TÍCH PHÂN PERRON

Như vậy phép tính tích phân theo định nghĩa của Lebesgue không giải quyết được trọn vẹn bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số theo đạo hàm của nó.. Perron cũng đưa ra một định nghĩa tíc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Thị Mộng Thường

TÍCH PHÂN PERRON

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin trân trọng gởi đến TS Lê Thị Thiên Hương tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Cô đã động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình hướng dẫn để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Quý thầy - cô trong khoa Toán của trường Đại học sư phạm TP HCM đã tận tình giảng dạy để tôi có những kiến thức quý báu làm hành trang cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Quản lý khoa học sau đại học, trường Đại học sư phạm TP HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng tôi cũng xin gởi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi và lời tri ân đến tất cả bạn bè tôi - những người đã luôn ở bên tôi, động viên và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn

Như vậy phép tính tích phân theo định nghĩa của Lebesgue không giải quyết được trọn vẹn

bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số theo đạo hàm của nó

Vào năm 1912, nhà toán học Pháp A Danjua đã đưa ra quá trình tích phân hóa tổng quát

hơn Lebesgue và chứng tỏ rằng quá trình này giải quyết được trọn vẹn bài toán nêu trên

Mặt khác, năm 1914 nhà toán học Đức O Perron cũng đưa ra một định nghĩa tích phân

khác, dựa trên nguyên tắc khác với định nghĩa của Danjua và cũng giải quyết trọn vẹn bài toán

tìm nguyên hàm của một hàm số từ đạo hàm hữu hạn của nó

Các công trình tiếp theo của G Hace (1921), P.S.Alecxandrov (1924) và G Loman (1925)

đã chứng minh sự đồng nhất của tích phân Danjua và Perron Như vậy Perron đã đưa ra dạng

mới của định nghĩa tích phân Danjua, do đó ngày nay tích phân này được gọi là tích phân

Danjua - Perron

Vào năm 1916, A.Danjua và nhà toán học Nga A.I.Khintrin đã đưa ra định nghĩa tích phân

tổng quát hơn, hoàn toàn độc lập với nhau Định nghĩa này cho phép tìm nguyên hàm không chỉ

từ đạo hàm thông thường mà còn từ đạo hàm xấp xỉ (hay đạo hàm tiệm cận)

Số A được gọi là đạo hàm xấp xỉ của hàm số f x tại điểm ( ) x0 nếu tồn tại tập hợp E nhận

Tích phân tổng quát này thường được gọi là tích phân Danjua - Khintrin, hay tích phân

Danjua “ rộng”, để phân biệt tích phân Danjua - Perron được gọi là tích phân Danjua “hẹp”

Chúng ta sẽ nghiên cứu lý thuyết tích phân Danjua – Perron Còn tích phân Danjua – Khintrin ta chỉ đưa ra định nghĩa Bạn đọc quan tâm có thể xem tài liệu “Lý thuyết tích phân” của S.Sacs, 1949

Luận văn được chia thành 4 chương và phụ lục Nội dung chủ yếu của luận văn tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của tích phân Perron, xây dựng tích phân bất định Perron thông qua

lý thuyết tích phân Danjua, định lý G.Hace, định lý P X Alecxandrov- G Loman và so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue

Chương 1 trình bày kiến thức chuẩn bị gồm các khái niệm và các định lý sẽ được sử dụng

Chương 4 dành cho việc so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue

Trong luận văn còn có phần phụ lục trình bày khái niệm tích phân Danjua “rộng”, nhằm phân biệt với tích phân Danjua “hẹp”

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Cho khơng gian độ đo (X M, , µ)

a/ Giả sử E là tập hợp thuộc M và P là một tính chất mà mỗi x E ∈ hoặc thỏa mãn hoặc

khơng thỏa mãn Ta nĩi P xảy ra hầu khắp nơi trên E nếu tập hợp

{x E x∈ , không thỏa mãn P} được chứa trong tập thuộc M, cĩ độ đo khơng

b/ Ta nĩi hai hàm số , :f g X → R là tương đương (kí hiệu f : g) nếu f x( ) ( )= g x

hầu khắp nơi, nghĩa là tập hợp {x X f x∈ : ( ) ( )≠ g x } chứa trong tập cĩ độ đo khơng

Bổ đề 1.1 Cho A là một tập bất kỳ nằm trong khoảng ( ) a b , , J là một lớp khoảng sao cho mỗi điểm x A ∈ đều là mút trái của ít nhất một khoảng ∆ = (x x h, + x)∈ J

