ2 < [ x2 − δ , x2 + δ ] ⊂ [ x1 − δ1, x1 + δ1 ] Tiếp tục q trình ta xây dựng dãy điểm x1 , x2 , , xn , chứa F dãy đoạn thắt dần [ x1 − δ1 , x1 + δ1 ] ⊃ [ x2 − δ , x2 + δ ] ⊃ ⊃ [ xn − δ n , xn + δ n ] ⊃ cho đoạn [ xn − δ n , xn + δ n ] n khơng chứa điểm An δ n < Giả sử x0 điểm chung tất đoạn [ xn − δ n , xn + δ n ] Rõ ràng x0 = lim xn nên x0 ∈ F , mà x0 lại khơng thuộc tập An nào, vơ lý, định lý chứng minh Hệ Nếu tập đóng khác rỗng F hợp đếm tập đóng F = F1 + F2 + tồn khoảng ( λ , µ ) chứa điểm F n cho ( λ , µ ) ∩ F ⊂ Fn Thật vậy, giả sử tập đó, chẳng hạn Fn , tập khơng đâu trù mật tập F Thế số khoảng chứa điểm F tồn khoảng ( λ , µ ) cho tất điểm F chứa thuộc Fn Fn tập đóng nên trùng với bao đóng CHƯƠNG ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON 2.1 Định nghĩa tích phân Perron Định nghĩa 2.1 Giả sử F ( x ) hàm số hữu hạn xác định [ a, b ] x0 ∈ [ a, b ] Các số F ( x ) − F ( x0 ) F ( x ) − F ( x0 ) gọi đạo hàm đạo , D F ( x0 ) lim = D F ( x0 ) lim x→ x0 x→ x0 x − x0 x − x0 hàm hàm số F ( x ) x0 Dễ thấy số (chúng + ∞ , − ∞ ) số nhỏ nhất, số lớn số đạo hàm F ( x ) x0 Bổ đề 2.2 Cho hai hàm số hữu hạn u(x) v(x) xác định đoạn [ a, b ] Nếu với x0 ∈ [ a, b ] ta có D u ( x0 ) > − ∞ , D v ( x0 ) < + ∞ R= ( x ) u ( x ) − v ( x ) D R ( x0 ) ≥ D u ( x0 ) − D v ( x0 ) (2.1) Chứng minh Xét dãy {hk } cho hk ≠ 0, hk → lim R ( x0 + hk ) − R ( x0 ) = D R ( x0 ) hk Nếu cần chuyển từ dãy {hk } sang dãy nó, ta ln đạt giới hạn xác định u(x +h )− u(x hk ) k sau λ lim , µ lim = v ( x0 + hk ) − v ( x0 ) hk Theo (1) ta có λ > − ∞ , µ < + ∞ , hiệu λ − µ có nghĩa Khi D R ( x0 = ) λ − µ Ta nhận thấy λ ≥ D u ( x0 ) , µ ≤ D v ( x0 ) Hệ 2.3 Nếu u1 ( x ) u2 ( x ) hàm hữu hạn D u1 ( x ) > − ∞, D u2 ( x ) > − ∞ D u1 ( x ) + u2 ( x )  ≥ D u1 ( x ) + D u2 ( x ) Chứng minh Thật vậy, đặt u2 ( x ) = − v ( x ) để ý D u2 ( x ) = − D v ( x ) theo bổ đề 1, với D u1 ( x ) > − ∞ , D v ( x ) < + ∞ R= ( x ) u1 ( x ) − v ( x ) ta có D R ( x ) ≥ D u1 ( x ) − D v ( x ) Suy D u1 ( x ) + u2 ( x )  ≥ D u1 ( x ) + D u2 ( x ) điều phải chứng minh Định nghĩa 2.4 Giả sử f ( x ) hàm số (khơng bắt buộc phải hữu hạn) xác định [ a, b ] Hàm số F ( x ) liên tục [ a, b ] gọi hàm mẹ f ( x ) nếu: 1/ F ( a ) = 2/ D F ( x ) > − ∞ với x∈ [ a, b ] 3/ D F ( x ) ≥ f ( x ) với x∈ [ a, b ] Hàm số F ( x ) liên tục [ a, b ] gọi hàm f ( x ) nếu: 1/ F ( a ) = 2/ D F ( x ) < + ∞ với x∈ [ a, b ] 3/ D F ( x ) ≤ f ( x ) với x∈ [ a, b ] Khái niệm hàm mẹ, hàm tổng qt hóa khái niệm ngun hàm Ta có bổ đề hiển nhiên sau Bổ đề 2.5 Nếu hàm hữu hạn f ( x ) đạo hàm F ( x ) (trong F ( a ) = ) F ( x ) vừa hàm mẹ, vừa hàm f ( x ) Bổ đề 2.6 Nếu u(x) hàm mẹ, v(x) hàm hàm số f ( x ) hiệu R= ( x ) u ( x ) − v ( x ) khơng giảm Chứng minh Với x∈ [ a, b ] , ta