Trờng Đại học s Phạm Hà Nội Tạp chí Khoa học số năm 2004 Tích phân phiếm hàm trong lý thuyết lợng tử về các plasmon Nguyễn Văn Hợp Khoa Vật lý, Trờng ĐSPHN Hà Nội I. Mở đầu Khí điện tử trong vật rắn đã đợc nghiên cứu từ lâu bằng các phơng pháp nh : lý thuyết cổ điển, lý thuyết lợng tử hóa lần 2 và lý thuyết hàm Green. Các kết quả thu đợc từ nó đã đợc ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực vật lý chất rắn. Tuy nhiên các lý thuyết này không cho ta cách thức giải quyết vấn đề thống nhất và thiết lập đợc tác dụng hiệu dụng của plasmon với phôtôn và các chuẩn hạt khác trong vật lý chất rắn. Trong khuân khổ của bài báo này chúng tôi trình bày một phơng pháp mới nghiên cứu về khí điện tử đó là : Phơng pháp tích phân phiếm hàm trong lý thuyết lợng tử về các plasmon. Nội dung gồm có: tích phân phiếm hàm trong lý thuyết lợng tử về khí điện tử và tác dụng hiệu dụng của plasmon với trờng điện từ . II. Tích phân phiếm hàm trong lý thuyết lợng tử về điện tử Chúng ta nghiên cứu vấn đề trong hình thức luận thời gian ảo Matsubara, hamiltonien tổng có dạng: )()()( int HHH o + = , (1) rdr m rH o rrr ),( 2 ),()( 2 = , (2) ( ) ),(),(),(),()( 22211121int rrrrVrrrdrdH r r r r r r r r = . (3) Đối với hệ fermion với hamiltonien tơng tác dạng (3) hàm phân bố có dạng [][] += 0 int 0 )(exp),()(),(exp dHpapE d d padaDDaZ p r rrr (4) chúng ta đa vào tích phân phiếm hàm phụ thuộc vào hàm trờng vô hớng ),( r r [] = ),()(),(exp 221121 0 rrrVrrdrddDI rrrrrr (5) và đổi biến tích phân: ),(),(),(),( 1111 rrrr r r r r + (6) ),(),(),(),( 2222 rrrr r r r r + áp dụng phép biến đổi Hubbard - Stratonovich ta có: 40 = () [] () () [ () ] } ),(),(),( ),(),(),(),(),(exp 1 ),(),(),(),(exp 22111 22211 0 21221121 0 2221112 0 1 rrrVrr rrrrVrrdrddrrrVrrdrddD I rrrrVrrrdrdd rrrrr rrrrrrrrrrrrr rrrrr v rr + + = (7 ) thế (7) vào vế trái của (4) và khai triển các hàm : () () { } ( ) kVrrki V rrV k r rr r rr r = 2121 exp 1 () {}( ,exp 1 , qcrqi V r q rrrr r = ) (8) () {}( ,exp 1 , parpi V r p rrrr r = ) () {}() ,exp 1 , parpi V r p rrrr r = ta có [][][] ()()() () ( ) + = pk papE d d padkckVkcdaDDaDc I Z r rrr rrr ,),(,,exp 1 00 ()() ()( kp pakpakVkcd r r rr rr , 0 ,,,2exp ) (9) khai triển hàm mũ ()() ()( kp pakpakVkcd r r rr rr , 0 ,,,2exp ) , chỉ giữ lại số hạng bậc hai và tính tích phân phiếm hàm trên các biến fecmion ),( pa r và ),( pa r ta đợc [] ( )()( ) ()( ) ( )( ) 21 0 2 0 1 , 0 ,,,,exp kckcddkVkVkckVkcdDc I Z Z kq k o rrrrrrr r r = () ( ) } 1221 1221 ,, kqSqS r rr (10) trong đó () ,pS r là nghiệm của phơng trình vi phân () ( ) )(, = + pSpE d d rr () () n n i pSepS n , 1 , rr = (11) () () pEi pS n n r r + = , ; () 12 += n n mặt khác : [] eff S o eDc I Z Z = do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) nn nk neff kckVkkVkVkcS ,,, , r r r r r r r += (13) ở đây ( ) ( ) () 1221 ,, 2 , mnmn qSkqSk r r r r ++= (14) 41 Thay (11) vào (14) sau một số phép biến đổi ta thu đợc kết quả () () () [] dq M qk M qk qqn M k nn n + = 44 24 22 2 0 2 22 12 2 2 , r r (15) trong đó () qn r là hàm phân bố của khí điện tử trong vật rắn. Xét trờng hợp khi ( không độ tuyệt đối ) khi đó tất cả các mức trên mức fecmi đều bỏ trống và các mức dới mức fecmi đều lấp đầy 0T () > = F F kkhiq kkhiq qn 1 0 r (16) với k F là bán kính mặt cầu fecmi. Trong không gian xung lợng khi đó (15) trở thành () 43 242 5 3 , n F o n n M kk n M k k += r (17) với 2 2 3 F o k n = là mật độ trạng thái ở không độ tuyệt đối. Thế (17) vào (14) và đặt () () n n n kc k kb ,, rr = ; () () n n n kc k kb = ,, rr và chú ý () ( ) 2 k kVkV == r r ; n oF M nk m 2 2 * 5 3 2 1 = ; M n o pl = (18) () () nnpl nk neff kb M k kbS , 2 , * 2 22 , rr r ++= (19) với M n o pl = gọi là tần số plasma. Từ (19) ta thấy tác dụng hiệu dụng