Phép vị tự trong e2, e3

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ***** PHM TH PHNG PHẫP V T TRONG E2, E3 KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc H NI 2013 TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ***** PHM TH PHNG PHẫP V T TRONG E2, E3 KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc Ngi hng dn khoa hc GVC PHAN HNG TRNG H NI - 2013 LI NểI U Khóa luận trình bày số kiến thức kĩ thuật, cách tiếp cận, ứng dụng phép vị tự để giải số lớp toán có liên quan tới hình đồng dạng: toán tính toán, toán chứng minh, toán dựng hình, toán quỹ tích Bên cạnh đó, khóa luận cố gắng mở rộng toán, qua nêu lên số suy nghĩ, đề xuất giảng dạy Em xin bày tỏ lòng biết ơn công lao dạy dỗ thầy, cô đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Phan Hồng Trường giúp em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Phạm Thị Phượng LI CAM OAN Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn, giúp đỡ thầy giáo Phan Hồng Trường Bản khóa luận không trùng với kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Phạm Thị Phượng A.PHN M U L DO CHN TI Trong chng trỡnh toỏn trng ph thụng, hc sinh ó c lm quen vi cỏc phộp bin hỡnh õy va l mt cụng c mi gii toỏn ng thi bi dng th gii quan vt bin chng cho hc sinh Trong nhiu trng hp, phộp bin hỡnh ó th hin rừ hiu qu ca nú vic gii toỏn Tuy nhiờn vic s dng phộp bin hỡnh vo gii toỏn khụng h n gin vi c giỏo viờn v hc sinh Trong khuụn kh ca mt khúa lun tt nghip tụi chn nghiờn cu v phộp v t v ng dng ca nú nhm trỡnh by mt s kin thc v k thut, cỏch tip cn, ng dng phộp v t gii mt s lp bi toỏn cú liờn quan ti cỏc hỡnh ng dng MC CH NGHIấN CU Nghiờn cu phộp v t v ng dng ca nú cỏc lp bi hỡnh hc I TNG NGHIấN CU Phộp v t E2, E3 NHIM V NGHIấN CU - Trỡnh by c s lớ thuyt v phộp v t - Cỏc vớ d minh th hin ng dng ca phộp v t lp bi hỡnh hc: Bi toỏn tớnh toỏn Bi toỏn chng minh Bi toỏn dng hỡnh Bi toỏn qu tớch PHNG PHP NGHIấN CU Nghiờn cu sỏch giỏo khoa, sỏch tham kho, toỏn hc v cỏc ti liu cú liờn quan n ni dung nghiờn cu B NI DUNG CHNG CC KIN THC CHUN B Đại cương phép biến hình 1.1 Định nghĩa Giả sử cho tập hợp T Một song ánh f: T T từ T vào đươc gọi phép biến hình tập T 1.2 Phép biến hình đảo ngược Cho phép biến hình f: T T Khi ánh xạ ngược f-1 phép biến hình, gọi phép biến hình đảo ngược phép biến hình f 1.3 Tích hai phép biến hình Giả sử f g hai phép biến hình tập T cho, dễ thấy ánh xạ tích f g song ánh từ T vào T nên tích phép biến hình T Ta gọi phép biến hình phép biến hình f g Kí hiệu: gf 1.4 Phép đồng dạng 1.4.1 Định nghĩa Phép biến hình không gian En (n=2,3) biến điểm M thành điểm M cho với cặp điểm M, N cặp ảnh tương ứng M, N MN= kMN ( k số dương cho trước) gọi phép biến hình đồng dạng tỉ số k Kí hiệu: Zk 1.4.2 Tính chất a) Phép đồng dạng phép afin b) Phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn E2, biến mặt cầu thành mặt cầu E3 c) Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc phẳng 1.4.3 Điều kiện xác định phép đồng dạng a) Trong E2, phép đồng dạng xác định hoàn toàn tam giác đồng dạng b) Trong E3, phép đồng dạng xác định hoàn toàn tứ diện có cạnh tương ứng tỉ lệ Phép vị tự 2.1 Định nghĩa Trong En (n=2,3) cho điểm O số thực k khác Phép biến hình không gian biến