Khi ấy tồn tại một số hữu hạn khoảng rời nhau ∆ ∆1, 2, ,∆ ∈ phủ lên một tập con A’ s J

của A, với độ đo ngồi µ* '( )A > µ*( )A − , và ε ε là một số dương tùy ý cho trước

Bổ đề 1.2 Giả thiết thêm rằng với mọi số η > nhỏ tùy ý, tại mỗi điểm 0 x A∈ đều cĩ ít nhất một khoảng (x x h, + x)∈ với J hx< η Khi ấy, cho trước một tập mở bất kỳ G ⊃ A, ta

cĩ thể chọn những khoảng ∆ ∆1, 2, , ∆ trong bổ đề 1.1 sao cho chúng đều nằm trọn trong tập s

1.3 Đạo hàm của tích phân bất định

Bổ đề 1.5 Nếu F x ( ) không giảm (trên ,a b ) thì F x khả tích và '( )

'

b a

1.5.1 Tính σ - cộng tính và liên tục tuyệt đối của tích phân

Định lý 1.10 Nếu { }g n là một dãy hàm số đo được không âm trên một tập hợp A thì

Do đó chuỗi ở vế phải của (1.1) hội tụ tuyệt đối

Đảo lại nếu có (1.2) thì f khả tích trên A và có (1.1)

Định nghĩa 1.12 Giả sử (X M, , µ) là một không gian độ đo và λ : M → R là một hàm số

σ - cộng tính Ta nói hàm λ là liên tục tuyệt đối với độ đo µ nếu λ( )A = 0 với mỗi tập hợp A

Vậy λ là liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ

Dễ dàng chứng minh được rằng tập hợp X0 ={x X f x∈ : ( ) ≠ 0} có độ đo σ - hữu hạn, tức là

Định lý 1.14 Giả sử f là một hàm số khả tích trên một tập hợp A Khi đó với mỗi số dương

ε, tồn tại một số dương δ sao cho với mọi tập hợp đo được E A⊂ nếu µ( )E < δ thì

E

f dµ ε<

1.5.2 Tính bảo toàn thứ tự

Định lý 1.15 Nếu f g≤ trên A và các tích phân

(ii) f khả tích trên A khi và chỉ khi f khả tích trên A,

(iii) Nếu f ≤ g h.k.n trên A và g khả tích trên A thì f cũng khả tích trên A,

(iv) Nếu f, g khả tích trên A thì f ± g cũng khả tích trên A Hơn nữa nếu f khả tích còn g

bị chặn trên A thì f g. khả tích trên A

Trong mục này ta xét một số khái niệm chung sẽ được sử dụng ở các mục sau khi trình bày

lý thuyết tích phân Danjua

Ta đã biết một loạt tích phân: R (Riemann), L (Lebesgue), P (Perron) Các tích phân này có một số tính chất chung, ta sẽ đưa những tính chất đó vào một sơ đồ chung

Giả sử mỗi đoạn thẳnga b, , trong đó a≤b, sẽ tương ứng với một lớp T( [a b, ] ) không rỗng gồm các hàm số nào đó xác định trên đoạna b, 

Họ các lớp như vậy được gọi là họ đúng nếu với mỗi c∈[ ]a b, đều có

[ ]

( , )= ( [ ], )∩ ( [ ], )

T a b T a c T c b (Điều kiện này được hiểu như sau:

Hàm số f x( ) xác định trên [ ]a b, sẽ chứa trong lớp T( [ ]a b, ) khi và chỉ khi cả hai hàm số thu được từ f x( ) khi xét trên từng đoạn [ ] [ ]a c, , c b, , đều chứa trong các lớp T( [ ]a c, ),T( [ ]c b, )tương ứng )

Giả sử M ={T( [ ]a b, ) } là một họ đúng các lớp và trên mỗi lớp T( [ ]a b, ) có một phiếm hàm

( )

b

a

T f cho tương ứng mỗi hàm số f ∈T( [ ]a b, ) với một số xác định Phiếm hàm này sẽ được gọi

là tích phân nếu với mọi f ∈T( [ ]a b, ) và mọi c∈[ ]a b, đều có b( )= c( )+ b( )

T f T f T f (1.4)

Tất cả các hàm số chứa trong lớp T( [ ]a b, ) đều được gọi là hàm T – khả tích trên [ ]a b, Từ