có D R ( x ) ≥ D u ( x ) − D v ( x ) ≥ Áp dụng bổ đề 2.2 ta có điều phải chứng minh Hệ 2.7 Với điều kiện bổ đề 2.6 ta có u ( b ) ≥ v ( b ) Hệ 2.8 Với điều kiện bổ đề số F ( b ) số nhỏ số u(b), đồng thời số lớn số v(b), u(x) v(x) hàm mẹ hàm f(x): = F ( b ) = {u ( b )} max {v ( b )} Bây ta đưa định nghĩa sau Định nghĩa 2.9 Hàm số f ( x ) xác định [ a, b ] gọi khả tích theo nghĩa Perron (hay khả tích (P)) [ a, b ] 1/ f(x) có hàm mẹ u(x) có hàm v(x) 2/ infimum tập hợp {u ( b )} giá trị x = b tất hàm mẹ trùng với supremum tập hợp {v ( b )} giá trị điểm tất hàm con: inf {u ( b )} = sup {v ( b )} (2.2) Nếu f ( x ) khả tích (P) [ a, b ] giá trị chung đẳng thức (2.2) gọi tích phân Perron hàm số f ( x ) [ a, b ] kí hiệu b ( P ) ∫ f ( x ) dx a Hệ 2.8 phát biểu lại thành định lý sau Định lý 2.10 Nếu hàm số F ( x ) có đạo hàm hữu hạn f(x) khắp nơi [ a, b ] f ( x ) khả b tích (P) F ( b ) − F ( a ) = ( P ) ∫ f ( x ) dx a (Điều kiện hữu hạn f ( x ) khơng thể bỏ qua) Từ định lý suy tồn hàm số khả tích (P) khơng khả tích (L) Chẳng hạn, hàm số = f ( x ) x cos π x2 , < x ≤= 1, f ( ) Như tích phân Perron giải xong tốn tìm ngun hàm biết đạo hàm hữu hạn Tuy nhiên khơng thể khơng thấy định nghĩa tích phân Perron khơng đưa q trình xây dựng tích phân Q trình nêu lý thuyết tích phân Danjua nêu mục sau 2 Các tính chất tích phân Perron Định lý 2.11 Nếu hàm số khả tích (P) hữu hạn hầu khắp nơi Chứng minh [...]... (nếu ST = ∅ ) Giả sử ta có hai tích phân T1 và T2 Nếu mọi hàm số T1 - khả tích đều là hàm T2 - khả tích và giá trị của hai tích phân đó bằng nhau thì ta nói tích phân T2 tổng quát hơn T1 Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng: Từ một tích phân T nào đó (mà khi định nghĩa nó ta đã đưa ra họ đúng M gồm các lớp hàm T – khả tích T ([ a, b ]) ) đều có thể xây dựng được một tích phân T* khác tổng quát hơn Muốn... tích (P) nhưng không khả tích (L) Chẳng hạn, hàm số = f ( x ) x 2 cos π x2 , 0 < x ≤= 1, f ( 0 ) 0 Như vậy tích phân Perron đã giải quyết xong bài toán tìm nguyên hàm khi biết đạo hàm hữu hạn của nó Tuy nhiên không thể không thấy rằng định nghĩa tích phân của Perron không đưa ra được quá trình xây dựng tích phân đó như thế nào Quá trình này được nêu ra trong lý thuyết tích phân Danjua sẽ được nêu ở... của F sẽ tồn tại khoảng ( λ , µ ) sao cho tất cả các điểm của F chứa trong nó đều thuộc Fn vì Fn là tập đóng nên trùng với bao đóng của nó CHƯƠNG 2 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON 2.1 Định nghĩa tích phân Perron Định nghĩa 2.1 Giả sử F ( x ) là hàm số hữu hạn xác định trên [ a, b ] và x0 ∈ [ a, b ] Các số F ( x ) − F ( x0 ) F ( x ) − F ( x0 ) được gọi lần lượt là đạo hàm dưới và đạo... là tích phân Perron của hàm số f ( x ) trên [ a, b ] và được