điểm M thành điểm M cho OM' kOM gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k Kí hiệu: V(O,k) V Ok 2.2 Tính chất a Phép vị tự V(O, k)là phép đồng dạng tỉ số k mà đường thẳng nối điểm với ảnh qua O b Với k 1, phép vị tự V(O,k) có điểm bất động O c Phép vị tự bảo tồn phương đường thẳng d Trong E2, phép vị tự thuận phép đồng dạng thuận Trong E3, phép vị tự phép đồng dạng thuận hay nghịch tùy theo tỉ số vị tự âm hay dương 2.3 Tích hai phép vị tự 2.3.1 Tích hai phép vị tự tâm Cho hai phép vị tự tâm: V1 = V(O, k1), V2 = V(O, k2) Tích V1 V2 phép vị tự: V1 V2 = V(O, k1.k2) 2.3.2 Tích phép vị tự khác tâm Cho phép vị tự khác tâm: V1 = V(O1, k1), V2 = V(O2, k2) - Nếu k1.k2 = tích V1 V2 phép tịnh tiến - Nếu k1.k2 tích V1 V2 phép vị tự V(O, k1.k2) với O xác định hệ thức: k O1O O1O2 k1.k2 CHƯƠNG NG DNG CA PHẫP V T VO GII CC LP BI TON C BN ng dụng phép vị tự việc giải số lớp toán hình học trình sử dụng phép vị tự vào giải toán hình học dạng cụ thể nhằm giúp cho người đọc thấy tiện lợi tính ưu việt phương pháp biến hình nói chung phép vị tự nói riêng việc giải toán 2.1 ng dụng phép vị tự vào giải toán chứng minh hình học 2.1.1 Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh toán cần mệnh đề A B đúng, A giả thiết, B kết luận Để giải toán chứng minh, ta xuất phát từ giả thiết A mệnh đề biết, lập luận chặt chẽ suy luận hợp logic, dựa vào định nghĩa, tính chất, định lí đối tượng toán học để đến kết luận 2.1.2 ng dụng phép vị tự giải toán chứng minh Khi vận dụng phép vị tự vào giải toán chứng minh, ta thường tiến hành theo bước sau: - Bước 1: Xác định yêu cầu toán - Bước 2: Xác định phép vị tự (Xác định tâm vị tự tỉ số vị tự) - Bước 3: Thực phép vị tự - Bước 4: Đưa kết luận toán 2.1.3 Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Các trung điểm cạnh tam giác, chân đường cao trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh nằm đường tròn ( Đường tròn Euler) b) Bốn điểm tam giác: trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn Euler thẳng hàng lập thành hàng điểm điều hòa Lời giải: A A3 H B I G O A C A4 A A Giả sử G, H, O trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, A1, B1, C1 chân đường cao hạ từ A, B, C xuống cạnh đối diện; A2, B2, C2 giao điểm thứ A1H, B1H, C1H với (O); A3, B3, C3 trung điểm AH, BH, CH; A4, B4, C4 trung điểm BC, CA, AB; A5, B5, C5 giao điểm thứ hai OA, OB, OC với (O) Ta có: BAH BCH (Cùng phụ với góc ABC) Mà BAH = BCA BCH = BCA CA1 phân giác HCA , mà CA1 đường cao nên tam giác CHA2 cân C CA1 trung tuyến A1 trung điểm HA2 HA1 HA 2 (1) Dễ dàng chứng minh tứ giác BHCA5 hình bình hành Thay đổi yếu tố cố định di động toán ta đưa toán mới: Bài 1: Cho đường tròn (O,R) điểm A cố định nằm đường tròn BC dây cung di động đường tròn có độ dài a không đổi (a < 2R) Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H ABC A O G H B C M A' Gọi M trung điểm BC +) Trước tiên ta tìm quỹ tích điểm M Vì M trung điểm BC nên OM BC Xét OMC có: OM2 = OC2 - MC2 a = R2 - ( )2 a2 =R OM = R2- không đổi a2 = m không đổi M (O,m) = (O1) Ngược lại, lấy M thuộc (O1) Đường thẳng qua M vuông góc với OM M cắt (O) B, C Ta có: BC = 2MC = OC2 OM = R R a2 = a Vậy quỹ tích trung điểm M BC (O1) = (O, m) +) Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC Xét phép vị tự V(A, ): M G (O1) (O2) Vì M (O1) nên G (O2) = V(A, )[ (O1)] Khi B A M P1, C A M N1 2 G P2 = V(A, )( P1), G N2 = V(A, )( N1) 3 Vậy quỹ tích trọng tâm G ABC đường tròn (O2) ảnh (O1) qua V(A, ) trừ điểm P2, N2 +) Tìm quỹ tích trực tâm H Gọi A giao điểm thứ AO với (O) A cố định Xét phép vị tự V(G, ): H O B N Xét phép vị tự V(A, 2): O A N C V(A,2) V(G, ): H A, B C 2 Do 2.