điều kiện của họ đúng các lớp T( [ ]a b, ) suy ra rằng mọi hàm số T – khả tích trên [ ]a b, đều T –

khả tích trên mỗi đoạn [ ]p q, chứa trong a b,  và đặc biệt, đều T-khả tích tại mỗi điểm c∈[ ]a b,

Bây giờ ta xét một số tính chất của tích phân vừa được định nghĩa

Giả sử hàm số f x( ) xác định trên a b,  và c∈[ ]a b, Nếu với mọi δ > 0 hàm số f x( )

không T – khả tích trên đoạn [c−δ,c+δ] [ ]∩ a b, thì điểm c được gọi là điểm T – bất thường đối

với hàm số f x( ) Tập hợp tất cả các điểm T – bất thường của f x( ) được kí hiệu là S T(f;[ ]a b, ),

hoặc S T( [ ]a b, ), hoặc S T ( )f , hoặc chỉ đơn giản là S T

Hiển nhiên là nếu f là T – khả tích trên a b,  thì S T( [ ]a b, )= 0

Bổ đề sau đây chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng

Bổ đề 1.18 Nếu f x( ) xác định trên a b,  và không thuộc T( [ ]a b, ) thì

[ ]a b, ⊃ [a b1 , 1] [⊃ a b2 , 2]⊃ sao cho f x( ) không T – khả tích trên từng đoạn

Giả sử c là điểm chung của tất cả các đoạn [a b n, n] Nếu δ > 0 thì với n đủ lớn ta sẽ có

Do δ tùy ý nên c∈S T, đây là điều phải chứng minh

Dưới đây ta xét trường hợp S T không lấp đầy đoạn[ ]a b, Khi đó phần bù [ ]a b, \ S T sẽ gồm hữu hạn hoặc đếm được các khoảng không giao nhau đôi một

Giả sử ta có hai tích phân T v1 à T 2 Nếu mọi hàm số T - 1 khả tích đều là hàm T - 2 khả tích

và giá trị của hai tích phân đó bằng nhau thì ta nói tích phân T 2 tổng quát hơn T 1

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng: Từ một tích phân T nào đó (mà khi định nghĩa nó ta đã đưa

ra họ đúng M gồm các lớp hàm T – khả tích T( [ ]a b, ) ) đều có thể xây dựng được một tích phân

*

T khác tổng quát hơn

Muốn vậy trước hết ta xây dựng họ đúng gồm các lớp hàm khả tích ứng với tích phân mới

Ta quy ước đưa hàm số f(x) xác định trên [ ]a b, vào lớp T a b*[ ], khi và chỉ khi ba điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1) Tập hợp S T= S T(f;[ ]a b, ) không trù mật khắp nơi trên [ ]a b, và hàm số f x( ) khả tích theo nghĩa Lebesgue trên tập hợp này

(Điều kiện này luôn thỏa mãn khi m S T = 0 và càng thỏa mãn khi S T = ∅ )

2) Nếu { [a b n, n] } là dãy các khoảng là phần bù của S T thì với mỗi n đều tồn tại giới hạn hữu

Xét tập hợp S T(f;[ ]a c, ) Dễ thấy rằng tập hợp này là tập con của S T(f;[ ]a b, ), do đó nó cũng không trù mật khắp nơi trên [ ]a c, và hàm số f x( ) khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [ ]a c,

Do đó trên [ ]a c, hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện 1) Giả sử [ ], \ T( ,[ ], )= ∪( n, n)

∑ hội tụ tuyệt đối

Để ý rằng với mọi hàm số T – khả tích f x( ) (trên đây ta đã chỉ ra rằng f ∈T*( [ ]a b, ) ) ta có

T f T f L f x dx

( ) ( )[ ]

trong đó cả hai tích phân ở vế phải đều tồn tại và hữu hạn

Tiếp theo ta giả sử

• c không thuộc cả hai tập hợp đó

• c thuộc một trong hai tập hợp và không thuộc tập còn lại

Trong cả ba trường hợp cách lập luận đều tương tự, do đó ta chỉ xét trường hợp đầu tiên Trong trường hợp đó tập hợp các khoảng (a b n, n) được chia thành hai tập con rời nhau, mỗi tập gồm các khoảng nằm bên trái và bên phải điểm c Khi đó ta có

c

Vậy phiếm hàm T* là hàm cộng tính của đoạn thẳng

Bây giờ ta chứng minh rằng với f∈T*( [ ]a b, ), x∈[ ]a b c, , ∈[ ]a b v, à x → c thì