này mô tả trạng thái của một chuẩn hạt tự do, trờng hợp thì năng lợng của mỗi chuẩn hạt bằng tần số plasma, trong trờng hợp mà k 22 pl k << 2 so sánh đợc với thì năng lợng của mỗi chuẩn hạt phụ thuộc vào vectơ sóng k của nó. Nh vậy thay cho nghiên cứu phổ năng lợng kích thích của khí điện tử trong vật rắn ta nghiên cú phổ năng lợng của một hệ các chuẩn hạt mà năng lợng của mỗi chuẩn hạt bằng tần số plasma. Theo lý thuyết lợng tử thì hệ chuẩn hạt này chính là hệ các plasmon. Nh vậy bằng phơng pháp tích phân phiếm hàm ta tìm đợc dễ dàng các kết quả phù hợp các lý thuyết trớc. 2 pl Trong trờng hợp : 0T () () () ( nnpl nk neff kb M k kbS à à , ,2 ,, * 2 22 , rr r ++= ) (20) Từ (20) ta suy ra năng lợng của mỗi plasmon không những phụ thuộc vào véc tơ sóng k r của nó mà còn phụ thuộc vào thế hoá học và nhiệt độ của khí điện tử. III. Tác dụng hiệu dụng của plasmon với trờng điện từ Hàm Hamiltonien mô tả tơng tác giữa trờng điện từ với hệ plasmon có dạng : int HHH e += (21) trong đó: (22) )( int V o e HHH += () () pa M p paH p o r r r r 2 2 + = (23) 42 () ( ) ( ) ( ) ( )( ) 22211121int rrrrVrrrdrdH V r r r r r r r r ++ = (24) () ( ) () () ( ) ( ) () pa M kAkAe kkpapa M pkA kpaH kkpkp r r r r r rr rr r r r r r rr r r r 2 ' ' 2 2 ',,, int +++ += ++ (25) và cũng đa vào hàm phân bố có dạng : [][] () () ( ) () () () + = 0 intint 0 exp exp,,exp dHdHpapEpadaDDaZ o V p r rrr áp dụng các phép biến đổi của tích phân phiếm hàm nh trong mục hai và chỉ xét trờng hợp kp r r >> ta thu đợc kết quả nh sau: (26 ) ()( ) () () () [] [][] () [] () () [] () [] () ' 2 2 2 2 2 ' 2 ' 2 2 ' ' 2 2 ' ', ', int ,' ' '121 ' 12 ' 4 ,', mm mm mmmm mmm kk mm meff kkC MpnMpn pdpnpnppn Mpnpn pdpn kkV iMe kAkAS + ++ + +++ ++ = rr rrrr rrrrrrr rrrr r r rrr r r r rr (27) Nh vậy bằng phơng pháp sử dụng kỹ thuật tích phân phiếm hàm ta có thể xây dựng đợc biểu thức tác dụng hiệu dụng của hệ plasmon với trờng điện từ không phụ thuộc vào thời gian r . () rA r Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Văn Hiệu, Những giáo trình chuyên đề vật lý - Tập II Cơ sở lý thuyết lợng tử các chất rắn -Phần thứ nhất cấu trúc các chất rắn có dạng tinh thể, Trung tâm khoa học tự nhiên và công nghệ quốc gia - Viện khoa học vật liệu - Viện vật lý Hà Nội (1997). 2. B.Satita, Quantum theory of many - variable systems and fields, World Scientific (1985) . 3. Chales Kittel, Quantum theory of solids, John Willy and Sons ( 1963). 4. Lewis Ryder, Quantum field theory, Syndicate of the Unversity of Cambidge (1985). 5. Nguyen Van Hieu, Functionl Integral Technicques in Condensed Matter systems, New York (1994) Tóm tắt Một phơng pháp mới cho việc nghiên cứu về lý thuyết lợng tử plasmon là hàm phân bố đợc diễn tả theo tích phân phiếm hàm của trờng vô hớng mà có thể đợc xem nh toán tử sinh hạt và huỷ hạt trong lý thuyết lợng tử. Phơng pháp này cho phép chúng ta thiết lập đợc hamiltonien tơng tác hiệu dụng của plasmon với phôtôn. Summary functional integral techniques in quantum theory about plasmon nguyen van hop The electron gas has been studied long ago by some method: classical theory, second quantization theory and the Green function theory. The results received from these theories could be applied for electrons and holes in solids, if the energy band is 43 symmetrically spherical. But the methods do not give us the construction of the interaction Hamiltonian of photons with bosonic quasiparticles - plasmon and other quasiparticles in solids. In this report we examine a new method for electron gas : functional integral technique in quantum theory of plasmon. We have found all results, which agree with old theories and gave us the construction of the interaction Hamiltonian between plasmons and photons . 44