( ) = -1 nên V(A,2) V(G, ) phép đối xứng tâm tâm phép đối xứng trung điểm M BC M trung điểm HA Xét phép vị tự V(A, 2): M H (O1) (O3) Vì M (O1) nên H (O3) = V(A,2)[ (O1)] Do B, C A nên M P1, N1 H P3 = V(A, 2) (P1), H N3 = V(A, 2) (N1) Vậy quỹ tích trực tâm H ABC đường tròn (O3) ảnh (O1) qua V(A,2) trừ điểm P3, N3 Bài 2: Giừ nguyên giả thiết cho A điểm cố định mặt phẳng ta toán: Cho đường tròn (O, R) điểm A cố định BC dây cung di động đường tròn có độ dài a không đổi (a < 2R) Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC. Bài 3: Cho dường tròn (O,R) điểm A cố định nằm đường tròn BC dây cung di động đường tròn qua điểm cố định nằm đường tròn Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC +) Với toán quỹ tích trung điểm M BC thay đổi: Gọi M trung điểm BC, I điểm cố định nằm đường tròn mà BC qua OMI vuông M có O, I cố định nên M thuộc đường tròn đường kính OI: (OI) = (O4) Khi B C trùng với A M trùng với M1 Vậy quỹ tích M đường tròn (O4) \ { M1} 3 +) Sử dụng V(A, ) ta có quỹ tích G V(A, )[ (O4)] \ V(A, )(M1) A M1 O G O4 B I M C Bài 4: Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABC cân A có AB cố định B' A G M B C Ta có: C chạy đường tròn bán kính AB trừ hai điểm B, B đối xứng với qua A Vì M trung điểm BC nên BM BC Dễ dàng tìm quỹ tích trung điểm M BC đường tròn đường kính AB, trừ điểm A, B Sử dụng phép vị tự V(A, ): M G suy quỹ tích G Mở rộng E3 ta có toán tương tự: Bài 5: Cho mặt cầu (O), dây cung BC cố định điểm A di động (O).Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H ABC A di động (O) Giải tương tự ví dụ Bài 6: Cho mặt cầu (O,R), BC dây cung di động mặt cầu có độ dài a không đổi (a < 2R) Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H ABC BC di động Giải tương tự Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C điểm đối xứng với A qua B PQ đường kính thay đổi (O) Đường thẳng CQ cắt PA PB M N a) Chứng minh Q trung điểm CM, N trung điểm CQ b) Tìm quỹ tích M, N đường kính PQ thay đổi Lời giải: P A O B C N Q M a) Ta có O trung điểm AB PQ nên tứ giác APBQ hình hình hành AP // BQ AQ // BP Xét ACM có: BQ // AM (cmt) B trung điểm AC BQ đường trung bình ACM Q trung điểm CM Chứng minh tương tự với ACQ ta N trung điểm CQ b) +) Tìm quỹ tích M PQ thay đổi Vì Q trung điểm CM nên CM 2CQ Xét phép vị tự V(C, 2):Q M (O) (O) Do Q (O) nên M (O) = V(C,2)[(O)] Vậy quỹ tích M đường tròn (O) = V(C, 2)[(O)] +) Tìm quỹ tích N PQ thay đổi Do N trung điểm CQ nên CQ 2CN Xét phép vị tự V(C, ): Q N (O) (O) Do Q (O) nên N (O) = V(C, )(O) Vậy quỹ tích điểm N đường tròn (O) = V(C, )[(O)] Ví dụ 3: Cho đường tròn (O, R) (O, R) tiếp xúc với A (R > R) Đường kính qua A cắt đường tròn tâm (O,R) B cắt (O,R) C Một đường thẳng biến thiên qua A cắt (O,R) M cắt (O,R) N Gọi S = BN CM Tìm quỹ tích S Lời giải: M N S O B C O' A Ta có: BM // CN (cùng vuông góc với AM) Khi đó, ta có tam giác BMS NCS đồng dạng nên: CS CN AC 2R' R' SM BM AB 2R R Do đó: R' CS R' CS hay = R+R' SM CS R+R' SM CS = R' CM R+R' Xét phép vị tự V(C, R' ): M S R+R' (O) (O) Vì M (O) nên S (O) = V(C, R' )[(O)] R+R' Vậy quỹ tích S đường tròn (O) ảnh (O) qua phép vị tự V(C, R' ) R+R' Ví dụ 4: Cho đường tròn (O,R) (O,R) tiếp xúc với A Kẻ dây AB (O) AC (O) cho BAC = 90 , M điểm chia BC theo tỉ số k Tìm quỹ tích điểm M Lời giải: C B M I O D A O' R' , lấy I cho I chia OO theo tỉ số h R IO' hIO Đặt h = V(I, h): O O (O) (O) Kẻ đường kính AD (O), ta có V(I, h): A D Lại có: AB // DC (cùng vuông góc với AC) nên V(I, h): tia AB tia DC Do B thuộc (O) tia AB nên V(I, h)(B) thuộc (O) tia DC V(I, h)(B) = C IC hIB Vì M chia BC theo tỉ số k nên ta có: MB kMC IB IM k(IC IM) (k+1)IM IB kIC k k 1+kh IM IC IB hIB IB IB k+1 k+1 k+1 k+1 k+1 Xét phép vị tự V(I, 1+kh ): B M k+1 (O) (O) Do B (O) nên M (O) = V(I, 1+kh )[(O)] k+1 Vậy quỹ tích điểm M đường tròn (O) ảnh (O) qua V(I, h = 2.4 1+kh ) k+1 R' R ng dụng phép vị tự vào giải toán tính toán hình học Trong ví dụ 2, ví dụ ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác ảnh tam giác qua phép vị tự tỉ số k công thức tính thể tích tứ diện ảnh tứ diện qua phép vị tự tỉ số k: Diện tích tam giác ảnh = k Diện tích tam giác tạo ảnh Thể tích tứ diện ảnh = k Thể tích tứ diện tạo ảnh Ví dụ 1: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O1, R1) (O2, R2), (R2=2R1) cắt điểm A, B Các tiếp điểm tiếp tuyến chung với (O1) (O2) P1, P2 tiếp điểm tiếp tuyến chung lại với (O1) (O2) Q1, Q2 M1, M2 trung điểm P1Q1 P2Q2 Tính M1AM biết O1O2 = R1 Lời giải: P C T P O A M O M1 O Q1 Q2 Theo ví dụ phần 2.1.3 ta có O1AO M1AM Xét tam giác AO1O2 có: cos O1AO = O1AO = 60 M1AM = 60 R12 R 22 O1O 22 R12 4R 12 3R 12 2R 1R 4R 12 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, P điểm nằm tam giác G1, G2, G3 trọng tâm tam giác PBC, PCA, PAB Biết diện tích tam giác ABC S, tính diện tích tam giác G1G2G3 Lời giải: Gọi A1, A2, A3 trung điểm BC, CA, AB, G trọng tâm ABC A P G B G G G C A1 Ta có: GA1 GA , GA GB , GA GC 3 V(G, ): A, B,C A1, A2, A3 V(G, ): ABC A1A2A3 Vì G1, G2, G3 trọng tâm tam giác PBC, PCA, PAB nên ta có: PG1 PA1 , PG PA , PG PA 3 3 2 V(P, ):A1,A2,A3 G1,G2,G3 V(P, ): A1A2A3 G1G2G3 3 3 Ta có: ( ) 2 nên V(P, ) V(G, ) phép vị tự tỉ số biến tam 3 giác ABC thành tam giác G1G2G3 Diện tích(G1G2G3) = ( 2 ) diện tích (ABC) = S 81 Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD, P điểm nằm tứ diện G1, G2, G3, G4 trọng tâm PBCD, PCDA, PDAB, PABC Biết ABCD tích V Tính thể tích G1G2G3G4 Lời giải: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, A1, A2, A3, A4 trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Khi ta có: GA1 GA , GA GB , GA GC , GA GD 3 3 V(G, ): ABCD A1A2A3A4 A P G B D G A1 C Do G1, G2, G3, G4 trọng tâm PBCD, PCDA, PDAB, PABC nên ta có: PG1 PA1 , PG PA , PG PA , PG PA V(P, ): A1A2A3A4 G1G2G3G4 Ta có: ( ) = 4 1 V(P, ) V(G, ) phép vị tự tỉ số : ABCD G1G2G3G4 4 Thể tích(G1G2G3G4) = 1 thể tích(ABCD) = V 64 C.KT LUN Qua khóa luận rút số kết luận sau: - Các phép biến hình nói chung phép vị tự nói riêng cung cấp công cụ hữu hiệu việc giải toán Đối với nhiều toán giải