Để xác định ta giả sử x<c Khi đó ta có thể xem c=b

Đối với điểm b ta có ba khả năng có thể xảy ra:

• b không thuộc tập hợp S T(f;[ ]a b, )

• b là điểm cô lập của tập hợp này

• b là điểm giới hạn của tập hợp đó

Trong hai trường hợp đầu lập luận hầu như hiển nhiên Thật vậy, nếu b∉S T(f;[ ]a b, ) thì

hàm số f x( ) là T – khả tích trên đoạn thẳng [ ]p b, với p đủ gần b Đối với p đó ta có

Nếu b là điểm cô lập của tập hợp S T(f;[ ]a b, ) thì với p đủ gần b, ta có b là điểm T – kì dị

duy nhất của đoạn [ ]p b, Theo định nghĩa T*( )f ta lại có (1.10) và việc chứng minh được tiếp

tục như trường hợp trên

Cuối cùng ta xét trường hợp b là điểm giới hạn của tập hợp S T(f;[ ]a b, ) Trong trường hợp

này b không thể là đầu mút phải của mọi khoảng (a b n, n) là phần bù của S T(f;[ ]a b, ), mà số

lượng các khoảng này là vô hạn Do đó với ε > 0 ta chọn N sao cho ε

Sự tồn tại N như vậy được suy ra từ điều kiện 3) mà hàm số f x( ) thỏa mãn

Ta lại chọn δ > 0 sao cho từ bất đẳng thức b − δ < x < b ta có

( ) ( )[ ]

( , )

T

S x b

L ∫ f t dt < ε (1.12) Gọi β là điểm bên phải trong số các điểm b− δ ,b b1 , 2 , ,b N và giả sử x> β

Nếu x∈ S T( [ ]x b, ) thì theo định nghĩa T*( )f ta có

( ) ( ) ( )

[ ] ( , )

*

n x

∈

= ∑ + ∫ (1.13) trong đó M là tập hợp các số n sao cho (a n ,b n) ⊂ [x b, ] Rõ ràng là với mọi n như vậy sẽ có

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( , )

Định nghĩa 1.20 Giả sử A và B là hai tập hợp điểm trong đó A⊂ B

1/ Nếu mọi khoảng chứa ít nhất một điểm của B đều chứa các điểm thuộc B nhưng không nằm trong bao đóng A của A thì ta nói A không đâu trù mật trong tập hợp B

2/ Nếu A biểu diễn được thành hợp đếm được của các tập hợp không đâu trù mật trong B thì ta nói A là tập phạm trù thứ nhất trên tập B

Định lý 1.21 Mọi tập đóng khác rỗng F không phải là tập phạm trù thứ nhất trên chính nó

Chứng minh

Giả sử ngược lại, F có thể biểu diễn được ở dạng F= A1 + A2 + A3 + , trong đó mỗi tập A k

không đâu trù mật trên tập F Khi đó tồn tại điểm x1 ∈ F không là điểm thuộc bao đóng A1 của

1

A Do đó tồn tại đoạn [x1 −δ1 ,x1 +δ1] không chứa bất kỳ điểm nào của A1, ta có thể coi δ 1 < 1

Trong khoảng (x1 −δ1 ,x1 +δ1) tồn tại điểm x2 ∈ F không chứa trong A2, tức là lại tồn tại đoạn [x2 −δ2 ,x2 +δ2] không chứa bất kỳ điểm nào của A2 Ta coi 2 1

Rõ ràng x0= limx n nên x0∈F, mà x0 lại không thuộc bất kỳ tập A n nào, vô lý, định lý được chứng minh

Hệ quả Nếu tập đóng khác rỗng F là hợp đếm được của các tập đóng F=F1 + F2 + thì tồn tại khoảng (λ µ, ) chứa các điểm của F và n sao cho (λ µ, )∩ ⊂F F n

Thật vậy, giả sử một trong các tập đó, chẳng hạn F n, là tập không đâu trù mật trên tập F Thế thì trong số các khoảng chứa các điểm của F sẽ tồn tại khoảng (λ µ, ) sao cho tất cả các điểm của F chứa trong nó đều thuộc F n vì F n là tập đóng nên trùng với bao đóng của nó

CHƯƠNG 2 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH

PHÂN PERRON

Định nghĩa 2.1 Giả sử F x( ) là hàm số hữu hạn xác định trên [ ]a b, và x0 ∈[ ]a b, Các số