kí hiệu là b ( P ) ∫ f ( x ) dx a Hệ quả 2.8 có thể phát biểu lại thành định lý như sau Định lý 2.10 Nếu hàm số F ( x ) có đạo hàm hữu hạn f(x) khắp nơi trên [ a, b ] thì f ( x ) khả b tích (P) và F ( b ) − F ( a ) = ( P ) ∫ f ( x ) dx a (Điều kiện hữu hạn của f ( x ) không thể bỏ qua) Từ định lý này suy ra sự tồn tại của các hàm số khả tích. .. trên [ a, b ] được gọi là khả tích theo nghĩa Perron (hay khả tích (P)) trên [ a, b ] nếu 1/ f(x) có ít nhất một hàm mẹ u(x) và có ít nhất một hàm con v(x) 2/ infimum của tập hợp {u ( b )} các giá trị tại x = b của tất cả các hàm mẹ trùng với supremum của tập hợp {v ( b )} các giá trị cũng tại điểm đó của tất cả các hàm con: inf {u ( b )} = sup {v ( b )} (2.2) Nếu f ( x ) khả tích (P) trên [ a, b ] thì... bm ) nên T * ( f ) ≤ Wm < ε x x x b x b Từ đó và (1.12), (1.14), với x > β , ta có T * ( f ) − T * ( f ) = T * ( f ) < 3ε a a x Như vậy trong trường hợp này ta có (1.9), suy ra T* ( f ) là tích phân và là tích phân tổng quát hơn T ( f ) 1.7 Tập phạm trù thứ nhất Định nghĩa 1.20 Giả sử A và B là hai tập hợp điểm trong đó A ⊂ B 1/ Nếu mọi khoảng chứa ít nhất một điểm của B đều chứa các điểm thuộc... T* khác tổng quát hơn Muốn vậy trước hết ta xây dựng họ đúng gồm các lớp hàm khả tích ứng với tích phân mới Ta quy ước đưa hàm số f(x) xác định trên [ a, b ] vào lớp T* [ a, b ] khi và chỉ khi ba điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1) Tập hợp ST = ST ( f ;[ a, b ]) không trù mật khắp nơi trên [ a, b ] và hàm số f ( x ) khả tích theo nghĩa Lebesgue trên tập hợp này (Điều kiện này luôn thỏa mãn khi m ST... Perron không đưa ra được quá trình xây dựng tích phân đó như thế nào Quá trình này được nêu ra trong lý thuyết tích phân Danjua sẽ được nêu ở mục sau 2 2 Các tính chất cơ bản của tích phân Perron Định lý 2.11 Nếu một hàm số là khả tích (P) thì nó hữu hạn hầu khắp nơi Chứng minh ... dx n n (1.6) ST ( f ) Định nghĩa này hoàn toàn xác định vì I n ≤ Wn nên chuỗi ∑I n hội tụ tuyệt đối n Để ý rằng với mọi hàm số T – khả tích f ( x ) (trên đây ta đã chỉ ra rằng f ∈ T* ([ a, b ]) ) ta có b b a a T * ( f ) = T ( f ) vì trong vế phải của (1.6) thì tích phân Lebesgue bằng 0, còn chuỗi ∑I n b một số hạng T ( f ) a Một trường hợp đơn giản khác là khi chỉ có a và b là điểm T – kì dị trên... nhiên vì nếu f ( x ) xác định tại x0 thì f ( x ) sẽ chứa trong lớp T* ([ x0 , x0 ]) cho dù f ( x ) có T- khả tích tại x0 hay không) Xét tập hợp ST ( f ; [ a, c ]) Dễ thấy rằng tập hợp này là tập con của ST ( f ; [ a, b ]) , do đó nó cũng không trù mật khắp nơi trên [ a, c ] và hàm số f ( x ) khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [ a, c ] Do đó trên [ a, c ] hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện 1) Giả sử [