phương pháp thông thường dài phức tạp sử dụng phép biến hình lời giải ngắn gọn dễ hiểu - Khi dựa vào toán nhờ phép biến hình, ta mở rộng, sáng tạo nhiều toán Từ gây hứng thú cho việc học tập nghiên cứu - Việc dạy học phép biến hình giúp bồi dưỡng giới quan vật biện chứng cho học sinh: nhìn nhận vật, tượng trạng thái biến đổi không ngừng Bên cạnh đó, nhận thấy số khó khăn giải toán nhờ phép vị tự như: - Tìm phép vị tự phù hợp với lời giải nhiều toán nhiều khó Không thế, nhiều toán không sử dụng đơn phép vị tự mà tích phép vị tự với phép biến hình - Nhiều toán giải phương pháp biến hình Từ đó, xin đưa số suy nghĩ giảng dạy phép biến hình nói chung phép vị tự nói riêng sau: - Cần cho học sinh thấy chất phép biến hình, giống khác phép biến hình - Khi áp dụng phép biến hình vào giải tập cần đưa lớp toán phong phú (chứng minh, quỹ tích, dựng hình, tính toán), có phân bậc từ dễ đến khó - Rèn luyện cho học sinh dùng phép biến hình giải nhiều dạng tập giải tập nhiều phép biến hình Do thời gian lực hạn chế nên khóa luận chắn nhiều thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện TI LIU THAM KHO Bùi Văn Bình, 1993, Giáo trình hình học sơ cấp tập 2, ĐHSP Hà Nội 2 Bùi Văn Bình, 1993, Bài tập hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội Nguyễn Mộng Hy, 1996, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục Phan Huy Khải, 1998, Toán nâng cao cho học sinh hình học 11, NXB ĐHQG Hà Nội Đoàn Quỳnh (Chủ biên), 2010, Tài liệu chuyên toán hình học 11, NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Chủ biên), 2010, Tài liệu chuyên toán tập hình học 11, NXB Giáo dục Vũ Dương Thụy (Chủ biên), 2001, 40 năm Olympic toán học quốc tế NXB Giáo dục Toán học tuổi trẻ số 350, 2006, NXB Giáo dục [...]... Gọi R, R,R lần lượt là bán kính của (O), (O), (O) Xét phép vị tự: V1 = V(A, R'' ): (O) (O) R M1 M Xét phép vị tự: V2 = V(B, R' ): (O) (O) R'' I M M2 Ta có: ( R'' R' R' 1 nên V2 V1 là một phép vị tự: (O) (O) ).( ) = R R'' R M1 M2 M1M2 đi qua tâm vị tự hai mặt cầu (O) và (O) đpcm 2.2 ng dụng của phép vị tự vào giải bài toán dựng hình trong hình học 2.2.1 Bài toán dựng hình - Dạng bài: Cho... kính của (O), (O), (O); C là giao điểm thứ hai của BC với (O) Xét phép vị tự: V1 = V(B, R'' ): (O) (O) R B B V2 = V(C, R' ): (O) (O) R'' B C Ta có: ( R'' R' R' 1 nên V2 V1 là một phép vị tự: (O) (O) ).( ) = R R'' R B C BC đi qua tâm vị tự I của 2 đường tròn Vì (O), (O) cố định nên I cố định đpcm Nhận xét: Mở rộng ra trong E3 ta có bài toán: Cho 2 mặt cầu (O), (O) có bán kính khác nhau... ra hữu hạn thứ tự các phép dựng cơ bản cần phải thực hiện để có hình cần dựng + Bước 3: Chứng minh Xác nhận hình ở bước 2 thỏa mãn đầy đủ các yêu cầu của bài toán + Bước 4: Biện luận Khẳng định khi nào bài toán vô nghiệm, khi nào bài toán có nghiệm và nếu có thì có bao nhiêu nghiệm 2.2.