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

Suy ra D u x 1( )+u2( )x  ≥D u x1( )+ D u2( )x điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.4 Giả sử f x( ) là hàm số (không bắt buộc phải hữu hạn) xác định trên[ ]a b, Hàm số F x( ) liên tục trên [ ]a b, được gọi là hàm mẹ đối với f x( ) nếu:

Bổ đề 2.5 Nếu hàm hữu hạn f x( ) là đạo hàm của F x( ) (trong đó F a( )= 0 ) thì F x( ) vừa

là hàm mẹ, vừa là hàm con đối với f x( )

Bổ đề 2.6 Nếu u(x) là hàm mẹ, v(x) là hàm con đối với cùng một hàm số f x( ) thì hiệu

( ) ( ) ( )= −

R x u x v x không giảm

Chứng minh

Với mọi x∈[ ]a b, , ta có D R x( )≥ D u x( )− D v x( )≥ 0

Áp dụng bổ đề 2.2 ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 2.7 Với các điều kiện của bổ đề 2.6 ta có u b( ) ( )≥v b

Hệ quả 2.8 Với điều kiện của bổ đề 2 số F b( ) là số nhỏ nhất trong các số u(b), đồng thời

là số lớn nhất trong các số v(b), trong đó u(x) và v(x) là các hàm mẹ và các hàm con bất kì đối với f(x):

( )= min{ } ( ) = max{ } ( )

F b u b v b

Bây giờ ta có thể đưa ra định nghĩa sau

Định nghĩa 2.9 Hàm số f x( ) xác định trên [ ]a b, được gọi là khả tích theo nghĩa Perron (hay khả tích (P)) trên [ ]a b, nếu

1/ f(x) có ít nhất một hàm mẹ u(x) và có ít nhất một hàm con v(x)

2/ infimum của tập hợp { }u b( ) các giá trị tại x = b của tất cả các hàm mẹ trùng với

supremum của tập hợp { }v b( ) các giá trị cũng tại điểm đó của tất cả các hàm con:

Hệ quả 2.8 có thể phát biểu lại thành định lý như sau

Định lý 2.10 Nếu hàm số F x( ) có đạo hàm hữu hạn f(x) khắp nơi trên [ ]a b, thì f x( ) khả

tích (P) và ( )− ( ) ( )= ∫b ( )

a

(Điều kiện hữu hạn của f x( ) không thể bỏ qua)

Từ định lý này suy ra sự tồn tại của các hàm số khả tích (P) nhưng không khả tích (L) Chẳng hạn, hàm số ( ) 2 ( )

2 cos π , 0 1, 0 0

Định lý 2.11 Nếu một hàm số là khả tích (P) thì nó hữu hạn hầu khắp nơi

Chứng minh

Giả sử u(x), v(x) lần lượt là các hàm mẹ, hàm con của hàm số f x( ) và f x( ) là hàm khả tích (P) trên[ ]a b, Đặt R x( ) ( ) ( )=u x −v x theo bổ đề 1 của §1 khắp nơi trên [ ]a b, sẽ có

Nếu tại điểm x0 mà f x( )0 = − ∞ thì ta cũng có D R x( )0 = + ∞

Do đó tập hợp các điểm mà tại đó f x( ) bằng ∞ là tập con của tập hợp các điểm mà tại đó

Đẳng thức (2.3) có nghĩa là tích phân Perron có tính chất cộng tính trên đoạn lấy tích phân

Định lý 2.13 Nếu a< <c b và f x( ) khả tích (P) trên mỗi đoạn [ ]a c, , [ ]c b, thì nó khả tích (P) trên đoạn[ ]a b,

u b v b và ε tùy ý nên định lý được chứng minh

Định lý 2.14 Nếu f x( ) khả tích (P) trên [ ]a b, và k là hằng số hữu hạn thì hàm số kf x( )cũng khả tích (P) trên [ ]a b, và

( ) ( ) ( ) ( )

P ∫k f x dx = k P ∫ f x dx (2.6)

Chứng minh

Với k = 0 định lý là hiển nhiên vì hàm số ϕ( )x ≡ 0 là đạo hàm hữu hạn của hàm số F x( )=c

Theo định lý ở trên suy ra ϕ( )x khả tích (P) và ( ) ∫b0 = 0

( ) ( )≤ ∫b ( ) ≤ ( )

a

k v b P k f x dx k u b Giả sử k < 0 Khi đó các hàm số kv(x), ku(x) sẽ lần lượt là hàm mẹ, hàm con của k f x( ) Việc chứng minh tiếp theo được tiến hành tương tự trường hợp trên

Định lý 2.15 Giả sử các hàm số f x1( ), f2( )x khả tích (P) trên [ ]a b, và hàm tổng của chúng xác định trên[ ]a b, Khi đó f x1( )+ f2( )x khả tích (P) trên [ ]a b, và

Chứng minh

Gọi E là tập hợp các điểm mà tại đó f x( )≠ g x( )

Ta xét định lý sau: Nếu E là tập bất kỳ có độ đo 0 trên [ ]a b, thì tồn tại hàm số σ( )x liên tục, tăng sao cho tại mọi x E∈ ta có σ'( )x = + ∞

Thật vậy, với mỗi số tự nhiên n xét tập hợp G n mở, bị chặn sao cho

1 ,

x x cũng không âm, tăng và liên tục

Nếu x0 ∈ E thì với mọi h đủ nhỏ toàn bộ đoạn [x x0 ; 0 +h] sẽ chứa hoàn toàn trong tập G n

(với n cố định) Với h như vậy (để đơn giản ta sẽ coi h > 0) ta có

( ) ( ) ( )

u x u x x v*( ) ( )x =v x −ε σ( )x

Dễ thấy đây là các hàm mẹ, hàm con tương ứng đối với g(x)

Thật vậy, vì σ( )x tăng nên D u*( )x ≥ D u x( ) Do đó D u*( )x > −∞ khắp nơi trên[ ]a b, Suy

Vậy u*(x) là hàm mẹ đối với g x( )

Lập luận tương tự ta có v*(x) là hàm con của g x( )

Định lý 2.16 cho phép bỏ điều kiện hàm tổng f x1( )+ f2( )x xác định khắp nơi trên [ ]a b,

trong phát biểu của định lý 2.15

Thật vậy, vì f x1( ), f2( )x khả tích (P) trên [ ]a b, nên theo định lý 1 chúng hữu hạn hầu khắp nơi trên[ ]a b, Khi đó hàm tổng f x1( )+ f2( )x xác định hầu khắp nơi trên[ ]a b, Trên tập có độ đo 0 còn lại ta có thể xác định hàm tổng một cách tùy ý

CHƯƠNG 3 XÂY DỰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH PERRON

( )− ( ) ( ) ( ), −

u x F x F x v x (3.2)

là các hàm tăng

Chứng minh

Giả sử a≤ x1 < x2 ≤b Hàm số u x( )−u x( )1 là hàm mẹ đối với f x( ) trên đoạn [x x1 , 2] Suy ra

Đối với hiệu F x( ) ( )−v x chứng minh hoàn toàn tương tự

Định lý 3.3 Mọi hàm số khả tích (P) đều là đạo hàm của tích phân bất định Perron của nó

hầu khắp nơi

Chứng minh

Giữ nguyên kí hiệu (1) ta tìm được hàm mẹ u(x) sao cho u b( ) ( )−F b <ε2, trong đó ε > 0 là

số cho trước Giả sử R x( ) ( )=u x − F x( ), đây là hàm số tăng và liên tục Như đã biết R x( )có đạo

hàm R x'( ) hữu hạn hầu khắp nơi và ( ) ∫b '( ) ≤ ( )− ( )<ε2

a

Kí hiệu A( )ε là tập hợp các điểm mà tại đó D F x( )< f x( )−ε

Tại mỗi điểm đó ta có D F x( )<D u x( )−ε

( ) ( ) ( )

( ) ' ( ) '( ) 2 ε

( )≤ ( )

D F x f x (3.4) Khi đó tại những điểm x thỏa mãn cả hai bất đẳng thức (3.3) và (3.4) sẽ tồn tại đạo hàm hữu hạn F x'( ) bằng f x( )

Hệ quả 3.3.1 Mọi hàm số (P) - khả tích đều đo được

Thật vậy, giữ nguyên các kí hiệu trên đây và đặt F x( )= F b( ) với x>b

Ta thấy rằng f x( ) lại hầu khắp x thuộc [ ]a b, , f x( ) biểu diễn được dưới dạng giới hạn của dãy hàm liên tục ( ) 1 ( )

Thật vậy, sử dụng lại các kí hiệu trên đây, ta có u x( )= u x( )−F x( )+F x( ), mà cả hai hàm

số u x( ) − F x( ) và F x( ) đều khả vi hầu khắp nơi

Lập luận tương tự cho hàm v(x), ta có v x( )= F x( )− F x( ) ( )−v x , mà cả hai hàm số

( )− ( )

F x v x và F x( ) đều khả vi hầu khắp nơi