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép vị tự Phép biến hình nói chung và phép vị tự nói riêng ứng dụng trong bài toán... Dựng C = (A, b) (A) - Dựng B = V-1(M,-1)(C ) ABC là tam giác cần dựng Nhận xét: i) Phép vị tự sử dụng trong bài 5 chính là phép đối xứng tâm M ii) Ta có thể mở rộng bài 5 như sau: Bài 5.1: Dựng ABC biết A và M cố định, M là điểm chia trong CB theo tỉ số k, (k > 0 cho trước), AB = c, AC = b Giải tương tự bài 5, xét phép vị tự V(M, -k) Bài 5.2: Dựng ABC biết phân giác AD và độ dài các cạnh AB = c và AC... Thông thường, khi sử dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích những điểm M có tính chất ta cần chọn một phép biến hình f phù hợp biến M thành M = f(M) sao cho quỹ tích của M dễ dàng tìm được Do tính chất 1-1 của phép biến hình ta suy ra quỹ tích của điểm M là hình f-1(H) +) ng dụng của phép vị tự vào giải bài toán quỹ tích là tìm ra phép vị tự thích hợp và làm theo trình tự nêu trên 2.3.3 Ví dụ... Xét phép vị tự V(A, ): M G (O1) (O2) 2 3 Vì M (O1) nên G (O2) = V(A, )[ (O1)] Khi B A thì M P1, khi C A thì M N1 2 2 G P2 = V(A, )( P1), G N2 = V(A, )( N1) 3 3 Vậy quỹ tích trọng tâm G của ABC là đường tròn (O2) là ảnh của (O1) qua 2 3 V(A, ) trừ 2 điểm P2, N2 +) Tìm quỹ tích trực tâm H Gọi A là giao điểm thứ 2 của AO với (O) A cố định 1 2 Xét phép vị tự V(G, ): H O B N Xét phép vị tự. .. dựng ME Oy, MH Ox Ta có: Diện tích(OAM) = Diện tích(OBM) 1 1 ME.OA = MH.OB 2 2 ME = 2MH Đặt k = OM OM' Xét phép vị tự: V(O.k): M M H H E E Do phép vị tự bảo tồn góc nên từ ME Oy ME Oy Vì ME = 2MH nên ME = 2MH đpcm 4 Biện luận Bài toán có một nghiệm hình Nhận xét: Mở rộng ra trong E3 ta có bài toán: Cho góc tam diện Oxyz, trên tia Ox lấy điểm H và qua H dựng đường thẳng d (yOz) Hãy dựng... khi đó O là tâm vị tự của (O1) và (O2) Ta có: TP12 = TA.TB =TP22 TP1 = TP2 (*) Dễ dàng chứng minh được AB, P1P2, Q1Q2 song song và cùng vuông góc với O1O2 Kết hợp với (*) suy ra TA là đường trung trực của M1M2 AM1O1 AM 2 O1 BM 2 O1 (1) Xét phép vị tự: V = V(O, R2 ): O1 O2 R1 P1 P2 Q1 Q2 A C V: P1Q1 P2Q2 Mà M1,M2 lần lượt là trung điểm của P1Q1, P2Q2 nên V: M1 M2 Do phép vị tự bảo tồn độ lớn... tương tự bài 5, sử dụng phép vị tự V(D, -b ) c Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox cho một điểm H và dựng một đường thẳng d vuông góc với Ox tại H Hãy dựng M thuộc miền trong của góc sao cho M d và khoảng cách từ M tới Oy bằng 2MH Lời giải: 1 Phân tích y E' d A M' E M O x H B H' Giả sử đã dựng được điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán Gọi E là hình chiếu của M lên Oy d(M,Oy) = ME ME = 2MH Xét phép vị tự. .. của phép vị tự vào giải bài toán quỹ tích +) Giải bài toán quỹ tích dựa vào phép biến hình Giả sử f là phép biến hình biến M thành M Khi đó do tính chất 1-1 của phép biến hình ta suy ra được: - Nếu quỹ tích những điểm M là hình (H) thì quỹ tích những điểm M là hình f(H) - Ngược lại, nếu quỹ tích những điểm M là hình (H) thì quỹ tích những điểm M là f-1(H) Vì vậy, khi giải bài toán quỹ tích nhờ phép ... ảnh qua O b Với k 1, phép vị tự V(O,k) có điểm bất động O c Phép vị tự bảo tồn phương đường thẳng d Trong E2, phép vị tự thuận phép đồng dạng thuận Trong E3, phép vị tự phép đồng dạng thuận hay... vị tự âm hay dương 2.3 Tích hai phép vị tự 2.3.1 Tích hai phép vị tự tâm Cho hai phép vị tự tâm: V1 = V(O, k1), V2 = V(O, k2) Tích V1 V2 phép vị tự: V1 V2 = V(O, k1.k2) 2.3.2 Tích phép vị tự. .. khó khăn giải toán nhờ phép vị tự như: - Tìm phép vị tự phù hợp với lời giải nhiều toán nhiều khó Không thế, nhiều toán không sử dụng đơn phép vị tự mà tích phép vị tự với phép biến hình - Nhiều